phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên của một số trường trên cả nước

125 736 0
phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên của một số trường trên cả nước

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA MỘT SỐ TRƯỜNG TRÊN CẢ NƯỚC NĂM 2017 Nhóm thực • Phạm Quốc Sang Cựu học sinh trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam • Phạm Hữu Hiệp Cựu học sinh trường THPT Chuyên Tiền Giang, Tiền Giang • Lê Minh Cường Cựu học sinh trường THPT TT Quốc Văn Sài Gòn • Bùi Tiến Lộc Cựu học sinh trường phổ thông khiếu ĐHQG TPHCM • Nguyễn Thị Tuyết Như Cựu học sinh trường THPT Nguyễn Trãi, Đồng Nai • Châu Ngọc Vinh Cựu học sinh trường THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi • Vương Phú Quý Cựu học sinh trường THPT Buôn Hồ, Đăk Lăk • Nguyễn Cao Đẳng Cựu học sinh trường THPT Nguyễn Tất Thành, Đồng Nai • Phạm Duy Nguyên Cựu học sinh trường THPT Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi Mục lục Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM Đề thi Phổ thông khiếu đại học Quốc gia TP HCM (vòng 1) 19 Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa, vòng 1-2017 31 Đề thi tuyển sinh trường KHTN - ĐHQG Hà Nội năm 2017-2018 (Không Chuyên) 38 Đề thi tuyển sinh trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội (Vòng 2) 44 Đề thi tuyển sinh trường THPT chuyên, Bình Dương, 2017 62 Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 69 Đề thi tuyển sinh trường THPT Chuyên Lê Q Đơn, Bà Rịa - Vũng Tàu (vòng 2) Đề thi tuyển sinh trường THPT chuyên, tỉnh Bạc Liêu 81 94 10 Đề thi chuyên sở GD&ĐT Hưng Yên 103 11 Đề thi THPT chuyên Lương Thế Vinh sở GD&ĐT Đồng Nai 111 12 Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Tiền Giang 116 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM Bài a) Cho số thực a, b, c cho a + b + c = 3, a2 + b2 + c2 = 29 abc = 11 Tính a5 + b5 + c5 b) Cho biểu thức A = (m + n)2 + 3m + n với m, n số nguyên dương Chứng minh A số phương n3 + chia hết cho m Phân tích a) Để tính a5 + b5 + c5 , ta cần biểu diễn a5 + b5 + c5 theo biểu thức đối xứng chứa biến a, b, c Trong đó, bậc a, b, c biểu thức nhỏ Phân tích theo bậc ta dễ thấy: i) a5 + b5 + c5 = (a2 + b2 + c2 )(a3 + b3 + c3 ) − [a2 b2 (a + b) + b2 c2 (b + c) + c2 a2 (c + a)] ii) a5 + b5 + c5 = (a + b + c)(a4 + b4 + c4 ) − [ab(a3 + b3 ) + bc(b3 + c3 ) + ca(c3 + a3 )] Như vây, ta cần tính ab + bc + ca, a3 + b3 + c3 , a4 + b4 + c4 (a + b + c)2 − (a2 + b2 + c2 ) • ab + bc + ca = • Tính a3 + b3 + c3 Đối với a3 + b3 + c3 ta có nhiều đẳng thức biểu thị a3 + b3 + c3 qua biểu thức chứa biến a, b, c (a, b, c đối xứng nhau) sau: a) a3 + b3 + c3 = (a2 + b2 + c2 )(a + b + c) − [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] b) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) c) a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 − 3(a + b)(b + c)(c + a) • a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2 )2 − 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) b) Bước Ta cần tìm mối liên hệ m n để A = (m + n)2 + 3m + n số phương Do A xuất (m + n)2 nên hiển nhiên A > (m + n)2 Như vậy, ta tìm số α (α ∈ N∗ ) nhỏ cho A < (m + n + α)2 sau ta dùng phương pháp chặn để tìm biểu thức f (m, n) cho A = [f (m, n)]2 Ta xét 3m + n < 2α(m + n) + (α)2 (∗) Dễ thấy α = số nguyên dương nhỏ thỏa (∗) Khi ta có (m + n)2 < (m + n)2 + 3m + n < (m + n + 2)2 Do (m + n)2 < A < (m + n + 2)2 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM Từ đây, ta suy A = (m + n + 1)2 Do m = n + Bước Chứng minh n3 + m (hiển nhiên) Lời giải a) • Tính ab + bc + ca Ta có (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + (ab + bc + ca) ⇔ 32 = 29 + (ab + bc + ca) ⇔ ab + bc + ca = −10 • Tính a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 Ta có: (ab + bc + ca)2 = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2abc(a + b + c) ⇔ (−10)2 = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2.11.3 ⇔ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = 34 • Tính a3 + b3 + c3 Cách a3 + b3 + c3 = (a2 + b2 + c2 )(a + b + c) − [ab(a + b) + bc(b + c)] = 29.3 − [ab(3 − c) + bc(3 − a) + ca(3 − b)] = 87 − [3(ab + bc + ca) − 3abc] = 87 − [3.