Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề đơn điệu và cực trị tham khảo
CHUYÊN ĐỀ - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định lý Lagrange: Cho f hàm liên tục a; b , có đạo hàm a; b Lúc tồn c a; b để: f b f a f ' c hay f b f a b a f ' c ba Định lý Rolle: Cho f hàm liên tục a; b , có đạo hàm a; b f a f b Lúc tồn c a; b để f ' c Định lý Cauchy: Cho f g hai hàm liên tục a; b , có đạo hàm a; b g ' x x a; b Lúc tồn c a; b để f b f a f 'c g b g a g 'c Tính đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b đó: - Nếu f đồng biến a; b f ' x với x a; b - Nếu f nghịch biến a; b f ' x với x a; b - Nếu f ' x với x a; b f ' x số hữu hạn điểm a; b hàm số đồng biến khoảng a; b - Nếu f ' x với x a; b f ' x số hữu hạn điểm a; b hàm số nghịch biến khoảng a; b L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo - Nếu f đồng biến khoảng a; b liên tục a; b đồng biến a; b ; liên tục a; b đồng biến a; b ; liên tục a; b đồng biến a; b - Nếu f nghịch biến a; b liên tục a; b nghịch biến a; b ; liên tục a; b nghịch biến a; b ; liên tục a; b nghịch biến a; b - Nếu f ' x với x D hàm số f khơng đổi D Cực trị hàm số Cho hàm số f xác định tập hợp D x0 D x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng a; b chứa điểm x0 cho a; b D f x f x0 , x a; b \ x0 x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng a; b chứa điểm x0 cho a; b D f x f x0 , x a; b \ x0 Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm a; b Nếu f đạt cực trị điểm x0 a; b f ' x0 - Cho y f x liên tục khoảng a; b chứa x0 có đạo hàm khoảng a; x0 x0 ; b : Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y f x có đạo hàm cấp hai khoảng a; b chứa x0 Nếu f ' x0 f '' x0 f đạt cực tiểu x0 Nếu f ' x0 f '' x0 f đạt cực đại x0 Ứng dụng vào phương trình - Nếu hàm số f đơn điệu K phương trình f x có tối đa nghiệm Nếu f a , a thuộc K x a nghiệm phương trình f x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo - Nếu f có đạo hàm cấp khơng đổi dấu K f ' hàm đơn điệu nên phương trình f x có tối đa nghiệm K Nếu f a f b với a b phương trình f x có nghiệm x a x b - Nếu f hàm liên tục a; b , có đạo hàm a; b phương trình f ' x nghiệm c a; b f b f a có ba Đặc biệt, f a f b phương trình f ' x có nghiệm c a; b hay hai nghiệm f có nghiệm đạo hàm f ' Chú ý: 1) Tung độ cực trị y f x x x0 : Hàm đa thức: y q x y ' r x y0 r x0 u x0 u ' x0 u x y0 v x v x0 v ' x0 Hàm hữu tỉ: y f x Đặc biệt: Với hàm y f x bậc có CĐ, CT y q x y ' r x phương trình đường thẳng qua CĐ, CT y r x 2) Số nghiệm phương trình bậc 3: ax3 bx cx d 0, a Nếu f ' x 0, x hay f ' x 0, x f x có nghiệm Nếu f ' x có nghiệm phân biệt và: Với yC Ð yCT : phương trình f x có nghiệm Với yC Ð yCT : phương trình f x có nghiệm (1 đơn, kép) Với yC Ð yCT : phương trình f x có nghiệm phân biệt CÁC BÀI TỐN Bài tốn 1.1: Chứng minh hàm số sau hàm không đổi a) f x cos x cos x cos x cos x 3 3 b) f x sin x sin a x 2cos a.cos x.cos a x Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo a) f ' x 2cos x sin x 2cos x sin x sin x cos x cos x.sin x 3 3 3 3 2 sin x sin x sin x 3 sin x 2cos x sin 2 sin x cos x , với x 2 Do f R nên f x f 1 4 b) Đạo hàm theo biến x (a số) f ' x 2sin x cos x 2cos a x sin a x 2cos a sin x cos a x cos x sin a x 2sin x sin x 2a 2cos a.sin x a Do f R nên f x f 0 sin a 2cos2 a sin a Bài toán 1.2: Cho đa thức P x Q x thỏa mãn: P ' x Q ' x với x P Q Chứng minh: P x Q x Hướng dẫn giải Xét hàm số f x P x Q x , D ¡ Ta có f ' x P ' x Q ' x theo giả thiết, f x hàm nên f x f 0 P 0 Q 0 với x f x P x Q x Bài toán 1.3: Chứng minh rằng: a) arcsin x arccos x b) 2arctan x arcsin , x 1 2x , x 1 x2 Hướng dẫn giải a) Nếu x 1, x 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Nếu 1 x xét hàm số f x arcsin x arccos x f ' x 1 x2 1 f x C f 2 x2 1 b) Với x 1 , xét f x 2arctan x arcsin 2x x2 2x2 x2 2 Ta có f ' x (vì x 1 ) 2 1 x x x 2 1 x 1 x Suy f x C f 1 Bài tốn 1.4: Tính gọn arctan x arctan với x x Hướng dẫn giải Xét f x arctan x arctan D ;0 0; x Với x 0; f liên tục có đạo hàm 1 1 f ' x x nên f 0; 2 1 x 1 x x x2 x2 Do f x f 1 Với x ;0 f liên tục có đạo hàm f ' x nên f ;0 Do f x f 1 x Vậy arctan x arctan x x Bài tốn 1.5: Tìm số c định lý Lagrange: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo a) y f x x x 1;2 b) y f x arcsin x 0;1 Hướng dẫn giải a) Hàm số y f x x x liên tục 1;2 có đạo hàm f ' x x , theo định lý Lagrange tồn số c 1;2 cho: f f 1 63 f 'c 4c 4c c 1 b) Hàm số y f x arcsin x liên tục 0;1 có đạo hàm f ' x 1 x2 , theo định lý Lagrange tồn số c 0;1 cho: 0 f 1 f f 'c 1 1 c2 c2 c2 Chọn c 2 Bài toán 1.6: Xét chiều biến thiên hàm số: b) y a) y x x x 4 Hướng dẫn giải a) D ¡ Ta có y ' x3 x x x x Cho y ' x x x x 1 BBT y' −1 − 0 + − + y L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Vậy hàm số nghịch biến khoảng ; 1 0;1 , đồng biến khoảng 1;0 1; b) D ¡ \ 4 Ta có y ' 2 x 4 y ' khoảng 4; nên y nghịch biến khoảng 4; y ' khoảng ;4 nên y đồng biến khoảng ;4 Bài tốn 1.7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y x3 b) y x2 x 1 1 x Hướng dẫn giải a) Tập xác định D ; Ta có: y ' x2 x2 9 x 6 x2 6; , y ' x 3 BBT: x y' −3 + − − + y Vậy hàm số đồng biến khoảng ; 3 , 3; , nghịch biến khoảng 3; ; b) D ;1 Ta có y ' 3 x 1 x 6;3 0, x b) y x sin x 0;2 a) y x cos2 x Hướng dẫn giải a) D ¡ Ta có y ' 2cos x sin x sin x y ' sin x x k , k ¢ L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Hàm số liên tục k , k 1 đoạn k ; k 1 nên đồng biến đoạn 4 y' khoảng k ; k 1 , k ¢ Vậy hàm số đồng biến ¡ b) y ' cos x Ta có x 0;2 y ' y ' x x 2 Vì hàm số liên tục đoạn 0;2 nên hàm số đồng biến đoạn 0;2 Bài toán 1.9: Chứng minh hàm số a) y cos x x nghịch biến ¡ b) y sin x a a b k ; k ¢ đơn điệu khoảng xác định sin x b Hướng dẫn giải a) x1 , x2 ¡ , x1 x2 Lấy hai số a, b cho a x1 x2 b Ta có: f ' x 2 sin x 1 với x a; b Vì f ' x số hữu hạn điểm khoảng a; b nên hàm số f nghịch biến khoảng a; b đpcm b) Điều kiện x b k y' k ¢ sin x b cos x a sin x a cos x b sin b a sin x b sin x b Vì y ' liên tục điểm x b k , a b k nên y ' giữ nguyên dấu khoảng xác định đpcm Bài tốn 1.10: Tìm giá trị tham số để hàm số: a) y m 3 x 2m 1 cos x nghịch biến ¡ b) y x3 3x mx m nghịch biến đoạn có độ dài Hướng dẫn giải a) y ' m 2m 3 sin x Hàm số y không hàm nên y nghịch biến ¡ : y ' 0, x m 2m 1 sin x 0, x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Đặt t sin x, 1 t m 2m 1 sin x m 2m 1 t f t Điều kiện tương đương: f t 0, t 1;1 m f 1 4 m 3m f 1 b) D ¡ , y ' 3x x m, ' 3m Xét ' y ' 0, x : Hàm đồng biến (loại) Xét ' m y ' có nghiệm x1 , x2 nên x1 x2 2, x1 x2 m L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo BBT: x y' + x2 x1 − 0 + y Theo đề bài: x2 x1 x2 x1 x12 x22 x1 x2 15 x2 x1 x1 x2 m m (thỏa) Bài toán 1.11: Tìm cực trị hàm số sau: a) y x x 3 b) y x x Hướng dẫn giải a) y ' x x 3 x x 3 5x x x 3 Ta có y ' x 2 x x BBT x y' −2 + 0 − 0 y + 0 + −108 Vậy điểm cực đại 2;0 cực tiểu 0; 108 b) Hàm số y f x liên tục ¡ Ta có: x x 2 f x x x 2 x x Với x 0, f ' x 2 x 2; f ' x x 1 Với x 0, f ' x x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bảng biến thiên: x y' + y Nên f x có nghiệm x Vậy phương trình cho có nghiệm Bài toán 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm nhất: x2 y3 y y a y z z z a z x3 x x a Hướng dẫn giải Xét hàm f t t t t a có f ' t 3t 2t f t hàm đồng biến Hệ PT: x2 f y y f z z f x Không giảm tổng quát giả sử x lớn số - Xét x y z f x f y f z z x y Nếu z x y z x2 y z x2 y z f x f y f z x y z Nếu x x y z x y z x y z Nếu x z Khi y f z f a a Lại có z f x f a z a y2 f z f a a a : vơ lí - Xét x z y z y x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Tương tự y hay x ta suy x y z Nếu x y x f y f a z f x f a Nếu z a x z a x z z y z x y z trái với x y Nếu z a lí luận ta dẫn đến mâu thuẫn Vậy hệ có nghiệm x y z t0 t0 nghiệm phương trình: t t t a x y Bài toán 1.27: Chứng minh hệ có nghiệm phân biệt y x Hướng dẫn giải Trừ phương trình vế theo vế thay ta được: x 1 x y 1 y 1 y3 1 x 1 x3 1 y 1 x 1 y 1 y y 1 x x 1 x 1 y y x 1 x y Xét x hệ có nghiệm 1;0 Xét y hệ có nghiệm 0;1 Xét x y x y3 x3 x Đặt f x x3 x 1, D ¡ Ta có f 1 f ' x x x, f ' x x x BBT x y' −2/3 + y − + −23/27 −1 Do f x có nghiệm x0 , x0 nên hệ có nghiệm x0 ; y0 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Xét x y y x nên y x3 x3 x x x x x x Do hệ có nghiệm 0;1 Vậy hệ có nghiệm phân biệt Bài tốn 1.28: Tìm tham số để phương trình a) b) x x a có nghiệm x mx x có nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải a) Xét f x x x , D ¡ f ' x 3 1 x 3 1 x 1 x 1 x 2 3 1 x 1 x lim f x lim x x lim x x 1 , f ' x x x x lim 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x x 1 0 Tương tự lim f x Lập BBT PT có nghiệm a x 2 x 2 x x mx, x 2 x mx x 1 b) PT Vì x khơng thỏa mãn nên: 3x x 1 m, x x 3x 3x x 1 , x , x f ' x Xét f x x2 x BBT: x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo f' + + f Điều kiện phương trình cho có nghiệm phân biệt f x m có nghiệm phân biệt x , x m 2 Bài toán 1.29: Tìm m để phương trình a) x x m2 x x x có nghiệm x2 2 b) tan x 1. sin x 2cos x m sin x 3cos x có nghiệm thuộc khoảng 0; Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x PT m2 x x x 2 x2 m2 x x x 2 x x x2 x2 x x 1 m2 x x2 x x2 x x2 34 m2 x x2 Đặt t x2 ,0 t PT: 3t m2 ,0 t t x Xét f t 3t , t 0;1 f ' t 0, t 0;1 t t Bảng biến thiên t L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo f 't − f t 2 Vậy phương trình cho có nghiệm m2 2 m b) Điều kiện: cos x tan x 1 Đặt t tan x , phương trình: tan x sin x 2cos x sin x 3cos x m cos x cos x tan x tan x m tan x 3 tan x tan x 1 m tan x 3t t 1 m t m Xét hàm số y y' 3t 3t t2 3t 3t với t 1; , t2 3t 15t t 2 Vậy phương trình có nghiệm m y 1 m Bài tốn 1.30: Tìm tham số để phương trình a) 4m 3 x 3m x m có nghiệm b) x6 3x5 a x 2a x3 a x 3x vô nghiệm Hướng dẫn giải a) Điều kiện: 3 x đó: PT m Ta có: x 1 x 1 x 1 x 1 x3 1 x nên đặt: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo 2t 1 t2 x 2sin ; x 2cos 1 t2 1 t2 Với t tan , ,0 t nên: m 7t 12t 5t 16t 7t 12t Xét f t , t 0;1 5t 16t 52t 8t 60 f 't 5t 16t 0, t 0;1 Vậy điều kiện phương trình có nghiệm f m f 1 m b) Xét x : loại Xét x Chia vế cho x phương trình: x3 3x a x 2a a x x x 1 1 1 x x a x 2a x x x Đặt t x 1 , t t x2 x x t x3 1 x nên x3 t 3t x x x Do phương trình: t 3t t a t 2a t 2 a t 3t 3t Khi t 2 phương trình khơng thỏa t 3t 3t t 1 Khi t 2 phương trình: a t2 t2 Đặt f t t 1 t2 , t 2 hay t Lập BBT f t 2t 5 t 1 f 't 2 t 2 27 27 t D nên PT vô nghiệm a 4 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Bài toán 1.31: Tìm tham số để bất phương trình có nghiệm a) sin x cos3 x m b) cos2 x sin x cos x 3sin x m Hướng dẫn giải a) Xét f x sin x cos3 x sin x cos x 1 sin x.cos x Đặt t sin x cos x; t t 1 t 2sin x cos x sin x cos x 2 t 1 t t với t Ta có h t t 1 2 3 h ' t t t 1 2 Lập BBT bất phương trình có nghiệm m b) Đặt t sin x cos x , t t 2sin x cos x sin x t cos2 x sin 2 x t 2t BPT: t 2t t m 0; t 2 Xét f t t 2t t m f ' t 2t 2t 3t 1 ; f ' t t 0; ;1 Lập BBT suy điều kiện có nghiệm là: m m 3 Bài tốn 1.32: Tìm điều kiện m để hệ bất phương trình có nghiệm x 3x (1) x 3x x m 15m (2) Hướng dẫn giải Xét 1 : x 3x 1 x Ta tìm điều kiện ngược lai, tức tìm m để: f x x3 3x x m2 15m 0; x 1;4 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo 2 x 3x m 15m; 1 x Vì f x 2 x 3x m 15m;0 x 3x x; 1 x f ' x 3x