Nguyễn Văn Thuật- trờng PTCS Hữu Sản SĐ-BG Các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 Chuyên đề 1 Các bài toán về số và chữ số I. Những kiến thức cần l u ý : 1. Có 10 chữ số là 0 ; 1; 2; 3; 4 ;9. Khi viết một số tự nhiên ta sử dụng mời chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số TN phải khác 0. 2. Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên : ab = a ì 10 + b abc = a ì 100 + b ì 10 + c = ab ì 10 + c abcd = a ì 1000 + b ì 100 + c ì 10 + d = abc ì 10 + d = ab ì 100 + cd 3. Quy tắc so sánh hai số TN : a) Trong hai số TN, số nào có chữ số nhiều hơn thì lớn hơn. b) Nếu hai số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn thì số đó lớn hơn. 4. Số tự nhiên có tận cùng bằng 0 ; 2; 4; ;8 là các số chẵn. 5 . Số TN có tận cùng bằng 1;3 ;5; ;9 là các số lẻ. 6. Hai số TN liên tiếp hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp. 7. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp. 8. Hai số lẻ liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp. II. Một số dạng toán điển hình : Dạng 1: Viết số TN từ những chữ số cho trớc Bài 1 : Cho bốn chữ số : 0; 3; 8 và 9. a) Viết đợc tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho ? b) Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số đã cho? c) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số đã cho ? Lời giải: Cách 1. 1 Nguyễn Văn Thuật- trờng PTCS Hữu Sản SĐ-BG Chọn số 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số: 3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980. Vậy từ 4 chữ số đã cho ta viết đợc 6 số có chữ số hàng nghìn bằng 3 thoả mãn điều kiện của đầu bài. Chữ số 0 không thể đứng đợc ở vị trí hàng nghìn. Vậy số các số thoả mãn điều kiện của đề bài là: 6 ì 3 = 18 ( số ) Cách 2: Lần lợt chọn các chữ số nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị nh sau: - Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện của đầu bài ( vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn ). - Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn ) - Có 2 cách chọn chữ số hàng chục ( đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm còn lại ) - Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là 1 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn , hàng trăm , hàng chục ) Vậy các số đợc viết là: 3 ì 3 ì 2 ì 1 = 18 ( số ) b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất ( trong 4 chữ số đã cho ). Vậy chữ số hàng nghìn phải tìm bằng 9. Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm bằng 8. Chữ số hàng chục là số lớn nhất trong hai chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3. Số phải tìm là 9830. Tơng tự số bé nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là 3089. c) Tơng tự số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là : 9803 Số chẵn nhỏ nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là : 3098. Bài 2 : Cho 5 chữ số : 0; 1; 2; 3; 4. a) Hãy viết các số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho ? b) Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 5 chữ số đã cho ? Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích số : Bài 1: Tìm 1 số TN có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta đợc một số lớn gấp 13 lần số đã cho ? Lời giải: Gọi số phải tìm là ab . Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta đợc số ab9 . Theo bài ra ta có : 2 Nguyễn Văn Thuật- trờng PTCS Hữu Sản SĐ-BG ab9 = ab ì 13 900 + ab = ab ì 13 900 = ab ì 13 - ab 900 = ab ì ( 13 1 ) 900 = ab ì 12 ab = 900 : 12 ab = 75 Vậy số phải tìm là 75. Bài 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị. Lời giải: Gọi số phải tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta đợc số 5abc Theo bài ra ta có: 5abc = abc + 1112 10 ì abc + 5 = abc + 1112 10 Onthionline.net Phong GD&ĐT PHU LÔC TRƯƠNG THCS LÔC TIẾN MÔT SÔ BAI TOAN BSHSG CUA TRƯƠNG TAC GIẢ : HỌC SINH TRẦN MINH HIẾU Chương I: đại sô Bài Giải phương trình x+1 – 3x = 2x – b) 2+x - 2-x + 4-x2 =10-3x c) 2 2x +7x+10 + 2x +x+4 = 3(x+1) Bài tm nghiêm nguyên cua phương Bài a)xy+y=x3+4 