Đang tải... (xem toàn văn)
SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong việc dạy học toán ta ln coi mục đích chủ yếu hình thành phát triển tư toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì việc xây dựng hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng toán cần thiết Trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp năm gần có câu hình tọa độ khơng gian, có câu hình không gian mà dùng phương pháp tọa độ để giải tốn trở nên đơn giản Vì dạy chương phương pháp tọa độ không gian, thân trăn trở làm để học chương học sinh khơng thấy khó, mà phải tự tin làm bài.Với suy nghĩ dạy phần tập phương trình đường thẳng khơng gian chuẩn bị chuyên đề xem đề tài cải tiến phương pháp dạy học để dạy cho em: “ Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn viết phương trình đường thẳng không gian “ Và năm học 2014 - 2015 Bộ giáo dục lại gộp hai kỳ thi lại nên việc rèn luyện tổng hợp cho học sinh kỹ giải dạng toán cần thiết tơi mạnh dạn đưa toán nhằm giúp học sinh giải toán tốt PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN - Trong đề tài cho phép viết tắt: vtcp ( véc tơ phương ); vtpt (véc tơ pháp tuyến) - Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức đường thẳng, phương trình đường thẳng Muốn viết phương trình đường thẳng cần biết điểm mà qua véc tơ phương Viết phương trình đường thẳng → Bước 1: Tìm vtcp u (a; b; c) đường thẳng Bước 2: Tìm điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng Bước 3: Viết phương trình đường thẳng dạng: x = x0 + at Phương trình tham số : y = y + bt (t ∈ R) x = z + ct Phương trình tắc: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c (abc ≠ 0) Chú ý 1)Nếu đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) ( P ′) : A′x + B ′y + C ′z + D ′ = ( A′2 + B′2 + C ′2 ≠ 0) Khi đó: → → - Đường thẳng ( d) có vtcp u = n1 , n2 (Trong n1 ; n2 vtpt → → → (P) (P’) ) - Muốn tìm điểm thuộc (d) ta cho x = x 0, giải hệ phương trình tìm y, z (Thường cho x giá trị nguyên tìm y, z nguyên) uuu r 2) Đường thẳng (d) qua điểm A, B (d) có vtcp AB 3) Đường thẳng (d) vng góc với mp(P) (d) có vtcp vtpt (P) 4) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (∆) (d) (∆) có vtcp phương 5) Hai đường thẳng vng góc hai vtcp chúng vng góc với II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Đứng trước tốn hình học tọa độ khơng gian học sinh thường lúng túng không xác định đường lối, phương pháp giải Các em cho nhiều dạng toán nhớ hết dạng cách giải dạng đó, tốn khơng thuộc dạng gặp khơng giải Một số học sinh có thói quen khơng tốt đọc đề chưa kỹ kêu khó khơng làm Số tiết tập dành cho loại tập ít, sách giáo khoa dạng tập khơng có nhiều, số tài liệu có khơng có tính chất hệ thống Tuy nhiên có số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh Với thực trạng để giúp học sinh định hướng tốt trình giải tập nói chung tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian nói riêng giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, khai thác tính chất đặc trưng hình học tốn để tìm cách giải nhằm phát huy tính tự giác, tích cực học sinh Trong khuôn khổ đề tài nêu số toán, số cách giải số tập III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm có véc tơ phương → Cách giải : Biết A(x1; y1;z1) điểm cho trước, vtcp u (a; b; c) đường thẳng cho trực tiếp, cho gián tiếp → - Nếu cho trực tiếp vtcp u (a; b; c) đường thẳng ta viết x = x0 + at Phương trình tham số : y = y + bt x = z + ct Phương trình tắc: (t ∈ R) x − x0 y − y0 z − z0 (abc ≠ 0) = = a b c → - Nếu cho gián tiếp véc tơ phương đường thẳng ta tìm vtcp u (a; b; c) đường thẳng dựa vào giả thiết tốn Ví dụ1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình tắc đường thẳng (d) qua điểm M(-2;1;0) vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 1= Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có vtpt n(1;2;−2) Do đường thẳng (d) qua điểm M(-2;1;0) nhận n(1;2;−2) làm vtcp có phương trình tắc x + y −1 z = + −2 Ví dụ2 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho B( 1;2;1) C( 1;1;3).Viết phương trình tham số đường thẳng BC Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC qua B(1;2;1) nhận BC = (0;−1;2) làm : x = vtcp Vây BC có phương trình tham số : y = − t z = + 2t Ví dụ3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d 1) giao tuyến hai mặt phẳng (P): x + y - z +2 = (P’): 2x – y +5z - = 0.Viết phương trình tắc đường thẳng (d) qua điểm