x;0 x 1 x f ' x 3x x f ' x 3x x Khi x f ' x 3x x 2 x4 Do m2 15m 16 m 16 m Vậy điều kiện có nghiệm 16 m Bài tốn 1.33: Cho số a, b, c thỏa mãn abc a b c Chứng minh phương trình: ax bx c có nghiệm Hướng dẫn giải Xét hàm số F x a b c x x x , F x liên tục, có đạo hàm F ' x x ax bx c x f x nên theo dụng định lí Lagrange 0;1 tồn c 0;1 : F 1 F F 'c 1 Mà F 0, F 1 a b c nên F ' c hay c f c Vì c 0;1 nên c f c đpcm Bài toán 1.34: Cho hàm số f có đạo hàm 0;1 thỏa mãn f 0; f 1 Chứng minh tồn số phân biệt a; b thuộc 0;1 cho f ' a f ' b Hướng dẫn giải Xét hàm số g x f x x , g x liên tục có đạo hàm 0;1 Ta có: g 1 g 1 nên tồn số c thuộc 0;1 cho g c Do f c c hay f c c Áp dụng định lý Lagrange cho f đoạn 0;c c;1 thì: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo tồn a 0; c cho: f c f 0 f ' a c0 tồn b c;1 cho: nên: f ' a f ' b f 1 f c f 'b 1 c f c f c 1 c c 1 c 1 c c 1 c Vậy tồn số phân biệt a; b thuộc 0;1 cho f ' a f ' b Bài toán 1.35: Cho hàm số f x có đạo hàm 0;1 nhận giá trị dương Chứng minh bất phương trình: f ' x f x f 1 f 0 có nghiệm Hướng dẫn giải Xét hàm số: g x arctan x; h x Ta có: g ' x f x 0;1 , g x , h x có đạo hàm 0;1 x2 2x ; h ' x f x f ' x 2 2 1 x x 1 x Theo định lý Cauchy tồn c 0;1 cho: h 1 h h ' c hay g 1 g g ' c nên f 1 f 0 2c f 'c f c c 0 2c f 1 f f ' c f c 1 c 2 Vì c nên c 2c f c nên f ' cc 2c f c f 'c f c c2 đpcm Bài toán 1.36: Giả sử f hàm xác định a; b , có đạo hàm đến cấp n a; b x0 a; b Chứng minh tồn c nằm x x0 để có: n 1 f ' x0 f '' x0 f x0 f c n n 1 f x f x0 x x0 x x0 x x0 x x0 1! 2! n! n 1! n L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Ta tìm đa thức Pn x có bậc khơng vượt q n cho f x0 Pn x0 , f ' x0 Pn/ x0 , , f n x Pn n x0 với: Pn x A0 A1 x x0 A2 x x0 An x x0 n Lúc đó: Pn/ x A1 A2 x x0 nAn x x0 n 1 Pn// x A2 3.2 A3 x x0 n n 1 An x x0 n2 …… Pn n x n! An Do thay x x0 vào đẳng thức ta được: Pn x0 A0 , Pn/ x0 A1 , Pn// x0 A2 , , Pn n x0 n! An Như vậy: f x0 A0 , A1 f ' x0 ,2 A2 f ' x0 , , f n x0 n! An nên: f ' x0 f '' x0 f x0 n Pn x f x0 x x0 x x0 x x0 1! 2! n! n Đặt Rn x f x Pn x ta suy Rn n nên: Rn x0 Rn/ x0 Rn n Đặt F x x x0 n 1 x f n x Pn n x x0 thì: F x0 F ' x0 Fn Với x a; b ta viết n n x0 Rn x Rn x Rn x0 F x F x F x0 Rn x Rn/ 1 Theo định lý Cauchy ta có với 1 nằm x x0 F x F ' 1 Rn/ 1 Rn/ 1 Rn/ x0 Ta lại có theo định lý Cauchy ta được: F ' 1 F ' 1 F ' x0 Rn/ 1 Rn// với nằm 1 x0 F ' 1 F '' L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo Rn x Rn c Sau n lần áp dụng định lý Cauchy ta với c nằm n x0 , c F x F n1 c n 1 nằm x x0 n1 Nhưng Rn x f n1 x F n1 Rn x f c x n 1! nên F x n 1! n 1 Vậy: n 1 f ' x0 f '' x0 f ( n ) x0 f c 2 n 1 f x f x0 x x0 x x0 x x0 x x0 1! 