THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phát triển lực thực hành cho học sinh THCS thông qua việc tiếp cận số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức vào toán thực tế Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn trường THCS Tác giả: Họ tên: Nguyễn Hữu Tường Nam (nữ): Nam Ngày tháng/năm sinh: 26/09/1977 Trình độ chuyên mơn: Đại học tốn – Thạc sĩ quản lý giáo dục Chức vụ, đơn vị công tác: Hiệu trưởng - Trường THCS Hồng Dụ, Ninh Giang, Hải Dương Điện thoại: 0946590555 0976787199 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trường THCS Hồng Dụ, xã Hồng Dụ, huyện Ninh Giang, tỉnh Hải Dương Số điện thoại: 03203767341 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Hồng Dụ, xã Hồng Dụ, huyện Ninh Giang, tỉnh Hải Dương Số điện thoại: 03203767341 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Giáo viên phải biết phân loại đối học sinh chọn tập phù hợp cho đối tượng học sinh phân loại Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Sáng kiến áp dụng từ năm học 2013 – 2014 đến HỌ TÊN TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN NGUYỄN HỮU TƯỜNG XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÓM TẮT NỘI DUNG SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Qua thực tế giảng dạy, qua công tác khảo nghiệm khả phát triển tư lực thực hành mơn tốn nói riêng sống nói chung học sinh thơng qua nhóm kiến thức liên quan đến bất đẳng thức; khả tìm phương án tối ưu cho vấn đề cần giải học sinh THCS Tơi nhận thấy phải tìm hiểu sâu làm tốt việc “Phát triển lực thực hành cho học sinh THCS thông qua việc tiếp cận số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức vào toán thực tế” Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến - Điều kiện áp dụng sáng kiến: Nhà trường có đủ sở vật chất đáp ứng cho việc tổ chức hoạt động học tập cho thầy trò như: Sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu có liên quan, hệ thống máy tính, máy chiếu phần mềm hỗ trợ học tập hệ thống văn hướng dẫn cấp - Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2013 – 2014 - Đối tượng áp dụng sáng kiến: Học sinh THCS khối 8, khối Nội dung sáng kiến 3.1 Tính , tính sáng tạo sáng kiến - Xác định hệ thống kiến thức lý thuyết, số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đơn giản giúp em học sinh hình thành cho cách tiếp cận chứng minh bất đẳng thức cách cởi mở hơn, với số ứng dụng bất đẳng thức vào toán thực tế Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu số phương pháp hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổi tương đương, dùng bất đẳng thức biết, phương pháp phản chứng, dùng tính chất bất đẳng thức, dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa số tự, dùng bất đẳng thức cạnh tam giác số tập vận dụng như: Ứng dụng tìm cực trị; Ứng dụng giải phương trình; Ứng dụng giải phương trình nghiệm nguyên; Ứng dụng giải hệ phương trình; Ứng dụng điều kiện nghiệm phương trình bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức… nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, qua phát huy tính tích cựu, lòng say mê học tập mơn tốn nói riêng, bước phát triển tư duy, bước hình thành phát triển cho học sinh lực thực hành, khả tìm phương án tối ưu để giải vấn đề từ bước hồn thiện nhân cách cho học sinh nói chung Qua qua tạo cho học sinh lòng ham mê học hỏi, hình thành phát triển lực thực hành cho học sinh - Đưa phương thức phương pháp tiếp cận lời giải cho số dạng tốn bất đẳng thức từ tạo cho học sinh hình thành nên cho học sinh định hướng cho việc giải vấn đề thực tế liên quan đến bất đẳng thức chương trình tốn trường trung học sở - Học sinh dễ tiếp