MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên tia By sao cho · COD = 90 0 . a/ Chứng minh CD = AC + BD b/ Kẻ OM ⊥ CD tại M, gọi N là giao điểm AD với BC. Chứng minh MN//AC (Đề thi HSG quận Tân Bình 1995 – 1996) Giải: a/ Chứng minh CD = AC + BD Nối CO cắt DB tại E. Xét ∆ ACO và ∆ BOE có: · · OAC OBE= ( = 90 0 ); · · AOC BOE= (đđ); OA = OB (gt) => ∆ ACO = ∆ BOE (g,c,g) => AC = BE và OC = OE ∆ DCE có DO là đường trung tuyến và là đường cao nên ∆ DCE cân tại D => CD = DE. Mà DE = DB + BE = DB + AC => CD = AC + BD b/ Chứng minh MN//AC: Vì ∆ DCE cân tại D => DO là phân giác; OM = OB => OM = OA => ∆ ACO = ∆ MCO (ch,cgv) => MC = CA Tương tự: ∆ ODM = ∆ ODB => MC = CA Tam giác CAN có AC//BD (cùng vuông góc với AB) nên AN AC ND BD = (hệ quả đònh lý Talet) Hay AN CM ND MD = => MN//AC Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB (D thuộc AB) qua D kẽ đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = 1/2EC (Đề thi HSG quận 1, 95 – 96) Giải: Gọi K là trung điểm EC. Tam giác vuông EDC vuông tại D có KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK = EC 2 và DK = KC Vậy tam giác KDC cân tại K => ¶ ¶ 1 2 D C= Mà ¶ ¶ 1 2 C C= (gt) => ¶ ¶ ¶ 1 1 2 D C C= = Ta có: · ¶ ¶ 1 2 DKB D C= + = ¶ ¶ 1 2 C C+ = · ACB (góc ngoài tại đỉnh K của ∆ DCK) => · · DKB DBC= (do ∆ ABC cân tại A) => ∆ DBK cân tại D => BD = DK = EC/2 Bài 3: Cho ∆ ABC có µ A = 30 0 . Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh AD 2 = AB 2 + AC 2 (Đề thi HSG quận 6, 97 – 98) Giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chưa điểm B vẽ tia Ax sao cho · xAC = 60 0 Trên tia Ax lấy E sao cho AE = AC => ∆ AEC đều Ta có: · · · BAE BAC CAE= + = 30 0 + 60 0 = 90 0 ∆ ABE vuông tại A cho ta: BE 2 = BA 2 + AE 2 Hay BE 2 = AB 2 + AC 2 (1) Mặt khác: · · · BCE BCA ACE= + = · BCA + 60 0 => · · BCE ACD= Xét ∆ ACD và ∆ ECB có: · · BCE ACD= ; AC = CE; CD = CB => ∆ ACD = ∆ ECB (c-g-c) => DA = BE (2). Từ (1) và (2) suy ra: AD 2 = AB 2 + AC 2 A BO C D N M E A B C K D 1 1 2 E A B D C x E Bài 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B ≠ A; B ≠ C). Tia Bx vuông góc với AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC. a/ Chứng minh CD = AE và CD ⊥ AE b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC. c/ Tìm vò trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trò lớn nhất. Tính giá trò lớn nhất này theo m. (Đề thi HSG toán 8 quận Tân Bình 2000 – 2001) Giải: a/ Chứng minh CD = AE và CD ⊥ AE Ta có ∆ ABE = ∆ DBC (c-g-c) => CD = AE Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có: · · AEB DEF= (đđ) và · · EAB BDC= ( ∆ ABE = ∆ DBC) => · · · · AEB EAB DEF BDC+ = + Mà · · AEB EAB+ = 90 0 => · · DEF BDC+ = 90 0 => · DFE = 90 0 hay AE ⊥ CD tại F b/ Gọi M’, N’, I’ lần lượt là hình chiếu của M, N, I xuống AC ∆ AEB có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC) => MM’ là đường trung bình của ∆ AEB => MM’ = 1/2BE hay MM’ = 1/2BC Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của ∆ BCD => NN’ = 1/2BD hay NN’ = 1/2AB Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc AC) => MNN’M’ là hình thang I là trung điểm của MN; I I’//MM’//NN’ => I I’ là đường trung bình của hình thang