(−10) − 3.11] = 150 Cách a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 − (a + b) (b + c) (c + a) = 27 − 3.[ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc] = 27 − 3.[ab(3 − c) + bc(3 − a) + ca(3 − b) + 2abc] = 27 − 3.[3(ab + bc + ca) − abc] = 27 − 3.[3.(−10) − 11] = 150 Cách a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) + 3abc = 3[29 − (−10)] + 3.11 = 150 • Tính a4 + b4 + c4 Cách a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2 )2 − 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) = 292 − 2.34 = 773 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM Cách Ä ä Ä ä Ä ä Ä ä a4 + b4 + c4 = (a + b + c) a3 + b3 + c3 − [ab a2 + b2 + bc b2 + c2 + ca c2 + a2 ] ỵ Ä ä Ä ä Ä = 3.150 − ab 29 − c2 + bc 29 − a2 + ca 29 − b2 äó = 450 − [29 (ab + bc + ca) − abc (a + b + c)] = 450 − [29 (−10) − 11.3] = 773 • Tính a5 + b5 + c5 Cách a5 + b5 + c5 = (a2 + b2 + c2 )(a3 + b3 + c3 ) − [a2 b2 (a + b) + b2 c2 (b + c) + c2 a2 (c + a)] ỵ ó = 29.150 − a2 b2 (3 − c) + b2 c2 (3 − a) + c2 a2 (3 − b) ỵ Ä ä ó = 4350 − a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 − abc (ab + bc + ca) = 4350 − [3.34 − 11.(−10)] = 4138 ‘ Cách a5 + b5 + c5 = (a + b + c)(a4 + b4 + c4 ) − [ab(a3 + b3 ) + bc(b3 + c3 ) + ca(c3 + a3 )] = 3.773 − [ab(150 − c3 ) + bc(150 − a3 ) + ca(150 − b3 )] ỵ Ä = 2319 − 150 (ab + bc + ca) − abc a2 + b2 + c2 äó = 2319 − [150.(−10) − 11.29] = 4138 b) Do m, n ∈ N∗ suy 3m + n < 4(m + n) + ⇒ (m + n)2 < A < (m + n)2 + (m + n) + ⇒ (m + n)2 < A < (m + n + 2)2 Do A số phương nên A = (m + n + 1)2 Từ suy (m + n)2 + 3m + n = (m + n + 1)2 ⇔ (m + n)2 + 3m + n = (m + n)2 + 2(m + n) + ⇔ 3m + n = 2(m + n) + ⇔ m = n + Khi ta có: n3 + = (n + 1)(n2 − n + 1) (n + 1) Hay n3 + m ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM Bình luận a) Đây dạng tốn quen thuộc xuất nhiều kì thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi trước Để giải tốn, đòi hỏi học sinh nắm vững kỹ biến đổi đại số Lưu ý Ta tổng qt tốn để tính an + bn + cn (n số nguyên dương) cách đưa tốn dãy số truy hồi (cách tơi xin gợi ý cách giải thông qua tập tương tự bên dưới) Với hướng này, tính a3 + b3 + c3 cách sau:    a+b+c     =3 Do a, b, c thỏa :  ab + bc + ca = −10      abc = 11 Nên theo định lí Vi-et ta có a, b, c nghiệm phương trình x3 −3x2 −10x−11 = Khi ta dễ thấy rằng:    a3     b       = 3a2 + 10a + 11 = 3b2 + 10b + 11 c = 3c2 + 10c + 11 Từ suy a3 +b3 +c3 = 3(a2 +b2 +c2 )+10(a+b+c)+33 = 3.29+10.3+33 = 150 b) Đây toán tương đối hay đa số học sinh tập trung vào chứng minh chia hết Do đó, vơ tình học sinh ngược lại với mục đích thật tốn tìm mối liên hệ m, n để A số phương Bài tập tương tự a) 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = 9, a2 + b2 + c2 = 35, abc = 15 Tính a9 + b9 + c9 Phạm Quốc Sang-SV ĐHSP TPHCM 2) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = 8, a2 + b2 + c2 = 30, abc = 10 Đặt Sn = an + bn + cn Chứng minh Sn+3 = 8Sn+2 − 17Sn+1 + 10Sn Áp dụng tính S4 , S5 , S20 Phạm Quốc Sang-SV ĐHSP TPHCM b) 1) Cho biểu thức A = 4m2 + n2 + 4mn + 6m + n + với m, n số nguyên dương Chứng minh A số phương mp + n với p số nguyên tố lớn Phạm Quốc Sang-SV ĐHSP TPHCM ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM 2) Cho A = (n2 − n + 2m)2 + 6n2 + 4m + 2n + với m, n số nguyên dương Chứng minh A số phương (nk + 1) (m + 2) (với