TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP Họ tên: Lớp: Trường: Người biên soạn: Hồ Khắc Vũ Quảng Nam, tháng 11 năm 2016 UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 PHòNG Giáo dục đào tạo Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Đề thức Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 x  x4  2008x2  2007 x  2008 Bài 2: (2điểm) Giải ph-ơng trình: x2 3x   x   2 1   1     x     x     x   x     x   x x  x  x  Bài 3: (2điểm) Căn bậc hai 64 cã thĨ viÕt d-íi d¹ng nh- sau: 64  Hỏi có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng d-ới dạng nh- số nguyên? Hãy toàn số T×m sè d- phÐp chia cđa biĨu thøc  x  2 x  4 x  6 x  8  2008 cho ®a thøc x2  10 x 21 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đ-ờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đ-ờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC t¹i G Chøng minh: GB HD  BC AH  HC HÕt PHỊNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Làm để đem lít nước từ sơng tay có hai can, can có dung tích lít, can có dung tích lít khơng can có vạch chia dung tích ? Bài 2: (3 điểm) Một số gồm chữ giống chia cho số gồm chữ số giống thương 16 số dư số r Nếu số bị chia số chia bớt chữ số thương khơng đổi số dư giảm bớt 200 Tìm số Bài 3: (3 điểm) Chứng minh n3 – n chia hết cho với số tự nhiên n Bài 4: (3 điểm) Tính tổng S = 1     1 x 1 x 1 x 1 x  x8 Bài 5: (4 điểm) Nhân ngày 1- phân đội thiếu niên tặng số kẹo Số kẹo chia hết chia cho người phân đội Để đảm bảo nguyên tắc phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo người sau: Bạn thứ nhận kẹo lấy thêm số kẹo lại Sau bạn 11 thứ lấy phần mình, bạn thứ hai nhận kẹo lấy thêm số kẹo 11 lại Cứ tiếp tục đến bạn cuối thứ n nhận n kẹo lấy thêm số kẹo lại 11 Hỏi phân đội thiếu niên nói có đội viên đội viên nhận kẹo Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc A = 200 Trên AB lấy điểm D cho AD = BC Tính góc BDC PHỊNG GD &ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (Năm học 2013-2014) Môn : TOÁN – Thời gian : 150 phút Họ tên GV đề : Hồ Thị Song ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị: Trường THCS Hoàng Văn Thụ Bài : (5 đ) a) Khơng tính giá trị biểu thức ,hãy so sánh : 2015  2014  2015  2014    2015  2014  2015  2014  b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 – 8)2 + 36 c) Cho ba số hữu tỉ x, y,z đôi khác Chứng minh : x  y   y  z  z  x 2 bình phương số hữu tỉ Bài : (5 đ) a2 b2 c2 a b c a) Chứng minh bất đẳng thức sau :      b c a b c a b) Tìm giá trị nhỏ A = 6x   9x c) Xác định dư phép chia đa thức : x19 + x5 – x1995 cho đa thức x2 -1 Bài : (4 đ) Giải phương trình sau : a) X4 + 6y2 -7 = b) 1 1    2011x  2012 x  2013x  2014 x  Bài : (4đ) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm BC Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G a) Chứng minh : AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) Chứng minh : AEF ~  CAF AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi   Bài : (2đ) Cho tam giác ABC có A  B Tính độ dài AB biết AC = 9cm, BC = 12cm TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG Người đề : TRẦN ĐINH TRAI ĐỀ ĐỀ NGHỊ ĐỀ ĐỀ NGHỊ HOC SINH GIỎI Năm học 2013- 2014 Mơn TỐN – Lớp Thời gian : 150 phút ( không k thi gian giao ) Câu : (2 điểm) Cho P= a  4a  a  a  7a  14a  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: ( ®iĨm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n  Z C©u : (2 điểm) a) Giải ph-ơng trình : 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 Câu 4: ( điểm) Trong hai số sau số lớn hơn: a = 1969  1971 ; b = 1970 C©u 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC'   AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM a) Tính tổng (AB  BC  CA) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'  BB'  