MNN’M’ => I I’ = MM' NN' BC AB AC m 2 4 4 4 + + = = = (không đổi) c/ Vì ∆ ABE’ = ∆ DBC nên S ABE = S DBC => S ABE + S DBC = 2S ABE 2S ABE = 2.1/2AB.BE = AB.BE = AB.BC Vì AB > 0; Bc > 0 mà tổng AB + BC = AC = m (không đổi) nên tích ONTHIONLINE.NET BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI KÌ I – DÀNH CHO LỚP Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HD ⊥ AB HE ⊥ AC ( D∈ AB , E ∈ AC) Gọi O giao điểm AH DE Chứng minh AH = DE Gọi P Q trung điểm BH CH Chứng minh tứ giác DEQP A hình thang vuông Chứng minh O trực tâm tam giác ABQ E O Chứng minh SABC = SDEQP D BÀI GIẢI B // // / / C Q P H Chứng minh AH = DE · Tam giác ABC vuông A nên BAC = 900 HD ⊥ AB (gt) ⇒ ·ADH = 900 , HE ⊥ AC (gt) ⇒ ·AEH = 900 , Tứ giác ADHE có ba góc vuông nên hình chữ nhật Do đó: AH = DE (đpcm) Chứng minh tứ giác DEQP hình thang vuông Ta có: OD = OH (tính chất đường chéo hình chữ nhật ADHE) BH (tính chất trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền) · · Vậy : OP đường trung trực DH Do đó: ODP (tính chất đối xứng) = OHP 0 · · Mà OHP = 90 nên ODP = 90 ⇒ DP ⊥ DE Chứng minh tương tự: EQ ⊥ DE PD = PH = Suy ra: DP // EQ Vậy tứ giác DEQP hình thang vuông (đpcm) Chứng minh O trực tâm tam giác ABQ Tam giác AHC có O trung điểm AH (tính chất đường chéo hình chữ nhật ADHE),Q trung điểm CH nên OQ đường trung bình tam giác AHC Do đó: OQ // AC Mà AC ⊥ AB nên QO ⊥ AB Tam giác ABQ có AH , QO hai đường cao tam giác cắt O Do O trực tâm tam giác ABQ Chứng minh SABC = SDEQP SDEQP =  BH CH ( DP + EQ ) DE =  + 2 2 1  ÷ AH = BC AH = S ABC 2  Suy ra: SABC = SDEQP (đpcm) Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,trực tâm H Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C D Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành Gọi M trung điểm BC, O trung điểm AD Chứng minh OM ⊥ BC 2OM = AH Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng BÀI GIẢI: A 1.Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành H trực tâm tam giác ABC nên BH ⊥ AC , CH ⊥ AB Mà CD ⊥ AC , BD ⊥ AB (gt) suy ra: BH // CD, CH // BD Do BHCD hình bình hành B _ O G H _ // M C // D Chứng minh 2OM = AH Tứ giác BHCD hình bình hành , M trung điểm BC Suy M trung điểm HD, mà O trung điểm AD nên OM đường trung bình tam giác AHD Do đó: OM // AH AH = OM AH ⊥ BC nên OM ⊥ BC B Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng Tam giác ABC có AM đường trung tuyến, G trọng tâm nên GM = A _ O G H _ // C // M D AM AM lại đường trung tuyến tam giác AHD (vì M trung điểm HD) nên G trọng tâm ∆ AHD HO đường trung tuyến ∆ AHD ( OA = OD) nên HO qua G Vậy ba điểm H, G, O thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, M, N, P trung điểm cạnh AB, AC BC Các tứ giác BMNC BMNP hình gì? Tại sao? Gọi H trực tâm tam giác ABC; D, E, F trung điểm BH, CH, AH Chứng minh DN = ME Gọi O giao điểm ME DN Chứng minh ba điểm P, O, F thẳng hàng Hướng dẫn sơ lược: Tứ giác BMNC hình thang, tứ giác BMNP hình bình hành (dùng đường trung bình tam giác) Dùng đường trung bình để có MN // DE (cùng song song BC) A F N M O MN = DE (cùng BC ) ⇒ MDEN hình bình hành H E D DE//BC, MD//AH, AH ⊥ BC ⇒ MN ⊥ MD ⇒ MDEN P B C hình chữ nhật ⇒ DN = ME Chứng minh