Câu 1. L n I rút 2 lá bài trong b bài 52 lá đ trên bàn. L n II rút thêm 2 lá n aầ ộ ể ầ ữ đ ể trên bàn. Sau đó khoanh NN 2 lá. X là s lá c có trong 2 lá khoanh sauố ơ cùng. a/ Tìm phân ph i XS c a Xố ủ b/ Tính XS trong 2 lá đó ch có 1 con c .ỉ ơ Gi iả Th c ch t rút 2 l n (2 lá, 2 lá) thì t ng đ ng v i rút 1 l n 4 lá.ự ấ ầ ươ ươ ớ ầ G i Aọ j là bi n c trong 4 lá có j lá c . Aế ố ơ j = 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, h Aệ j là 1 h đ y đệ ầ ủ ngoài.Tính P(A j ) ( ) 20825 6327 270725 82251 4 52 4 39 0 13 0 === C CC AP , ( ) 20825 9139 270725 118807 4 52 3 39 1 13 1 === C CC AP , ( ) 20825 4446 270725 57798 4 52 2 39 2 13 2 === C CC AP , ( ) 20825 858 270725 11154 4 52 1 39 3 13 3 === C CC AP , ( ) 20825 55 270725 715 4 52 0 39 4 13 4 === C CC AP , ( ) 0 AP + ( ) 1 AP + ( ) 2 AP + ( ) 3 AP + ( ) 4 AP =1 a/ Tìm phân ph i XS c a X= 0, 1, 2. Bây gi có 4 lá bài trên bàn, rút 2 trong 4 lá.ố ủ ờ V i X= k= 0,ớ ( ) ( )       = == 0 0 0 0 A X PAPXP + ( )       = 1 1 0 A X PAP + ( )       = 2 2 0 A X PAP + ( )       = 3 3 0 A X PAP + ( )       = 4 4 0 A X PAP 1 0 2 4 2 4 0 ==       = C C A X P , 2 1 6 3 0 2 4 1 3 1 ===       = C C A X P , 6 1 0 2 4 2 2 2 ==       = C C A X P , 0 0 3 =       = A X P , 0 0 4 =       = A X P P(X = 0) = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + 0 = 0.5588 V i X = k t ng quát,ớ ổ Do ta xét trong 2 lá rút l n II có k lá c .ầ ơ A i (4 lá) = (4- i, i lá c ) ơ 4 4 2 4 C CC A kX P k i k i i − − =       = Suy ra P(X=1) = 0 + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + 0 = 0.3824 P(X=2) = 0 + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588 P(X=3) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 0.0 P(X=4) = 0 + 0 + 0 +0 + 0 + 0= 0.0 Nh n xét: P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)ậ = 0.5588 + 0.3824 + 0.0588 + 0 + 0= 1 b/ Tính XS trong 2 lá đó ch có 1 lá c = P(X=1) = 0.3824.ỉ ơ BÀI 3 G i Aọ i là bi n c l n I có i lá c , i = 0, 1 ,2 ế ố ầ ơ P(A 0 )= 2 52 2 39 0 13 C CC = 1326 741 P(A 1 )= 2 52 1 39 1 13 C CC = 1326 507 P(A 2 )= 2 52 0 39 2 13 C CC = 1326 78 G i B là bi n c l n II rút đ c lá c khi l n I rút 2 lá cọ ế ố ầ ượ ơ ầ ơ P( 2 A A )= 1 50 1 11 C C = 50 11 G i A là bi n c rút 3 lá c ọ ế ố ơ P(A) = P( 2 A )P( 2 A A ) = 50 11 1326 78 • = 850 11 b/ B là bi n c rút l n II có 1 lá c v i không gian đ y đ Aế ố ầ ơ ớ ầ ủ i ,i=0,1,2 P(B) = P( 0 A )P( 0 A B ) + P( 1 A )P( 1 A B ) + P( 2 A )P( 2 A B ) Trong đó P( 0 A B ) = 1 50 1 13 C C = 50 13 P( 1 A B ) = 1 50 1 12 C C = 50 12 P( 2 A B ) = 1 50 1 11 C C = 50 11 P(B)= 50 13 1326 741 × + 50 12 1326 507 × + 50 11 1326 78 × = 4 1 = 0.25 c/ Ta tính XS đ y đ trongầ ủ P( B A 0 ) = )( )()( 0 0 BP A B PAP = 25.0 50 13 1326 741 × = 581.0 )( 1 B A P = 25.0 50 12 1326 507 × = 0.367 052.0 25.0 50 11 1326 78 )( 2 = × = B A P Kì v ng Mọ x = 413.0052.05367.02581.0)1( =×+×+×− V y trong trò ch i tôi có l i.