k ∈ N, k lẻ) ns − m, ∀s ∈ N∗ Phạm Quốc Sang-SV ĐHSP TPHCM Bài √ a) Giải phương trình: 2(x + 2) 3x − = 3x2 − 7x −    x + 10 − = −1 y x (∗) b) Giải hệ phương trình:   20y − xy − y = (∗∗) Phân tích a) Dễ thấy phương trình ban đầu có dạng √ (ax + b) cx + d = ex2 + f x + g Nếu tốn dạng có nghiệm đẹp ta có nhiều phương pháp để giải phương trình khơng có nghiệm đẹp ta khơng đốn nghiệm ta thường sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn để giải √ Để sử dụng phương pháp này, ta cần đặt t = 3x − sau đưa phương trình ban đầu dạng g(x, t) = với bậc x t g(x, t) hai hai biến x, t hai biến lại có bậc khơng q hai Khi phân tích vế phải phương trình ban đầu theo t ta giữ ngun 3x2 ta phân tích 3x2 theo t bậc t lúc bậc Như vậy, phương trình ta trở thành phương trình bậc theo biến t (điều ngược với mục đích ban đầu) Vậy ta phân tích phương trình ban đầu thành: (x + 2) √ 3x − = 3x2 + ax + b (3x − 1) + c (∗)    a + 3b = −7 Trong đó:  (∗∗)  −b + c = −3 √ Đặt t = 3x − (t ≥ 0) phương trình (∗) trở thành 3x2 + ax + bt2 + c = (x + 2) t ⇔ 3x2 + (a − 2t) x + bt2 − 4t + c = ∆ = (a − 2t)2 − 4.3 bt2 − 4t + c = (4 − 12b) t2 − 4t (a − 12) + a2 − 12c Ä ä Ta chọn a, b, c thỏa (∗∗) ∆ số phương Chọn b = −1 suy a = −4 c = −4 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM Ngoài ra, ta giải tốn cách bình phương hai vế để đưa phương trình bậc 9x4 − 54x3 − 13x2 + 10x + 25 = Để giải phương trình ta sử dụng tham số hóa để tách vế trái phương trình thành tích hai tam thức bậc hai Sau ta giải phương trình "con" b) Chỉ cần quy đồng hai vế phương trình (∗) ta nhận tương đồng hệ số phương trình (∗∗) Hoặc chia hai vế phương trình (∗∗) cho y ta nhận thấy tương đồng hệ số phương trình (∗) Từ đó, ta cộng vế theo vế để tìm mối liên hệ x y a) Cách ĐKXĐ: x ≥ Lời giải √ 3x − = 3x2 − 7x − √ ⇔ (x + 2) 3x − = 3x2 − 4x − (3x − 1) − (x + 2) Đặt t = √ 3x − (t ≥ 0) Khi phương trình ban đầu trở thành: 3x2 − 4x − t2 − − (x + 2) t = ⇔ 3x2 − (t + 2) x − t2 − 4t − = (∗) Ta xem (∗) phương trình bậc hai theo biến x, tham số t Ta có: ∆∗ = (t + 2)2 − −t2 − 4t − = (2t + 4)2 Ä ä Khi đó:  −t − (t + 2) − (2t + 4) = 3 (t + 2) + (2t + 4) x= = t + x    − = (mẫu thuẫn với ĐKXĐ t ≥ 0) Giải phương trình: x=t+2⇔x−2=   x ⇔ √ 3x − − 4x + = 3x − √ + 29 ⇔x= √ + 29 Thử ta tập ngiệm phương trình S = Cách ĐKXĐ: x ≥  x2 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM Từ phương trình ban đầu suy ra: ä2 4(x + 2)2 (3x − 1) = 3x2 − 7x − Ä ⇔ 9x4 − 54x3 − 13x2 + 10x + 25 = Ä äÄ ä ⇔ x2 − 7x + 9x2 + 9x + = √ ± 29 ⇔x= √ + 29 Đối chiếu điều kiện xác định thử lại ta thấy x = √ + 29 Vậy tập nghiệm phương trình S = b) Cách ĐKXĐ: x, y = Ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với:     x + 10 − = −1 y x    20y − x − = y (1) (2) 10 Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: 20y − = ⇔ xy = x −1 Thay xy = vào (∗∗) giải ta y = ∨y = 10 ⇒x= 10 −1 ⇒ x = −2 • Nếu y = • Nếu y = −1 Thử lại ta nghiệm hệ ( ; ) (−2; ) 10 Cách ĐKXĐ: x, y = Do x, y = nên nhân hai vế phương trình (∗) cho xy phương trình (∗∗) cho x phương trình ban đầu trở thành:    x2 y + x − 10y + xy =   20xy (1) − x2 y − xy − x = (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: 20xy − 10y = ⇒ xy = ( y = 0) −1 Tới giải tương tự cách 1, ta nghiệm hệ ( ; ) (−2; ) 10 Bình luận a) Đây tốn khó học sinh khơng tiếp cận phương pháp "đặt ẩn phụ khơng hồn tồn" Đa số học sinh dự đốn nghiệm để tìm hướng giải ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM hướng khó khăn nghiệm tốn biểu thức chưa Do √ đó, toán cho dạng (ax + b) cx + d = ex2 + f x + g ta nên sử dụng phương pháp "đặt ẩn phụ khơng hồn tồn" để giải b) Câu hệ tương đối dễ so với năm, dễ dàng nhìn hướng giải quy đồng phương trình (∗) Bài tập tương tự a) √ 1) Giải phương trình: (2x + 