Tên đề tài : “PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN” PHẦN A : ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi tốt nghiệp Bổ túc trung học phổ thổng (BTTHPT),Trung học phổ thông (THPT) , Đại học , cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT , BTTHPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự linh hoạt của định nghĩa,tính chất và các phương pháp tính tích phân.Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là : tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc các phương pháp tính tích phân như đổi biến hoặc từng phần. Khi học sinh dùng phương pháp từng phần gặp nhiều khó khăn trong quá trình tính như Đặt u bằng đại lượng nào? dv bằng đại lượng nào học sinh rất mơ hồ trong cách đặt và dạng bài tập nào là phải dùng tích phân từng phần. Hoặc là trong quá trình tính tích phân học sinh cứ việc tính mà không để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không?phép đổi biến đã đổi cận hay chưa?phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì vậy trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rõ điều này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Phương pháp tính tích phân từng phần và một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân.Nhằm giúp học sinh khắc phục được những điểm yếu nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong học tập nói chung. Qua đề tài này tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này , tự phân loại được một số dạnh toán tích phân , nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập.từ đó giúp cho học sinh có thể dể dành hơn trong quá trình tính tích phân.Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy được khả năng phân tích , tổng hợp , khái quát hóa các bài tập nhỏ , phân dạnh bài tập.Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy sánh tạo trong học tập. II . NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1 - Các phương pháp tính tích phân : phương pháp đổi biến , phương pháp tính tích phân từng phần , tích phân hàm lượng giác , … - Kỹ năng tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản. III . ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh BTTHPT - Các phương pháp tính tích phân trong chương trình lớp 12. IV . PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu,đúc rút kinh nghiệm,tổng kết kinh nghiệm,kiểm tra kết quả.dự giờ,kiểm tra chất lượng học sinh,nghiên cứu hồ sơ giảng dạy,điều tra trực tiếp thông qua các giờ dạy học, thể hiện ở nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh khá,giỏi,trung bình,yếu về môn toán. - Cho học sinh phân dạng bài tập nào thì dùng tích phân từng phần để giải và cách đặt như thế nào?cho các ví dụ cụ thể để học sinh áp dụng cách đặt trên - Lựa chọn các ví dụ cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỷ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng. V . PHẠM VI NGHIÊN CỨU Giới hạn ở vấn đề giảng dạy Nguyên hàm – Page 11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN x dx Bài Tính tích phân I Lời giải sai: Đặt x sin t dx cos tdt sin t cos tdx I cos tdt 0 cos 2t x t ar c sin t Lý sai: Đổi biến số không đổi cận Lời giải đúng: x sin t dx cos tdt Khi x arcsin arcsin sin t cos tdx I cos tdt 0 arcsin Lời giải sai: Đặt t I dt t5 cos 2t sin 2arcsin 4 t4 2x 2x 1 Khi x x 1 34 dx Bài Tính tích phân I arcsin 4 t t 20 81 Lý sai: Đổi biến khơng tính vi phân Lời giải đúng: Đặt t I dt 2t t 2x 1 34 dt 2dx x x t t 10 81 xe x dx Bài Tính tích phân I 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân Page Lời giải sai: Đặt I xe x u x x v' e e x dx e2 u' v ex 2 Lý sai: Hiểu sai chất công thức phần Lời giải đúng: Đặt I xe x u x x dv e dx du dx v x e 2 e x dx e2 Bài Cho n N ; chứng minh I sin sin x nx dx 0 Lời giải sai: Xét hàm số f x sin x sin x Ta có f x hàm liên tục 0; Vậy f x hàm lẻ, suy I nx 0; f x sin sin x nx f x Lý sai: Học sinh hiểu sai định lý “Nếu hàm số f x hàm lẻ, liên tục a a; a f x dx ” a Lời giải đúng: Đặt x y dx dy I sin sin x nx dx sin sin y ny n dy n sin ny sin y dy Mặt khác ta có: g y g y sin ny sin sin ny y sin y xác định sin ny sin y ; hàm liên tục g y Suy g y hàm lẻ Vậy I Bài Cho hàm số f liên tục 0; ; so sánh I xf sin x dx 