b)2xy+x+y=21 (x,y thuôc Z) a)hai sô thưc không âm x và y thoa Bài tm Min và Max a)hai sô thưc không âm x và y thoa mang điêu kiên : x+y=1.tm Min và Max : B=(4x2+3y)(4y2 +3x)+25xy b) Tìm Min cua biểu thức M= 2x + với x>2 3x-4 Bài4 click vào để xem E:\đè toán 1.xps và E:\đè toán lớp mà khó.xps và E:\đê toán 3.xps và E:\đê toán 4.xps Onthionline.net Onthionline.net Onthionline.net Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) ( 1) 2 n n + d) 1+n 2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) ( 3) 2 n n + h) ( 1)( 2) 2 n n+ + i) + + ( 1)( 2) 3 n n n Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 1 Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 2 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 2 Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +(n-1) 2 +n 2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 12: Tính: A = 1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 13: Tính: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + +99 2 -100 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) Bài 14: Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 )+2(1+3+5+ +97+99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) 3 Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = (2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 )+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 1 3 +2 3 +3 3 + +99 3 +100 3 Hướng dẫn: A = 1 2 (1+0)+2 2 (1+1)+3 2 (2+1)+ +99 2 (98+1)+100 2 (99+1) A = (1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 +99.100 2 )+(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) Bài 18: Tính: A = 2 3 +4 3 +6 3 + +98 3 +100 3 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 1 3 +3 3 +5 3 + +97 3 +99 3 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 + +99 3 -100 3 Hướng dẫn: Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 Chuyên đề bồi d ỡng hsg toán 9 3.1. Khái niệm ph ơng trình vô tỉ 3.1.1. Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn . 3.1.2. Các ví dụ : a) 11 =x b) 2173 =++ xx c) 3+ xx 1 2 + xx =3 d) 4 1 1 1 1 3 3 2 3 2 3 = + x x x xx 3. 2.Ph ơng pháp chung : Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn . Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình . - Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học. - Giải phơng trình vừa tìm đợc . - So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm . 3.3. Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ cơ bản: a. Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng hoặc lập ph ơng hai vế ph ơng trình ): a.1. Các ví dụ : * Giải phơng trình dạng : )()( xgxf = Ví dụ 1: Giải phơng trình : 11 =+ xx (1) ĐKXĐ : x+1 0 x -1 Với x -1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì x-1 0 x 1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 x+1 = (x-1) 2 x 2 -3x= 0 x(x-3) = 0 = = 3 0 x x Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x 1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 . Ví dụ 2: Giải phơng trình: 131 =+ xx xx = 131 ĐKXĐ : 013 01 x x 13 1 x x 1 13x (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : 2 )13(1 xx = 017027 2 =+ xx Phơng trình này có nghiệm 10 1 =x và 17 2 =x .Chỉ có 10 1 =x thoã mãn (2) . Vậy nghiệm của phơng trình là 10=x * Giải phơng trình dạng : )()()( xgxhxf =+ Ví dụ 3: Giải phơng trình: 121 =+ xx xx ++= 211 (1) ĐKXĐ: 02 01 + x x 2 1 x x 12 x Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc : xxx ++++= 22211 01 2 =+ xx Phơng trình này có nghiệm 2 51 =x thoã mãn (2) Vậy nghiệm của phơng trình là 2 51 =x Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 1+x 27 3 =+ x (1) (1) Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc: 82).7)(1(371 3 =++++ xxxx (x-1) (7- x) = 0 x =-1 x =7 (đều thoả mãn (1 )). Vậy 7;1 == xx là nghiệm của phơng trình . * Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg Ví dụ5: Giải phơng trình 1+x - 7x = x12 1+x = x12 + 7x (1) ĐKXĐ: 121 7 12 1 07 012 01 + x x x x x x x Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2 )7)(12( xx (3) Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng trình (3) ta đợc : (x - 4) 2 = 4(- x 2 + 19x- 84) 5x 2 - 84x + 352 = 0 Phơng trình này có 2 nghiệm x 1 = 5 44 và x 2 = 8 đều thoả mãn (2) . Vậy x 1 = 5 44 và x 2 = 8 là nghiệm của phơng trình. * Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg + )(xq Ví dụ 6: Giải phơng trình : 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) ĐKXĐ : + + + + 05 02 010 01 x x x x 5 2 10 1 x x x x x -1 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 x+1 + x+ 10 + 2 )10)(1( ++ xx = x+2 + x+ 5 + 2 )5)(2( ++ xx 2+ )10)(1( ++ xx = )5)(2( ++ xx (3) Với x -1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc )10)(1( ++ xx = 1- x Điều kiện ở đây là x -1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4) 1 1 x x x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1). a.2. Nhận xét : Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a 2n = b 2n và ngợc lại (n= 1,2,3 ) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều phơng pháp khác lại với nhau . a.3. Bài tập áp dụng: 1. 4 2 x = x- 2 2. 41 2 ++ xx = x+ 1 3. x1 + x+4 =3 4. 3 45+x - 3 16x =1 5. x1 = x6 - )52( + x 6. 3 1x + 3 2x = 3 32 x 7. x + yx + = 1x + 4+x Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 b. Ph ơng pháp đ a về ph Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán lớp 5 GV: Hoàng Tiến Luận CHUYÊN ĐỀ 1: SO SÁNH PHÂN SỐ A.Những kiến thức cần nhớ: 1. Khi so sánh hai phân số: - Có cùng mẫu số : ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. - Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng được. 2. Các phương pháp khác : - Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn. - So sánh với 1. - So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số : + Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó. +Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại. 1 - d c b a −〈1 thì d c b a 〉 Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất. 2001 2000 và 2002 2001 Bước 1: (Tìm phần bù) Ta có : 2001 1 2001 2000 1 =− 1- 2002 1 2002 2001 = Bước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh) Vì 2002 1 2001 1 > nên 2002 2001 2001 2000 < * Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1 B = mẫu 2 - tử 2 Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau: Ví dụ: 2001 2000 và 2003 2001 . +) Ta có: 4002 4000 22001 22000 2001 2000 = × × = 1 - 4002 2 4002 4000 = 1- 2003 2 2003 2001 = +)Vì 2003 2 4002 2 < nên 2003 2001 4002 4000 > hay 2003 2001 2001 2000 > - So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số: + Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1. + Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. Trường Tiểu học Thiệu Toán Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán lớp 5 GV: Hoàng Tiến Luận d c b a thi d c b a <−<− 11 Ví dụ: So sánh: 2000 2001 và 2001 2002 Bước 1: Tìm phần hơn Ta có: 2000 1 1 2000 2001 =− 2001 1 1 2001 2002 =− Bươc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh. Vì 2001 1 2000 1 > nên 2001 2002 2000 2001 > * Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1 D = tử 2 - mẫu 2 Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C ≠ D ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau. Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 2000 2001 và 2001 2003 Bước1: Ta có: 4000 4002 22000 22001 2000 2001 = × × = 2001 2 1 2001 2003 4000 2 1 4000 4002 =−=− Bước 2: Vì 2001 2 4000 2 < nên 2001 2003 4000 4002 < hay 2001 2003 2000 2001 < -So sánh qua một phân số trung gian: Ví dụ 1: So sánh 5 3 và 9 4 Bước 1: Ta có: 2 1 8 4 9 4 2 1 6 3 5 3 =<=> Bước 2: Vì 9 4 2 1 5 3 >> nên 9 4 5 3 > Ví dụ 2: So sánh 60 19 và 90 31 Bước 1: Ta có: 3 1 90 30 90 31 3 1 60 20 60 19 =>=< Bước 2: Vì 90 31 3 1 60 19 << nên 90 31 60 19 < Ví dụ 3: So sánh 100 101 và 101 100 Vì 101 100 1 100 101 >> nên 101 100 100 101 > Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất. 57 40 và 55 41 Trường Tiểu học Thiệu Toán Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán lớp 5 GV: Hoàng Tiến Luận Bài giải +) Ta chọn phân số trung gian là : 55 40 +) Ta có: 55 41 55 40 57 40 << +) Vậy 55 41 57 40 < * Cách chọn phân số trung gian : - Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như: 1, , 3 1 , 2 1 (ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1. - Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số b a và d c (a, b, c, d khác 0) - Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là d a (hoặc b c ) - Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. SỐ NGUYÊN TỐ. A. Nhắ c l ạ i và b ổ sung các ki ế n th ứ c cầ n thi ế t : I. Tính chia hế t : 1. Đị nh lí v ề phép chia : Với mọi số nguyên a,b (b ≠ 0), bao giờ cũng có một cặp số nguyên q, r sao cho : a = bq + r với br <≤ 0 . a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư. Trong trường hợp b > 0 và r ≠ 0 có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b. Ví dụ: Mọi số nguyên a đều có dạng: a = 2q ± 1 (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q ± 1 (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ± 1 ; 4q ± 2 (xét phép chia cho b = 4). a = 5q; 5q ± 1; 5q ± 2 (xét phép chia cho b = 5) 2. Tính chia hế t : Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a là bội của b (kí hiệu a  b) b chia hết a hay b là ước của a (kí hiệu b\ a) Vậy: a  b (b\ a) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq. 3. Các tính chấ t : 1) Nếu a  b thì ± a  ± b (b ≠ 0) 2) a  a; 0  a với mọi a ≠ 0 3) a  ± 1 với mọi a 4) Nếu a  m thì a n  m (m ≠ 0, n nguyên dương). 5) Nếu a  b và b  a thì |a| = |b| 6) Nếu a  b và b  c (b,c ≠ 0) thì a  c. 7) Nếu a  c và b  c(c ≠ 0) thì (a ± b)  c. Điều ngược lại không đúng. 8) Nếu a  m hoặc b  m thì ab  m(m ≠ 0). Điều ngược lại không đúng. 9) Nếu a  p và a  q, (p, q)= 1 thì a  pq 10) Nếu a = mn; b = pq và m  p n  q thì a  b 11) Nếu ab  m và (b,m) = 1 thì a  m 12) Nếu a ± b  m và a  m thì b  m II. Số nguyên t ố : 1.Đị nh nghĩ a : Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. 2. Đị nh lí c ơ b ả n c ủ a s ố h ọ c : Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số). Số nguyên tố được coi như là tích chỉ gồm một thừa số là chính nó. Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất). Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng các ước của nó không kể bản thân nó. Ví dụ: 6 , 28, , 2 n-1 (2 n - 1) III. Mộ t s ố ph ươ ng pháp thông th ườ ng để gi ả i bài toán v ề chia h ế t : Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi chia n cho k. 1 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng: a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3. Giải : a) Viết tích của hai số nguyên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1). Có hai trường hợp xảy ra : * n  2 => n(n + 1)  2 * n không chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1)  2 => n(n +1)  2 b) Chứng minh tương tự a. Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq . + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n)  p và A(n)  q. + Nếu (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh: B(n)  p và C(n)  q . Ví dụ 2 : a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2)  6. b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Giải : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3. Do đó A(n) chia hết cho 6. b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1). 8 = 4 . 2. Vì 4  4 và n(n +1)  2 nên A(n)  8 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n 5 - n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n. (Trích đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n 5 - n = n(n 4 - 1) = n(n 2 - 1)(n 2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n 2 +1)  2 n = 5k + 1 => (n - 1)  5 n = 5k + 4 => (n + 1)  5. n = 5k + 2 => n 2 + 1 = (5k + 2) 2 + 1 = (25k 2 + 20k + 4 + 1)  5 n = 5k + 3 => n 2 + 1 = (5k + 3) 2 + 1 = (25k 2 + 30k + 9 + 1)  5 Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nên phải chia hết cho 10. Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) của nhiều hạng tử , trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k . ( Đã học trong tính chất chia hết của một tổng ở lớp 6) (Liên hệ: A(n) không chia