1) x − = 2x2 − 3x − Phạm Quốc Sang-SV ĐHSP TPHCM √ 2) Giải phương trình: (4x + 3) 2x − = 5x2 + x − Phạm Quốc Sang-SV ĐHSP TPHCM √ 3) Giải phương trình: (2x − 1) 2x + = x2 + x + Trích đề thi HSG lớp 10 tỉnh Đồng Nai năm 2017 b) 1) Giải hệ phương trình: + =4 x y    2y −    x2 − 4x + 2xy = Phạm Quốc Sang-SV ĐHSP TPHCM 2) Giải hệ phương trình:    xy + y − 4y = −1   2x2 y − y − 6xy = Phạm Quốc Sang-SV ĐHSP TPHCM Bài Cho tam giác ABC có AB < AC < BC Trên cạnh BC, AC lấy điểm M, N cho AN = AB = BM Các đường thẳng AM BN cắt K Gọi H hình chiếu K lên AB Chứng minh rằng: a) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm KH b) Các đường đường tròn nội tiếp tam giác ACH BCH tiếp xúc với Phân tích a) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Để chứng minh I nằm KH ta cần ý đến giả thiết toán ∆ABM , 10 11 ĐỀ THI THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI 11 Đề thi THPT chuyên Lương Thế Vinh sở GD&ĐT Đồng Nai Bài Ç Cho biểu thức P = √ å √ a+ a a−1 √ √ + : , với a ≥ a = a a+a+ a+1 a+1 a+1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm số tự nhiên a = cho biểu thức P nhận giá trị nguyên √ √ √ Phân tích a) Để ý phân tích nhân tử mẫu a a + a + a + = (a + 1)( a + 1) Từ qui đồng mẫu thức ngắn dễ dàng √ a+1 b) Sau rút gọn P = √ =1+ √ Từ đó, để P nhận giá trị nguyên a−1 a−1 √ phân số √ phải nhận giá trị nguyên, a − phải ước số a−1 Lời giải a) Với điều kiện a ≥ a = ta có: √ Ç å √ a+ a a−1 √ √ P = + : a +å1 √ a + Ç a √a +√a + a + a( a + 1) a−1 √ = + : a+1 a+1 √+ 1)( a + 1) Ç (a å a a+1 = + √ a−1 √a + a + a+1 a+1 = √ a−1 √a + a+1 =√ a−1 √ a+1 =1+ √ b) Ta có P = √ a−1 a−1 √ √ Từ P ∈ Z ⇔ √ ∈ Z ⇔ a − 1|2 ⇔ a − ∈ {±1, ±2} ⇔ a ∈ {0; 4; 9} a−1 Bài a) Giải phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24    x2 − 4xy + x + 4y = b) Giải hệ phương trình   x2 − y = −3 111 11 ĐỀ THI THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Phân tích a) Phương trình ta nhân đa thức vào ta thu phương trình bậc Tuy nhiên, dạng phương trình qui bậc dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e, với a + d = b + c b) Hệ phương trình có phương trình thứ nhiều hệ số liên kết phương trình thứ hai đơn giản Phân tích nhân tử phương trình thứ ta thu (x−1)(x−4y+2) = Lời giải a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 ⇔ (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 Đặt t = x2 + 5x + Khi phương trình trở thành t(t + 2) = 24 ⇔ t2 + 2t − 24 = ⇔ t = ∨ t = −6 Khi t = Thay vào ta x2 + 5x = ⇔ x = ∨ x = −5 Khi t = −6 Thay vào ta x2 + 5x + 10 = 0, phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S = {0; −5} b) Từ phương trình thứ ta có x2 − 4xy + x + 4y = ⇔ x2 + x − − 4y(x − 1) = ⇔ (x − 1)(x + − 4y) = TH1 x = Thay vào pt thứ hai ta có y = ⇔ y = ±2 TH2 x = 4y − Thay vào pt thứ hai ta có 15y − 16y + = 0, phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; ±2) Bài Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − x − = Lập phương trình bậc hai nhận 2x1 + x2 x1 + 2x2 làm nghiệm Phân tích Để lập phương trình bậc hai có nghiệm cho trước cần sử dụng định lý Vi-ét đảo Nghĩa tìm tổng tích hai nghiệm cho trước Lời  giải Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai x − x − = ta có:      x1 + x = (2x1 + x2 ) + (x1 + 2x2 ) = 3(x1 + x2 ) = Từ ta có:     x1 x2 = −5 (2x1 + x2 )(x1 + 2x2 ) = 2(x2 + x2 ) + 5x1 x2 = 2(x1 + x2 )2 + x1 x2 = −3 Vậy theo định lý Vi-ét đảo phương trình X − 3X − = nhận 2x1 + x2 x1 + 2x2 làm nghiệm 112 11 ĐỀ THI THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Bài a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 + 2y − 2xy − 4x + 8y + = b) Cho ba số thực không âm a, b, c Chứng minh: ab(b2 + bc + ac) + bc(c2 + ca + ab) + ac(a2 + ab + bc) ≤ (ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2 ) Phân tích a) Phương trình nghiệm ngun cho có dạng bậc theo biến Dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình bậc ta thu miền giá trị biến lại b) Dễ thấy bậc đa thức bất đẳng thức xảy a = b = c Biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh ta thu bất đẳng thức đơn giản Từ sử dụng BĐT AM-GM để thu điều cần chứng minh Lời giải a) Cách Xem phương trình bậc hai theo biến x với tham số y x2 − 2x(y + 2) + 2y + 8y + = Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ (y + 2)2 − (2y + 8y + 7) ≤⇔ −y − 4y − ≥ ⇔ y ∈ [−3; −1] TH1 y = −3 Thay vào phương trình ban đầu ta có x2 + 2x + = ⇔ x = −1 TH2 y = −2 Thay vào phương trình ban đầu ta có x2 − = ⇔ x = ±1 TH3 y = −1 Thay vào phương trình ban đầu ta có x2 − 2x + = ⇔ x = Vậy phương trình có (−3; −1), (−2; ±1), (−1; 1) Cách Xem phương trình bậc hai theo biến y (học sinh tự làm tương tự) Cách Phân tích thành tổng bình phương (x − y − 2)2 + (y + 2)2 = Từ ta có (y + 2)2 ≤ ⇔ −1 ≤ y + ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ −1 113 11 ĐỀ THI THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI b) Biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh có: ab(b2 + bc + ac) + bc(c2 + ca + ab) + ac(a2 + ab + bc) ≤ (ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2 ) ⇔ ab3 + bc3 + ca3 + 2abc(a + b + c) ≤ ab3 + bc3 + ca3 + ab(a2 + c2 ) + bc(a2 + b2 ) + ca(b2 + c2 ) ⇔ 2abc(a + b + c) ≤ ab(a2 + c2 ) + bc(a2 + b2 ) + ca(b2 + c2 ) Theo BĐT AM-GM ab(a2 + c2 ) + bc(a2 + b2 ) + ca(b2 + c2 ) ≥ ab.2ac + bc.2ab + ca.2bc = 2abc(a + b + c) Vậy ta có điều phải chứng minh Bài Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi ABCDE có đỉnh A, B, C, D, E điểm nguyên (điểm gọi điểm ngun có hồnh độ tung độ ngun) Chứng minh có điểm nguyên M nằm bên thuộc cạnh ngũ giác cho, với M khác đỉnh ngũ giác cho Phân tích Bài tốn cho năm điểm ngũ giác lồi có tọa độ ngun Bài tốn cần chứng minh có điểm nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước Với yêu câu toán này, kiến thức thường sử dụng nguyên lý Dirichlet Lời giải Trong năm điểm A, B, C, D, E theo nguyên lí Dirichlet có ba điểm có hồnh độ tính chất chẵn, lẻ Xét trường hợp sau: TH1 Giả sử tồn ba điểm có hồnh độ số chẵn Khi ba điểm có hai điểm có tung độ tính chẵn, lẻ Khi trung điểm hai điểm có tọa độ nguyên Do ABCDE ngũ giác lồi, trung điểm hai đỉnh ln nằm thuộc cạnh, không trùng với đỉnh TH2 Giả sử tồn ba điểm có hồnh độ số lẻ Khi ba điểm có hai điểm có tung độ tính chẵn, lẻ Khi trung điểm hai điểm có tọa độ nguyên Do ABCDE ngũ giác lồi, trung điểm hai đỉnh nằm thuộc cạnh, không trùng với đỉnh 114 11 ĐỀ THI THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Bài ÷ ABC, ÷ BCA ÷ góc nhọn Đường tròn tâm Cho tam giác ABC có ba góc CAB, O đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC hai điểm M, N ; với M khác B, ÷ OM ◊ N khác C Hai tia phân giác hai góc CAB, N cắt điểm P ◊ ÷ Chứng minh tứ giác AM P N nội tiếp đường tròn a) Chứng minh OM N = CAB b) Gọi Q giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BM P CN P , với Q khác P Chứng minh ba điểm B, Q, C thẳng hàng c) Gọi O1 , O2 , O3 tâm ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác AM N, BM P, CN P Chứng minh bốn điểm O, O1 , O2 , O3 thuộc đường trũn Li gii a) Cỏch Ta cú ầ ữ CAB A å 1 ˘ = 90◦ − sđM N 2 ˘ + sđN ¯ = sđBM C ◊+N ◊ = BCM MC N M ◊ ◊ = CM O+N MC P ◊ =N MO B ◊ ÷ BCN M tứ giác nội Cách Ta có AM N = BCA ◊ ÷ Vậy OM ◊ ÷ tiếp Hơn BM O = ABC N = CAB ÷ ◊ Suy N AP = N M P Vậy AM P N tứ giác nội tiếp 115 O C 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG ÷ = AM ◊ b) Ta có BQP P , BM P Q tứ giác nội tiếp A ÷ = AN ÷ Hơn CQP P , CN P Q tứ giác nội tiếp ◊ ÷ ÷ + CQP ÷ = 180◦ , Mà AM P + AN P = 180◦ Do BQP O1 mà hai góc nằm vị trí góc kề Vậy B, Q, C