ậ ơ ợ Bài 4: M t h p đ ng 5 chai thu c trong đó có 1 chai gi . ng i ta l n l t ki mộ ộ ự ố ả ườ ầ ượ ể tra t ng chai cho t i khi phát hi n đ c chai thu c gi thì thôi( gi thi t cácừ ớ ệ ượ ố ả ả ế chai ph i qua ki m tra m i xác đ nh đ c là thu c gi hay th t). L p lu t phânả ể ớ ị ượ ố ả ậ ậ ậ ph i xác su t c a s chai đ c ki m tra.ố ấ ủ ố ượ ể Bài gi i:ả X 1 2 3 4 5 P X 0.2 0.16 0.128 0.1024 0.4096 P[X=1] = 2,0 5 1 = P[X=2] = P[ 21 .AA ] = 0,8.0,2 = 0,16 P[X=3] = P[ 321 AAA ] =0,8.0,8.0,2 = 0,128 P[X=4] = P[ 4321 . AAAA ] = 0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,1024 P[X=5] = P[ 54321 AAAAA ] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096 Câu 5: Ba ng i cùng làm bài thi. Xác su t làm đ c bài c a sinh viên A là 0,8;ườ ấ ượ ủ c a sinh viên B là 0,7; c a sinh viên C là 0,6. Xác su t đ có 2 sinh viên làm đ củ ủ ấ ể ượ bài. Bài làm: G i A, B, C l n l t là xác su t làm đ c bài c a 3 sinh viên A, B, C.ọ ầ ượ ấ ượ ủ D là xác su t có 2 sinh viên làm đ c bài.ấ ượ A=0,8; B=0,7; C=0,6. Ta có: )CB(AC)B(AC)BA(D ∩∩∪∩∩∪∩∩= )( P )( P )( P )( P ĐÁP ÁN ĐỀ Câu Nội dung n    C29  118755 1a A=”Có bi xanh, bi đỏ” P  A  Tính n    P  B  19 Tính n  B  10 Tính P  B  202 5655 A=”có thỏ trắng chạy từ chuồng I sang chuồng II” 0.5 0.5 n  B   C C  C  4242 10 Điểm Tính P(A) C41C102 C152 60  377 C29 B = “Có bi đỏ” 1b Bước làm 0.5 0.5 Đặt biến cố B=” có thỏ đen chạy từ chuồng I sang chuồng II’ 0.5 F =”có thỏ trắng chạy từ chuồng II ngoài” 2a P  F   P  A P  F / A  P  B  P  F / B   10  15 11 15 11 Thế xác suất  Kếtt P A / F   2b P  A P  F / A 0.5 0.5 0.5 0.5 Thế xác suất đáp số 0.5 Tính n, tỷ lệ mẫu 213   0,95  u  1,96 Tìm u  f 1  f  f 1  f    ; f  ua KTC:  f  ua n n   Viết công thức KTC cho kỳ vọng ĐS: 0,0152;0,0693 Kết   u 3b Viết công thức Bayes PF   15 11  11 n  213, f  3a Viết công thức xác suất đầy đủ f 1  f  n  0, 03 0.5 0.5 0.5 Viết công thức  đặt điều kiện 0.5 0.5  n  172,736 Tìm đk n Cần 173 người Kết luận X = “ độ dày thiết bị” Đặt BNN 0.5 X  N  0,15;0,0144  Xác định mơ hình 0.5  7   4  P  0,118  X  0,122          30    15  Ráp công thức XS  0,01289 Kết 0.5 0.5 0.5 Đề 1 : (Đề thi giữa kỳ lớp 11QT3) Câu 1: (3 điểm) Có hai chuồng gà : chuồng A gồm 10 con gà trống và 7 con gà mái, chuồng B gồm 7con gà trống và 9 con gà mái. Mở chuồng cho một con chạy từ chuồng A sang chuồng B. a. Tính xác suất để bắt được gà trống ở chuồng B (sau khi gà từ chuồng A đã chạy sang). b. Tiếp tục mở chuồng cho một con gà chạy từ chuồng B sang chuồng A. Tính xác suất để số gà ở hai chuồng A và B giống như lúc đầu. Câu 2: (4 điểm) Cho X, Y độc lập, có bảng phân phối xác suất X 1 2 3 và Y -1 0 1 P X 0,2 