CC' PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (NĂM HỌC 2013 – 2014) MƠN: TỐN (Thời gian 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ GV đề: Võ Công Tiển Đơn vị: Trường THCS Lê Lợi 1   x2  Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức A       :  x    x  3x   27  3x 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < –1 Bài : (2 điểm) Phân tích đa thức sau thừa số: 1) x  2)  x   x  3 x   x    24 Bài 3: (4 điểm) x  x  x  x  2010 x  2009 x  2008      2010 2009 2008 1 2) Cho ba số x, y, z khác khác thoả mãn    x y z 1   0 Chứng minh: x  yz y  zx z  xy 1) Giải phương trình Bài 4: (4 điểm) a Tìm giá trị lớn A = 2x  x3  27 b/ Tìm giá trị nhỏ B = với x  -3 3x  x  x  2x  Bài 5: (7,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Hết PHÒNG GD & ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ ĐỀ NGHỊ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013- 2014 Mơn: Tốn (Thời gian làm bài: 120 phút) Người đề: TRẦN MƯỜI ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài 1(4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) Tìm số dư phép chia x7 + x5 + x3 + cho x2 – Câu (4 điểm) - 4x x2 1  x  1 2x b) Rút gọn biểu thức  với x     : 2    x x  1 x  x 1 a) Tìm GTNN, GTLN A = Bài 3(4 điểm) a) Cho abc = Rút gọn biểu thức A = a b 2c   ab + a + bc + b + ac + 2c + b) Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương b1) n2 – n + b2) n5 – n + Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F a) Chứng minh DE + DF không đổi D di động BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE Bài 5(3 điểm) Cho ABC , O điểm nằm tam giác Từ O kẻ OA’  BC, OB’  AC, OC’  AB (A’  BC; B’  AC; C’  AB) Chứng minh rằng: OA' OB' OC'    (Với AH, BK, CI ba đường cao tam giác hạ AH BK CI từ A, B, C) - Hết PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (NĂM HỌC 2013 - 2014) Mơn: Tốn (Thời gian: 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Họ tên GV đề: Phạm Thanh Bình Đơn vị: Trường THCS Lý Thường Kiệt ĐỀ BÀI Bài 1(5đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y  Chứng minh 2 x  y x y   2 0 y 1 x 1 x y  3 Bài 2(5đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) Tìm số dư đa thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2014 chia cho đa thức x2+10x+21 c) x   x   x   x  2007 2006 2005 2004 Bài 3(3đ) Giải tốn cách lập phương trình: Một người xe gắn máy từ A đến B với dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định người Bài 4(7đ) Cho góc xOy điểm I nằm góc Kẻ IC vng góc với Ox(C thuộc Ox), ID vng góc với Oy(D thuộc Oy) cho IC = ID = a Đường thẳng qua I cắt Ox A cắt Oy B a/ Chứng minh tích AC DB không đổi đường thẳng qua I thay đổi CA OC  b/ Chứng minh DB OB 8a c/ Biết SAOB = Tính CA; DB theo a PHỊNG GD&ĐT ĐẠI LỘC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG Năm học 2013-2014 MƠN : TỐN (8) ( Thời gian : 150 phút ) Họ tên GV đề : NGUYỄN THỊ TRÂM OANH Đơn vị : THCS LÝ TỰ TRỌNG Câu 1: (2 điểm) a.Cho a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) bình phương số hữu tỉ b.Tính: ĐỀ ĐỀ NGHỊ A  (1  1 1 )(1  )(1  ) (1  ) 2 x ( x  1) ( x  2) ( x  9) Câu 2: (5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ P( x)  x2  x  x2  x  b) Tìm dư phép chia đa thức f(x) = x1994 + x1993 +1 cho g(x) = x2 – c) Chứng minh rằng: 16n – 15n – 225 Câu 3: (5 điểm) a) Định m để phương trình sau có nghiệm nhất: x2 x 1  x  m x 1 b)Giải phương trình: | x | + | 2x + 1| - |x - 3| =14 c)Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   3 b c a a c b a b c Câu 4: (2điểm)Tính độ dài đường trung bình hình thang cân có đường chéo vng góc với có độ dài đường cao 10 cm Câu 5: (6điểm)Cho hình vng OCID cạnh a, AB đường thẳng qua I cắt tia OC, OD A B a Chứng minh tích CA.CB có giá trị khơng đổi (tính theo a) b.Chứng minh: CA OA2  DB OB c.Xác định đường thẳng AB