thẳng N hàng M c) Ta có OO2 ⊥AB đường tròn (O) (O2 ) cắt P ÿ BM Tương tự OO3 ⊥AC Suy O OO3 = ÷ 180◦ − BAC B Tương tự ta có O1 O3 ⊥P N O1 O2 ⊥P M Suy O3 O2 Q O ◦ Ÿ ◊ O O1 O3 = 180 − M P N ◦ ÿ Ÿ ÷ ◊ Ta có O OO3 + O2 O1 O3 = 360 − BAC + M P N = 180◦ Vậy O1 O2 OO4 tứ giác nội tiếp Vậy bốn điểm O, O1 , O2 , O3 thuộc đường tròn 12 Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Tiền Giang Bài √ √ 4+2 3− Rút gọn biểu thức A = Ä√ ä» √ + 17 − 38 − √ Giải phương trình x2 − x3 + x = 6x − »     x2 Giải hệ phương trình   + 9y + 8xy + 24 = x − 3y Phân tích + xy = √ √ Tiếp cận toán này, ta để ý + = ( + 1)2 nên khai được, tử số sau rút gọn Với mẫu số, khơng khó để đốn bậc ba lập phương biểu thức, cụ thể liên hợp √ + Từ nhận xét đó, tốn trở nên đơn giản vơ cùng! Tiếp cận toán, ta ý để biểu thức căn, bậc hai, » √ lại đa thức bậc ba Để ý x3 + x = x(x2 + 1) chuyển vế từ vế phải qua vế trái phương trình ta lại có lượng x2 + Từ đây, ta nghĩ √ đến việc đặt t = x2 + 1, đưa phương trình ban đầu dạng phương trình đẳng 116 C 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG cấp t2 − √ xt − 6x = Tiếp cận phương trình ta thấy x2 + 9y phần (x − 3y)2 Hay nói cách khác, ta có thêm bớt để đưa x2 + 9y (x − 3y)2 Thật vậy, biến đổi phương trình thứ x2 + 9y + 8xy + 24 = ⇔ (x − 3y)2 + 14xy + 24 = Đến đây, bạn nhận việc cần làm tiếp theo, thay xy = −(x − 3y) vào phương trình ta thu phương trình bậc hai theo ẩn (x − 3y) Việc lại giải chúng thơi! Lời giải Ta có … Ä√ ä2 √ √ 3+1 − 4+2 3− … = Ä√ A = Ä√ ä» √ ä Ä√ ä3 + 17 − 38 − 5+2 5−2 −2 1 ä Ä√ ä = Ä√ = = −1 −1 5+2 5−2 −2 » Với x ≥ 0, đặt t = √ √ x2 + ≥ Khi đó, phương trình cho tương đương với t2 − √ x · t − 6x = Do x = khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x = ta Ç t √ x å2 t t t − √ −6 = ⇔ √ = 3, (thỏa t, x ≥ 0)∨ √ = −2, (không thỏa t, x ≥ 0) x x x Khi √ 77  x= √ √ t  2 2√ √ = ⇔ x2 + = x ⇔ x + = 9x ⇔ x − 9x + = ⇔   − 77 x x= √ √ + 77 − 77 Kiểm tra lại ta thấy phương trình cho có hai nghiệm x = ; 2      x2   + 9y + 8xy + 24 = x − 3y + xy =    (x − 3y)2 ⇔  xy + 14xy + 24 = = − (x − 3y) 117 9+ 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta  x − 3y = (x − 3y)2 − 14 (x − 3y) + 24 = ⇔   x − 3y = 12 Với x − 3y = ta có hệ phương trình    x − 3y   xy    x − 3y =2 ⇔ = −2 =2  x · (−3y) = Theo hệ thức Viète x, −3y nghiệm phương trình z −2z +6 = 0, (vô nghiệm) Với x − 3y = 12 ta có hệ phương trình    x − 3y   xy = 12 = −12    x − 3y ⇔ = 12  x · (−3y) = 36 Theo hệ thức Viète x, −3y nghiệm phương trình z − 12z + 36 = ⇔ z = Khi - Nếu x = y = −2 - Nếu y = x = −2 Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) = (6; −2) , (−2; 6) Bình luận Theo cảm nhận riêng tôi, câu ghi điểm đề thi này, khơng đánh đố học sinh nhiều Việc đoán » √ √ √ 17 − 38 = ( − 2)3 = − khơng khó đối tượng » bạn thí sinh thi vào khối lớp chuyên tốn với suy đốn tốn khơng để bàn luận thêm Phương trình hay không đơn giản Với cách đặt √ x2 + = t tất nghĩ Tuy nhiên, với số bạn khác chuyển phương trình dạng √ x3 + x = x2 − 6x + 1, bình phương hai vế để đưa phương trình bậc bốn với hệ số bậc cao Đến đây, việc giải phương trình bậc bốn khơng q khó, bạn biết 118 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUN TIỀN GIANG ln tách thành tích hai tam thức bậc hai, nghĩa sau bình phương rút gọn, ta hồn tồn đưa phương trình dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = phương pháp hệ số bất định Tuy vậy, phương pháp vất vả cách giải hay! Bài tập tương tự √ 13 − + a) Rút gọn biểu thức A = Ä √ ä » √ √ 2 + · −25 + 22 + − » √ √ −55 + 63 − b) Rút gọn biểu thức A = Ä√ ä » √ 7−1 · 8−2 7−5 » Phạm Hữu Hiệp - SV khoa Toán, ĐHSP TP.HCM Giải phương trình x4 − √ x6 + x2 = 6x2 −    49x2 Giải hệ phương trình    + 25y − 2xy = 35 7x − 5y + 2xy = Phạm Hữu