thu kiến thức ghi nhớ kiến thức lâu dài, học sinh biết vận dụng kiến thức để giải tình gặp phải sống có liên quan đến kém, tính so sánh đến giá trị đặc biệt vấn đề - Học sinh có ý thức nghiên cứu vấn đề có tính hệ thống, tính kế hoạch 3.2 Khả áp dụng sáng kiến: - Nội dung sáng kiến thiết thực, có khả áp dụng rộng rãi nhà trường - Sáng kiến áp dụng việc dạy học chương trình đại trà, chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi đặc biệt áp dụng trường hợp nghiên cứu chuyên sâu chuyên đề bất đẳng thức 3.3 Lợi ích sáng kiến Ngày nay, sống xã hội động, người tiếp cận với tiến khoa học kỹ thuật Khoa học cơng nghệ nhu cầu vơ hạn người, ngày phát triển nhanh chóng, đặc biệt cong người phát triển cần tìm cách giải vấn đề cách tối ưu Tuy nhiên, bên cạnh tiến ấy, phải đối diện với vấn đề lớn có tầm ảnh hưởng đến phát triển hệ người sau em học sinh đôi chỗ phần lực thực hành, em học tập làm việc đôi chỗ thiếu tính hệ thống nên kết học tập, hiệu lao động chưa thật cao Với tất yếu tố đó, thiết nghĩ việc phát triển lực thực hành nói riêng, lực học tập làm việc cho hệ học sinh vấn đề đặc biệt quan trong nhà trường Do đó, tối khuyến khích em học tập thơng qua việc tiếp cận số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng thực tiễn để qua xóa tường vơ hình việc em tiếp cận đế kiến thức bất đẳng thức Tạo cho em học sinh lòng say mê môn tạo cho em làm nhiều, học nhiều, bước hình thành phát triển lực thực hành cho em Khảng định giá trị, kết đạt sáng kiến Qua việc áp dụng đề tài vào trình giảng dạy năm liền nhận thấy kết mà học sinh đạt việc thai gian thi, khả thực hành giải toán cải thiện nhiều Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến - Tăng cường tổ chức chuyên đề, buổi hội thảo việc định hướng, phân loại dạng toán để giúp em học sinh dễ học hơn, dễ nhớ hơn, từ khích lệ em nhiều việc học tập lao động - Đào tạo, bồi dưỡng đội ngũ giáo viên dạy mơn tốn có trình độ chuyên sâu để tổ chức tốt hoạt động học tập học sinh - Tạo điều kiện cho học sinh tích cực tham gia nhiều thi sân chơi trí tuệ, tổ chức tốt cho học sinh THCS thi giải toán mạng thơng qua tạo cho học sinh thói quen tự học nhu cầu học tập thân Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu số phương pháp hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổi tương đương, dùng bất đẳng thức biết, phương pháp phản chứng, dùng tính chất bất đẳng thức, dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa số tự, dùng bất đẳng thức cạnh tam giác số tập vận dụng như: Ứng dụng tìm cực trị; Ứng dụng giải phương trình; Ứng dụng giải phương trình nghiệm nguyên; Ứng dụng giải hệ phương trình; Ứng dụng điều kiện nghiệm phương trình bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức… nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, qua phát huy tính tích cựu, lòng say mê học tập mơn tốn nói riêng, bước phát triển tư duy, bước hình thành phát triển cho học sinh lực thực hành, khả tìm phương án tối ưu để giải vấn đề từ bước hồn thiện nhân cách cho học sinh nói chung Tính đề tài giúp học sinh từ việc hệ thống phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng bất đẳng thức để đạt việc phát triển lực thực hành giải tốn cho học sinh THCS MƠ TẢ SÁNG KIẾN Tốn học mơn khoa học tự nhiên, tốn học có vai trò quan trọng lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng phong phú, toán bất đẳng thức toán khó Để giải tốn bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm, tính chất bất đẳng thức, phải nắm phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng chúng Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, có phải phối hợp nhiều phương pháp