G.NTH 1 1. Các kiến thức cần nắm 1.1. Các hệ thức cơ bản + 1sincos 22 =+ + 1 + tg 2 = )k 2 ( cos 1 2 + + tg . cotg = 1 ( 2 k ) + 1 + cotg 2 = )k( sin 1 2 1.2. Công thức cộng góc + cos( ) = cos cos sin sin + sin( ) = sin cos cos sin + tg ( ) = )k 2 ;( tgtg1 tgtg + + cotg( ) = gcotgcot 1gcot.gcot )k;( 1.3. Công thức nhân + sin2 = 2 sin cos + cos2 = cos 2 - sin 2 = 2cos 2 - 1 = 1 - 2sin 2 + tg2 = ) 2 k 4 ( tg1 tg2 2 + + cotg2 = ) 2 k ( gcot2 1gcot 2 + sin3 = 3sin - 4sin 3 + cos3 = 4cos 3 - 3cos + tg3 = 3 k 6 ( tg31 tgtg3 3 3 + ) 1.4. Công thức hạ bậc + cos 2 = 2 2cos1 + + sin 2 = 2 2cos1 + tg 2 = + 2cos1 2cos1 )k 2 ( + 1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích: + cos + cos = 2cos 2 cos 2 + + cos - cos = - 2sin 22 sin + + sin + sin = 2sin 22 cos + + sin - sin = = - 2cos 2 sin 2 + www.VNMATH.com G.NTH 2 + tg tg = cos.cos )sin( )k 2 ;( + 1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng: + cos.cos = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.sin = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.cos = )]sin()[sin( 2 1 ++ Biểu thức đại số Biểu thức lợng giác tơng tự Công thức lợng giác 1 + x 2 1 + tan 2 t 1+tan 2 t = tcos 1 2 4x 3 - 3x 4cos 3 t - 3cost 4cos 3 t - 3cost = cos3t 2x 2 - 1 2cos 2 t - 1 2cos 2 t - 1 = cos2t 2 x1 x2 t t 2 tan1 tan2 t t 2 tan1 tan2 = tan2t 2 x1 x2 + t t 2 tan1 tan2 + t t 2 tan1 tan2 + = sin2t xy1 yx + tantan1 tantan + tantan1 tantan + = tan(+) x 2 - 1 1 cos 1 2 1 cos 1 2 = tan 2 một số phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1 1) Phơng pháp: a) Nếu thấy x 2 + y 2 = 1 thì đặt = = cosy sinx với [0, 2] b) Nếu thấy x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) thì đặt = = cos sin ry rx với [0, 2] 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 Chứng minh rằng: 2 a(c+d) + b(c-d) 2 www.VNMATH.com G.NTH 3 Giải: Đặt = = ub ua cos sin và = = vcosd vsinc S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) 2)dc(b)dc(aS2]2,2[ 4 )vu(sin2S ++= += (đpcm) VD2: Cho a 2 + b 2 = 1. Chứng minh rằng: 2 25 b 1 b a 1 a 2 2 2 2 2 2 ++ + Giải: Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos b 1 b a 1 a ++ += ++ + = cos 4 + sin 4 + 4 sin.cos sincos sincos4 sin 1 cos 1 44 44 44 44 + + ++=+ + = ( ) 4 sin.cos 1 1sincos 44 44 + ++ = ( ) [ ] 4 sin.cos 1 1sincos2sincos 44 2222 + ++ = 2 25 4 2 17 4)161( 2 1 14 2sin 16 12sin 2 1 1 4 2 =+=++ + + (đpcm) Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a 2 +b 2 =1 VD3: Cho a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng: A = 2334b)324(a)321(2ab32ba 22 ++++ Giải: Biến đổi điều kiện: a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1) 2 + (b-2) 2 = 1 Đặt += += += = = cossin32cossinA cos2b sin1a cos2b sin1a 22 A 2) 6 2sin(22cos 2 1 2sin 2 3 22cos2sin3 === (đpcm) VD4: Cho a, b thoả mãn : 712b5a ++ = 13 www.VNMATH.com G.NTH 4 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 (a-1) 2 + (b + 1) 2 1 Đặt =+ = cosR1b sinR1a với R 0 222 R)1b()1a( 1cosRb 1sinRa =++ = += Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+++=++ R 13 5 arccossinRcos 13 12 sin 13 5 R113cosR12sinR5 +=+==+ Từ đó (a-1) 2 + (b+1) 2 = R 2 1 a 2 + b 2 + 2(b - a) - 1 (đpcm) II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin| 1. Phơng pháp: a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x khi x khi = = b) Nếu thấy |x| m ( 0m ) thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x m khi x m khi = = 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x) p + (1-x) p 2 p |x| 1 ; P 1. Giải: Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x) p + (1 - x) p = (1+cos) p + (1-cos) p = p22pp2p2p p 2 p 2 2 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2 sin2 2 cos2 = + + = + (đpcm) VD2: Chứng minh rằng: 2 23 13 2 23 Onthionline.net 1/ Góc đối α -α : Sin (-α) = -sinα Cos(-α) = cosα Tan(-α) = -tanα Cot(-α) = -cotα 2/ Góc bù α (π - α ) : Sin (π - α) = sinα Cos(π - α) = -cosα Tan(π - α) = -tanα Cot (π - α) = -cotα 3/.Góc π: α (π + α) Sin (π + α) = -sinα Cos(π + α) = -cosα Tan (π + α) = tanα Cot(π + α) = cotα CHÚ Ý: Sin(α+kπ) = (-1)k.sinα Cos(α+kπ) = (-1)k.cosα Tan(α+kπ) = tanα Cot(α+kπ) = cotα π  Góc phụ α  − α  2  π  Sin  − α  = cosα 2  π  Cos  − α  = sinα 2  π  Tan  − α  = cotα 2  π  Cot  − α  = tanα 2  π  5/.Góc α  + α  2  π  Sin  + α  = cosα 2  π  Cos  + α  = -sinα 2  π  Tan  + α  = -cotα 2  π  Cot  + α  = -tanα 2  1/ Công thức lượng giác: Sin(a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb Cos(a ± b) = cosa.cosb  sina.sinb tan a ± tan b Tan (a ± b) = tan a tan b 2/ Công thức nhân: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc: Sin2a = 2sina.cosa − cos 2a Sin a =  sina.cosa = ½ sin2a Cos2a = cos2a – sin2a + cos 2a = 2cos2a – = – 2sin2a Cos a = 2 tan a Tan 2a = − cos 2a Tan a = − tan a + cos 2a 3/ Công thức biến đổi tích thành tổng: Sina.sinb= ½ [cos(a + b) – cos(a – b)] Cosa.cosb = ½ [cos(a + b) + cos(a – b)] Sina.cosb = ½ [sin(a + b) + cos(a – b)] 4/ Công thức biến đổi tổng thành tích: Công thức nhân ba: Sin3a = 3sina – 4sin3a Cos3a = 4cos3a – 3cosa Onthionline.net a+b a−b cos 2 a+b a−b sin a + sin b = sin cos 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 sin( a + b) tan a + tan b = cos a cos b sin( a − b) tan a − tan b = cos a cos b π  sin a ± cos a = sin  a ±  4  cos a + cos b = cos CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1/ 2 2 sin cos 1+ =a a 2/ sin t g cos a =a a 3/ cos cot g sin a =a a 4/ 2 2 1 1 t g cos + =a a 5/ 2 2 1 1 cot g sin + =a a 6/ t g . cot g 1=a a II. Công thức cộng - trừ: 1/ ( ) sin a b sin a. cos b sin b. cos a+ = + 2/ ( ) sin a b sin a. cos b sin b. cos a- = - 3/ ( ) cos a b cos a. cos b sin a.sin b+ = - 4/ ( ) cos a b cos a. cos b sin a. sin b- = + 5/ ( ) t ga tgb t g a b 1 t ga.tgb + + = - 6/ ( ) t ga t gb t g a b 1 t ga.tgb - - = + 7/ ( ) cot ga. cot gb 1 cot g a b cot ga cot gb - + = + ( ) cot ga cot gb 1 8 / cot g a b cot ga cot gb + - = - III. Công thức góc nhân đôi: 1/ ( ) ( ) 2 2 sin 2a 2 sin a. cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a= = + - = - - 2/ 2 2 2 2 cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a= - = - = - 3/ 2 2t ga t g2a 1 t g a = - 4/ 2 cot g a 1 cot g2a 2 cot ga - = IV. Công thức góc nhân ba: 1/ 3 sin 3a 3 sin a 4 sin a= - 2/ 3 cos3a 4 cos a 3 cos a= - a { Cosa } cot ga sin cos tg cotg t 3/ 3 3 3t ga tg a t g3a 1 3tg a - = - 4/ 3 2 cot g a 3cot ga cot g3a 3 cot g a 1 - = - V. Công thức hạ bậc hai: 1/ 2 2 2 1 cos 2a t g a sin a 2 1 t g a - = = + 2/ 2 2 2 1 cos 2a cot g a cos a 2 1 cot g a + = = + 3/ 2 1 cos 2a t g a 1 cos 2a - = + 4/ 1 sin a cos a sin 2a 2 = VI. Công thức hạ bậc ba: 1/ ( ) 3 1 sin a 3 sin a s in3a 4 = - 2/ ( ) 3 1 cos a 3 cos a cos 3a 4 = + VII. Công thức biểu diễn sin x, cos x, t gx qua tgx t 2 = : 1/ 2 2t sin x 1 t = + 2/ 2 2 1 t cos x 1 t - = + 3/ 2 2t t gx 1 t = - 2 1 t cot gx 2t - = VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1/ ( ) ( ) 1 cos a. cos b cos a b cos a b 2 é ù = - + + ê ú ë û 2/ ( ) ( ) 1 sin a. sin b cos a b cos a b 2 é ù = - - + ê ú ë û 3/ ( ) ( ) 1 sin a. cos b sin a b sin a b 2 é ù = + + - ê ú ë û IX. Công thức biến đổi tổng thành tích: 1/ a b a b cos a cos b 2 cos .cos 2 2 + - + = 2/ a b a b cos a cos b 2 sin . sin 2 2 + - - = - 3/ a b a b sin a sin b 2 sin . cos 2 2 + - + = 4/ a b a b sin a sin b 2 cos . sin 2 2 + - - = 5/ ( ) sin a b t ga t gb cos a. cos b + + = 6/ ( ) sin a b t ga t gb cos a. cos b - - = 7/ ( ) sin a b cot ga cot gb sin a. sin b + + = 8/ ( ) sin a b cot ga cot gb sin a. sin b - - - = 9/ ( ) sin a b t ga cot gb cos a. sin b - + = 9/ 2 t ga cot ga sin 2a + = 10/ ( ) cos a b cot ga tgb sin a. cos b + - = 11/ cot ga tga 2 cot g2a- = X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt: 1/ Góc đối: ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg t g cot g cot g ì ï - = -a a ï ï ï ï - =a a ï í ï - = -a a ï ï ï - = -a a ï ï î 2/ Góc bù: ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg tg cot g cot g ì ï - =p a a ï ï ï ï - = -p a a ï í ï - = -p a a ï ï ï - = -p a a ï ï î 3/ Góc sai kém p : ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg t g cot g cot g ì ï + = -p a a ï ï ï ï + = -p a a ï í ï + =p a a ï ï ï + =p a a ï ï î 4/ Góc phụ: sin cos 2 cos sin 2 tg cot g 2 cot g t g 2 ì æ ö ï p ÷ ï ç ÷ - =a a ï ç ÷ ç ï ÷ ç è ø ï ï ï æ ö p ï ÷ ç ï ÷ - =a a ç ï ÷ ç ÷ ç ï è ø ï í æ ö ï p ÷ ç ï ÷ - =a a ç ï ÷ ç ï ÷ ç è ø ï ï ï æ ö p ï ÷ ç ï ÷ - =a a ç ï ÷ ç ÷ ç ï è ø ï î XI. Công thức bổ sung: 1/ cos sin 2 cos 2 sin 4 4 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + = - = +a a a a ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 2/ cos sin 2 cos 2 sin 4 4 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - = + = -a a a a ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 3/ sin cos 2 sin a 2 cos a 4 4 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - = - = +a a ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 4/ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 A sin a B cos a A