DPNF hình bình hành ⇒ đường chéo PF qua trung điểm O DN ⇒ ba điểm P, O, F thẳng hàng Bài Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm cạnh AB , P giao điểm hai tia CM DA 1.Chứng minh tứ giác APBC hình bình hành tứ giác BCDP hình thang vuông Chứng minh 2SBCDP = SAPBC Gọi N trung điểm BC, Q giao điểm DN CM Chứng minh AQ = AB Hướng dẫn sơ lược Chứng minh ∆ AMP = ∆ BMC (g.c.g) ⇒ AP = BC, có AP// BC từ suy APBC hình bình hành Dễ dàng chứng minh BCDP hình thang vuông SBCDP = SABP + SABC + SADC ; SAPBC = SABP + SABC Chú ý: ∆ ABP = ∆ BAC = ∆ DCA nên SABP = SABC = SADC S BCDP = ⇒ 2SBCDP = SAPBC Từ đó: SBCDP = 3SABP , SAPBC = SABP ⇒ S APBC Lưu ý: Nếu học kịp diện tích hình sử dụng công thức tính nhanh P Chứng minh DN ⊥ CM ,sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền suy AQ = AD AD = AB từ suy đpcm Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh AH BC = AB AC Gọi M điểm nằm B C Kẻ MN ⊥ AB , MP ⊥ AC ( N ∈ AB, P ∈ AC) P Tứ giác ANMP hình ? Tại sao? Tính số đo góc NHP ? Tìm vị trí điểm M BC để NP có độ dài ngắn ? B Hướng dẫn A H A P M // B // _ - Q D _ N C M B N Xử dụng công thức tính diện tích tam giác công thức tính diện tích tam giác vuông suy kết Xử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác có ba góc vuông để suyC D Tứ giác ANMP hình chữ nhật 3Đặt thêm giao điểm O AM NP, sử dụng tính chất M N A C tam giác vuông MHA để có HO = AM , AM = NP từ NP ⇒ tam giác NHP vuông NP = AM, NP ngắn ⇔ AM ngắn Lập luận AM M trùng H HO = BÀI TẬP TỰ KIỂM TRA NĂNG LỰC Bài Cho tam giác ABC , M trung điểm AC, N trung điểm AB Trên đường thẳng BM lấy điểm P cho M trung điểm BP Trên đường thẳng CN lấy điểm Q cho N trung điểm QC Chứng minh tứ giác ABCP, ACBQ hình bình hành Chứng minh ba điểm Q, A, P thẳng hàng Tìm điều kiện cho tam giác ABC để tứ giác APCB hình thoi Tìm điều kiện cho tam giác ABC để tứ giác BCPQ hình thang cân Lưu ý: Trên toán ôn thi kì I nhằm giúp em ôn thi kì I đạt kết Lời giải 1; hay toán có hướng dẫn mang tính chất tham khảo, em tìm cách giải hay tự hoàn chỉnh có hướng dẫn Chúc em thi kì I đạt kết cao- Chào thân Thăng Bình ngày 11 tháng 12 năm 2009 Basan0702 1 DÙNG TÍNH DUY NHẤT CỦA HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC I-Kiến thức cơ sở: 1. Qua hai điểm phân biệt chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng. 2. Hai đường thẳng phân biệt nếu có điểm chung thì có duy nhất một điểm chung. 3. Qua điểm A ở ngài đường thẳng d chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với d. Hệ quả: Cho điểm A và đường thẳng d, chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng qua A và vuông góc với d. 4. Trên tia Ox có duy nhất một điểm M sao cho OM = m (đvđd) . Tính chất: Cho đoạn thẳng AB và số k không âm, có duy nhất một điểm M chia trong hay chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k. Chứng minh: Xét trường hợp M chia trong đoạn AB. Ta có . 1 MA k AB k MA MB k     Do AB không đổi, k cho trước nên M là duy nhất. Xét trường hợp M chia ngoài đoạn AB. Chứng minh tương tự. 5. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có duy nhất một tia Oy sao cho góc xOy = m. (0°<m<180°). II- Một số bài tập Phương pháp này thường được áp dụng khi giải các bài toán đảo, các bài toán liên quan đến chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy. Bài 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, lấy I trên đoạn AM sao cho 2 3 AI AM  . Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC 2 Hướng giải: Dựng trung tuyến BN cắt AM tại G thì G là trọng tâm tam giác ABC và AG = (2/3)AM. Suy ra AG = AI, do I, G cùng nằm trên đoạn AM nên I trùng G. Vậy I là trọng tâm tam giác ABC. Bài 2: Cho góc xOy khác góc bẹt, trên tia Ox lấy hai điểm A, B, trên tia Oy lấy điểm C: góc OCA = góc ABC. Chứng minh CO là tiếp tuyến của (ABC) Hướng giải: m A C O B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa BC dựng tia Cm sao cho Cm là tiếp tuyến của (ABC). Thế thì góc ACm = góc ABC (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung), nhưng góc OCA = góc ABC (gt), suy ra góc OCA = góc ACm. Hai tia CO và Cm cùng tạo với tia CA hai góc bằng nhau nên chúng trùng nhau. Mà Cm là tiếp tuyến của (ABC) nên CO là tiếp tuyến của (ABC). Cách khác: Kẻ đường kính CD của (ABC), thế thì góc ABC = góc ADC = góc OCA và góc CAD = 1v. Suy ra được góc OCD = 1v, hay CO là tiếp tuyến của (ABC) Nhận xét: Hiển nhiên, dùng tính duy nhất của hình không phải là cách duy nhất để giải bài tập. G I N M A B C m D A C O B 3 Bài 3: Cho tam giác ABC, trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho (DB/DC)= (AB/AC). Chứng minh AD là phân giác góc A. Hướng giải: Dựng tia phân giác của góc A, cắt BC tại D'. Ta đi chứng minh D trùng D'. Do AD' là phân giác góc A nên theo t/c phân giác ta có: (D'B/D'C)= (AB/AC). Suy ra (DB/DC)= (D'B/D'C). D và D' chia trong đoạn DC theo cùng một tỉ số nên D trùng D'. ta có đpcm Bài 4: Từ điểm A bên ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O). Cát tuyến AEF không qua O. Chứng minh hai tiếp tuyến tại E và F của (O) cắt nhau tại một điểm trên BC. Hướng giải: Do cát tuyến không qua O nên các tiếp tuyến tại E, F cắt nhau tại P, Khi đó dễ thấy OP vuông góc với EF tại H. Giả sử OH cắt BC tại Q ta sẽ chứng minh P trùng Q bằng cách chứng minh QE, QF cũng là tiếp tuyến của (O). Dễ thấy OA vuông góc với BC tại I. D A B C I H P =Q E C B O A F 4 Ta cũng c/m được OH.OQ = OI.OA = OB 2 =OF 2 Suy ra △OHF đồng dạng △OFQ ⇒ Một số bài hình học phẳng hay, và khó đã sưu tầm và giải. Bùi Đình Hiếu NTH 52vlpt.vn-Mạo Hỡi k2pi.net Bài 1:(Trích đề HSG số 10 diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014) Cho hình thang ABCD vuông ở A và B thảo mãn 11 23 AD AB BC . Gọi hình chiếu vuông góc các trung điểm của AB và CD xuống đường thẳng AC là H và N.Biết 6 13 HN  C(2; 4). Đỉnh A thuộc đường thẳng 5x+4y-4=0, đường thẳng 8x-5y- 11=0 đi qua đỉnh B. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, D. Bài giải:(Bùi Đình Hiếu) Đây là một bài toán hay, mới,vì mình lấy ý tưởng từ bài toán hình học vec-tơ của lớp 10. Đặt AD=a. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD. Hình chiếu vuông góc của D xuống BC là E. Ta có: 2 2 2 2 2 2 4 . 3 . ( ) . 11 .13 6 . 22 . 2 ABBD ABBA a BCBD BC BE a ACBD AB BC BD ABBD ABBD a AC BD ACIJ AC a a a                   Mặt khác: 6 13 . 