cho DB = 4CA d.Cho diện tích tam giác AOB 8a Tính CA + DB theo a Hết Phòng GD & ĐT Đại Lộc Trường THCS MỸ HOÀ GV: Nguyễn Hai ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2013-2014 Mơn thi TỐN Thời gian 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu ( điểm ) : 1)Cho biểu thức : 2  x  2y  x  y P   x  y  :  x   3x x  y  3x a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P x = 3y 2) a)Chứng minh : ( a + b – c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc b) Cho xy = Chứng minh rằng: x2 + y2  ( x – y ) Câu ( 4điểm ) : Giải phương trình : x  2005 x  8038 x  4004 3x  6022    a) 18 24 20 b) 1 1     x  x x  3x  x  5x  x  2013 Câu ( điểm ): Cho tam giác ABC vng A có AB = 6cm, AC = 8cm M điểm nằm hai điểm B C Từ M vẽ đường vng góc MH, MK đến AB, AC a) Chứng minh tứ giác AHMK hình chữ nhật b) Tìm vị trí M nằm hai diểm Bvà C để HK có giá trị nhỏ nhất, Tìm giá trị nhỏ đó? Câu ( điểm ) : Cho tam giác nhọn ABC Trên cạnh BC, AC lấy hai điểm M, N cho BC = 3BM; AC = 3AN Từ A vẽ tia Ax song song với BC cho Ax cắt MN P.BP cắt AC I a) Chứng minh AI2 = IN.IC b)BN cắt PC Q Giả sử diện tích tam giác ABC S Tính theo S diện tích tam giác BPQ? Câu ( 2điểm ) : 1) Chứng minh 11 số nguyên tồn số chia hết cho 10 tồn hai số có hiệu chia hết cho 10? 2)Tìm số nguyên n biết n2 – n + số phương Hết c) MAF d) NÕu DBA  g g nên MF AD không đổi FA (1®) AB PD PB PD   k  PD  9k , PB  16k th×  16 PB 16 NÕu CP  BD th× CBD DCP  g  g   CP PB  PD CP 1® ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 ®ã BC = (cm) CD = (cm) 0,5d 0,5® 0,5® Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 2010 2011 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm 1® 1   b)  x2  y  xy (1)  1   1        0 2  x  xy  y  xy      x  y  x  y x  y 1  x  1  xy  1  y  1  xy  2 0  y  x   xy  1     2  x  y  xy      V× x  1; y  => xy  => xy   => BĐT (2) => BĐT (1) (dấu = x¶y x = y) ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y  Chứng minh 1® 2 x  y x y   2 0 y 1 x 1 x y  3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x  x  x  x  x  b)      2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ H-íng dÉn chÊm biểu điểm Bi 1: (3 im) a) ( 0,75) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét A  10x  7x   5x   2x  B Với x  Z A B (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) 2x  Z 2x  ( 2x – 3) Mà Ư(7) = 1;1; 7;7  x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) (0,25đ) 4 x y  = x 3 x  y3  y y  x  (y  1)(x  1)  x  y4   (x  y) c) (1,5đ) Biến đổi ( x + y =  y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) xy(y  y  1)(x  x  1)  x  y  x  y   x  y2   (x  y) = (0,25đ) xy(x y  y x  y  yx  xy  y  x  x  1) = = =  x  y  (x  y  1) xy  x y  xy(x  y)  x  y  xy    x  y  (x  x  y  y) =  x  y  x(x  1)  y(y  1)  xy(x y  3) xy  x y  (x  y)   =  x  y   x( y)  y( x)  =  x  y  (2xy) xy(x y  3) xy(x y  3) = 2(x  y) Suy điều cần chứng minh x y2  Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 =  y2 + 6y - 2y -12 =  (y + 6)(y - 2) =  y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x =  x2 + x - =  x2 + 2x - x - =  x(x + 2) – (x + 2) =  (x + 2)(x - 1) =  x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x  x  x  x  x        2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x2 x 3 x4 x5 x6 (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ)  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      2008 2007 2006 2005 2004 2003  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003  ( x  2009)( 1 1 1      )  (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Do :       2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) Vì 1 ;  ;  2008 2005 2007 2004 1  2006 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 =  x = -2009 E Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) I 