cách linh hoạt Bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng nhiều vào dạng tốn giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức sử dụng nhiều ôn tập, ôn thi học sinh giỏi thi vào cấp đặc bịêt thi vào trường chuyên Việc vận dụng lính hoạt trường học xẩy toán học vào thực tế, khả phân tích vấn đề thực tế để so sánh khả xẩy điều kiện học sinh nói riêng điều kiện xã hội nói chung… Vì lý học sinh cần thiết phải nắm kiến thức bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức đặc biệt nhứng trường hợp đạt giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức,… để qua em thấy so sánh, quy luật so sánh quan hệ toán học, thấy quan hệ qua lại gữi yếu tố, khả xảy ra, trường hợp đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… I Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 1.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu thực trạng khả thực hành, vận dụng kỹ thực hành vào thực tiễn học sinh thông qua phần kiến thức bất đẳng thức, chứng minh bật đẳng thức ứng dụng vào thực tế từ đề xuất số giải pháp góp phần phát triển lực thực hành cho học sinh THCS 1.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống số vấn đề lý luận kiến thức bất đẳng thức - Nghiên cứu khảo sát thực trạng việc nắm bắt phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng bất đẳng thức việc liên hệ toán bất đẳng thức vào thực tiễn sống - Đề xuất số biện pháp nâng cao khả giải tốn bất phương trình, ứng dụng bất phương trình chương trình tốn THCS - Phân tích đưa số khuyến nghị giáo viên học sinh 1.3 Giới hạn nghiên cứu Tôi khảo sát 50 học sinh lớp 8, 35 học sinh lớp 20 giáo viên dạy toán THCS 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Câu hỏi nghiên cứu/ giả thuyết nghiên cứu * Câu hỏi nghiên cứu - Việc thực hành giải toán, khả suy luận toán học, kỹ phấn tích, phán đốn vận dụng trường hợp xẩy toán học giải vấn đề đưa trương trình tốn nói chung, phần kiến thức bất đẳng thức nói riêng tốt chưa?, có linh hoạt chưa? - Hãy hệ thống kiến thức bất đẳng thức qua hệ giữ chúng? - Có ban nhiêu phương pháp chứng minh bất đẳng thức, đánh giá phương pháp? - Phần kiến thức bất đẳng thức có vận dụng vào thực tế? - Học song phần kiến thức bất đẳng thức ứng dụng chúng giúp cho em tìm cách giải tình thực tế? * Giả thuyết nghiên cứu - Trong chương trình tốn THCS thường sử dụng tính chất, số bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức Nhưng phương pháp mà em học sinh biết đơi chỗ chưa giải hết tình đưa thực tế, tập yêu cầu tư logic cao… - Việc yêu cầu học sinh, kỹ học sinh có thơng qua việc học phần kiến thức bất đẳng thức chương trình tốn THCS mạng tính áp dụng máy móc, chưa phát triển khẳ tư sâu, khả vận dụng linh hoạt đặc biệt vận dụng kiến thức học vào việc tìm kiếm ý tưởng, giải pháp tối ưu để giải vấn đề gặp phải tình thực tế sống là: + Thiên việc áp dụng máy móc kiến thức sách giáo khoa + Phương pháp đưa chư pháp huy hết khả vận dụng học sinh + Chưa lập mối qua hệ giàng buộc kiến thức tốn học tình thực tế + Giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm việc đưa kiến thức toán học vào thực tế sống - Nếu học sinh có hệ thống phương pháp học tập phần kiến thức liên quan đến bất đẳng thức tốt em thấy vấn đề sống có khả xẩy ra, khả xảy nhiều nhất, khả xảy điều kiện nào… 1.4.2 Phương pháp nghiên cứu Tôi sử dụng phối hợp phương pháp sau để triển khai nội dung nghiên cứu đề tài 1.4.2.