13 a ACIJ ACHN a HN HN    Theo bài ra ta có a=1. Từ đó: 22 3; 13.BC AC AB BC    Chú ý bài cho C(2; 4). Đỉnh A thuộc đường thẳng 5 4 4 0;8 5 11 0x y x y      đi qua đỉnh B. Bài toán đưa về tương giao đường thẳng và đường tròn. Tìm ra 56 111 (0;1); ; 41 41 AA     C(2; 1)hoặc 418 473 ; 89 89 C    Bài 2:(Đề thi HSG k2pi.net lần 6 2013-2014) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x-y+1=0, và đường tròn: 22 ( ): 2 4 4 0C x y x y     Tìm điểm M thuộc (d) sao cho qua M kẻ được các tiếp tuyến MA, MB, đồng thời khoảng cách từ 1 0; 2 N    đến đường thẳng đi qua A, B là lớn nhất. Lời giải: (Nguyễn Hữu Tú) Tâm I(1;-2) Ta có điểm M thuộc d nên M(a;a+1) Gọi K trung điểm của MI thì K 11 ; 22 aa    Đường tròn (C') tâm K,đường kính MI có phương trình 22 2 22 1 1 2 5 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 0 a a a a xx x y a x a y a                              Dễ thấy AB là giao điểm của (C) và (C') AB là trục đẳng phương của hai đường tròn nên có phương trình (1 ) ( 3) 2 0a x a y a      Khoảng cách từ N đến AB là / 22 7 () 2 (1 ) ( 3) Nd a d f a aa      Khảo sát hàm số f(a) ta được () 34 3 42 fa max a    Do đó 31 ; 22 M     Bài 3:(Trích đề thi HSG số 8 diễn đàn k2pi.net, năm học 2013-2014)Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB ngoại tiếp đường tròn bán kính r và nội tiếp đường tròn bán kính R mà 2 7 3 R r  . Biết phương trình đường thẳng AB là 2x- 4y+5=0. Biết đường thẳng AD qua N(8; 5). Xác định toạ độ điểm A? Bài giải:(Bùi Đình Hiếu) Gọi E và F là trung điểm của DC,AB, và I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang. Nên ta có I là trung điểm của EF. Đặt BAD   thì ta có: 2 . sin r AD BC   Đặt AB=x, CD=y thì: 4 cot .x y r   4 ;( ). sin r x y AB CD AD BC       1 cos 1 cos 2 . ; 2 . sin sin x r y r       2 2 2 2 2 2 2 22 1 cos 4 1 cos 2 . .cos 4 8 cos . sin sin sin r BD AB AD AB AD BAD r r                 2 22 2 2 2 2 cos 1 1 4 4 1 2 2 . 1 . sin sin sin r r BD r r                Do 2 1 2 .sin 2 1 sin BD R r      Nên theo giả thiết 2 7 3 R r  42 2 21 7sin 1 28sin 9sin 9 0. 3 sin            Giải ra ta có : 3 sin ( sin 0). 2 do   Vậy 60 . o BAD   Phương trình đường thẳng AD có dạng: ( 8) ( 5) 0 8 5 0.A Thy Trnh Quang Hũa-THPT Hip Hũa 3- Hip Hũa - Bc Giang MT S BI TP HèNH HC 10 HAY V KHể Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng: 4 AD BD AC BC MN Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn: ADACABAM3 Bài 3. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho: 0MC3MB , NC3AN , 0PBPA Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Bài 4. Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. a. CMR: véctơ MC2MB5MA3v không đổi. b. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MCMBMC2MB2MA3 Bài 5. Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho: a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c. 22 OB 1 OA 1 nhỏ nhất Bài 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tính: a. MD.MCMB.MA b. NB . NA c. BA.NO Bài 7. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB có AC, BD là hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: 2 ABBD.BEAC.AE Bài 8. Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C. Chứng minh rằng: . . . 0 MA BC MB CA MC AB Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho: a. BDCI b. ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD. Bài 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho: a. 0MCMA.MBMA b. 22 aMC.MBMB2 với BC=a. c. AB.ACAB.AM Bài 11. Cho tam giỏc ABC cú A(1; 2), B(2; 6), C(9; 8). a) Tớnh AB AC . . Chng minh tam giỏc ABC vuụng ti A. b) Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. c) Tỡm to trc tõm H v trng tõm G ca tam giỏc ABC. d) Tớnh chu vi, din tớch tam giỏc ABC. e) Tỡm to im M trờn Oy B, M, A thng hng. f) Tỡm to im N trờn Ox tam giỏc ANC cõn ti N. g) Tỡm to im D ABDC l hỡnh ch nht. h) Tỡm to im K trờn Ox AOKB l hỡnh thang ỏy AO. i) Tỡm to im T tho TA TB TC 2 3 0 k) Tỡm to im E i xng vi A qua B. l) Tỡm to im I sao cho IA +IB nh nht Bài 12. Hóy tỡm trong tam giỏc ABC mt im M sao cho tớch cỏc khong cỏch t M n ba cnh cú giỏ tr ln nht. Bài 13.Cho tam giỏc nhn ABC ni tip (O) v ba s , , sao cho 0 . Tỡm im M thuc (O) biu thc | | T MA MB MC t GTLN, GTNN ? Bài 14. Cho tam giỏc ABC khụng u ni tip ng trũn (O). Tỡm trờn ng trũn im M cú tng bỡnh phng khong cỏch t ú n ba nh tam giỏc l nhũ nht, ln nht. Bài 15. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Gi l gúc gia hai trung tuyn BD v CK. Tỡm giỏ tr nh nht ca cos Bi 16: Cho hỡnh vuụng ABCD cnh l a. Trờn hai cnh AB v AD ln lt ly hai im di dng E v F sao cho AE+EF+FA=2a. a) Chng t rng ng thng EF luụn luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh. b) Tỡm v trớ ca E,F sao cho din tớch tam giỏc CEF ln nht. Tỡm giỏ tr ln nht ú. Bi 17. Cho tam giỏc ABC thay i cú AB=6 v CA=2CB. Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch tam giỏc ABC. Thy Trnh Quang Hũa-THPT Hip Hũa 3- Hip Hũa - Bc Giang Bi 18. Cho ng thng d v ABC . Vi mi im D thuc d dng im M sao cho DM DA DB DC . Tỡm di nh nht ca DM . Bi 19. Cho 3 im A, B, C v ng thng d. Tỡm im M thuc d biu thc sau t giỏ tr nh nht: T = . 2. . MA MB MB MC Bi 20. Cho ABC cú 0 60 A . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 3 T MA MB MC . Bi 21. Cho ABC trng tõm G ni tip ng trũn ; O R . G i M l mt im thuc ng trũn ng kớnh OG. Gi s AM, BM, CM ct O theo th t ti cỏc im ', ', ' A B C .CMR: 3 ' ' ' MA MB MC MA MB MC Bi 22. Cho tam giỏc ABC ni tip trong ng trũn tõm O. Gi M, N, P ln lt l im i xng ca O qua cỏc ng thng BC, CA, AB; H l trc tõm ca tam giỏc ABC v L l trng tõm tam giỏc MNP. Chng minh rng OA OB OC OH v ba im O, H, L thng hng. Bi23.Cho t giỏc li ABCD. Gi s tn ti mt im M nm bờn trong t giỏc sao cho MAB MBC MCD MDA . Chng minh ng thc sau: 2 2 2 2 cot 2 . .sin AB BC CD DA AC BD , trong ú l s o gúc gia hai ng thng AC v BD. Bi 24. Trong mt phng vi h trc ta vuụng gúc Oxy, cho tam giỏc ABC ngoi tip ng trũn tõm I . Cỏc ng thng AI, ... BMNP hình bình hành (dùng đường trung bình tam giác) Dùng đường trung bình để có MN // DE (cùng song song BC) A F N M O MN = DE (cùng BC ) ⇒ MDEN hình bình hành H E D DE//BC, MD//AH, AH ⊥ BC ⇒ MN... Trên toán ôn thi kì I nhằm giúp em ôn thi kì I đạt kết Lời giải 1; hay toán có hướng dẫn mang tính chất tham khảo, em tìm cách giải hay tự hoàn chỉnh có hướng dẫn Chúc em thi kì I đạt kết cao- Chào