B sin a A B cos a , A B 0+ = + + = + - + >a b 5/ ( ) 2 1 sin cos sin+ = +a a a XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt: Góc Hàm số 0 0 0 / 6p 0 30 / 4p 0 45 / 3p 0 60 / 2p 0 90 sin 0 1 / 2 2 / 2 3 / 2 1 cos 1 3 / 2 2 / 2 1 / 2 0 tg 0 3 / 3 1 3 || cotg || 3 1 3 / 3 0 XIII. Định lý hàm số cosin: 1/ 2 2 2 a b c 2bc. cos A= + - 2/ 2 2 2 b c a 2ca. cos B= + - 3/ 2 2 2 c a b 2bc.cos C= + - A B C a b c CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ Các hệ thức hệ quả: 1, sin2x +cos2x =1 2, tagx = 3, cotgx = 4, 1+ tag2x = 5, 1+ cotg2x = 6, tagx.cotgx = Công thức cộng – trừ: 1, Sin(a + b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa 2, Sin(a – b) = Sina.Cosb – Sinb.Cosa 3, Cos(a + b) = Cosa.Cosb – Sina.Sinb 4, Cos(a – b) = Cosa.Cosb + Sina.Sinb 5, Tag(a + b) = 6, Tag(a – b) = – 7, Cotg(a + b) = 8, Cotg(a – b) = Công thức nhân đôi: 1, Sin2x = 2Sinx.Cosx = (Sinx + Cosx)2 -1= 1- (Sinx – Cosx)2 2, Cos2x = Cos2x –Sin2x = 2Cos2x -1 = 1- 2Sin2x 3, Tag2x = 4, Cotg2x = Công thức nhân ba: 1, Sin3x = 3Sinx – 4Sin3x 2, Cos3x = 4Cos3x -3Cosx 3, tag3x = 4, Cotg3x = Công thức hạ bậc: 1, Sin2x = 2, Cos2x = 3, Sin3x = 4, Cos3x = Công thức biến đổi tổng thành tích: 1, Cosa + Cosb = 2Cos 2, Cosa – Cosb = -2Sin 3, Sina + Sinb = 2Sin 4, Sina – Sinb = 2Cos Công thức biến đổi tích thành tổng: 1, Cosa.Cosb = [ ( ) ( 2, Sina.Sinb = - [ ( ) ( 3, Sinb.Cosa = [ ( ) ( )] )] )] Công thức nghiệm phương trình lượng giác bản: Nghiệm bản: Sinu = Sinv  u = v +k2 u = –k2 Cosu = Cosv  u = v +k2 u = -v +k2 Tanu =Tanv  u = v +k Cotgu =Cotgv  u = v +k Nghiệm đặc biệt: Sinu =  u = k Sinu =  u = Sinu = -1  u = Cosu =  u = Cosu =  u = k2 Cosu = -1  u = CC CễNG THC LNG GIC CN NH I Cỏc h thc c bn v h qu: 1/ sin a + cos2 a = sin a 2/ t ga = cos a cos a 3/ cot ga = sin a 4/ + t g2a = cos2 a 5/ + cot g2a = sin a 6/ t ga cot ga = t } cot ga cotg a { cos Cosa sin tg II Cụng thc cng - tr: ( ) 2/ sin ( a - b ) = sin a cos b - sin b cos a 3/ cos ( a + b ) = cos a cos b - sin a sin b 4/ cos ( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b 1/ sin a + b = sin a cos b + sin b cos a ( ) 5/ t g a + b = ( ) t ga + t gb - t ga.t gb 7/ cot g a + b = ( ) 6/ t g a - b = t ga - t gb + t ga.t gb cot ga cot gb - cot ga + cot gb / cot g ( a - b ) = cot ga cot gb + cot ga - cot gb III Cụng thc gúc nhõn ụi: ( 1/ sin 2a = sin a cos a = sin a + cos a ) - = - ( sin a - cos a ) 2/ cos 2a = cos2 a - sin a = cos2 a - = - sin a 2t ga 3/ t g2a = - t g2 a cot g2a - 4/ cot g2a = cot ga IV Cụng thc gúc nhõn ba: 1/ sin 3a = sin a - sin a 2/ cos3a = cos a - cos a 3/ t g3a = 3t ga - t g 3a - 3t g 3a 4/ cot g3a = cot g 3a - cot ga cot g2a - V Cụng thc h bc hai: - cos 2a t g 2a = 1/ sin a = + t g 2a 2/ + cos 2a cot g2a cos a = = + cot g2a 3/ t g2a = - cos 2a + cos 2a 4/ sin a cos a = sin 2a VI Cụng thc h bc ba: 1/ sin a = ( sin a - s in3a ) 2/ cos a = ( cos a + cos 3a ) t gx VII Cụng thc biu din sin x, cos x, t gx qua t = : 2t + t2 2t 3/ t gx = 1- t2 1/ sin