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận Mục đích: Nhằm thu thập thơng tin vấn đề có liên quan làm sở lý luận cho đề tài Công cụ: + Thông tin, số liệu, tài liệu giảng dạy phần kiến thức toán học bậc THCS + Thông tin, lý luận phát triển lực + Các nghiên cứu, kinh nghiệm đồng nghiệm đề cập, vận dụng vào thực tế giảng dạy Cách tiến hành: Tìm hiểu thu thập, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa tài liệu có liên quan 1.4.2.2 Phương pháp điều tra phiếu (ankét) Mục đích: Nhằm thu thập ý kiến giáo viên học sinh thực trạng học tập, vận dụng kiến thức bất đẳng thức vào thực tế đặt biệt vận dụng cách tinh tế kiến thức bất đẳng thức vào tư suy luận thực tế Phương tiện: + Phiếu điều tra học sinh + Phiếu trưng cầu ý kiến giáo viên Cách tiến hành: Thiết kế bảng hỏi; phát cho giáo viên dạy toán, học sinh danh sách cần điều tra phiếu điều tra đề nghị họ trả lời toàn câu hỏi đưa phiếu Hướng dẫn cách trả lời nội dung phiếu (nếu người trả lời thắc mắc) Trong phiếu có vài câu hỏi mở Sau tổng hợp, phân tích so sánh đưa đánh giá lại làm sở cho việc điều tra thực trạng 1.4.2.3 Phương pháp thử nghiệm Mục đích: Thử nghiệm phương pháp trắc nghiệm khách quan để đánh giá khả nặng vận dụng kiến thức bất đẳng thức vào giải tình thực tế học sinh THCS Phương tiện: Bài kiểm tra chương, kiểm tra học kì, kiểm tra học sinh giỏi cấp THCS Cách tiến hành: Kiểm tra phân tích lại tồn làm học sinh kiểm tra học sinh có phần câu hỏi, kiến thức vận dụng bất đẳng thức 1.4.2.4 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Mục đích: Tham khảo ý kiến đóng góp cho đề tài xây dựng phiếu điều tra thực trạng; lập bảng trọng số, soạn câu hỏi, xử lý, phân tích liệu, điều chỉnh hoàn thiện trắc nghiệm xây dựng để test có độ giá trị tin cậy cao Phương tiện: + Phiếu điều tra giáo viên học sinh + Đề kiểm tra kiến thức chương, năm học nội dung vận dụng vào thực tế Cách tiến hành: Trong trình thiết kế phiếu điều tra, xây dựng, soạn thảo câu hỏi, … tơi có xin ý kiến số giáo viên giầu kinh nghiệm giảng dạy kính nghiệm sống… 1.4.2.5 Phương pháp vấn Mục đích: Nhằm kiểm chứng theo xắc xuất từ – 9% kết qua thu phiếu điều tra, hỗ trợ cho phương pháp điều tra phiếu Phương tiện: + Các câu hỏi ý kiến giáo viên, học sinh + Ghi chép thu băng qua trình đàm thoại Cách tiến hành: Đưa câu hỏi trò chuyện với cán giáo viên học sinh để biết ý kiến họ thực trạng học tập, thực hành, vận dụng phần kiến thức bất đẳng thức vào thực tiễn học sinh THCS 1.4.2.6 Phương pháp xử lý số liệu Mục địch: Từ phiếu điều tra thu thập được, tổng hợp, xử lý phân tích dưc liệu để lập nên bảng biểu để đưa kết nghiên cứu, qua rút kết luận đưa đề xuất Phương tiện: - Sử dụng máy tính, bảng số liệu thống kê bảng tính Cách tiến hành: Từ sổ kết thu tổng hợp số liệu phương pháp thống kê - Xử lý số liệu phần mềm Excel, bảng công thức - Phân tích số liệu biểu đồ - So sánh kết thu lực thí sinh độ khó câu hỏi từ rút nhận xét chung nhận xét cụ thể câu hỏi So sánh khác biệt từ số liệu thu nhóm đối tượng thuộc nhóm đối chứng nhóm thử nghiệm 10 ⇒ x − 2 x + 22 ≤ ⇒ ( x − 2)2 ≤ ⇒x= ⇒x=± Nếu x = y = 2 Nếu x = - y = -2 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x=    y = −  x=2    y = −2 4.4 Ứng dụng giải phương trình nghiệm ngun Ngồi có số ứng dụng khác bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo giải, học sinh phải nắm kiến thức bất đẳng thức vận dụng Bài 4.4.1 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 + + x y z =2 Giải Không tính tổng quát, ta giả sử x ≥ y ≥ z, ta có: 1 2= x+ y+z ≤ ⇒ 2z ≤ 3, mà z nguyên dương z Vậy z = Thay z = vào phương trình ta được: 1 + =1 x y 1 Theo giả sử, x ≥ y, nên = x + y ≤ y Vì y nguyên dương nên y = y = Với y = khơng thích hợp Với y = ta có: x = Vậy (2 ; ; 1) nghiệm phương trình Hốn vị số trên, ta nghiệm phương trình là: (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) 64 Bài 4.4.2 Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ xy + y + z − Giải Vì x, y, z số nguyên nên x + y + z ≤ xy + y + z − ⇔ x + y + z − xy − y − z + ≤  ⇔  x2 − xy +    y ÷  y + − y + ÷+ z − z + ≤ ÷ ÷     2 2 ( y y ⇔  x − ÷ +  − 1÷ + ( z − 1) ≤ 2  2  Mà  x − y ÷ +  y − 1÷ + ( z − 1) ≥ 2  2  ) (*) ∀x, y ∈ R 2 y y ⇔  x − ÷ +  − 1÷ + ( z − 1) = 2  2  y  x − =  x =1   y ⇔  −1 = ⇔  y = 2   z =1  z −1 =    x =1  Các số x, y, z phải tìm  y =   z =1 Bài 4.4.3 Tìm cặp số nguyên thoả mãn phương trình x+ x = y (*) Giải (*) Với x < 0, y < phương trình khơng có nghĩa (*) Với x > 0, y > Ta có x + x = y ⇔ x + x = y2 65 ⇔ x = y2 − x > Đặt Ta có x =k (k nguyên dương x nguyên dương ) k.(k + 1) = y Nhưng k < k ( k + 1) < ( k + 1) ⇒ k < y < k +1 Trong k k + hai số nguyên dương liên tiếp nên không tồn số nguyên dương  x = Vậy phương trình có nghiệm là:   y = V Bài tập áp dụng Bài 5.1 Cho hai số x y mà x + y = Chứng minh rằng: a) x2 + y2 ≥ b) x4 + y4 ≥ Bài 5.2 Cho a,b, c, d,e số thực chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = a(b + c + d + e) Bài 5.3 Cho hai số dương x, y x3 + y3 = x - y CMR: x2 + y2 2n + Bài 5.11 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a −b b−c c − a + + < a+b b+c c+a Bài 5.12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ y trường hợp sau: a) y = 2x2 − 6x − x2 − 2x + b) (y – 3)x2 – 2(y + 1)x + 2y + = c) 3x2 + (2y – 3)x + 2y2 + 4y + 11 = VI Lưu ý áp dụng sáng kiến Qua việc hướng dẫn học sinh làm tập cho thấy phần kiến thức đề tài phần kiến thức mở giáo viên đưa vào cuối luyện tập, tự chọn nên nội dung học sinh phức tạp, khó hình dung, cần đưa kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó,kết hợp ôn tập, giao tập nhà, kiểm tra học sinh … Sau hướng đẫn xong nội dung chuyên đề cần cho học sinh kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện kỹ làm tập cho học sinh 67 Cần đưa nội dung vào dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức cách thụ động mà đạt kết không mong muốn VII Phạm vi áp dụng Đề tài: “Phát triển nâng lực thực hành cho học sinh thông qua việc tiếp cận số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức vào toán thực tế học sinh THCS” áp dụng cho học sinh lớp 8, thích hợp học sinh lớp đặc biệt đối tượng học sinh giỏi KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ VIII Kết luận – Khuyến nghị 8.1 Kết luận 8.1.1 Nghiên cứu lý luận cho thấy - Bất đẳng thức kiến thức quan trọng chương trình tốn trường THCS, hỗ trợ cho việc hồn thiện kiến thức tốn bậc THCS nói riêng hình thành hồn thiện phát triển tư cho học sinh nói chung Bất đẳng thức tạo điều kiện cho học sinh phát 68 huy khả tìm tòi, khám phá với phát triển khả phân tích tổng hợp Bất đẳng thức tạo điều kiện trực tiếp cho học sinh huy động lực nhận thức, nâng cao khả tự học, rèn luyện kỹ học tập thực hành Việc học tốt bất đẳng thức giúp phát huy tối đa vai trò mơn tốn nói riêng việc dạy học nói chung việc nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo học sinh trường THCS 8.1.2 Kết đạt sau áp dụng sáng kiến Qua việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy cho học sinh thấy học sinh xác định loại toán cách làm, nhiều em học sinh làm tập bất đẳng thức có hướng thú học toán Kết điều tra thực trạng sau áp dụng sáng kiến Khi giảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức thấy học sinh nhiều lúng túng việc làm tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt học sinh học mức độ trung bình Thực việc kiểm tra khảo sát học sinh lớp 8, kiến thức bất đẳnh thức trước áp dụng đề tài thu kết sau: Bảng 6.1.1: Điều tra việc nhận biết bất đẳng thức học sinh Lớp Sĩ số 8A 8B 9A 9B 37 41 