PHẦN I : SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ tên: Nguyễn Văn Điệp Ngày, tháng, năm sinh: 20/6/1973 Đơn vị công tác: Trường THCS Đình Cao Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Chức vụ: Chủ tịch Công đoàn trường Tên sáng kiến kinh nghiệm: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP GIẢI BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHẦN II: NỘI DUNG A.MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Thực trạng vấn đề Qua thực tế giảng dạy nhiều năm lớp 8, lớp trường THCS Đình Cao, qua trình kiểm tra đánh giá (bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, học kì) Tôi nhận thấy kĩ phân tích đa thức thành nhân tử em nhiều hạn chế Đa số em làm phân tích đa thức thành nhân tử mức độ dễ áp dụng phương pháp đơn giản PP đặt nhân tử chung, PP dùng đẳng thức PP nhóm… mà không làm tập đòi hỏi kĩ tổng hợp PP Thực tế giải toán phân tích đa thức thành nhân tử hay có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử đơn mà đòi hỏi em phải có kĩ nhìn nhận tìm hướng cho toán; có kĩ tổng hợp, khéo léo sử dụng phối hợp PP học Với khó khăn học sinh, đòi hỏi cần đưa việc hướng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho hiệu quả, giúp cho em tháo gỡ khó khăn, tạo điều kiện cho em tiếp thu kiến thức phần dễ dàng góp phần nâng cao kết học tập tình cảm môn Toán 2.Ý nghĩa tác dụng việc hướng dẫn học sinh học giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Giáo dục nước nhà dần có thay đổi, từ việc đổi sách giáo khoa việc đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp, để đáp ứng nhu cầu xã hội, đào tạo người có đầy đủ kiến thức, có khả giải vấn đề thực tế sống mắc phải Giáo dục không đơn truyền thụ kiến thức theo hướng thầy thuyết trình, học sinh bị động tiếp thu kiến thức Việc dạy học theo hướng đổi mới, học sinh trung tâm, giáo viên người định hướng, điều khiển hoạt động học sinh để học sinh chiếm lĩnh kiến thức, vận dụng kiến thức học, biến kiến thức học thành Đối với việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử em học lớp 8, thường xuyên sử dụng để giải toán lớp lớp kiến thức công cụ Do việc học tốt toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần đắc lực cho em nâng cao kết học tập năm lớp năm học Việc em có định hướng tốt giải toán, có kĩ giải toán linh hoạt, mềm dẻo… giúp em tích cực, chủ động, tự tin, sáng tạo học tập sống đáp ứng yêu cầu người mà xã hội đòi hỏi Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài a Đối tượng nghiên cứu: Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử lớp THCS b Phạm vi nghiên cứu Trong phạm vi nghiên cứu sáng kiến này, nghiên cứu áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp 8B, 8D trường THCS Đình Cao sở toán “ phân tích đa thức thành nhân tử” Chương I - Đại số Toán tập 1, toán phân tích đa thức thành nhân tử số sách tham khảo II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Cơ sở lí luận sở thực tiễn a Cơ sở lí luận: Đại số nói chung toán phân tích thành nhân tử nội dung hay phong phú, rèn kỹ tính toán óc tư linh hoạt cho học sinh Đây kiến thức làm móng cho việc tiếp thu kiến thức lớp Việc giải tốt toán phân tích đa thức thành nhân tử hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình, rút gọn biểu thức hữu tỉ, biểu thức chứa lớp Do yêu cầu đổi SGK, đổi phương pháp giảng dạy môn toán theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ chức hướng dẫn để em tìm tòi cách giải toán yêu cầu cần thiết người thầy Mặt khác, kiến thức SGK nên việc phát bổ sung kiến thức, tìm tòi phương pháp sở tảng kiến thức SGK điều cần thiết, tạo cho em tính “tò mò khoa học”, “ tính tự lập” hình thành thói quen tự học Hơn nữa, toán mắt xích quan trọng trục chương trình, giúp em học toán tốt năm học sau này, mà giúp em học tốt môn học tự nhiên khác Khi giải