0,4 0,4 P y 0,3 0,4 0,3 a. Tìm hàm phân phối xác suất của X b. Tính E(X), D(X), Mod(X) c. Lập bảng phân phối xác suất của X + Y và XY Câu 3: (3 điểm) Quan sát trong 10 phút thấy có 20 người vào cửa hàng. Tính xác suất để 1 phút có 3 người vào cửa hàng. Đề 2 : (Đề thi giữa kỳ lớp 11QT4) Câu 1: (4 điểm) Có hai hộp bi: hộp thứ nhất gồm 12 bi đỏ và 8 bi xanh, hộp thứ hai gồm 5 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy một bi ở hộp thứ nhất bỏ vào bi thứ hai. c. Tính xác suất để lấy được bi xanh ở hộp thứ hai (sau khi đã bỏ bi từ hộp thứ nhất vào). d. Tiếp tục lấy một bi ở hộp thứ hai trả ngược lại hộp thứ nhất. Tính xác suất để sau hai lần chuyển bi thì số bi mỗi hộp không đổi. Câu 2: (4 điểm) Cho X, Y độc lập, có bảng phân phối xác suất X 0 1 2 và Y -1 0 1 P X 0,5 0,2 0,3 0,4 0,4 0,2 d. Tìm hàm phân phối xác suất của X e. Tính E(X), D(X), Mod(X) f. Lập bảng phân phối xác suất của X + Y và XY Câu 3: (3 điểm) a. Trình bày công thức tính kỳ vọng phương sai của phân phối siêu bội X~H(N,M,n)? b. Áp dụng: Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng 5 sản phẩm. Tính kỳ vọng, phương sai của số sản phẩm xấu trong 5 sản phẩm lấy ra. Đề 3 : De thi giua ky 11NHKS Câu 1: (3 điểm) Có ba túi bài thi, mỗi túi 10 bài. Túi thứ nhất có 1 bài dưới trung bài, túi thứ nhất có 3 bài dưới trung bài, túi thứ nhất có 5 bài dưới trung bài. Lấy ngẫu nhiên mỗi túi một bài. a. Tính xác suất 3 bài lấy ra có đúng một bài dưới trung bình. b. Biết ba túi lấy ra có đúng một bài dưới trung bình, tính xác suất để bài đó thuộc túi thứ nhất. Câu 2: (4 điểm) Cho X, Y độc lập, có bảng phân phối xác suất Y -1 0 1 2 P Y 0,3 0,2 0,3 0,2 g. Tìm hàm phân phối xác suất của Y h. Tính E(Y), D(Y), Mod(Y) i. Lập bảng phân phối xác suất của X + Y và XY Câu 3: (3 điểm) Tại một trạm kiểm soát giao thông ta nhận thấy cứ 5 phút thì có 10 xe đi qua. a. Tính xác suất để có 6 xe đi qua trong vòng 3 phút. b. Biết xác suất để có ít nhất một xe đi qua trạm kiểm soát trong t phút là 0,99. Tìm t ? Đề 4 : (Đề thi giữa kỳ lớp 11TC) Câu 1: (3 điểm) Một hộp đựng 5 chai thuốc, trong đó có 1 chai thuốc giả. Kiểm tra lần lượt cho đến khi gặp chai thuốc giả thì dừng (giả thuyết các chai thuốc qua kiểm tra mới phát hiện thật giả). a. Tính xác suất để dừng lại ở lần kiểm tra thứ hai. b. Tính xác suất để có thể không kiểm tra đến lần thứ tư. Câu 2: (4 điểm) Cho X, Y độc lập, có bảng phân phối xác suất X -1 1 P X 0,4 0,6 X 0 1 2 3 P X 0,3 0,2 0,3 0,2 Y -1 1 P Y 0,4 0,6 j. Tìm hàm phân phối xác suất của X k. Tính E(X), D(X), Mod(X) l. Lập bảng phân phối xác suất của X + Y và XY Câu 3: (3 điểm) Tại một trạm kiểm soát giao thông ta nhận thấy cứ 5 phút thì có 10 xe đi qua. c. Tính xác suất để có 6 xe đi qua trong vòng 3 phút. d. Biết xác suất để có ít nhất một xe đi qua trạm kiểm soát trong t phút là 0,99. Tìm t ? ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Khóa 25 – ĐH Ngân Hàng Thời gian làm bài:120’ Câu 1. a. Gieo n con xúc sắc đối xứng và đồng chất. tìm xác súât để được tổng số chấm là n+1. b. Trung bình trong 3 tháng cuối năm dương lịch mưa lớn 5 lần.Tìm xác suất để không có ngày nào mưa lớn quá 1 lần. Câu 2: Có 2 lô sản phẩm: lô I gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm, lô II có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy ngẫu 2 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II; từ lô II lấy ngẫu ra 2 sản phẩm. a. Tìm xác suất để lấy được 2 chính phẩm. b. Giả sử đã lấy được 2 chính phẩm. Tìm xác suất để đó là 2 sản phẩm của lô I. Câu 3. Biến lượng ngẫu X có hàm mật độ xác suẩt: )x(- )(     xx e e k xf a.Tìm k. b. Câu 4. Để ước lượng tuổi thọ trung bình của một loại bóng đèn, người ta kiểm tra ngẫu 16 bóng và tính được tuổi thọ trung bình của chúng là 1200X giờ với độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh 26,094 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn bằng khoảng tin cậy đối xứng với hệ số tin cậy 0,95.; giả thiết tuổi thọ của bóng đèn là biến lượng ngẫu tuân chuẩn. Phải chọn kích thước mãu tối thiểu n bằng bao nhiêu để với độ tin cậy 95%, sai lệch của ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn này không vượt quá 20 giờ. Câu 5: Một thanh bẻ ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tính xác suất đẻ từ 3 đoạn này ghép được thành tam giác. Page 1 BỘ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1 1. Đường kính của một loại trục máy là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn ĐỀ SỐ 1 22 ( 250 ; 25 )N mm mm µσ = = . Trục máy được gọi là hợp quy cách nếu đường kính từ 245mm đến 255mm. Cho máy sản xuất 100 trục. Tính xác suất để: a. Có 50 trục hợp quy cách. b. Có không quá 80 trục hợp quy cách. 2. Quan sát một mẫu (người) , ta có bảng thống kê chiều cao X(cm), trọng lượng Y(kg): X Y 150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 50 5 55 2 11 60 3 15 4 65 8 17 70 10 6 7 75 12 a. Ước lượng chiều cao trung bình với độ tin cậy 95% γ = . b. Những người cao từ 170cm trở lên gọi là quá cao. Ước lượng trọng lượng trung bình những người quá cao với độ tin cậy 99%. c. Một tài liệu thống kê cũ cho biết tỷ lệ những người quá nặng ( 70kg≥ ) là 30%. Cho kết luận về tài liệu đó, với mức ý nghĩa 10% α = . d. Lập phương trình tương quan tuyến tính của Y theo X. BÀI GIẢI 1. Gọi D là đường kính trục máy thì 22 ( 250 ; 25 )D N mm mm µσ ∈= = . Xác suất trục hợp quy cách là: 1 Đề thi:GS Đặng Hấn. Lời giải:Th.S Lê Lễ. Tài liệu dùng cho sinh viên đại học, học viên thi Th.s, NCS. Page 2 255 250 245 250 [245 255] ( ) ( ) (1) ( 1) 55 pp D −− = ≤ ≤ =Φ −Φ =Φ −Φ − 2 2 (1) 1 2.0,8413 1 0,6826=Φ −= −= . a. Gọi E là số trục máy hợp quy cách trong 100 trục, 2 ( 100; 0,6826) ( 68,26; 21,67)E B n p N np npq µσ ∈= = ≈ == == 50 50 50 100 1 50 68,26 1 [ 50] 0,6826 .0,3174 ( ) ( 3,9) 21,67 21,67 21,67 pE C ϕϕ − ==≈=− 3 11 (3,9) .0,0002 0,00004 21,67 21,67 ϕ = = = b. 80 68,26 0 68,26 [0 80] ( ) ( ) (2.52) ( 14,66) 21,67 21,67 pE −− ≤ ≤ =Φ −Φ =Φ −Φ − (2.52) (14,66) 1 0,9941 1 1 0,9941=Φ +Φ −= +−= 2. a. n=100, 5,76 x S = , 164,35X = 1 1 0,95 0,05 αγ =−=− = (0,05;99) 1, 96t = 4 1,96.5,76 1,96.5,76 164,35 164,35 100 100 xx SS Xt Xt nn µµ − ≤≤ + ⇒ − ≤≤ + Vậy 163,22 165,48cm cm µ ≤≤ 2 Dùng định lý tích phân Laplace . Tra bảng phân phối chuẩn tắc với lưu ý: ( 1) 1 (1)Φ − = −Φ 3 Dùng định lý Laplace địa phương . Tra hàm mật độ chuẩn tắc với lưu ý hàm mật độ chuẩn tắc là hàm chẵn. 4 Tra bảng phân phối Student, 0,05 α = và 99 bậc tự do. Khi bậc tự do n>30, ( ;) , () 1 2 n t uu α α =Φ=− . Page 3 b. 19 qc n = , 73,16 qc Y = , 2,48 qc S = 1 1 0,99 0,01 αγ =−=− = (0,01;18) 2,878t = 2,878.2,48 2,878.2,48 73,16 73,16 19 19 qc qc qc q q c c qc SS Yt Yt nn µµ − ≤≤ + ⇒ − ≤≤ + Vậy 71,52 74,80kg kg µ ≤≤ c. 01 : 0,3; : 0,3Hp Hp= ≠ 35 0,35 100 f = = 0 00 0,35 0,3 1,091 (1 ) 0,3.0,7 100 tn fp U pp n − − = = = − 0,05, ( ) 1 0,975 1,96 2 UU α α = Φ =−= ⇒= 9 (hoặc (0,05) 1, 96t = ) || tn UU< , chấp nhận 0 H :tài liệu đúng. d. xy yx yy xx r ss −− = ⇒ 102,165 1,012yx=−+ . Page 4 ĐỀ SỐ 2 1. Cho ba đại lượng ngẫu nhiên độc lập X,Y,Z trong đó (50;0,6), (250;100)XB YN∈∈ và Z là tổng số chính phẩm trong 2 sản phẩm được lấy ra từ 2 lô hàng, mỗi lô có 10 sản phẩm, lô I có 6 chính phẩm và lô II có Đại học quốc gia hà nội Trờng đại học công nghệ môn Thi: xác suất-thống kê-QTNN (5 đơn vị học trình) Các lớp: K49 CA và CC Đề số 1 (120 phút) 1) Phát biểu và chứng minh công thức cộng xác suất trong trờng hợp có hai sự kiện A và B. Mở rộng cho trờng hợp có 3 sự kiện A, B, C. 2) Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng. 3) Các hệ số a,b, c của phơng trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = đợc xác định qua 3 lần gieo một con xúc sắc 6 mặt đối xứng. Tìm xác suất để phơng trình bậc hai trên có: a) Nghiệm thực. b) Nghiệm phức. 4) Cho A là tập hợp bị giới hạn bởi hình vuông đơn vị và các đờng cong 2 y x= và y x= . Xét véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời 5 ( ) ( ) 0 X Y khi x y A f x y nguoc lai , , , , = a) Hãy vẽ đồ thị hàm mật độ đồng thời trên. b) Tính hàm mật độ biên duyên của X và Y. 5) Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ: 1 1 ( ) 0 khi x f x x nguoc lai = trong đó là một tham số cha biết. Hãy tìm ớc lợng hợp lý cực đại của từ một mẫu ( 1 2 , , , n X X XL ) Thang điểm và lời giải Đề1/05-06 XSTK-QTNN 1)2 điểm Trờng hợp 2 sự kiện A và B , chứng minh nh trong giáo trình và ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) .P A B P A P B P A B = + Trờng hợp 3 sự kiện A, B và C, lần lợt ứng dụng công thức cộng xác suất cho 2 sự kiện ( A B ), C và A, B ta đợc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C = + + + 2) 2 điểm Nh trong giáo trình 3) 2 điểm b) ( ) 2 ( ) 5 0 1 X f x x x x= ( ) 2 ( ) 5 0 1 Y f y y y y= 4) 2 điểm a) Muốn phơng trình có nghiệm thực, ta phải có: 2 4 0b ac = hay 2 4 b ac . Vì a, b, c đều là các biến ngẫu nhiên lấy các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 với cùng xác suất bằng 1/6 nên số trờng hợp để 2 4 b ac thoả mãn là: b 2 4 b ac Số trờng hợp 2 4 b ac Các cặp giá trị của (a, c) thoả mãn 2 4 b ac 1 1 4 ac 0 Không có 2 4 1 4 ac= 1 (1,1) 3 9 2,5 4 ac= 3 (1,1) (1,2) (2,1) 4 16 4 4 ac= 8 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (3,1) 5 25 6,25 4 ac= 14 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (5,1) (6,1) 6 36 9 4 ac= 17 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (4,1) (4,2) (5,1) (6,1) b) Xác suất để phơng trình bậc hai có nghiệm thực là: (0+1+3+ 8+14 +17)/216= 43/216. c) Xác suất để phơng trình bậc 2 có nghiệm ảo là 1- 43/216 =173/216. 5) 2 điểm Hàm hợp lý có dạng sau: ( ) 1 1 ( 1) min( , , ) 1 ( ) 0 n n n X X L X X khac = Để ( , )f x là hàm mật độ, ta giả thiết: 1 > . Suy ra: ( ) ( ) ( ) 1 ln ln( 1) ln n L n X X = Từ phơng trình hợp lý: ( ) ( ) 1 1 ln ln 0 1 . 1 ln n i n i i i d n n L X d X = = = = = + Vì ( ) ( ) 2 2 2 ln 0 ( 1) d n L d = < nên điểm dừng chính là điểm cực đại và 1 1 ln n i i n X = = + là ớc lợng hợp lý cực đại của tham số . Đại học quốc gia hà nội Trờng đại học công nghệ môn Thi: xác suất-thống kê-QTNN (5 đơn vị học trình) Các lớp: K50 CA và CC Đề số 1 (120 phút) 1) Cho A và B là 2 sự kiện. Sử dụng định nghĩa xác suất theo tiên đề, lần lợt chứng minh: a) Công thức cộng xác suất. b) ( ) ( ) ( ) .P A B P A P B + c) ( ) ( ) ( ) 1 .P A B P A P B 2) Xác suất để truy nhập vào một trang web tại một thời điểm nào đó là 0,7. Gọi X là số lần thử để truy nhập thành công vào trang web. Ký hiệu hàm xác suất { } ( )p x P X x= = . a) Tính hàm xác suất p(x) với x=1, 2, 3, 4. b) Tính hàm phân phối ( ) { } X F x P X x= với x=2 và với x=4. c) Tính { } 2 5P X< < và { } 3 4 .P X 3) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Laplace có dạng sau: ( ) ( ) , exp , 2 f x x x R = a) Xác định ớc lợng hợp lý cực đại của . b) Tính với mẫu cỡ 5 nh sau ( ) 1 2 3 4 5 , , , ,x x x x x = ( ) 2,1; 2,7;1,7;2,6;0,9 . 4) Giả sử X là thời gian lắp ráp một thiết bị mới tại một phân xởng lắp ráp của một nhà máy lớn. X là biến ngẫu nhiên có ( ) 2 D X = đã biết, cụ thể 3,6 = nhng ( ) E X à = cha biết. Qua điều tra 121 công nhân lắp ráp cùng thiết bị mới, ngời