M(1;2;-2) song song với đường thẳng (d1) Hướng dẫn giải: → → → → u = n , n = ( ; − ; − ) Cách 1: Véc tơ phương (d) (Trong lần n ;n2 → lượt vtpt (P) (P’)) Đường thẳng (d) qua M(1;2;-2) nhận → u = (4 − − 3) làm vtcp có phương trình là: x −1 y − z + = = −7 −3 Cách : Gọi A(1;-4;-1), B(5;-11;-4) hai điểm thuộc đường thẳng (d 1).Ta có AB = (4;−7;−3) vtcp (d) Khi (d) có phương trình: x −1 y − z + = = −7 −3 Lưu ý: Có nhiều cách để chọn hai điểm thuộc (d 1), thông thường chọn giá trị x nguyên để tìm y ngun z ngun, mục đích để việc tính tốn dễ dàng Tuy nhiên nhiều tốn tìm điểm có tọa độ ngun thuộc đường thẳng (d1) gặp khó khăn dẫn đến thời gian, dễ dẫn đến sai lầm Nên học sinh phải biết lựa chọn cách giải cho phù hợp Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) (P) : 2x – 2y + z – 1= Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với (P) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B(1;3;4) đường thẳng x = + 2t (d ) : y = −3t Viết phương trình tham số, phương trình tắc ( có) z = + 3t đường thẳng (d) qua điểm B song song với đường thẳng (d1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 5; 7), B(1;2;3) C(-1;1;2) Viết phương trình tham số đường thẳng : a, Đi qua hai điểm A B b, Đi qua trọng tâm G tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC Bài tốn 2: Viết phương trình đường góc chung (d) hai đường thẳng chéo (d1) (d2) Cách giải : Cách 1: Viết phương trình (d1 ) , (d ) dạng tham số, suy toạ độ M ∈ (d1 ) theo tham số t, toạ độ N ∈ (d ) theo tham số t' MN u1 = Giải hệ MN u2 = tìm t, t' ( u1;u2 vtcp (d1 ) (d ) ), suy toạ độ điểm M, N Từ viết phương trình MN phương trình (d) Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có vtcp u1 qua A; Đường thẳng (d ) có vtcp u2 qua B Gọi (P) mặt phẳng chứa (d1 ) (d); Gọi (Q) mặt phẳng chứa (d ) (d), suy (d) giao tuyến (P) (Q) Từ suy phương trình đường thẳng (d) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) : x = −1 + 2t x y −1 z + = = (d ) : y = + t Viết phương trình tắc đường vng −1 z = góc chung (d) (d1 ) (d ) Hướng dẫn giải: → Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có vtcp u1 (2;−1;1) ; đường thẳng (d ) có vtcp → u (2;1;0) Gọi M (2t1 ;1 − t1 ;−2 + t1 ) ∈ (d1 ); N (−1 + 2t ;1 + t ;3) ∈ (d ) Suy MN u1 = 3t − 6t1 + = ⇔ ⇔ t = t1 = Khi MN u2 = 5t − 3t1 − = MN (2t − − 2t1 ; t + t1 ;5 − t1 ) Ta có M(2;0;-1); MN (−1;2;4) Do phương trình tắc đường vng góc chung (d) phương trình đường thẳng MN : x − y z +1 = = −1 → Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có vtcp u1 (2;−1;1) qua A(0;1;-2); Đường thẳng (d ) có vtcp u (2;1;0) qua B(-1;1;3); gọi u = u1 , u2 = (−1;2;4) → → → → Đường vng góc chung (d) (d1 ) (d ) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) đó: (P) mặt phẳng chứa (d1 ) (d) nên (P) qua A nhận → → → n1 = u , u1 = (2;3;−1) làm vtpt có phương trình là: 2x+3(y-1)-(z+2) = hay 3 2x+3y-z-5=0 (Q) mặt phẳng chứa (d ) (d) nên (Q) qua B nhận → → → n2 = u , u = (4;−8;5) làm vtpt có phương trình là: 4x - 8y + 5z – = 0.Vậy tập 2x + 3y - z - = (I) 4 x − y + z − = hợp điểm nằm (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: x = − t x − y z +1 = = Đặt y = 2t hệ (I) trở thành y = 2t hay −1 z = −1 + 4t Vậy đường thẳng (d) có phương trình tắc là: x − y z +1 = = −1 Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;1;4); B(3;3;1); C(1;5;5); D(1;1;1).Hãy viết phương trình tham số đường vng góc chung hai đường thẳng AC BD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) (d2) lần x = −1 + 3t x −2 y −3 z +4 = = lượt có phương trình (d1) : ; (d2): y = − 2t −5 z = − t Viết phương trình tắc đường vng góc chung chúng 3.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d 1): x−2 y+2 z = = (d2) giao tuyến hai mặt phẳng 3x –2y +z = 0; −2 x – 3z + = Viết phương trình tham số đường vng góc chung chúng Bài tốn 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với hai đường thẳng (d1) (d2) Cách giải : → → Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có vtcp u1 , đường thẳng (d2 ) có vtcp u Chọn → → u = k u1 ,u (k ≠ 0) làm vtcp (d) Suy phương trình (d) → Cách 2: Đường thẳng (d) giao tuyến cưa hai mặt phẳng (P) (Q), (P) mặt phẳng qua M vng góc với (d1 ) ; (Q) mặt phẳng qua M vng góc với (d ) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) hai đường thẳng (d1): x − y −1 z +1 x − y −1 z = = = = Viết phương trình tắc ; (d2): 1 −1 đường thẳng (d) qua M, vng góc với hai đường thẳng (d1) (d2) Hướng