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân Page J f sin x dx Lời giải sai: Đặt I xf cos x u x dv du f sin x dx dx v f cos x f cos x dx 0 Do f liên tục 0; , suy f cos f 0 I f cos x dx (1) Mà J f sin x dx (2) Từ (1) (2) ta có I J Lý sai: Học sinh khơng hiểu hàm liên tục, tích phân vi phân Lời giải đúng: Đặt x t dx dt I t f sin t dt f sin x dx xf sin x dx 2I f sin x dx I Vậy ta có I f sin x dx 0 J Bài Cho hàm số f liên tục a; b ; chứng minh tồn điểm c C a; b cho b f x f c dx a f c f x dx c Lời giải sai: Do f liên tục a; b , suy f x f x f c a , c f c b , c , ta có c f x f c dx a c b b f x f c dx f c f x dx c Lý sai: Không hiểu hàm liên tục nên tính tích phân sai Lời giải đúng: Áp dụng định lý giá trị trung bình tích phân, suy tồn b điểm C a; b cho b f x dx f c b a a b a a c f x Suy f c dx f c dx b f x a 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân f c dx f x f c dx c Page c b f x Hay ta có f c dx f x dx (đpcm) f c a c Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn y 0; x y 1; x x Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là: S x dx x 9x Lý sai: Áp dụng sai công thức, không ghi “đvdt – đơn vị diện tích” Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là: 3 S x2 dx x dx 3 x 9x dx 38 (đvdt) 3 x x2 65 9x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn Lời giải sai: y y x x 1; y y x y y x x 1dx Lý sai: Xác định sai hình cần tính diện tích Lời giải đúng: Diện tích hình giới hạn là: S S1 x dx S 1 2 (đvdt) S2 (đvdt) S2 x 1; x Diện tích hình phẳng là: S 12 x Ta có S1 0; y x x 3 2 1 (đvdt) 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân Page y x2 2x C1 Bài Tính diện tích hình giới hạn y x2 6x C2 ;x x Lời giải sai: C1 C2 2;1 Vậy diện tích hình giới hạn là: 2 S x dx x 3 dx x 3 3 24 x 3 24 2 (đvdt) 12 Lý sai: Xác định sai hình cần tính giới hạn Lời giải đúng: C1 C2 2;1 Diện tích hình giới hạn là: S S1 S2 S1 x x 2 dx 4x 2x2 dx 8x 2 2x2 8x Bài 10 Tính thể tích hình xuyến gây hình tròn x2 y S2 x x dx 4x S S1 S2 2 y b 2 2 (đvdt) quay quanh trục Ox Lời giải sai: Phương C :x dx trình a hay y y b a2 x C1 y b a2 x C2 b (x 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân đường a b a2 ;( a b) tròn x a ) Page Vậy thể tích a V a2 b x2 a2 b x2 hình dx xuyến là: a2 b (đvtt) a b Lý sai: Sai cơng thức tính thể tích: y12 V y22 dx mà a b ya2 V y22 dx a a Lời giải đúng: V b a2 x2 a2 b x2 dx a2 b a y Bài 11 Tính thể tích hình giới hạn x x Lời giải sai: V x dx x5 31 x2 (đvtt) b Lý sai: Đã sử dụng công thức V y dx a Lời giải đúng: V x.x dx 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 15 (đvtt) PHẦN I: MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Học sinh trên địa bàn XXX đa phần là con em nông thôn, cha mẹ không có điều kiện chăm lo cho con cái học hành. Ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều thơì gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập của học sinh còn yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết các em sợ học môn Toán. Là giáo viên dạy toán, đã có 20 năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm với các em và trăn trở trước thực tế đó. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi tốt nghiệp và Đại học. Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai, qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh lớp 12 trường THPT XXX. 2 Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho học sinh tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số sai lầm và hướng dẫn biện pháp khắc phục những sai lầm đó, nhằm giúp học sinh lớp 12A trường THPT XXX tránh sai sót khi tính tích phân” II. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Tích phân. Từ đú phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em. III. Nhiệm vụ nghiên cứu. Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: - Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào? - Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến Tích phân? - Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính Tích phân, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân? - Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào? IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Học sinh lớp 12A trường THPT XXX - Các dạng toán về tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán. 3 V. Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: ghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận. Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. 4 PHẦN II: NỘI DUNG I. Những quan niệm chung Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của Tên đề tài : “PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN” PHẦN A : ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi tốt nghiệp Bổ túc trung học phổ thổng (BTTHPT),Trung học phổ thông (THPT) , Đại học , cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT , BTTHPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự linh hoạt của định nghĩa,tính chất và các phương pháp tính tích phân.Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là : tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc các phương pháp tính tích phân như đổi biến hoặc từng phần. Khi học sinh dùng phương pháp từng phần gặp nhiều khó khăn trong quá trình tính như Đặt u bằng đại lượng nào? dv bằng đại lượng nào học sinh rất mơ hồ trong cách đặt và dạng bài tập nào là phải dùng tích phân từng phần. Hoặc là trong quá trình tính tích phân học sinh cứ việc tính mà không để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không?phép đổi 1 biến đã đổi cận hay chưa?phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì vậy trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rõ điều này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Phương pháp tính tích phân từng phần và một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân.Nhằm giúp học sinh khắc phục được những điểm yếu nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong học tập nói chung. Qua đề tài này tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này , tự phân loại được một số dạnh toán tích phân , nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập.từ đó giúp cho học sinh có thể dể dành hơn trong quá trình tính tích phân.Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy được khả năng phân tích , tổng hợp , khái quát hóa các bài tập nhỏ , phân dạnh bài tập.Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy sánh tạo trong học tập. II . NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Các phương pháp tính tích phân : phương pháp đổi biến , phương pháp tính tích phân từng phần , tích phân hàm lượng giác , … - Kỹ năng tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản. 2 III . ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh BTTHPT - Các phương pháp tính tích phân trong chương trình lớp 12. IV . PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu,đúc rút kinh nghiệm,tổng kết kinh nghiệm,kiểm tra kết quả.dự giờ,kiểm tra chất lượng học sinh,nghiên cứu hồ sơ giảng dạy,điều tra trực tiếp thông qua các giờ dạy học, thể hiện ở nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh khá,giỏi,trung bình,yếu về môn toán. - Cho học sinh phân dạng bài tập nào thì dùng tích phân từng phần để giải và cách đặt như thế nào?cho các ví dụ cụ thể để học sinh áp dụng cách đặt trên - Lựa chọn các ví dụ cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỷ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng. V . PHẠM VI NGHIÊN CỨU Giới hạn ở vấn đề giảng dạy Nguyên hàm – Tích phân trong chương trình lớp 12 ở BTTHPT,THPT 3 PHẦN B: NỘI DUNG I . CƠ SỞ KHOA HỌC Dưa trên nguyên tắc nhận thức của con người đi từ “cái tổng quát đến cái cụ thể, từ cái sai đến cái gần đứng rồi mới đến cái đúng”,các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh. II . NỘI DUNG CỤ THỂ. 1. Tích phân bằng phương pháp từng phần 4 Công thức từng phần : ∫∫ −= b a b a b a vduvuudv . Phương pháp : B1/ Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính d u . Phần còn lại là d v , tìm v. B2/ Dùng công thức tính tích phân từng phần. B3/ Tính và suy ra kết quả. Chú ý. Lý thuyết là vậy,nhưng trong thực tế học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tính toán,học sinh rất mỏ hồ về 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 3 11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN Bài 1. Tính tích phân 4 2 0 1I x dx . Lời giải sai: Đặt sin cosx t dx tdt . 