Hiệp - SV khoa Toán, ĐHSP TP HCM Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng d : y = (m + 1) x − m2 , m tham số Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt (P ) hai điểm phân biệt A (x1 ; y1 ), B (x2 ; y2 ) thỏa mãn (x1 − m)2 + x2 = 3m Cho phương trình x2 + mx − = 0, m tham số Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Tìm tất giá trị m cho biểu thức A = (x21 − 1) (x22 − 4) đạt giá trị lớn Phân tích Tiếp cận tốn này, để tìm giá trị m để đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt ta lập phương trình hồnh độ giao điểm Tuy nhiên, bước "bé nhỏ" việc giải tốn Ý đồ người đề có lẽ ý sau "hai nghiệm thỏa mãn (x1 − m)2 + x2 = 3m.” 119 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG Sau lập phương trình hoành độ giao điểm biến đổi ta thấy x2 = 2(m + 1)x − m2 ⇔ x2 − 2mx + m2 = 2x ⇔ (x − m)2 = 2x Rõ ràng x1 nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm nên phải có 2x1 = (x1 − m)2 Từ đó, ta có 2x1 + x2 = 3m Đến đây, kết hợp với hệ thức Viète ta hoàn tồn tìm m thỏa u cầu tốn Nhìn phương trình ta biết phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Do ta khơng phân tích ý mà tập trung vào ý hai Với toán này, việc học sinh có gắng biến đổi A thành tổng tích để dùng hệ thức Viète vơ vọng, biểu thức khơng đối xứng Do tích x1 x2 số cụ thể, nên cách giải tốt thay vào đánh giá A Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P ) đường thẳng d x2 = (m + 1) x − m2 ⇔ x2 − (m + 1) x + m2 = Đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt ∆ = [− (m + 1)]2 + m2 > = (m + 1)2 + m2 > 0, (ln đúng) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Khi theo hệ thức Viète ta có    x + x2 = 2(m + 1)   x1 x2 = m2 Mặt khác (x1 − m)2 + x2 = 3m ⇔ x21 − 2x1 m + m2 + x2 = 3m ⇔ x21 − 2(m + 1)x1 + m2 + 2x1 + x2 = 3m ⇔ 2x1 + x2 = 3m    x Kết hợp với x1 + x2 = 2(m + 1) ta    x2 120 =m−2 = m + 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG Thay vào x1 x2 = m2 ta phương trình theo biến m (m − 2) (m + 4) = m2 ⇔ 2m − = ⇔ m = Vậy với m = 4, đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A, B thỏa yêu cầu đề cho Do ac = −2 < nên phương trình x2 + mx − = ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị tham số m Khi đó, theo hệ thức Viète ta có    x + x2 = −m   x1 x2 = −2    x + x2 = −m   x1 = − x2 ⇔ Ta có Ä x22 − = (x1 x2 )2 −4x21 −x22 +4 = 8− äÄ A = x21 − ä √ 8 −x22 ≤ 8−2 · x22 = 8−4 2 x2 x2 Dấu ” = ” xảy √ = x ⇒ x1 = ∓ √ ⇔ x = ± 2 x2 Vậy m = Bình luận √ √ 2 ;− + √ 8− √ 4 8 Theo cảm nhận riêng tôi, tốn thật khơng q khó, nhiên khơng đơn giản! Sự đánh đố thể rõ việc học sinh có phát (x1 − m)2 = 2x1 hay khơng Thêm việc tìm x1 , x2 theo tham số m thơng qua giải hệ    2x    x1 + x2 = 2(m + 1) + x2 = 3m Bài toán đơn giản, cần tinh ý đưa A ẩn dùng bất đẳng thức Cauchy Có khó học sinh chưa quen với việc giải bất đẳng thức Bài tập tương tự Bài Tìm tất số nguyên tố p cho p2 + p + số phương 121 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG Phân tích Với toán này, p2 + p + số phương nên ta đặt chúng số phương k Lại để ý hệ số p2 , p nhau, nên ta nhân hai vế cho để đưa dạng bình phương, từ có đánh giá Ngồi cách trên, ta kẹp p2 + p + hai số phương, để hạn chế trường hợp giải Bởi tam thức bậc hai nên việc giải chúng khả thi Lời giải Cách p2 + p + số phương tồn k ∈ N cho p2 +p+6 = k ⇔ 4p2 +4p+24 = 4k ⇔ (2p+1)2 −4k = 23 ⇔ (2p+2k+1)(2p−2k+1) = 23 Nhận xét 2p + 2k + > 2p − 2k + 2p + 2k + > nên    2p + 2k + = 23   2p − 2k +1=1    p =5  k =6 ⇔ Kiểm tra lại với p = p2 + p + = 36 = 62 số phương Cách Ta có nhận xét p2 < p2 + p + < p2 + 6p + = (p + 3)2 Do xảy trường hợp sau    p + p + = (p + 1) p2 + p + = (p + 2)2  ⇔  p = 5, (là số nguyên tố) p = − , (vô lý) Kiểm tra lại với p = p2 + p + = 36 = 62 số phương Bình