1 B  EDF vuông cân  ADE =  CDF (c.g.c)   EDF cân D Mặt khác:  ADE =  CDF (c.g.c)  Eˆ  Fˆ2 C F Chứng minh Ta có O Mà Eˆ  Eˆ  Fˆ1 = 90  Fˆ2  Eˆ  Fˆ1 = 90 0 A D EDF = 90 Vậy  EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng  CO trung trực BD  Mà  EDF vuông cân  DI = Tương tự BI = EF EF  DI = BI B  I thuộc dường trung trực DB  I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) = 2(x – a a a ) +  2 E (0,25đ) Ta có DE nhỏ  DE2 nhỏ  x =  BD = AE = C A Áp dụng định lý Pitago với  ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 D a  D, E trung điểm AB, AC b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ (0,25đ) a (0,25đ) (0,25đ) 1 1 AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB = – (AD – AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ)  2 4 8 Ta có: SADE = Vậy SBDEC = SABC – SADE  AB2 AB2 – = AB2 không đổi 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) (0,25đ) S 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nh©n tư: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 5x Bài 2: Tìm đa thøc A, biÕt r»ng: x  16 A x x2 Bài 3: Cho phân thức: 5x 2x 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : x2 x x x( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? Biểu điểm - Đáp án Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Biểu điểm Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x(4 x  16 x[(2 x)  x(2 x  4)(2 x  4) x.2( x  2).2( x  2)     4( x  2)  x  x( x  2) x( x  2) x  2x x 2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1)   2x  vµ x +   x  vµ x  -1 b) Rót gän: (1 ®iĨm) 5x  5( x  1) (0,5 ®iĨm)   2 x  x x( x  1) x 5 (0,25 ®iÓm)    2x  x  2x 5 Vì thoả mãn điều kiện hai tam giác nên x 2 Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x x(x  2) - (x - 2) - Gi¶i:  x2 + 2x – x +2 = 2;  x( x  2) x( x  2) (0,25 điểm) x= (loại) x = - VËy S =  1 b)  x2 – < x2 + 4x +  x2 – x2 – 4x < +  - 4x < 16 x> - Vậy nghiệm phơng trình lµ x > - Bµi 5: – Gäi sè ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13  57x – 57 – 50x = 13  7x = 70  x = 10 (thoả mãn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ABC ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung  ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc) b) áp dụng pitago vuông ABC AB  AC = 15  20 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 ABC ~ HBA nên   hay   HB HA BA HB HA 15 20.05  AH =  12 (cm) 25 ta cã : BC = 1® 1® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® 1® 1® BH = 1® 15.15  (cm) 25 HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25  BH    3,5(cm) 2 1 SAHM = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM – BH = - Vẽ hình: 1đ A 1đ B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x  17 x  21 x    4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1    x y z yz xz xy   Tính giá trị biểu thức: A  x  yz y  2xz z  2xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H HA' HB' HC'   trực tâm a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB  BC  CA)  c) Chứng minh rằng: AA'2  BB'2  CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 điểm ) ( b) Tính x = 2007 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 =  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0,25điểm ) x x x x x  (2 – 4) – 8(2 – 4) =  (2 – 8)(2 – 4) = 0,25điểm ) x x x x  (2 – )(2 –2 ) =  –2 = –2 = 0,25điểm ) x x  = =  x = 3; x = 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): xy  yz  xz 1   xy  yz  xz   yz = –xy–xz   0 xyz x y z 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) 0,25điểm ) Do đó: A  (1 ( ( ( ( ( ( ( yz xz xy   ( x  y)(x  z) ( y  x )( y  z) (z  x )(z  y) ( 0,25điểm ) Tính A = điểm ) ( 0,5  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  (0,25điểm) N,  a, b, c, d  9, a  Ta có: abcd  k với k, m  N, 