dẫn giải: → → Đường thẳng (d1 )có vtcp u1 (3;2;1) , (d2 ) có vtcp u (1;−1;1) Chọn u = u1 , u = (3;−2;−5) làm vtcp (d) Đường thẳng (d) qua M có → → → phương trình là: x − y +1 z −1 = = −2 −5 Giáo viên: Yêu cầu học sinh tự làm cách cịn lại Bài tập: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm N(3;2;4) vng góc với hai đường thẳng có phương trình x −1 y +1 z − x+4 y+2 z−4 = = = = −1 −3 Bài tốn 4: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M, vng góc với đường thẳng (d1) cắt đường thẳng (d2) Cách giải : Cách 1: Tìm véc tơ phương u (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N (d) (d2) qua t (đường thẳng (d2) viết dạng tham số), giải phương trình MN u = tìm t Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có vtcp MN Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với đường thẳng (d1) Tìm giao điểm N (P) với (d 2), chọn véc tơ k MN (k ≠ 0) 1vtcp (d) Từ suy phương trình đường thẳng (d) Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với đường thẳng (d1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M chứa đường thẳng (d 2) Đường thẳng (d) cần tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng (d) (d') có phương trình (d): x−2 y+2 z −3 = = ; (d'): −1 x −1 y −1 z +1 = = Viết phương trình tắc đường thẳng (∆) qua điểm A −1 vng góc với đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d') Hướng dẫn giải : → Cách 1: Đường thẳng (d) có vtcp u1 (2;−1;1) ; gọi (α ) mặt phẳng qua A → vng góc với (d) (α ) nhận u1 (2;−1;1) làm vtpt có phương trình là: 2x – y + z – = Gọi B giao điểm (d') (α ) tọa độ điểm B nghiệm x = 2 x − y + z − = hệ: x − y − z + ⇔ y = −1 Đường thẳng (∆) qua điểm A nhận − = = z = −2 AB(1;−3;−5) làm vtcp có phương trình tắc là: x −1 y − z − = = −3 −5 Giáo viên:Yêu cầu học sinh tự làm cách cịn lại Bài tập: 1.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1) hai đường thẳng (d1): x −1 y + z = = ; (d2) giao tuyến hai mặt phẳng x + y – z + = 0; 1 x + = Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với đường thẳng (d1) cắt đường thẳng (d2) 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) hai đường thẳng x = + t x − y −1 z +1 = = (d1): ; (d2): y = − t Viết phương trình tắc đường thẳng z = t qua M, vng góc với đường thẳng (d1) cắt đường thẳng (d2) Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M, vng góc cắt đường thẳng (d1) Cách giải : Cách : Tìm véc tơ phương u (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N (d) (d1) qua t.(đường thẳng (d1) viết dạng tham số) Giải MN u = tìm t, viết phương trình (d) qua M có vtcp MN Cách : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với (d 1).Tìm giao điểm N (P) với (d1) chọn k MN (k ≠ 0) vtcp (d) Từ suy phương trình đường thẳng (d) Cách : Đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Trong (P) qua M vng góc với đường thẳng (d1); (Q) qua M chứa (d1) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) đường x = −3 + 2t thẳng (d): y = − t Viết phương trình tắc đường thẳng (∆) qua A, z = −1 + 4t vng góc cắt đường thẳng (d) Hướng dẫn giải: Cách1: Gọi M (−3 + 2t;1 − t ;−1 + 4t ) ∈ (d ) giao điểm (d) (∆) AM = (1 + 2t ;3 − t ;−5 + 4t ) ; đường thẳng (d) có vtcp u = (2;−1;4) Vì (∆) vng góc (d) nên AM u = ⇔ 21t = 21 ⇔ t = Với t = AM = (3;2;−1) (∆) qua A nhận AM = (3;2;−1) làm vtcp có phương trình tắc là: x+4 y+2 z−4 = = −1 Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với (d) (P) qua A nhận u = (2;−1;4) vtcp (d) làm vtpt có phương trình là: 2x - y + 4z -10 = Gọi M giao điểm (d) (P), tìm tọa độ M(-1;0;3); (∆) qua điểm A, M.Vậy phương trình (∆): x+4 y+2 z−4 = = −1 Giáo viên:Yêu cầu học sinh tự làm cách lại Bài tập: 1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đường thẳng (d) có phương trình: x −1 y +1 z = = Viết phương trình tắc đường thẳng (∆) −1 qua điểm M cắt vng góc với đường thẳng (d) 2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;0) đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 5x + y +z + = 0; x – y + 2z + = Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M cắt vng góc với đường thẳng (d) Bài tốn 6: Viết phương trình đường thẳng(d) qua M cắt hai đường thẳng (d1) (d2) Cách giải: Gọi (P) mặt phẳng qua M chứa (d1); (Q) mặt phẳng qua M chứa (d2) Đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) đường x −1 y z − = = ; (d2) giao tuyến hai mặt phẳng x + y + z - = 0; −1 thẳng (d1) y + 2z - = Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M