43 42 Nhận biết Số lượng % 28 75,7 33 80,5 41 95,3 38 90,5 Nhận biết sai Số lượng % 24,3 19,5 4,7 9,5 Bảng 6.1.2: Điều tra việc chứng minh bất đẳng thức Lớp Sĩ số Biết cách chứng minh Số lượng % 69 Không biết chứng minh Số lượng % 8A 8B 9A 9B 37 41 43 42 25 29 32 30 67,6 70,7 74,4 71,4 12 12 11 12 32,4 29,3 25,6 28,6 Bảng 6.1.3: Điều tra việc sử dụng bất đẳng thức vào toán cực trị Lớp Sĩ số 8A 8B 9A 9B 37 41 43 42 Biết cách sử dụng Số lượng % 28 75,7 33 80,5 35 81,4 34 81 Không biết sử dụng Số lượng % 24,3 19,5 18,6 19 Bảng 6.1.4: Điều tra việc sử dụng bất đẳng thức vài giải phương trình hệ phương trình Biết cách làm Không biết làm Số lượng % Số lượng % 8A 37 21 56,8 16 43,2 8B 41 26 63,4 15 36,6 9A 43 28 65,1 15 34,6 9B 42 25 59,5 17 40,5 Bảng 6.1.5: Điều tra hào hứng học sinh học bất đẳng thức Lớp Sĩ số Lớp Sĩ số 8A 8B 9A 9B 37 41 43 42 Thích Số lượng 35 40 41 39 % 94,6 97,6 95,3 92,9 Khơng thích Số lượng % 5,4 2,4 4,7 7,1 Biểu đồ 6.1.1: Việc học sinh làm tốt toán bất đẳng thức cụ thể theo biểu đồ sau: 70 Biểu đồ 6.1.2: Sự hứng thú học sinh học bất đẳng thức 71 * Kết quả: Sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy thu kết đáng ghi nhận: - Tỉ lệ học sinh biết cách làm dạng toán bất đẳng thức tăng so với trước áp dụng sáng kiến: + Khối 8: Tăng 59,64% + Khối 9: Tăng 66,81% - Tỉ lệ học sinh có hứng thú học dạng toán bất đẳng thức tăng so với trường áp dụng sáng kiến: + Khối 8: Tăng 84,7% + Khối 9: Tăng 80% 8.2 Khuyến nghị 8.2.1 Đối với Sở GD&ĐT - Xây dựng kế hoạch đào tạo, bồi dưỡng cho đội ngũ giáo viên theo chu kì theo chun đề nhằm khơng ngừng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ, lực chun môn kĩ sư phạm cho giáo viên - Tham mưa với giáo dục đặt hàng để phát hành nhiều tài liệu tham khảo dạng tốn liên qua đến bất phương trình, bất đẳng thức 72 - Hàng năm đề kiểm tra khảo sát chất lượng, đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào trường THPT cần có nội dung bất đẳng thức, để qua định hướng cho giáo viên học sinh nhu cầu nghiên cứu tốn bất đẳng thức 8.2.2 Đối với Phòng GD&ĐT - Tạo điều kiện cho cán bộ, giáo viên tồn huyện có nhiều điều kiện thuận lợi việc tham gia lớp học bồi dưỡng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ mơn tốn nói riêng chun mơn nghiệp vụ sư phạm nói chung - Tạo điều kiện cho giáo viên phát huy công tác tự học thông qua việc tham gia tổ chức chuyên đề bàn bất đẳng thức nói riêng chương trình tốn nói chung - Khi đề kiểm tra đại trà, kiểm tra khảo sát đề thi học sinh giỏi cần cho nhiều nội dung bất đẳng thức để qua định hướng cho giáo viên học sinh nhu cầu nghiên cứu toán bất đẳng thức 8.2.3 Đối với trường THCS - Tạo điều kiện cử cán giáo viên học nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ - Lãnh đạo nhà trường cần tăng cường mua bổ sung sách, tài liệu tham khảo bất đẳng thức nói riêng phân mơn khác nói chung - Chỉ đạo tổ khoa học tự nhiên, nhóm chun mơn tốn cần nghiên cứu nghiều chuyên đề bất đẳng thức - Cần có sân chơi tri thức giúp học sinh có lòng ham mê học tập rèn luyện 8.2.4 Đối với giáo viên học sinh: 8.2.4.1 Đối với giáo viên: - Giáo viên tốn nói riêng giáo viên mơn khác nói chung cần có tinh thần ý thức tự học sáng tạo để trở thành gương sáng cho học sinh noi theo 73 - Giáo viên toán cần nghiên cứu sâu tổng hợp nhóm kiến thức phương pháp nghiên cứu tương ứng bất đẳng thức để định hướng giúp học sinh có phương pháp học tốt lòng đam mê phần bất đẳng thức 8.4.2.2 Đối với học sinh: - Học sinh cần nắm tính chất bất đẳng thức chương trình tốn THCS - Biết phân loại dạng toán phương pháp tương ứng - Chịu khó tìm tòi phát triển tốn có sẵn thành tốn tương tự