x = - t2 + t2 1- t2 cot gx = 2t 2/ cos x = VIII Cụng thc bin i tớch thnh tng: 1ộ cos ( a - b ) + cos ( a + b ) ự ỳ ỷ 2/ sin a sin b = ộ cos ( a - b ) - cos ( a + b ) ự ỳ ỷ 3/ sin a cos b = ộ sin ( a + b ) + sin ( a - b ) ự ỳ ỷ 1/ cos a cos b = IX Cụng thc bin i tng thnh tớch: a+b a- b cos 2 a+ b a- b 2/ cos a - cos b = - sin sin 2 a+ b a- b 3/ sin a + sin b = sin cos 2 1/ cos a + cos b = cos a+ b a- b sin 2 sin ( a + b ) 4/ sin a - sin b = cos 5/ t ga + t gb = cos a cos b sin ( a + b ) 7/ cot ga + cot gb = sin a sin b - sin ( a - b ) cot ga - cot gb = sin a sin b sin ( a - b ) 9/ t ga + cot gb = cos a sin b cos ( a + b ) 10/ cot ga - t gb = sin a cos b 6/ t ga - t gb = sin ( a - b ) cos a cos b 8/ 9/ t ga + cot ga = sin 2a 11/ cot ga - t ga = cot g2a X Cụng thc liờn h ca cỏc gúc (cung) liờn quan c bit: ỡù sin ( - a ) = - sin a ùù ùù cos - a = cos a ( ) ù 1/ Gúc i: ùù t g ( - a ) = - t ga ùù ùù cot g ( - a ) = - cot ga ợ ỡù sin ( p - a ) = sin a ùù ùù cos p - a = - cos a ( ) ù 2/ Gúc bự: ùù t g ( p - a ) = - t ga ùù ùù cot g ( p - a ) = - cot ga ợ ỡù sin ( p + a ) = - sin a ùù ùù cos p + a = - cos a ( ) ù 3/ Gúc sai kộm p : ùù t g ( p + a ) = t ga ùù ùù cot g ( p + a ) = cot ga ợ ổ ùỡù p ữ - aữ = cos a ùù sin ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố2 ứ ùù ùù ổ p ùù cos ỗ ữ = sin a ỗ - aữ ữ ữ ỗ ùù ố2 ứ 4/ Gúc ph: ùù ổ p ữ = cot ga ỗ - aữ ùù t g ỗ ữ ữ ố2 ứ ùù ỗ ùù ổ p ữ ùù cot g ỗ ữ a = t ga ỗ ữ ữ ỗ ùùợ ố2 ứ XI Cụng thc b sung: ổ ổ pử pử ữ ỗ ữ ữ = sin a+ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ 4ứ 4ứ ố ố ổ pử ổ p ữ ỗ ữ ữ a+ ữ = sin a 2/ cos a - sin a = cos ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 4 ố ứ ố ứ ổ pử ổ pử ỗ ữ ữ = cos 3/ sin a - cos a = sin ỗ ỗa - ữ ỗa + ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 4ứ 4ứ ố ố a1/ cos a + sin a = cos ỗ ỗ ỗ 4/ A sin a + B cos a = A + B sin ( a + a ) = A + B cos ( a - b) , ( 5/ + sin a = cos a + sin a ) (A + B2 > XII Bng giỏ tr ca hm s lng giỏc ca cỏc gúc cung c bit: Gúc p/ Hm s sin cos 3/ tg 3/ cotg || 300 1/ XIII nh lý hm s cosin: 1/ a = b + c2 - 2bc cos A 2/ b = c2 + a - 2ca cos B 3/ c2 = a + b - 2bc cos C p/ p/ p/ 600 3/ 1/ 900 || 3/ 450 2/ 2/ A c B b a C ) XIV nh lý hm s sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C Vi R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip VABC ỡù a = 2R sin A ùù ù Hay b = 2R sin B ùù ùù c = 2R sin B ợ XV Cụng thc tớnh din tớch tma giỏc: Gi h V l ng cao thuc cnh VABC a+ b+ c l phõn na chu vi VABC S l din tớch VABC R l bỏn kinh ng trũn ngoi tip VABC R l bỏn kớnh ng trũn ni tip VABC 1 1/ S = a.h a = b.h b = c.h c 2 1 2/ S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 abc 3/ S = ; 4/ S = p.r 4R p= 5/ S = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c) (Cụng thc Hộron) XVI Cụng thc nghim: ộu = a + 2k p sin u = sin a ẻ 1/ ờu = p - a + 2k p , k Z ộu = a + 2lp 2/ cos u = cos a ẻ ờu = - a + 2lp , l Z t gu = t ga u = a + m pẻ, m Z 3/ 4/ cot gu = cot ga u = a + n