luận Đây tốn thuộc lĩnh vực số học thương xuyên xuất đề thi tuyển sinh vào khối lớp chuyên Toán trường Đi với giải phương trình nghiệm nguyên, hay tìm số để thỏa mãn điều kiện Tuy nhiên, mức độ tốn khơng phức tạp Bài tập tương tự 122 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O ; R ) cắt A, B, (R < R ) Kẻ tiếp tuyến chung CD (O) (O ), (C, D tiếp điểm C thuộc (O), D thuộc (O )) Qua B kẻ cát tuyến song song với CD cắt (O) E, cắt (O ) F Gọi G, H theo thứ tự giao điểm DA, CA với EF Gọi I giao điểm EC với F D a) Chứng minh ∆BCD = ∆ICD b) Gọi K giao điểm AB CD Chứng minh K trung điểm CD c) Chứng minh BI trung trực đoạn thẳng GH Phân tích a) Với câu a), ta nhận thấy CD cạnh chung hai tam giác ∆BCD ∆ICD, ngồi khơng cặp cạnh Do vậy, ta nghĩ đến việc tìm cặp góc tương ứng Dựa vào giả thiết CD tiếp tuyến chung hai đường tròn CD EF , việc tìm cặp góc đơn giản b) Với toán này, bạn nắm vững phương tích việc tìm lời giải đơn giản! Thật vậy, xét phương tích điểm K đường tròn (O) (O ) ta có PK/(O) = KC = KA · KB = KD2 = PK/(O ) Suy KC = KD tức K trung điểm CD Từ ý tưởng đó, ta chứng minh ý dựa vào tỷ số đồng dạng c) Để chứng minh BI trung trực GH ta cần chứng minh BI vuông góc với GH trung điểm B GH Nghĩa cần chứng minh hai điều: Một B trung điểm GH, hai BI ⊥ GH Ý gợi ý từ câu b) Ý thứ hai, ta chứng minh thông qua CD, CD ⊥ GH Lời giải Do CD Chứng minh ∆BCD = ∆ICD ’ = CEB ÷ IDC ’ = DF ÷ GH nên ICD B ÷ = DCB, ÷ (cùng chắn BC) ¯ DF ÷ ÷ (cùng chắn BD) ¯ Ta lại có CEB B = CDB, ’ = DCB ÷ IDC ’ = CDB ÷ Từ suy ICD ’ = DCB ÷ Do hai tam giác BCD tam giác ICD có cạnh CD chung; ICD ’ = CDB ÷ nên ∆BCD = ∆ICD, (g-c-g) IDC 123 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG Chứng minh K trung điểm CD Xét hai tam giác KCA tam giác KBC có ÷ chung; CKA ÷ = KBC, ÷ (cùng chắn AC) ¯ KCA Suy ∆KCA ∆KBC, (g-g) KC KA Suy = ⇒ KC = KA.KB KB KC Tương tự ta có KD2 = KA.KB Do KC = KD Vậy K trung điểm CD I C K D A O E O G B F H Do CD ⊥ GH nên ta có đẳng thức sau KC KA KD = = BH KB BG Từ K trung điểm CD suy B trung điểm GH (1) Mặt khác CD = CB DI = DB, (do ∆BCD = ∆ICD) nên CD trung trực BI, tức BI ⊥ CD Mà CD GH nên BI ⊥ GH 124 (2) 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TIỀN GIANG Từ (1) (2) suy BI đường trung trực GH Bình luận Bài tập tương tự 125 ... 103 11 Đề thi THPT chuyên Lương Thế Vinh sở GD&ĐT Đồng Nai 111 12 Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Tiền Giang 116 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên. .. sinh trường KHTN - ĐHQG Hà Nội năm 2017- 2018 (Không Chuyên) 38 Đề thi tuyển sinh trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội (Vòng 2) 44 Đề thi tuyển sinh trường THPT chuyên, Bình Dương, 2017 62 Đề thi tuyển...Mục lục Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM Đề thi Phổ thơng khiếu đại học Quốc gia TP HCM (vòng 1) 19 Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa, vòng 1 -2017 31 Đề thi tuyển

Ngày đăng: 01/11/2017, 18:56

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Ð tuyn sinh vào lp 10 chuyên Lê Hng Phong, TP HCM

  • Ð thi Ph thông nang khiu ai hoc Quc gia TP. HCM (vòng 1)

  • Ð thi tuyn sinh THPT Chuyên Lam Sn-Thanh Hóa, vòng 1-2017

  • Ð thi tuyn sinh trng KHTN - ÐHQG Hà Ni nam 2017-2018 (Không Chuyên)

  • Ð thi tuyn sinh trng THPT Chuyên KHTN Hà Ni (Vòng 2)

  • Ð thi tuyn sinh trng THPT chuyên, Bình Dng, 2017

  • Ð thi tuyn sinh THPT Chuyên Lê Hng Phong - Nam Ðinh

  • Ð thi tuyn sinh trng THPT Chuyên Lê Quý Ðôn, Bà Ria - Vung Tàu (vòng 2)

  • Ð thi tuyn sinh trng THPT chuyên, tinh Bac Liêu

  • Ð thi chuyên s GD&ÐT Hng Yên

  • Ð thi THPT chuyên Lng Th Vinh s GD&ÐT Ðng Nai

  • Ð thi tuyn sinh THPT Chuyên Tin Giang

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan