BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) • Tập xác định: 1 \. 2 D ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ \ • Sự biến thiên: Chiều biến thiên: () 2 1 '0 21 y x − = − ,<∀ x ∈ D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1 ; 2 ⎛⎞ −∞ ⎜⎟ ⎝⎠ và 1 ;. 2 ⎛⎞ ⎜⎟ +∞ ⎝⎠ 0,25 Giới hạn và tiệm cận: 1 lim lim ; 2 xx yy →−∞ →+∞ ==− tiệm cận ngang: 1 . 2 y =− 1 Trang 1/5 2 ⎝⎠ lim , x y − ⎛⎞ → ⎜⎟ =−∞ 1 2 lim ; x y + ⎛⎞ → ⎜⎟ ⎝⎠ =+∞ tiệm cận đứng: 1 . 2 x = 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 • Đồ thị: 0,25 2. (1,0 điểm) Hoành độ giao điểm của d: y = x + m và (C) là nghiệm phương trình: x + m = 1 21 x x −+ − ⇔ (x + m)(2x – 1) = – x + 1 (do x = 1 2 không là nghiệm) ⇔ 2x 2 + 2mx – m – 1 = 0 (*). 0,25 ∆' = m 2 + 2m + 2 > 0, ∀m. Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m. 0,25 Gọi x 1 và x 2 là nghiệm của (*), ta có: k 1 + k 2 = – 2 1 1 (2 1) x − – 2 2 1 (2 1) x − = 2 12 12 12 2 12 1 2 4( ) 8 4( ) 2 . (4 2( ) 1) xx xx xx xx x x +− −++ − −++ 0,25 I (2,0 điểm) Theo định lý Viet, suy ra: k 1 + k 2 = – 4m 2 – 8m – 6 = – 4(m + 1) 2 – 2 ≤ – 2. Suy ra: k 1 + k 2 lớn nhất bằng – 2, khi và chỉ khi m = – 1. 0,25 x − ∞ 1 2 + ∞ y’ − − y 1 2 − 1 2 − − ∞ + ∞ y x 1 2 − 1 2 O 1 (C) – 1 www.VNMATH.com Trang 2/5 Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Điều kiện: sin x ≠ 0 (*). Phương trình đã cho tương đương với: (1 + sin2 x + cos2x)sin 2 x = 22sin 2 xcosx 0,25 ⇔ 1 + sin2x + cos2x = 22 cosx (do sinx ≠ 0) ⇔ cosx (cosx + sinx – 2 ) = 0. 0,25 • cosx = 0 ⇔ x = 2 π + kπ, thỏa mãn (*). 0,25 • cosx + sinx = 2 ⇔ sin(x + 4 π ) = 1 ⇔ x = 4 π + k2π, thỏa mãn (*). Vậy, ph ương trình có nghiệm: x = 2 π + kπ; x = 4 π + k2π (k ∈ Z). 0,25 2. (1,0 điểm) 223 22 2 5432()0(1) ()2() (2 xy xy y x y xy x y x y ⎧ −+−+= ⎪ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ ). Ta có: (2) ⇔ (xy – 1)(x 2 + y 2 – 2) = 0 ⇔ xy = 1 hoặc x 2 + y 2 = 2. 0,25 • xy = 1; từ (1) suy ra: y 4 – 2y 2 + 1 = 0 ⇔ y = ± 1. Suy ra: (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) = (–1; –1). 0,25 • x 2 + y 2 = 2; từ (1) suy ra: 3y(x 2 + y 2 ) – 4xy 2 + 2x 2 y – 2(x + y) = 0 ⇔ 6y – 4xy 2 + 2x 2 y – 2(x + y) = 0 ⇔ (1 – xy)(2y – x) = 0 ⇔ xy = 1 (đã xét) hoặc x = 2y. 0,25 II (2,0 điể m) Với x = 2y, từ x 2 + y 2 = 2 suy ra: (x ; y) = 210 10 ; 55 ⎛⎞ ⎜ ⎜ ho ặc (x; y) = ⎟ ⎟ ⎝⎠ 210 10 ;. 55 ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ Vậy, h ệ có nghiệm: (1; 1), (– 1; – 1), 210 10 ;, 55 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 210 10 ;. 55 ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 I = 4 0 (sin cos) cos d sin cos x xxxx x xx x π ++ + ∫ = 44 00 cos dd sin cos xx . x x x xx ππ + + ∫∫ 0,25 Ta có: 4 0 d x π ∫ = 4 0 x π = 4 π 0,25 và 4 0 cos d sin cos xx x x xx π + ∫ = 4 0 d( sin cos ) sin cos x xx x xx π + + ∫ = () 4 0 ln sin cosxx x π + 0,25 III (1,0 điể m) = 2 ln Suy ra: I = 1 . 24 ⎛⎞ π ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 4 π + 2 ln 1 . 24 ⎛⎞ π ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 0,25 (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC). AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ n SBA là góc giữa (SBC) và (ABC) ⇒ n SBA = 60 o ⇒ SA = = n tanAB SBA 23 .a 0,25 IV (1,0 điể m) Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N ⇒ MN //BC và N là trung điểm AC. MN = , 2 BC a= BM = . 2 AB a= Diện tích : S BCNM = 2 ()3 22 B CMNBM a+ = ⋅ Thể tích: V S.BCNM = 3 1 3 3 BCNM SSAa⋅= ⋅ 0,25 S A B C N M D H www.VNMATH.com Trang 3/5 Câu Đáp án Điểm Kẻ đường thẳng ∆ đi qua N, song song với Onthionline.net ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2012 Môn thi : TOÁN Nguyễn Văn Phong - THPT Hà Bắc - Thanh Hà - Hải Dương I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m tham số thực 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x  xy + x − = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  (x, y ∈ R) 2  x − x y + x + y − xy − y = Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = π/ ∫ x(1 + sin 2x)dx Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4) + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M ( − ; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường tròn có bán kính 2(1 + 2i ) = + 8i Tìm môđun số phức w = z + Câu 9.a (1,0 điểm): Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + 1+ i + i B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = x −1 y +1 z = = hai điểm Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: −1 A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M Câu 9.b (1,0 điểm) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = tập hợp số phức Onthionline.net BÀI GIẢI Câu 1: x – x2 – 4x + Tập xác định R 3 y’ = 2x – 2x – 4; y’ = ⇔ x = -1 hay x = 2; y(-1) = 3; y(2) = -6 lim y = −∞ lim y = +∞ a) m= 1, hàm số thành : y = x →−∞ x →+∞ x y’ y −∞ -1 + −∞ CĐ − +∞ + +∞ -6 CT Hàm số đồng biến (−∞; -1) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến (-1; 2) Hàm số đạt cực đại x = -1; y(-1) = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 2; y(2) = -6 1 y" = 4x – 2; y” = ⇔ x = Điểm uốn I ( ; − ) 2 Đồ thị : y -1 x -6 b) y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) y có cực trị ⇔ ∆’ = m2 + 4(3m2 – 1) > ⇔ 13m2 – > −2 ⇔m < hay m > 13 13 Gọi x1, x2 nghiệm y’ : x1x2 + 2(x1 + x2) = (nhận) Câu : sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x ⇔ sin3x – sinx + cos3x + cosx = cos2x ⇔ 2sinxcos2x + 2cos2xcosx = cos2x ⇔ cos2x = hay 2sinx + 2cosx = π ⇔ cos2x = hay sin( x + ) = π π π 7π + k 2π (với k ∈ Z) ⇔ x = + k hay x = − + k 2π hay x = 12 12  xy + x − =  xy + x − = Câu 3:  ⇔  2 2  x − x y + x + y − xy − y = ( x − y ) ( x − y + 1) =  xy + x − =  xy + x − = ⇔ hay   y = 2x +1 x = y ⇔ -(3m2 – 1) + 2m = ⇔ 3m2 – 2m = ⇔ m = (loại) hay m = Onthionline.net 2 x + x − =  x + x − = ⇔ hay   x = y  y = 2x +1   −1 + −1 − x = x = x = ⇔  hay  hay  2 y =1 y = y = −   Câu 4: I= π/ ∫ x(1 + sin 2x)dx Đặt u = x ⇒ du = dx dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x – cos2x π /4 π /4 π /4 1 π  x sin x  − ∫ ( x − cos x)dx = − − I = x( x − cos x) 2 16   0 Câu 5: a a a D/ A/ C = a ⇒ AC = , BC = = 2 2   a a  a a3 V=   =  2  2 ÷   24 / A/ π2 + 32 C/ B/ H / = D Hạ AH vuông góc A B tam giác ABA Chính d(A,BCD/) =h 1 a A B = + ⇒h= 2 Ta có h  a  a  ÷ 2÷  2   Câu 6: Ta có • ( x − 4) + ( y − 4) + xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − 8( x + y ) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ • xy ≤ ( x + y ) ⇒ − xy ≥ − ( x + y ) 2 3 A = x + y + 3( xy − 1)( x + y − 2) = ( x + y )3 − xy − 3( x + y ) + 3 A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) − 3( x + y ) + 3 Đặt t = x + y ( ≤ t ≤ ), xét f(t) = t − t − 3t + ⇒ f’(t) = 3t − 3t − 1+ 1+ 17 − 5 f’(t) = t = ; f(0) = 6, f(8) = 398, f( )= 2 17 − 5 1+ Vậy giá trị nhỏ f(t) xảy t = 17 − 5 1+ 1+ A ≥ f(t) ≥ Dấu xảy x = y x + y = hay x = y = 4 PHẦN RIÊNG A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a: AC cắt AD A (-3; 1) Vẽ MN // AD (N ∈ AC) ⇒ MN : 3x – 3y + = C Onthionline.net 4 Trung điểm MN : K ( − ; ) 6 4 Vẽ KE ⊥ AD (E ∈ AD) ⇒ KE : ( x + ) + ( y − ) = ⇒ E (-2; 2) 6 E trung điểm AD ⇒ D (-1; 3) Giao điểm AC EK : I (0; 0) I trung điểm BD ⇒ B (1; -3) I trung điểm AC ⇒ C (3; -1) + − + 10 = ; R2 = IH2 + r2 = + 16 = 25 Câu 8a: IH = d(I, (P)) = (S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25 Câu 9a : (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = + 8i ⇔ (2 + i)z + + i – 2i2 = + 8i (7i + 4)(2 − i ) = + 2i ⇔ (2 + i)z = 7i + ⇔z = (2 + i)(2 − i ) Suy : w = z + + I = + 3i ⇒ w = 16 + = B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b: I ∈ (d) ⇒I (t; 2t + 3) AB = CD ⇒ t  = 2t + 3 ⇔ t = -1 hay t = -3 + t = -1 ⇒ I (-1; 1) ⇒ R = ⇒ pt đường tròn : (x + 1)2 + (y – 1)2 = + t = -3 ⇒ I (-3; -3) ⇒ R = 10 ⇒ pt đường tròn : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 Câu 8b: Gọi M (2t + 1; -1 –uu t;uu rt) thuộc (d) uuuu r ∆AMB vuông M ⇔ AM = (2t; -t; t – 2) vuông góc với BM = (2t – 1; -t; t) ⇔ 6t2 – 4t = ⇔ t = hay t = ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1 . 21 x y x −+ = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k 1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng đạt giá trị lớn nhất. 1 kk+ 2 Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 1sin2 cos2 2sin sin2 . 1cot xx x x x ++ = + 2. Giải hệ phương trình 223 22 2 5432()0 (, ). ()2() xy xy y x y xy xy x y x y ⎧ −+−+= ⎪ ∈ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ \ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 4 0 sin ( 1)cos d. sin cos x xx x I x xx x π ++ = + ∫ Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho ,, x yzlà ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 23 =++ ++ + x yz P x yyzzx PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. 22 (): 4 2 0.Cx y x y+− − = 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. ():2 4 0.Pxyz−−+= Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết: 2 2 .zz=+z B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip 22 (): 1. 41 xy E += Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. 222 (): 4 4 4 0Sx y z x y z++− − − = (4; 4; 0)A Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z, biết: (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2−+++−=−zizii. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 42 2( 1) y xmx=− + +m (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx. 2. Giải phương trình 2 32 62 44 10 3 ( ).xxx xx+− −+ − = − ∈\ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 3 2 0 1sin d. cos x x I x x π + = ∫ Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABCD.A 1 BB 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, 3.AD a= Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B 1 o B đến mặt phẳng (A 1 BD) theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 22 33 22 49 ab ab P ba ba ⎛⎞⎛ =+−+ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⋅ ⎟ ⎠ PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 21 : 12 1 x y−+ Δ== −− z và mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và 414.MI = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết: 53 10 i z z + −− .= B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 1 ;1 . 2 B ⎛ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương. (3; 1)D 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 21 13 xyz+−+ == − 5 2 và hai điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 35. Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 13 . 1 i z i ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) • Tập xác định: { } \1D =−\ . • Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 1 '0 (1) y x = + ,> ∀ x ∈ D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞). 0,25 – Giới hạn và tiệm cận: lim lim xx y y →−∞ →+∞ = = 2; tiệm cận ngang: y = 2. = + ∞, = – ∞; tiệm cận đứng: x = – 1. () 1 lim x y − →− () 1 lim x y + →− 0,25 – Bảng biến thiên: Trang 1/4 0,25 • Đồ thị: 0,25 2. (1,0 điểm) Gọi d: y = kx + 2k + 1, suy ra hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm phương trình: kx + 2k + 1 = 21 1 x x + + ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(kx + 2k + 1) (do x = – 1 không là nghiệm) ⇔ kx 2 + (3k – 1)x + 2k = 0 (1). 0,25 d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B, khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ ⎨ ⇔ 0 0 k ≠ ⎧ ⎨ Δ> ⎩ 2 0 610 k kk ≠ ⎧ −+> ⎩ 0 322 322. k kk ≠ ⎧ ⎪ ⎨ <− ∨ >+ ⎪ ⎩ (*). 0,25 I (2,0 điểm) Khi đó: A(x 1 ; kx 1 + 2k + 1) và B(x 2 ; kx 2 + 2k + 1), x 1 và x 2 là nghiệm của (1). x − ∞ –1 y’ + + y − ∞ + ∞ + ∞ 2 2 2 x y – 1 O 1 0,25 d(A, Ox) = d(B, Ox) ⇔ 1 21kx k++ = 2 21kx k++ www.VNMATH.com Trang 2/4 Câu Đáp án Điểm ⇔ k(x 1 + x 2 ) + 4k + 2 = 0 (do x 1 ≠ x 2 ). Áp dụng định lý Viét đối với (1), suy ra: (1 – 3k) + 4k + 2 = 0 ⇔ k = – 3, thỏa mãn (*). Vậy, giá trị cần tìm là: k = – 3. 0,25 1. (1,0 điểm) Điều kiện: cosx ≠ 0, tanx ≠ 3− (*). Phương trình đã cho tương đương với: sin2 x + 2cosx – sinx – 1 = 0 0,25 ⇔ 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0 ⇔ (sinx + 1)(2cosx – 1) = 0. 0,25 ⇔ sinx = – 1 ⇔ x = – 2 π + k2π hoặc cosx = 1 2 ⇔ x = ± 3 π + k2π. 0,25 Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm: x = 3 π + k2π (k ∈ Z). 0,25 2. (1,0 điểm) Điều kiện: – 1 ≤ x ≤ 1 (*). Khi đ ó, phương trình đã cho tương đương với: () () 2 22 log 8 log 4 1 1 x x ⎡⎤ −= ++− ⎣⎦ x 0,25 ⇔ 8 – x 2 = 4 ( 11 ) x x++ − ⇔ (8 – x 2 ) 2 = 16 ( ) 2 221 x +− (1). 0,25 Đặt t = 2 1− x , (1) trở thành: (7 + t 2 ) 2 = 32(1 + t) ⇔ t 4 + 14t 2 – 32t + 17 = 0 ⇔ (t – 1) 2 (t 2 + 2t + 17) = 0 ⇔ t = 1. 0,25 II (2,0 điể m) Do đó, (1) ⇔ 2 1−=x 1 ⇔ x = 0, thỏa mãn (*). Vậ y, phương trình có nghiệm: x = 0. 0,25 Đặt t = 21 x + ⇒ 4x = 2(t 2 – 1), dx = tdt. Đổi cậ n: x = 0 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 3. 0,25 I = 3 3 1 23 d 2 tt t t − + ∫ = 3 2 1 10 245 2 tt t ⎛⎞ −+− ⎜⎟ + ⎝⎠ ∫ III dt 0,25 = 3 3 2 1 2 2510ln2 3 t tt t ⎛⎞ −+− + ⎜⎟ 0,25 ⎝⎠ (1,0 điểm) = 34 3 10ln . 35 + 0,25 Hạ SH ⊥ BC (H ∈ BC); (SBC) ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ (ABC); SH = SB.sin = n SBC 3.a 0,25 Diện tích: S ABC = 1 2 BA.BC = 6a 2 . Thể tích: V S.ABC = 1 3 S ABC .SH = 3 23 IV .a 0,25 Hạ HD ⊥ AC (D ∈ AC), HK ⊥ SD (K ∈ SD) ⇒ HK ⊥ (SAC) ⇒ HK = d(H, (SAC)). BH = SB.cos = 3a ⇒ BC = 4HC n SBC ⇒ d(B, (SAC)) = 4.d(H, (SAC)). 0,25 (1,0 điểm) Ta có AC = 22 B ABC+ = 5a; HC = BC – BH = a ⇒ HD = BA. HC AC = 3 . 5 a HK = 22 .SH HD SH HD+ = 37 14 a . Vậy, d(B, (SA C)) = 4.HK = 67 . 7 a 0,25 V (1,0 điểm) Hệ đã cho tương đương với: 2 2 ()(2) ()(2)12 xxxym B S A C D H K . x xxy ⎧ −−= ⎪ ⎨ −+ − =− ⎪ ⎩ m 0,25 www.VNMATH.com Trang 3/4 Câu Đáp án Điểm Đặt u = x 2 – x, u ≥ – 1 ; 4 v = 2x – y. Hệ đã cho trở thành: ⇔ 12 uv m uv m = ⎧ ⎨ +=− ⎩ 2 (2 1) 0 (1) 12 . umum vmu ⎧ +−+= ⎨ =− − ⎩ Hệ đã cho có nghiệm, khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn u ≥ – 1 . 4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 21 1 x y x + =⋅ + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sin 2 2cos sin 1 0. tan 3 xxx x +−− = + 2. Giải phương trình () () 2 21 2 log 8 log 1 1 2 0 ( ).xxx−+ ++−−= ∈\x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 4 0 41 d. 212 x I x x − = ++ ∫ Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 23a và Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. n 30 .SBC = D Câu V (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 32 2 2(2) (, ). 12 xyxxym xy xxy m ⎧ −+ + = ⎪ ∈ ⎨ +− =− ⎪ ⎩ \ PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(– 4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: 13 21 2 xyz+− == − ⋅ Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết: z – (2 + 3i) z = 1 – 9i. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 13 : 24 1 x y−− Δ== z và mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). ():2 2 0.Pxyz−+ = Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 23 1 xx y x ++ = + 3 trên đoạn [0; 2]. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ... ∫ x(1 + sin 2x)dx Đặt u = x ⇒ du = dx dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x – cos2x π /4 π /4 π /4 1 π  x sin x  − ∫ ( x − cos x)dx = − − I = x( x − cos x) 2 16   0 Câu 5: a a a D/ A/ C = a ⇒... Trung điểm MN : K ( − ; ) 6 4 Vẽ KE ⊥ AD (E ∈ AD) ⇒ KE : ( x + ) + ( y − ) = ⇒ E (-2; 2) 6 E trung điểm AD ⇒ D (-1; 3) Giao điểm AC EK : I (0; 0) I trung điểm BD ⇒ B (1; -3) I trung điểm AC ⇒ C (3;... nhỏ f(t) xảy t = 17 − 5 1+ 1+ A ≥ f(t) ≥ D u xảy x = y x + y = hay x = y = 4 PHẦN RIÊNG A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a: AC cắt AD A (-3; 1) Vẽ MN // AD (N ∈ AC) ⇒ MN : 3x – 3y + = C Onthionline.net