31  k  m  100 (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m (0,25điểm)  abcd  k abcd  1353  m  (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41  m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37  k = 56 (0,25điểm) Kết (0,25điểm) luận k = abcd = 3136  Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA'   a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: S HAB HC' SHAC HB'   ; S ABC CC' SABC BB' A C’ H N x B’ M I A’ C B D (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC      1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC   1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI AN.CM  BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm) -  BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 2  AB + AD  (BC+CD) (0,25điểm) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 (0,5điểm ) (0,5điểm ) (AB  BC  CA) 4  AA'2  BB'2  CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC ABC u) Đề S 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyªn tè b, B = n  3n 2n 6n Có giá trị số nguyên n2 D= n5-n+2 số ph-ơng Chứng minh : c, Câu 2: (5®iĨm) (n  2) a, a b c    biÕt abc=1 ab  a  bc  b  ac  c  b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a      b2 c2 a2 b a c c, Câu 3: (5điểm) a, Giải ph-ơng trình sau: x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên d-ơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đ-ờng chéo.Qua kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: 1   AB CD EF c, Gäi Klµ điểm thuộc OE Nêu cách dựng đ-ờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Câu Nội dung giải (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 A=5 b, (2điểm) B=n2+3n- n B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 -ớc tự nhiên Câu n2+2=1 giá trị thoả mãn (5điểm) Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên a, Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c, (2®iĨm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n  4  5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2  (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 VËy D chia d- Do ®ã sè D có tận 7nên D số ph-ơng Vậy giá trị n để D số ph-ơng a b c    ab  a  bc  b  ac  c  ac abc c   abc  ac  c abc  abc  ac ac  c  ac abc c abc  ac  =    1  ac  c c   ac ac  c  abc  ac  0,5 0,5 0,5 0,5 a, (1®iĨm) b, (2®iĨm) a+b+c=0  a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0  a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc)  a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì Câu a+b+c=0 (5điểm) a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Từ (1)và(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2điểm) x=y áp dụng bất đẳng thức: x +y  2xy DÊu b»ng a2 b2 a b a    ; b c c b c 2 c b c b b    2 a c a a c 2 a2 c2 a c c    ; b a b b a 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Céng tõng vÕ ba bất đẳng thức ta có: a b2 c2 a c b 2(   )  2(   )  b c a c b a 2 a b c a c b   2   b c a c b a x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 x  214 x  132 x  54  (  1)  (  2)  (  3)  86 84 82 x  300 x  300 x  300    0 86 84 82 1   (x-300)       x-300=0  x=300 VËy S = 300  86 84 82  a, (2®iĨm) 1,0 0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 0,5  (64x -16x+1)(8x -2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 2 Đặt: 64x -16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72  k =72,25  0,5 C©u (5điểm) k= 8,5 Với k=8,5 tacó ph-ơng trình: 64x2-16x-8=0  (2x-1)(4x+1)=0;  0,5 x= ; x  0,5 Với k=- 8,5 Ta có ph-ơng trình: 64x -16x+9=0  (8x-1) +8=0 v« nghiƯm 2  1  2  VËy S =  , 0,5 c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 =  (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0  (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên d-ơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph-ơng