2! n! n 1! c điểm nằm x x0 Công thức gọi công thức khai triển Taylor hàm f điểm x x0 BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 1.1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y 2x x 9 b) y x 1 x2 x Hướng dẫn a) Kết y ' 2 x x 9 nên hàm số cho nghịch biến khoảng ; 3 , 3;3 , 3; b) Kết đồng biến ;1 , nghịch biến 1; Bài tốn 1.2: Tìm m để hàm số: x2 m 2 x m a) y đồng biến khoảng xác định x 1 b) y m x x x đồng biến 1; Hướng dẫn a) Tập xác định D ; 1 1; Tính đạo hàm y ' lập luận y ' D Kết m b) Kết m 1 Bài toán 1.3: Tìm cực trị hàm số: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo x3 a) y b) y x2 x x 5 Hướng dẫn a) Hàm số lẻ Tính đạo hàm lập BBT Kết CĐ x 3; yC Ð 9 3, CT x 3; yCT b) Kết CĐ x 0, yC Ð CT x 2; yCT 3 Bài tốn 1.4: Tìm cực trị hàm số: b) y sin x cos x a) y x sin x Hướng dẫn a) Tập xác định D ¡ , y ' 2cos x, y '' 4sin x Dùng dấu đạo hàm cấp Kết quả: CĐ x yCT k k , k ¢ , yC Ð k ; đạt CT x k , k ¢ ; 2 b) Kết điểm cực đại x k , điểm cực tiểu x 5 k Bài tốn 1.5: a) Tìm m để hàm số y x3 3m 1 x 12 m2 m x có cực đại cực tiểu Viết phương trình đường thẳng qua CĐ, CT x 2mx 3m2 b) Tìm m để hàm số y có hai điểm cực trị nằm hai phía trục Oy xm Hướng dẫn a) Tập xác định D ¡ Lấy y chia y ' Kết m y m 1 x m2 m 3m 1 b) Kết 1 m Bài toán 1.6: Chứng minh hàm số a) y x3 ax b2 x a 4b ab ln ln có cực đại cực tiểu với tham số a, b L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo x2 b) y 3x ba điểm cực trị phân biệt A, B, C Tính diện tích tam giác ABC x Hướng dẫn a) y ' có ' a a b2 0, a, b b) Kết S 27 Bài toán 1.7: Giải phương trình: a) 3x 18 x 24 1 2x x 1 x x2 x x2 b) Hướng dẫn a) PT: x 5 x 1 2 2x 1 2x x 1 1 x 1 2x x 1 Kết x x b) Kết x 1 Bài toán 1.8: Giải phương trình: a) x x3 x x 3x x 3x b) Hướng dẫn a) Điều kiện: x Ta có: x3 x x x x x 3 Chia vế cho x3 phương trình: 1 x2 x x4 x x x x Kết nghiệm x L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo b) Hàm đơn điệu Kết x Bài toán 1.9: Giải hệ phương trình: x 1 x y 3 y b) 2 4 x y x x y x3 a) x 1 y Hướng dẫn giải a) Điều kiện x 1, y Hệ phương trình tương đương với: x x 1 x (1) y x 1 (2) Xét hàm số f t t t 1 t 8, với t Kết x 3, y b) Kết x ; y 2 Bài toán 1.10: Giải bất phương trình: a) x x 20 x 13 b) x2 x x2 x 11 x x Hướng dẫn a) Điều kiện: x 1 BPT viết lại: x x x 13 20 Xét f x hàm số vế trái, x 1 thì: f ' x 1 Kết x x 1 x x 13 b) Kết x Bài tốn 1.11: Chứng minh phương trình có nghiệm nhất: x7 5x4 15x3 x2 x Hướng dẫn Chứng minh hàm VT đồng biến khoảng 0; , x vơ nghiệm L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo ... gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11 -12, sách tham khảo Bài tốn 1.16: Tìm m để hàm số: mx 4m x 4m a) y có cực trị hai giá trị cực trị trái dấu... a 1 có cực trị chứng minh cực trị thuộc parabol cố định L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11 -12, sách... 13x12 x5 12 x3 x 13x12 x x 1 nên f đồng biến L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11 -12,