nâng cao 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức – Nguyễn Vũ Thanh 2) 500 toán chọn lọc bất đẳng thức (tập 1) – Phạm Huy Khải 3) 500 toán chọn lọc bất đẳng thức (tập 2) – Phạm Huy Khải 4) Phương pháp tìm GTNN GTLN – Phạm Huy Khải 5) Các toán chọn lọc bất đẳng thức – Vũ Hoàng Lân 6) Tuyển tập 180 toán bất đẳng thức – Võ Đại Mau 7) 250 toán đại số - Võ Đại Mau 8) Phương pháp bất đẳng thức – Trần Văn Thương 9) Phương pháp giải 35, 36 đề thi vào cấp III bồi dưỡng học sinh giỏi – Võ Đại Mau 10) Những tốn hay khó – Nguyễn Đễ 11) Các đề vô địch 19 nước – Nguyễn Đễ 12) Toán nâng cao chuyên đề đại số – Vũ Dương Thụy 13) Toán bồi dưỡng học sinh đại số – Vũ Hữu Bình 14) Toán nâng cao phát triển đại số – Vũ Dương Thụy 15) Toán nâng cao phát triển đại số – Vũ Dương Thụy 16) Giáo trình đại số sơ cấp trường Đại học sư phạm I Hà Nội – Đỗ Đức Thái 75 MỤC LỤC THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN TĨM TẮT NỘI DUNG SÁNG KIẾN MÔ TẢ SÁNG KIẾN I Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 1.1 Mục đích nghiên cứu 1.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 1.3 Giới hạn nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Câu hỏi nghiên cứu/ giả thuyết nghiên cứu 1.4.2 Phương pháp nghiên cứu 1.4.2.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận 1.4.2.2 Phương pháp điều tra phiếu (ankét) 1.4.2.3 Phương pháp thử nghiệm 1.4.2.4 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia 1.4.2.5 Phương pháp vấn 10 1.4.2.6 Phương pháp xử lý số liệu 10 1.4.3 Phạm vi, thời gian khảo sát 11 1.4.3.1 Phạm vi nghiên cứu 11 1.4.3.2 Thời gian khảo sát: 11 1.5 Kết nghiên cứu thực trạng 11 II Các kiến thức cần nhớ 14 2.1 Một số khái niệm bất đẳng thức 14 2.2 Một số tính chất bất dẳng thức: 14 2.3 Một số bất đẳng thức thông dụng: 17 III Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 76 17 3.1 Phương pháp 1: Dùng định nghĩa 17 3.2 Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương 29 3.3 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc 27 3.4 Phương pháp 4: Dùng tính chất bất đẳng thức: 32 3.5 Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức cạnh tam giác 35 3.6 Phương pháp 6: Chứng minh phản chứng 37 3.7 Phương pháp 7: Đổi biến số 41 3.8 Phương pháp 8: Dùng phép quy nạp toán học 43 3.9 Phương pháp 9: Chứng minh bất đẳng thức hình học phẳng 46 3.10 Phương pháp 10: Dùng tam thức bậc hai 51 IV Một số ứng dụng bất đẳng thức 52 4.1 Ứng dụng tìm cực trị 52 4.2 Ứng dụng giải phương trình 58 4.3 Ứng dụng giải hệ phương trình: 61 4.4 Ứng dụng giải phương trình nghiệm nguyên 63 V Bài tập áp dụng 66 VI Lưu ý áp dụng sáng kiến 67 VII Phạm vi áp dụng 67 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ VIII Kết luận – khuyến nghị 68 68 8.1 Kết luận 68 8.1.1 Nghiên cứu lý luận cho thấy 68 8.1.2 Kết đạt sau áp dụng sáng kiến 68 8.2 Khuyến nghị 71 8.2.1 Đối với Sở GD&ĐT 71 8.2.2 Đối với Phòng GD&ĐT 72 8.2.3 Đối với trường THCS 72 8.2.4 Đối với giáo viên học sinh: 72 8.2.4.1 Đối với giáo viên: 72 77 8.4.2.2 Đối với học sinh: 73 - Tài liệu tham khảo 74 - Mục lục 75 78 ... nắm phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng chúng Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi tốn chứng minh bất đẳng thức. .. thực trạng khả thực hành, vận dụng kỹ thực hành vào thực tiễn học sinh thông qua phần kiến thức bất đẳng thức, chứng minh bật đẳng thức ứng dụng vào thực tế từ đề xuất số giải pháp góp phần phát. .. ham mê học hỏi, hình thành phát triển lực thực hành cho học sinh - Đưa phương thức phương pháp tiếp cận lời giải cho số dạng toán bất đẳng thức từ tạo cho học sinh hình thành nên cho học sinh định