cắt hai đường thẳng (d1) (d2) Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) cần tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q), (P) mặt phẳng qua M chứa (d 1), (Q) mặt phẳng qua M chứa (d2) Đường thẳng (d1) qua N(1;0;3) có vtcp u = (2;1;−1) Ta chọn [ ] n = u ; MN = (3;−4;2) vtpt (P) Suy (P) có phương trình : 3x - 4y + 2z - = Tương tự ta tìm phương trình (Q) : x + y + z - = 3 x − y + z − = (I) x + y + z − = Tập hợp điểm nằm (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: x = + 6t Đặt y = t hệ (I) trở thành y = t Vậy đường thẳng (d) có phương trình z = −6 − 7t tắc là: x−7 y z+6 = = −7 Chú ý : Ta lấy hai điểm thỏa mãn hệ (I) (d) đường thẳng qua hai điểm Hoặc lấy điểm thỏa mãn hệ (I) vtcp (d) tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;5) hai đường thẳng x = −3 + 3t x = + 2t (d1); (d2) có phương trình: (d1) y = + 4t ; (d2) y = − t z = + 2t z = − 3t Viết phương trình tham số đường thẳng (∆) qua A, cắt hai đường thẳng (d 1) (d2) x − + 2t Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1): y = −5t z = + t (d2) giao tuyến hai mặt phẳng : x + y + 2z = 0; x – y +z + = Viết phương trình đường thẳng qua M(1;1;1;) đồng thời cắt (d1) (d2) Bài tốn 7: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M song song với mặt phẳng (P) cắt đường thẳng (d') Cách giải : Cách : Viết phương trình đường thẳng (d') dạng tham số , suy toạ độ giao điểm I (d) (d') biểu thị theo tham số t Giải phương trình IM n P = ( (d) // mp(P) ) tìm t Từ suy phương trình đường thẳng MI phương trình đường thẳng (d) cần tìm Cách : Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M chứa (d'); Viết phương trình mặt phẳng (R) qua M song song với (P) Từ đường thẳng (d) giao tuyến (Q) (R) Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 1), mặt phẳng (P): x - 2y + 3z -1 = 0.Và đường thẳng (d') giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x + y − z − = 0; ( β ) : x + y − = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua M, cắt đường thẳng (d'), đồng thời song song với mặt phẳng (P) Hướng dẫn giải: → Cách 1: Mặt phẳng (P) có vtpt n = (1;−2;3) Đường thẳng (d') giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x + y − z − = 0; ( β ) : x + y − = nên tập hợp 4 x + y − z − = (I) x + y − = điểm nằm (d') có tọa độ nghiệm hệ x = t Đặt x = t hệ (I) trở thành y = − t z = −3 + 3t x = t Vậy đường thẳng (d') có phương trình tham số là: y = − t z = −3 + 3t gọi N(t;3-t;-3+3t) giao điểm (d) (d') ⇒ MN = (t − 1;1 − t ;3t − 4) , → (d) // (P) nên MN n = ⇒ t = Đường thẳng (d) qua M nhận x = + t MN = (1;−1;−1) làm vtcp có phương trình tham số là: y = − t z = − t Giáo viên:Yêu cầu học sinh tự làm cách lại Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4;2;-3), đường thẳng (d): x−2 y z+2 = = mặt phẳng (P): 2x + y - z +1 = Viết phương trình đường thẳng qua M, song song với mặt phẳng (P) cắt đường thẳng (d) Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M, nằm mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d') Cách giải : → → Cách : Tìm vtcp u đường thẳng (d'), vtpt n mặt phẳng (P) Vì → (d ) ⊥ (d ′) → → nên (d) có vtcp v = u , n Từ suy (d) đường thẳng qua M (d ) ⊂ ( p ) → có véc tơ phương v Cách :Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M vng góc với đường thẳng (d') Từ suy (d) giao tuyến (P) (Q) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆) : x −1 y − z − = = mặt phẳng (P): 2x + z -5 = Gọi A giao điểm (∆) 2 (P) Viết phương trình tắc đường thẳng (d) qua điểm A nằm (P), (d) vng góc với đường thẳng (∆) Hướng dẫn giải: Vì A ∈ (∆) ⇒ A(1 + t ;2 + 2t ;3 + 2t ) Lại có A ∈ (P) nên 10 → 2(1+t)+3+2t-5=0, suy t = A(1;2;3) Đường thẳng (∆) có vtcp u (1;2;2) ; (d ) ⊥ (∆) (P) có vtpt n (2;0;1) ; Vì nên (d) có vtcp v = u , n = (2;3;−4) Vậy (d) (d ) ⊂ ( p ) → → → → → đường thẳng qua A có vtcp v = (2;3;−4) nên phương trình tắc đường thẳng (d) : x −1 y − z − = = −4 Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z -1 = đường thẳng (d'): x −1 y z + = = Viết phương trình đường thẳng (d) nằm −3 (P) qua giao điểm M (P) (d'), vng góc với (d') 2.