4 4 4 22 0 0 0 1 cos2 1 1 sin .cos cos 2 8 4 t I t tdx tdt . Lý do sai: Đổi biến số nhưng không đổi cận. Lời giải đúng: sin cosx t dx tdt . Khi arcsin 44 00 xt xt . arcsin arcsin arcsin 4 4 4 22 0 0 0 1 cos2 1 sin .cos cos 2 t I t tdx tdt 11 arcsin sin 2arcsin 2 4 4 4 . Bài 2. Tính tích phân 1 5 0 21 dx I x . Lời giải sai: Đặt 21tx . Khi 13 01 xt xt . 3 3 4 54 1 1 1 1 20 1 4 4 81 3 dt t I t . Lý do sai: Đổi biến không tính vi phân. Lời giải đúng: Đặt 2 1 2t x dt dx . 13 01 xt xt . 3 3 4 54 1 1 1 1 10 1 8 8 81 23 dt t I t . Bài 3. Tính tích phân 2 0 x I xe dx . 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 4 Lời giải sai: Đặt '1 ' xx u x u v e v e . 2 2 2 0 0 1 xx I xe e dx e . Lý do sai: Hiểu sai bản chất công thức từng phần. Lời giải đúng: Đặt xx u x du dx dv e dx v e . 2 2 2 0 0 1 xx I xe e dx e . Bài 4. Cho nN ; chứng minh 2 0 sin sin 0I x nx dx . Lời giải sai: Xét hàm số sin sinf x x x nx trên 0; 2 . Ta có fx là hàm liên tục trên 0; 2 và sin sinf x x nx f x . Vậy fx là hàm lẻ, suy ra 0I . Lý do sai: Học sinh hiểu sai về định lý “Nếu hàm số fx là hàm lẻ, liên tục trên ;aa thì 0 a a f x dx ”. Lời giải đúng: Đặt x y dx dy . 2 0 sin sin sin sinI x nx dx y ny n dy 1 sin sin n ny y dy . Mặt khác ta có: sin sing y ny y xác định trên ; là hàm liên tục và sin sin sin sing y ny y ny y g y . Suy ra gy là hàm lẻ. Vậy 0I . Bài 5. Cho hàm số f liên tục trên 0; ; hãy so sánh 0 sinI xf x dx và 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 5 0 sinJ f x dx . Lời giải sai: Đặt sin cos u x du dx dv f x dx v f x . 0 0 cos cosI xf x f x dx . Do f liên tục trên 0; , suy ra 0 cos 0 0 cosf f I f x dx (1). Mà 0 sin 2 J f x dx (2). Từ (1) và (2) ta có IJ . Lý do sai: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân. Lời giải đúng: Đặt x t dx dt . 0 00 sin sin sinI t f t dt f x dx xf x dx 00 2 sin sin 2 I f x dx I f x dx . Vậy ta có IJ . Bài 6. Cho hàm số f liên tục trên ;ab ; chứng minh tồn tại ít nhất một điểm ;C a b sao cho cb ac f x f c dx f c f x dx . Lời giải sai: Do f liên tục trên ;ab , suy ra f x f c trên ,ac bằng f x f c trên ,bc , vậy ta có cb c b ac f x f c dx f x f c dx f c f x dx . Lý do sai: Không hiểu về hàm liên tục nên tính tích phân sai. Lời giải đúng: Áp dụng định lý về giá trị trung bình của tích phân, suy ra tồn tại ít nhất một điểm ;C a b sao cho bb aa f x dx f c b a f c dx Suy ra 0 b c b a a c f x f c dx f x f c dx f x f c dx . 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 6 Hay ta có cb ac f x f c dx f c f x dx (đpcm). Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 0; 1; 4 9 y x x yx . Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là: 4 4 22 1 1 1 9 9 7 3 S x dx x x . Lý do sai: Áp dụng sai công thức, không ghi “đvdt – đơn vị diện tích”. Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là: 3 3 4 2 2 2 1 1 3 9 9 9S x dx x dx x dx 34 33 13 1 1 65 38 9 9 9 3 3 2 3 x x x x (đvdt). Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 0; 1 1; 0 yy y x x . Lời giải sai: 2 11y x y x 01yx ; 12yx . Diện tích hình phẳng là: 2 2 3 2 1 1 22 11 33 S x dx x (đvdt). Lý do sai: Xác định sai hình cần tính diện tích. Lời giải đúng: Diện tích hình giới hạn là: 12 S S S Ta có 2 1 11S (đvdt). 2 2 3 2 2 1 1 21 1 1 1 33 S x dx x x 14 1 33 S (đvdt). 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 7 Bài 9. Tính diện tích hình giới hạn bởi 2 1 2 2 21 69 35 ; 22 y x x C y x x C xx . Lời giải sai: 12 2;1CC . Vậy diện tích của hình giới hạn là: 5 2 2 22 3 2 2 13S x dx x dx 5 2 2 33 3 2 2 11 13 33 xx 1 1 1 1 7 3 24 ... Diện tích hình phẳng là: S 12 x Ta có S1 0; y x x 3 2 1 (đvdt) 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân Page y x2 2x C1 Bài Tính diện tích hình giới hạn y x2 6x C2 ;x x Lời giải sai: C1 C2 2;1 Vậy diện tích. .. đúng: Áp dụng định lý giá trị trung bình tích phân, suy tồn b điểm C a; b cho b f x dx f c b a a b a a c f x Suy f c dx f c dx b f x a 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân f c dx f x f c dx c Page c b f... quay quanh trục Ox Lời giải sai: Phương C :x dx trình a hay y y b a2 x C1 y b a2 x C2 b (x 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân đường a b a2 ;( a b) tròn x a ) Page Vậy thể tích a V a2 b x2 a2 b x2 hình