33 Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC TÓM TẮTGIÁO KHOA A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Đơn vò đo góc và cung: 1. Độ: bẹtgóc 0 1 Góc 180 1 = 2. Radian: (rad) ra d 0 180 π = 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Radian 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Đònh nghóa: 2. Đường tròn lượng giác : Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 DB, k , 2 2 - D 2k 2 2 B 2k x y (tia gốc) Z)(k 2),( ∈+= π α kOyOx + t (tia ngọn) O α . y x o 180 O + − x y O C A B D x y B α M α (điểm gốc) + t O A (điểm ngọn) π α 2kAB + = 34 III. Đònh nghóa hàm số lượng giác: 1. Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x ' Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y ' Oy : trục sin ( trục tung ) • t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác: a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x ' Ox vàø y ' Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t ' At và u ' Bu Ta đònh nghóa: cos sin tg cot OP OQ A T gBU α α α α = = = = b. Các tính chất : • Với mọi α ta có : 1 sin 1 hay sin 1 αα −≤ ≤ ≤ 1 cos 1 hay cos 1 αα −≤ ≤ ≤ • tg xác đònh 2 k π α απ ∀≠ + • cotg xác đònh k α απ ∀≠ c. Tính tuần hoàn sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( ) cot ( ) cot k k tg k tg gk g α πα α πα α πα α πα += += += += )( Zk ∈ + − x y O C A B D 1 1 1 = R 1 − 1 − 'x 'u u t 't 'y y t 'u 't t x u 'y 'xO t 1− Q B T α M α A P U Trục cosin Trục tang Trục sin Trục cotang + − 35 IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt -3 -1 -3 / 3 (Điểm gốc) t t' y y' x x' u u' -3 -1 -3 / 3 1 1 -1 -1 - π / 2 π 5 π /6 3 π / 4 2 π /3 - π / 6 - π / 4 - π / 3 -1/2 -2 / 2 -3 / 2 -1/2-2 / 2-3 / 2 3 / 2 2 / 2 1/2 3 / 2 2 / 2 1/2 A π /3 π / 4 π /6 3 / 3 3 B π / 2 3 / 3 1 3 O 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Góc Hslg 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 tg α 0 3 3 1 3 kxđ 3− -1 3 3 − 0 0 cotg α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3− kxđ kxđ + − 36 V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : va ø - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 π π − ,…) 2. Cung bù nhau : va ø - α πα ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 π π ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 π π ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 π π ,…) 5. Cung hơn kém π : và α πα + (Vd: 6 7 & 6 π π ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg α α α α αα α α −= −=− −=− −=− cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg π αα π αα πα α π αα − =− −= −=− −=− 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg gg π α α π α α π α α π α α −= −= −= −= cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg gg π α α π α α π α α π α α +=− += +=− +=− 5. Cung hơn kém π : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg π αα π αα πα α π αα +=− +=− += += Đối cos Bù sin Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang 37 Ví dụ 1: Tính ) 4 11 cos( π − , 4 21 π tg Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos() 2 cos( xxxA ++−++= ππ π VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: 22 cos sin 1 sin tg = cos cos cotg = sin αα α α α α α α += 2 2 2 2 1 1 tg = cos 1 1 cotg = sin tg . cotg = 1 α α α α ONTHIONLINE.NET Phương trình LG đề thi ĐH khối A -2002 Đề dự bị -2003 Tìm nghiệm thuộc :GPT: khoảng (0;2π)của cos4x-8 cos x + cos x + = phương trình: cos x + sin x   Đề dự bị -2003  sin x + + sin x  = cos x +   GPT: ĐH khối B-2002 (2 − ) cos x − sin  2x − π4    =1 GPT: 2 2 cos x − sin 3x − cos x = sin x − cos x ĐH khối D-2002 ĐH khối D-2003 Tìm nghiệm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm GPT:sin π 2 x x phương trình : =0  − tg x − cos 2 4 cos3x-4 cos 2x+3 Đề dự bị -2003 cosx-4=0 GPT:cotg x=tgx+ Đề dự bị -2002 cos x Xác định m để phương sin x trình Cao đẳng sư phạm 2(sin x + cos x) + A-2002 cos4x+2sin2x-m=0 GPT: sin( π cosx)=1 có nghiệm Cao đẳng sư phạm  π B-2002 thuộcđoạn 0;    x x sin − cos GPT: 2 = cos x + sin x Đề dự bị -2002 GPT: sin x + cos x 1 = cot g x − sin x sin x 4 Đề dự bị -2002 GPT: tg x + = ( − sin ) x sin x cos x Đề dự bị -2002 tgx+cosx-cos x  x = sin x1 + tgxtg  2  Đề dự bị -2002 Cho phương trình: sin x + cos x + = a (a sin x − cos x + số) tham Đề dự bị -2003 GPT: tg2x –tgx= cos x sin 3x CĐSP kinh tế12003 GPT: sin x sin x = CĐXD số 5-2003 Cho phương trình: Cos2x+(2m-1)cosx +1-m=0(m tham số) a)Gpt với m=1 đại học sin2x- 2m (sin x + cos x ) + − 6m = 1)Gpt với m=1 2)Với giá trị m phương trình có nghiệm CĐGT -2003(Đề dự bị) 1)Cho phương trình sin x + c cos x = m sin x a)Gpt với m=1 b)Tìm m để phương trình có nghiệm 2)GPT:tg2x+cotg x=8cos x 3)Gpt: Sin x+sin2x+sin3x3 (cos x + cos x + cos x) = 4)3cosx(1sin x ) − cos x = sin x sin x − CĐNL-2003 π GPT : sin ( x + ) = sin x CĐSP Phú Thọ = tgx + cot g x (cos x − sin x ) cot gx − CĐSP Kon Tum2003 GPT: Sin xcosx+cosx=-2sin x − sin x + CĐSP Tây Ninh Cos 4x x = cos 3 CĐSP Trà Vinh 2003 GPT: sin x + cos x − cos x + sin 2 x = Bài tập thêm: GPT a)GPT a= b)tìm a để phương trình có nghiệm Đề ĐH khối A -2003 GPT: cotgx-1= cos x + sin x − sin x + tgx Đề dự bị -2003 GPT:3 -tgx ( tgx + sin x ) + cos x = Đề dự bị -2003 GPT: cos2x+cosx(2tg x − )=2 Đề ĐH khối B -2003 GPT: cotg x-tgx+4sin2x = sin x b)định m để phương sau trình có nghiệm 1)2sin x+2 π khoảng ( ; π ) CĐSP Nha Trang2003 GPT: 2cos2x1 8cosx+7= cos x CĐSP Bến Tre-2003 GPT:2sin x + cos x − cos x = CĐSP HảiDương2003 GPT: sin 2 x + sin x − − cos x =0 cos x CĐKT Hà Tây-2003 GPT: sin x + sin 2 x + sin x = CĐGT 2003 cos x = + cos x sin x 2)6sin x-2co s sin x cos x cos x π 3)sin ( x − ) = sin x cos x + sin x = cos x 4) cos x − sin x 2(cos3 x + sin x) = sin x 5) sin x + cos x x= Trang 1 CHUYÊN ĐỀ PHƯ ƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Vòng tròn lượng giác 2. Mối liên hệ giữa các góc có liên quan đặc biệt 3 Các công thức lượng giác - Các hằng đẳng thức lượng giác - Công thức cộng - Công thức nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc - Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng - Công thức biến đổi theo tan 2 x t = II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối D năm 2002) Tìm [ ] 0;14 x ∈ nghiệm đúng phương trình cos 3 4cos 2 3cos 4 0 x x x − + − = (1) Giải. 3 2 (1) (4 cos 3cos ) 4(2 cos 1) 3cos 4 0 x x x x ⇔ − − − + − = 2 4cos (cos 2) 0 cos 0 (k ) 2 x x x x k π π ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ » Vì [ ] 0;14 x ∈ nên 1 14 1 0 14 0,5 3,9 2 2 2 k k π π π ≤ + ≤ ⇔ − = − ≤ ≤ − ≈ ,mà k ∈ » nên { } 0;1;2;3 k ∈ Vậy nghiệm của phương trình là: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x π π π π   ∈     Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình (2 cos 1)(2sin cos ) sin 2 s inx x x x x − + = − (2) Giải. (2) (2 cos 1)(2sin cos ) sinx(2cos 1) (2cos 1)(s i nx cos ) 0 x x x x x x ⇔ − + = − ⇔ − + = cos 1 2 cos 3 3 ( , ) 2 t anx 1 tan s inx cos 4 4 x cos x k x k l x x l π π π π π π   = = ± +    =   ⇔ ⇔ ⇔ ∈       = − = − = − = − +          » Ví dụ 3: Giải phương trình 2 2 2 2 sin sin 3 os 2 os 4 x x c x c x + = + (3) Giải. 1 os2 1 os6 1 os4 1 os8 (3) ( os2 os6 ) os4 os8 2 2 2 2 c x c x c x c x c x c x c x c x − − + + ⇔ + = + ⇔ − + = + 2cos 4 cos 2 2 cos 6 cos 2 2 os2 ( os6 os4 ) x x x x c x c x c x ⇔ − = ⇔ + 4 2 os2 0 4cos 2 .cos 5 .cos 0 os5 0 (k ) 10 5 cos 0 2 k x c x x x x c x x k x x k π π π π π π  = +  =     ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈    =    = +   » Chú ý: • •• • Khi giải p hương trình lượng giác có chứa tanu, cotu, có ẩn ở mẫu, có chứa căn bậc chẵn thì phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Vĩnh Kiệt (Trương Văn Kìm) Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Thầy Kìm 0902.789.015 Trang 2 • • • • Ta có thể dùng các cách sau để kiểm tra điều kiện xem có nhận hay không + Thử nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện hay không. + Dùng đường tròn lượng giác + So điều kiện trong quá trình giải Ví dụ 4: Giải phương trình 2 tan t anx.tan 3 2 x x − = (4) Giải. Điều kiện 3 cos 0 cos 3 0 ( ) 6 3 cos3 4 cos 3cos 0 x x x l l x x x π π ≠  ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈  = − ≠  » Ta có s inx sinx sin3x (4) t anx(t anx tan 3 ) 2 . 2 cos cos cos3 x x x x   ⇔ − = ⇔ − =     2 2 sin (sinx.cos 3 cos .sin 3 ) 2cos . os3 sinx.sin( 2 ) 2 cos . os3 x x x x x c x x x c x ⇔ − = ⇔ − = 2 2 2 2sin .cos 2 cos . os3 sin cos . os3 x x x c x x x c x ⇔ − = ⇔ − = (do cosx ≠ 0) 1 os2 1 ( os4 os2 ) os4 1 4 2 ( ) 2 2 4 2 c x c x c x c x x k x k k π π π π − ⇔ − = + ⇔ = − ⇔ = + ⇔ = + ∈ » Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: ( ) 4 2 x k k π π = + ∈ » Ví dụ 5: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D, năm 2003) Giải phương trình 2 2 sin .tan os 0 2 4 2 x x x c π   − − =     (5) Giải. Điều kiện cos 0 sinx 1 x ≠ ⇔ ≠ ± Khi đó [ ] 2 2 1 sin 1 (1) 1 os . 1 cos 0 2 2 os 2 x c x x c x π     ⇔ − − − + =         2 2 (1 sinx)(1 os ) (1 cos ) 0 1 sin c x x x − − ⇔ − + = − 2 1 os (1 cos ) 0 1 sinx c x x − ⇔ − + = + 1 cos (1 cos ) 1 0 1 sin x x x −   ⇔ + − =   +   (1 cos )( cos sinx) 0 x x ⇔ + − − = 2 cos 1 (k ) t anx 1 4 x k x x k π π π π = +  = −   ⇔ ⇔ ∈   = − = − +   » Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 2 ; (k ) 4 x k x k π π π π = + = − + ∈ » Ví dụ 6: Giải phương trình 4 4 sin os 1 (t anx cot 2 ) sin 2 2 x c x x x + = + (6) Giải. Điều kiện sin2x ≠ 0 Ta có: * 4 4 2 2 2 2 2 2 1 sin os (sin os ) 2sin cos 1 sin 2 2 x c x x c x x x x + = + − = − * sinx os2 1 tan cot 2 cos sin 2 sin 2 c x x x x x x + = + = Trang 3 Vậy 2 1 1 sin 2 1 2 (6) sin 2 2sin 2 x x x − ⇔ = 2 2 1 1 sin 2 1 sin 2 1 2 x x ⇔ − = ⇔ = 2 os 2 0 os2 0 c x c x ⇔ = ⇔ = 2 (k ) 2 4 2 x k x k π π π π ⇔ = + ⇔ = + ∈ » Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 70  Chuyên đề 2: LƯNG GIÁC  Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương trình lượng giác cơ bản cosx = cos  x =  + k2 sinx = sin  x k2 x k2             tanx = tan  x =  + k cotx = cot  x =  + k (với k  ) 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác asin 2 x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,  t  1 acos 2 x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,  t  1 atan 2 x + btanx + c = 0. Đặt t = tanx acot 2 x + bcotx + c = 0. Đặt t = cotx 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx asinx + bcosx = c (*) Điều kiện có nghiệm: a 2 + b 2  c 2  Cách 1: Chia hai vế cho 22 ab  0 (*)  22 a ab sinx + 22 b ab cosx = 22 c ab Do 2 22 a ab     + 2 22 b ab     = 1 Nên có thể đặt 22 a ab = cos, 22 b ab = sin Khi đó: (*)  sinxcos + sincosx = 22 c ab  sin(x + ) = 22 c ab  Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a  0) (*)  sinx + b a cosx = c a Đặt b a = tan. Khi đó: (*)  sinx + sin cos   cosx = c a TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 71  sinx cos + sin cosx = c a cos  sin(x + ) = c a cos  Cách 3: Đặt ẩn số phụ.  Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0  Xét x  (2k + 1) với (k  ) Đặt t = tan x 2 Khi đó: (*)  a 2 2t 1t + b 2 2 1t 1t   = c  (b + c)t 2 – 2at + c – b = 0 4. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx + cosx = 2 cos x 4      Điều kiện  t  2 Khi đó: t 2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx = 2 t1 2  Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t.  Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx – cosx (với t2 ) 5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = 0  Xét cosx = 0  x = 2  + k (k  ) có là nghiệm không?  Xét cosx  0. Chia 2 vế cho cos 2 x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx.  Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0 và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho cos k x và ta thu được một phương trình bậc k theo tanx. B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Giải phương trình: 2 1 sin2x cos2x 2sinx.sin2x 1 cot x    . Giải Điều kiện: sinx  0. Khi đó: (1)      2 1 sin2x cos2x 2sinx. 2sinxcosx 1 sin x Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 72       22 sin x 1 sin2x cos2x 2 2sin x.cosx    1 sin2x cos2x 2 2cosx (vì sinx  0)     2 2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 0     cosx 0 cosx sinx 2          cosx 0 sin x 1 4        x k x k2 24 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0). Vậy nghiệm của (1) là       x k x k2 24 (k  Z). Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx    Giải sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx     2sinx.cos 2 x + sinx.cosx = 2cos 2 x – 1 + sinx + cosx  sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1  cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1  sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1  sinx = 1 hoặc 2cos 2 x + cosx – 1 = 0  sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1 2  x k2 2     hoặc x k2   hoặc x k2 3       x k2 2     hoặc   2 xk 33 (k Z) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Giải phương trình:      sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3 Giải      sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3 . Điều kiện: tanx  3 và cosx  0.     sin2x 2cosx sinx 1 0       2sinxcosx 2cosx sinx 1 0 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 73         2cosx sinx 1 sinx 1 0       sinx 1 2cosx 1 0         sinx 1 (Loại vì khi đó cosx = 0) 1 cosx 2      x k2 3 (k Z). So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là    x k2 3 (k Z). Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Giải phương trình: cos4x + 12sin 2 x – 1 = 0. Giải cos4x + 12sin 2 x – 1 = 0  2cos 2 2x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0 GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC Chuyên Đề Lượng Giác Luyện Thi Đại Học Phần 1: Hàm số lượng giác A Kiến thức cần nhớ Các đẳng thức b) tan x  a) sin x  cos x  sin x cos x c) cot x  cos x sin x 1 e)  cot x  f) tan x cot x  cos x sin x Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt a) Hai cung đối b) Hai cung bù c) Hai cung khác  cos( x)  cos x sin(  x)  sin x sin( x  2 )  sin x sin( x)   sin x cos(  x)   cos x cos( x  2 )  cos x tan( x)   tan x tan(  x)   tan x tan( x  2 )  tan x cot( x)   cot x cot(  x)   cot x cot( x  2 )  cot x d) Hai cung khác  e) Hai cung phụ sin(  x)   sin x     sin   x   cos x ; cos  x   sin x cos(  x)   cos x 2  2  tan(  x)  tan x     tan  x   cot x ; cot   x   tan x cot(  x)  cot x 2  2  B Bài tập Tìm giá trị  để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ 1 A ; B  sin   cos  Xét dấu biểu thức sau: a) sin 123o  sin 132 o b) cot 304 o  cot 316 o Rút gọn biểu thức sau: a) tan 540 o  cos 1170 o  sin 990 o  cos 540 o 25 13 19 b) sin  tan  cos o o o c) sin 15  sin 35  sin 55  sin 75o d) cos 15o  cos 35o  cos 55o  cos 75o  3 5 7 9 11  sin  sin  sin  sin  sin e) sin 12 12 12 12 12 12  3 5 7 9 11  cos  cos  cos  cos  cos f) cos 12 12 12 12 12 12    3  g) sin(  a)  cos  a   cot(2  a)  tan  a 2    2 h) A  sin a  cos a  sin a cos a a a   sin  cos   2 i) B   a a a tan  sin cos 2 2 o cos 696  tan(260 o ) tan 530 o  cos 156 j) C  tan 252 o  cot 342 o d)  tan x   17  7   13   tan  b   cot  cot 7  b  k)  tan 4      -1- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC   sin x  sin x   cos x  cos x    l)       sin x   cos x  cos x    sin x m) sin a(1  cot a)  cos a(1  tan a) tan b n) tan b  cot b  cos a  sin a o) cos a sin( x   ) cos( x  2 ) sin(2  x) p)    3  sin   x  cot(  x) cot   x 2    2      3    q) sin  x   sin(  x)  cos  x   cos(2  x)    2        2   5   3  r) sin  a  tan  a  cos  a   tan(  a) tan  a 3        cot(5,5  a)  tan(b  4 ) s) cot(a  6 )  tan(b  3,5 ) t) tan 50 o tan190 o tan 250 o tan 260 o tan 400 o tan 700 o Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh: a) sin( A  B)  sin C; cos(B  C)  -cosA c) tan( A  C)   tan B; cot(A  B)  -cotC AB C BC A AC B AB C b) sin d) tan  cos ; cos  sin  cot ; cot  tan 2 2 2 2  cos x Tìm giá trị lớn hàm số: y  sin x  cos x  cos x  sin x  Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng    x   : y  cos x  sin x  Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC a) Cho sin B  sin C  sin A Chứng minh A  60o b) 2(a cos A  b cos B  c cos C )  a  b  c  ABC c) Chứng minh:  sin A  sin B  sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA  Phần 2: Các công thức lượng giác I Công thức cộng A Kiến thức cần nhớ 1) sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a tan a  tan b 3) tan(a  b)  2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b  tan a tan b B Bài tập Chứng minh công thức sau:     a) cos a  sin a  cos  a   sin  a  4  4      b) cos a  sin a  cos  a   sin  a  4  4  Rút gọn biểu thức:   cos a  cos  a  4  a)    sin a  sin   a  4  -2- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC b) cos10o  cos11o.cos 21o  cos 69o.cos 79o c) (tan a  tan b).cot(a  b)  tan a tan b Chứng minh tam giác ABC ta có: A B B C C A b) tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 A B C A B C c) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  d) cot  cot  cot  cot cot cot 2 2 2   tan b  tan a a) Cho a  b  , chứng minh:  tan a   tan b  tan a  tan b a) tan A 