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +5y + z + 17 = đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 3x - y + 4z - 27 = ; 6x +3y - z + = Xác định giao điểm M (P) (d), viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với (d) nằm (P) Bài tốn 9: Viết phương trình đường thẳng (∆) qua M nằm mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) biết khoảng cách từ M đến (∆) k (k > ) → → Cách giải : Đường thẳng (d) có vtcp u ; (P) có vtpt n Vì (∆) nằm (P), vng góc với (d) nên (∆) có vtcp u1 = u , n Gọi N(a;b;c) hình chiếu vng → → → MN ⊥ ∆ góc M (∆) từ hệ MN = k tìm điểm N Viêt phương trình N ∈ (P ) đường thẳng (∆) Ví dụ :Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z + 2= x − y + z +1 = = Gọi M giao điểm (d) (P), viết −1 phương trình đường thẳng (∆) nằm (P), vng góc với (d) đồng thời thỏa đường thẳng (d ) : mãn khoảng cách từ M tới (∆) 42 x = x − y + z +1 = = − ⇔ y = −3 Hướng dẫn giải :Tọa độ M nghiệm hệ: x + y + z + = z = → → M(1;-3;0) Đường thẳng (d) có vtcp u (2;1;−1) ; (P) có vtpt n (1;1;1) Vì → → → (∆) nằm (P), vng góc với (d) nên (∆) có vtcp u1 = u , n = ( 2;−3;1) Gọi 11 N(a;b;c) hình chiếu vng góc M (∆) MN = (a − 1; b + 3; c) , ( x − 1) + ( y + 3) + z = 42 mặt khác MN ⊥ (∆) MN = 42 nên x + y + z + = 2 x − y + z − 11 = Giải hệ tìm điểm N Với N(5;-2;-5) ta có (∆) : Với N(-3;-4;5) ta có (∆) : x+3 y +4 z −5 = = −3 x−5 y +2 z +5 = = −3 Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +y -z+1= x − y −1 z −1 = = Gọi M giao điểm (d) (P), viết −1 −3 phương trình tham số đường thẳng (∆) nằm (P), vng góc với (d) cách đường thẳng (d ) : M khoảng Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) cắt đường thẳng (d1) (d2) Cách giải :Tìm giao điểm A đường thẳng (d1) (P); Tìm giao điểm B đường thẳng (d2) (P) Phương trình đường thẳng (d) phương trình đường thẳng AB Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz, cho (P): x - 2y + z - = hai đường thẳng x = + 2t x +1 − y z + ( d1 ) : = = ; ( d ) : y = + t Viết phương trình tham số đường −1 z = + t thẳng (∆) nằm (P) cắt đường thẳng (d1) (d2) Hướng dẫn giải: Gọi A B giao điểm (d 1) (d2) với (P) thì: Tọa độ điểm A x = 10 x +1 − y z + = = −1 ⇔ y = 14 A(10;14;20); tọa độ điểm B nghiệm hệ: x - 2y + z - = z = 20 x = + 2t x = y = + t ⇔ y = B(9;6;5) Đường thẳng (∆) qua B nghiệm hệ: z = + t z = x - 2y + z - = x = + t nhận BA(1;8;15) làm vtcp có phương trình : y = + 8t z = + 15t Bài tập: 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x-3y+11z -26 = hai đường thẳng: (d1 ) : x y − z +1 x−4 y z −3 = = ; (d ) : = = Viết phương −1 1 trình đường thẳng (∆) nằm (P) đồng thời cắt đường thẳng (d1) (d2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x+3y -13z+39= x = x −1 y − z −1 = = ; (d ) : y = −3 + t Viết phương trình hai đường thẳng: (d1 ) : −1 z = + 2t đường thẳng (∆) nằm (P) đồng thời cắt đường thẳng (d1) (d2) Bài tốn 11: Viết phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc (d') mặt phẳng (P) Cách giải : Cách : Chọn hai điểm A, B hai điểm phân biệt thuộc (d') Tìm toạ độ hình chiếu H, K A, B mặt phẳng (P) Từ suy phương trình đường thẳng HK phương trình (d) Cách : Đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Trong (Q) mặt phẳng chứa (d') vng góc với (P) *Đặc biệt: + Nếu (d') cắt (P): Tìm giao điểm A (d') (P) Lấy B ∈(d') tìm hình chiếu vng góc B’ B (P).Suy đường thẳng AB’ (d) + Nếu (d') // (P) : Lấy B ∈(d') tìm hình chiếu vng góc B’ B (P) Đường thẳng (d) đường thẳng qua B’ song song với (d') x = 4t Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d): y = + 3t mặt phẳng z = −1 − 2t (P): x - y + 3z + = Viết phương trình tắc hình chiếu vng góc (d') (d) lên mặt phẳng (P) Hướng dẫn giải : → Cách 1: Đường thẳng (d) qua điểm A(0;4;-1) có vtcp u (4;3;−2) Mặt → phẳng (P) có vtpt n (1;−1;3) Hình chiếu vng góc (d) lên mặt phẳng (P) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Trong (Q) mặt phẳng chứa (d) vng góc với (P) (Q) qua A nhận n1 = u , n = 7(1;−2;−1) làm vtpt có → → → phương trình: x - 2y - z + = 0.Vậy tập hợp điểm nằm (d') có tọa độ x - y + 3z + = thỏa mãn hệ: (I) Đặt z = t hệ (I) trở thành x − y − z + = x = − − 7t y = −1 − 4t z = t 13 hay x + y +1 z x + y +1 z = = = = Vậy (d') có phương trình là: −1 −1 Giáo viên:Yêu cầu học sinh tự làm cách cịn lại Bài tập: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + = đường thẳng x = (d): y = t z = −5 + t Viết phương trình tham số hình chiếu vng góc (d) lên mặt phẳng (P) Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x - y + z + 10 = 0, đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 2x - y + z + = x + 2y - z -3 = Viết phương trình tham số hình chiếu vng góc (d) lên mặt phẳng (P) Bài tốn 12: Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (d') qua (P) Cách giải : + Nếu (d') (P) cắt nhau: Tìm giao điểm A (d') (P), lấy điểm B (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) đường thẳng AB’ (d) + Nếu (d') // (P): Lấy điểm B (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) (d) đường thẳng qua B’ song song với (d’) Chú ý: Có thể lấy điểm A, B phân biệt (d') tìm A’, B’ đối xứng với A, B qua (P) đường thẳng A’B’ (d) Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d1 ) : x − y + z −1 = = −1 1 (P): x + 3y - z + = 0.Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua mp (P) Hướng dẫn giải: Gọi A giao điểm (d1) (P) tìm A(-4 ;3;7) lấy x − y + z −1 = = đường thẳng qua B vng góc −1 28 − 15 ; ) ; B’ điểm (P), gọi H giao điểm (d2) (P) suy H ( ; 11 11 11 34 − xứng B qua (P) H trung điểm BB’ ⇒ B ′( ; ; ) Đường thẳng 11 11 11 x+4 y −3 z −7 = = (d) đường thẳng AB’ có phương trình là: 39 − 15 − 39 B(2;-3;1) ∈(d1), Gọi (d ) : Bài tập: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 17 = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua mặt phẳng (P) biết: x−2 = x−2 = b, Đường thẳng (d1 ) : a, Đường thẳng (d1 ) : y−3 = −3 y −3 = −2 z −5 z −5 −3 14 Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng (d) hình chiếu song song (d1) lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu (d 2) (hai đường thẳng (d1) (d2) phân biệt không song song) Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d 1) song song (hoặc chứa) (d2) Đường thẳng (d) giao tuyến (P) (Q) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d ) : x y −1 z x −1 y z − = = ; (d ) : = = Viết phương trình tắc hình 2 chiếu song song (d1) lên mặt phẳng (P) : x - 2y -2z - = theo phương chiếu (d2) → Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d1) có vtcp u = (1;2;1) qua điểm M(0;1;0), đường thẳng (d2) có vtcp v = (2;2;1) suy n = u , v = (0;1;−2) Gọi → → → → (Q) mặt phẳng chứa (d1) song song (d2) (Q) qua điểm M nhận véc → tơ n làm vtpt Do (Q) có phương trình : y - 2z - = Đường thẳng (d) giao tuyến (P) (Q) nên giải tìm (d) có phương trình tắc là: x − y −1 z = = Bài tập: 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d ) : x −1 y z +1 x y+7 z+5 = = = ; (d ) : = Viết phương trình tham số hình −3 1 chiếu song song (d1) lên mặt phẳng (P): 3x + y -2z - = theo phương chiếu (d2) x = t 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) : y = −11 + 2t z = 16 − t ; (d ) : x−5 y −2 z −6 = = Viết phương trình tham số hình chiếu song song (d1) lên mặt phẳng (P): 3x - 2y -2z - = theo phương chiếu (d2) Bài tốn 14: Viết phương trình đường thẳng (d) song song (d') vng góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) (d2) Cách giải : −− → Cách 1: Gọi A,B giao điểm (d) với (d1) (d2) suy AB , mặt → → phẳng (P) có vtpt n (hoặc (d') có vtcp n ), (d ) ⊥ ( P) (hoặc (d)//(d') ) nên −− → → → −− → AB n phương hay AB = k n (k ≠ 0) giải tìm tọa độ A (hoặc B) → Khi đường thẳng (d ) qua A có vtcp n 15 Cách 2; - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d 1)và song song với đường thẳng (d') - Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d 2) song song với đường thẳng (d').Từ suy phương trình (d) giao tuyến (P) (Q) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) (d2) có phương trình x y −1 z −1 x y z = = ; = = Viết phương trình tham −2 1 2 số đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P): 3x - y + z -1 = đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) (d2) Hướng dẫn giải :Gọi A(t ;1 − 2t;1 + t ); B (t1 ;2t1 ;2t1 ) giao điểm (d) với → −− → (d1) (d2) suy AB = (t1 − t ;2t1 + 2t − 1;2t1 − t − 1) , (P) có vtpt n (3;−1;1) Do → −→ (d ) ⊥ ( P) nên −AB n phương hay t1 − t 2t1 + 2t − 2t1 − t − = = giải tìm −1 x = 13 + 3t 14 7 14 14 t1 = B( ; ; ) Vậy (d )có phương trình y = − t 13 13 13 13 13 14 z = 13 + t Bài tập: 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình tham số đường thẳng x x −1 y + z − x+4 y+7 (d1 ) : = = ; (d ) : = = (d) song song với đường thẳng (∆) : = y −1 z − = cắt hai đường thẳng −1 z 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) (d2) có x = t x = − 2t phương trình (d1 ) : y = −4 + t ; (d ) : y = −3 + t Viết phương trình z = − t z = − 5t tắc đường thẳng vng góc với mặt phẳng Oxz cắt hai đường thẳng (d1) (d2) Bài toán 15: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A song song với mặt phẳng (α ) (hoặc nằm (α ) ; vng góc với (∆) ) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) nhỏ Cách giải : Cách 1:Viết phương trình (P) qua A song song (α ) Gọi K hình chiếu vng góc B (P), Gọi H hình chiếu vng góc B (d) B Ta có BK ⊥ KH nên BH ≥ BK khoảng cách BH nhỏ BK H trùng K hay đường thẳng (d) qua A K P K A H (d) 16 → → [ Cách 2: - Tìm vtpt n (P), tính n1 = n., AB → [ ] ] - Tìm vtcp (d): u = n, n1 , đường thẳng (d) qua → A có vtcp u Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d) nằm (α ) khơng cần viết (P) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z -1= hai điểm A(1;1;0); B(2;-1;1) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình tham số đường thẳng (d) cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ Hướng dẫn giải : Đường thẳng (d) song song với (P) nên (d) thuộc (Q) qua A song song (P) có phương trình là: x – y + z = Gọi K hình chiếu vng → góc B (Q), đường thẳng BK qua B nhận n (1;−1;1) vtpt (Q) x = + t làm vtcp có phương trình: y = −1 − t Tọa độ K nghiệm hệ z = + t x = + t x = / y = −1 − t ⇔ y = / Gọi H hình chiếu vng góc B (d) ta có z = + t −1 x − y + z = z = BH ≥ BK dấu xảy H trùng K hay đường thẳng (d) qua A K −− → Đường thẳng (d) qua A nhận AK = − (1;2;1) làm vtcp có phương trình tham x = + t số là: y = + 2t z = t Bài tập: 1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z -3 = hai điểm A(1;-1;-1); B(2;1;0) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A nằm (P), cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ 2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(7;-8;5) B(1;2;-3) x Trong đường thẳng (d) qua B cắt đường thẳng (∆) : = y −1 z = viết phương trình đường thẳng (d) cho khoảng cách từ A đến (d) nhỏ Bài tốn 16: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với đường thẳng (∆) ( song song với mặt phẳng (α ) nằm (α ) ) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) lớn 17 Cách giải : Cách 1: - Viết phương trình mp(P) qua A vng góc với ( ∆ ) - Gọi K hình chiếu vng góc B (P), Gọi H hình (∆) B chiếu vng góc B (d) - Ta thấy BH ≤ BA khoảng cách BH lớn AB (d) H trùng A hay đường thẳng (d) qua A vng góc (ABK) Cách 2: Đường thẳng (d) qua A vng góc với AB ( ∆ ) P K A H Ví dụ: x −1 y − z = = 1 hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1) Viết phương trình tắc đường thẳng ( ∆ ) qua A vng góc với (d) cho khoảng cách từ B đến ( ∆ ) lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : Hướng dẫn giải : Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với (d) suy (P) nhận vtcp (d) làm vtpt có phương trình là: 2x + y + z – = Gọi H hình chiếu B (P), đường thẳng BH qua B vng góc (P) có phương x = + 2t trình: y = + t H giao điểm BH (P) nên tọa độ điểm H nghiệm z = + t x = + 2t y = 1+ t 1 ⇒ H (1; ; ) Gọi K hình chiếu H ( ∆ ) suy hệ: 2 z = + t 2 x + y + z − = BK ⊥ (∆) , d ( B; ∆) = BK mà BK ≤ AB (không đổi) nên BK lớn AB K trùng A Do ( ∆ ) đường thẳng qua A vng góc với (ABH) nên → [ ] → ( ∆ ) có vtcp u = AB, v = (−1;1;1) ; (trong v = HA = (0;1;−1) ) Khi ( ∆ ) có phương trình tắc : x −1 y −1 z = = −1 1 Bài tập: 1,Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1) B(2;0;1) Viết x = t phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với đường thẳng y = + t z = + 2t cách điểm B khoảng lớn 2, Trong không gian với hệ Oxyz, cho (d1): x −1 y − z = = hai điểm 1 A(1; 1; 0); B(2; 1; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A vng góc với (d1) cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng (d) lớn 18 Bài tốn 17: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A nằm (P) tạo với đường thẳng (∆) góc bé nhất, lớn (đường thẳng (∆) không song song hay nằm (P)) Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với (∆) Trên đường thẳng lấy điểm B khác A cố định Hình chiếu vng góc B (d) (P) theo thứ tự H K.Ta có: (d, ∆ ) = BAH; sin(d, ∆ ) = BH BK ≥ AB AB ∆ Vậy (d, ∆ ) nhỏ H ≡ K , hay (d) đường thẳng AK → → → → → Ta thấy vtcp (d) v = n , u ( u = n ,u1 ; → → P B d K A H → n vtpt (P) u1 vtcp (∆) ) Còn đường thẳng (d) tạo với (∆) góc lớn 900 có véc tơ phương v = n ,u1 → → → Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z -1= 0; y −1 z = Viết phương trình tắc đường thẳng (d) qua A nằm (P) cho góc đường thẳng (d) (∆) x điểm A(1;1;-1) đường thẳng (∆) : = nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi (d1) đường thẳng qua A song song với (∆) ta có (d1): x −1 y −1 z +1 = = , lấy điểm B(2;3;0) (d1) Gọi hình chiếu vng góc B (d) (P) theo thứ tự H K góc đường thẳng (d) (∆) nhỏ −4 ) 3 H ≡ K , hay (d) đường thẳng AK, giải tìm K ( ; ; phương trình (d) là: x −1 y −1 z +1 = = −2 Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + = 0, y −1 z = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A nằm (P) cho góc đường thẳng (d) (∆) x điểm A(1;-2;-1) đường thẳng (∆) : = nhỏ 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2) đường thẳng (∆) : x −1 y − z = = Viết phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (∆) 2 đồng thời (d) tạo với trục Oz góc α cho a, α = 45 ; b, α nhỏ Bài toán 18: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A nằm (P) cho khoảng cách đường thẳng (d) đường thẳng (∆) lớn 19 (đường thẳng (∆) không song song với (P), không nằm (P), không qua điểm A) Cách giải: Gọi (d’) đường thẳng qua A song song với (∆) B giao → điểm (∆) với (P), n vtpt (P) Gọi H hình chiếu vng góc B mặt phẳng (d’,d) Khoảng cách (d) (∆) BH Gọi C hình chiếu vng góc B (d’).Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn H ≡ C Khi đường thẳng (d) qua A có véc tơ → u = phương n , BC → P ∆ B C A d’ H d → u = Chú ý:Có thể chọn vtcp (d) n , AK , K hình chiếu vng góc A (∆) → Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y- z+2= 0, điểm A(-1;1;-1) đường thẳng (∆) : x − y +1 z −1 = = Viết phương trình tham −1 số đường thẳng (d) qua A nằm (P) khoảng cách đường thẳng (d) (∆) lớn Hướng dẫn giải: Gọi (d’) đường thẳng qua A song song với (∆) phương trình (d’): x +1 y −1 z +1 = = , tìm B(-1;2;-2) giao điểm (∆) với (P), −1 → n (2;−1;−1) vtpt (P) Gọi H hình chiếu vng góc B mặt phẳng (d’,d), (∆) song song với mặt phẳng (d’,d) nên khoảng cách (d) (∆) BH Gọi C hình chiếu vng góc B (d’) tìm C( −5 −5 ; ; ) Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn H ≡ C Khi 3 → → đường thẳng (d) qua A có vtcp u = n , BC = − (1;0;2) x = −1 + t có phương trình tham số là: y = z = −1 + 2t Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z -1= x điểm A(1;1;-1) đường thẳng (∆) : = y −1 z = Viết phương trình tắc đường thẳng (d) qua A nằm (P) khoảng cách đường thẳng (d) (∆) lớn IV KIỂM NGHIỆM Trước chưa sử dụng đề tài qua trình kiểm tra em tơi thấy em khơng biết nên làm nào, kiểm tra có nhiều em bị điểm kém, 20 điểm giỏi Để kiểm tra hiệu đề tài này, sau em học dạng toán Tôi thấy em tự tin giải toán loại cách thành thạo, em u thích phần hình học khơng gian định hướng giải tốt tập Ngồi số em giỏi cịn tự tìm tòi thêm số cách khác, số tổng quát Tôi tiến hành kiểm tra miệng, 15 phút , tiết tiết lớp thực đề tài kết thu đáng khích lệ sau: Năm học 2013-2014 Lớp Sỹ số Điểm Điểm từ đến Điểm đến 10 Số lượng % Số lượng % Số lượng % 12B 45 8,9 25 55,5 16 35,6 12G 49 0 14 28,6 35 71,4 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết luận Qua trình thực đề tài thu số học kinh nghiệm: Luôn củng cố khắc sâu kiến thức có liên quan Cần rèn luyện cho học sinh sau đọc đề phải biết phân tích tốn để đưa đơn giản tìm cách giải khác nhau, từ nhằm phát huy tư duy, sáng tạo khái quát hóa tốn Động viên em nỗ lực tìm tòi lời giải hay, tranh luận với bạn bè giúp tiến Rèn luyện cách trình bày giải cách chặt chẽ, logic cẩn thận Khơi dậy cho em u thích mơn tốn say mê học toán Khi dạy học sinh giải tốn hình học tọa độ khơng gian giáo viên cần xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó để nâng cao khả tư kỹ làm học sinh Trong phạm vi đề tài đưa số tốn, số ví dụ số tập nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết Rất mong bạn đồng nghiệp góp ý kiến để có cách dạy khai thác hết dạng tập cách tốt hiệu cao Đề xuất: Các sáng kiến kinh nghiệm thầy, cô giáo hàng năm lưu trữ thư viện để giáo viên học sinh nghiên cứu học tập Tôi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 04 tháng năm 2015 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG người khác ĐƠN VỊ Người viết 21 Mai Thị Quỳnh Hoa Nguyễn Tuấn Anh 22 ... Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với (P) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B(1;3;4) đường thẳng x = + 2t (d ) : y = −3t Viết phương trình tham số, phương. .. t (đường thẳng (d2) viết dạng tham số) , giải phương trình MN u = tìm t Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có vtcp MN Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với đường thẳng. .. (d) qua B cắt đường thẳng (∆) : = y −1 z = viết phương trình đường thẳng (d) cho khoảng cách từ A đến (d) nhỏ Bài toán 16: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với đường thẳng (∆) (