trình có nghiệm d-ơng (x,y)=(3;1) B a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBAA (cùng đáy đ-ờng cao)  S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O E F Hay SAOD = SBOC I N 0,5 0,5 0,5 M D 0,5 C 1,0 0,5 EO AO b, (2điểm) Vì EO//DC Mặt khác AB//DC Câu DC AC (5®iĨm)  AB  AO  AB  AO  AB  AO  EO  AB DC OC AB  BC AO  OC AB  BC AC DC AB  DC EF AB AB  DC 1        DC AB  DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +Kẻ đ-ờng thẳng KN đ-ờng thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2)  SDEKN=SKFN 1,0 1,0 Bộ đề thi học sinh giỏi Toỏn lp www.PNE.edu.vn Đề số 1: (lớp 8) Bài 1: (2 ®iĨm) Cho A  (0,8.7  0.82 ).(1,25.7  1,25)  31,64 B (11,81  8,19).0,02 : 11,25 Trong hai sè A vµ B sè lớn lớn lần ? b) Sè A  101998  cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? Câu 2: (2 điểm) Trên quãng đ-ờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quãng đ-ờng ng-ời tới lúc gặp ? Câu 3: a) Cho f ( x)  ax2  bx c với a, b, c số hữu tØ Chøng tá r»ng: f (2) f (3)  BiÕt r»ng 13a  b  2c  b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A x có giá trị lớn Câu 4: (3 điểm) Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B E nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F C nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ số tận cña 18 A  195 19  29 Các tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lp www.PNE.edu.vn Đề số Bài 1: (2 điểm) 1) Chøng minh r»ng nÕu P vµ 2P + số nguyên tố lớn 4P + hợp số 2) Hãy tìm BSCNN ba số tự nhiên liên tiếp Bài 2: (2 điểm) Hãy thay chữ số vào chữ x, y N  20 x0 y04 ®Ĩ N chia hết cho 13 Bài 3: (2 điểm) Vòi n-ớc I chảy vào đầy bể 30 phút Vòi n-ớc II chảy vào đầy bể 11 40 phút Nếu vòi n-ớc I chảy vào giờ; vòi n-ớc II chảy vào 25 phút l-ợng n-ớc chảy vào bể vòi nhiều Khi l-ợng n-ớc bể đ-ợc phần trăm bể Bài 4: (2 điểm) Bạn Huệ nghĩ số có ba chữ số mà viết ng-ợc lại đ-ợc số có ba chữ số nhỏ số ban đầu Nếu lấy hiệu số lớn số bé hai số đ-ợc 396 Bạn Dung nghĩ số thoả mãn điều kiện Hỏi có số có tính chất trên, tìm số Bài 5: (2 điểm) Chứng minh rằng: số có chẵn chữ số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng vị trí chẵn tổng chữ số đứng vị trí lẻ, kể từ trái qua phải chia hết cho 11 (Biết 102n vµ 102n 1  chia hÕt cho 11) Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp www.PNE.edu.vn Đề số (t0án 8) Bài 1: (3 điểm)   x2  1  Cho biÓu thøc A      :  x    x  3x   27  3x a) Rót gän A b) T×m x để A < -1 c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Giải ph-ơng trình: a) 6y  y  10 y  y  1  y  6 x x 3 x 1    2  b) x   3 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần l-ợt lúc giờ, giờ, giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h Hái lóc mÊy giê ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD tõ ®iĨm P thc ®-êng chÐo AC ta dùng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chøng minh: a) BD // MN b) BD vµ MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm) Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + số ph-ơng ... Đình Mạo ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2013-2014 Thời gian : 120 phút ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài : (2đ) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a  8a  14a  8a  15 b/ Chứng minh biểu thức 10 n  18n ... UBND HUYỆN ĐẠI LỘC PHÒNG GD&ĐT ĐỀ ĐỀ NGHỊ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS Năm học 2013-2014 ĐỀ THI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 150 phút - Khơng tính thời gian giao đề Bài (4 điểm)   x3  ... PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (NĂM HỌC 2013 - 2014) Mơn: Tốn (Thời gian: 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Họ tên GV đề: Phạm Thanh Bình Đơn vị: Trường THCS Lý Thường Kiệt ĐỀ BÀI Bài 1(5đ) a)