vấn đề này, đồng thời em giải nhiều mặt khác : + Củng cố kiến thức + Rèn kỹ tính toán, phân tích, tổng hợp, + Phát triển tư + Tạo “lưng vốn kiến thức” cho năm học sau Từ tâm huyết trăn trở nêu trên, xây dựng đề tài mang tên “Hướng dẫn học sinh lớp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử ” b Cơ sở thực tiễn: Về mặt phương pháp em hiểu sơ sài mà chủ yếu, phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Việc vận dụng phương pháp mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng không hệ thống Bắt đầu thực đề tài cho em làm kiểm tra khảo sát chất lượng Kết kiểm tra đạt chất lượng thấp, cụ thể có khoảng 50% đạt điểm trung bình, gần 10% đạt điểm giỏi Như chưa đáp ứng tiêu, yêu cầu môn năm học Các biện pháp tiến hành thời gian nghiên cứu a Các phương pháp tiến hành Ngay từ đầu năm học, nhận thấy vấn đề tồn học sinh học mảng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Tôi tiến hành thu thập liệu, phân tích liệu, đề cách khắc phục khó khăn, với phương pháp sử dụng : - Phương pháp kiểm tra đánh giá - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp so sánh - Phương pháp tổng quát hoá - Phương pháp vấn, trao đổi b Thời gian nghiên cứu Từ ngày tháng năm 2015 đến 15 tháng năm 2016 tiến hành nghiên cứu hoàn thiện sáng kiến B NỘI DUNG I MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Xuất phát từ thực tế em học sinh gặp khó khăn giải toán phân tích đa thức thành nhân tử thấy cần phải tạo cho em có kiến thức vững vàng mảng kiến thức này, xây dựng niềm yêu thích say mê học tập, tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời cho em Khi gặp toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả trình học tập Đề tài giúp người học bổ sung lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, có kỹ quan sát đánh giá để định hướng cách giải toán đồng thời mở rộng nâng cao kiến thức Qua sáng kiến giúp giáo viên có cách nhìn đầy đủ từ có biện pháp giảng dạy hiệu dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh học tiếp thu phần dễ dàng II GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Việc nắm vững kiến thức điều cần thiết giúp em giải toán cách thuận lợi dễ dàng Kiến thức xương sống để từ phát triển mở rộng phương pháp giải tập Từ quan điểm trang bị cho học sinh kiến thức sau đây: Các đẳng thức đáng nhớ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (SKG toán - tập 1) - Phương pháp đặt nhân tử chung - Phương pháp dùng đẳng thức - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử - Phối hợp phương pháp - Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt hạng tử Nghiệm đa thức Nếu f(a) = x- a nhân tử đa thức f(x) Khi f(x) = (x-a)g(x) g(x) đa thức Đồng hệ số an = bn a = b  n−1 n −1 Nếu anxn + an-1xn-1 + + a1 = bnxn + bn-1xn-1 + + b1   a1 = b1 Cho đa thức n biến A(x1,x2, ,xn) Nếu: x1=a1 mà A(x1,x2, ,xn)= x2=a2 mà A(x1,x2, ,xn)= A(x1,x2, ,xn) = k(x1-a1)(x2-a2) ( k số) Tam thức bậc hai Tam thức ax2+bx+c phân tích thành nhân tử b 2-4ac ≥ (thừa nhận dấu hiệu này) kiến thức học lớp Các dạng tập cách giải 2.1.Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “tách số hạng tử thành nhiều hạng tử” 2.1.1 Cơ sở : Nếu f(a) = f(x) = (x-a)g(x) với f(x) g(x) đa thức Quy tắc: tách số hạng tử thành số hạng tử khác làm xuất nhân tử chung đẳng thức từ toán giải 2.1.2 Các toán *Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2 - 4x+3 Phân tích tìm lời giải: Ta phải tách ba hạng tử thành hạng tử để gộp với hai hạng tử lại trở thành nhóm, nhóm xuất nhân tử giống nhau, nhờ toán giải Lời giải Cách 1: (Tách hạng tử giữa) A = x2 - x - 3x +3 = x(x-1)-3(x-1) = (x-1)(x-3) Cách 2: (Tách hạng tử cuối) A=x2-4x-1+4 = x2-1-4x+4 = (x-1)(x+1)-4(x-1) = (x-1)(x+1-4) = (x-1)(x-3) Cách 3: (Tách hạng tử cuối) A=x2-4x+4-1 =(x-2)2-1 = (x-2+1)(x-2-1) = (x-1)(x-3) Cách 4: (Tách hạng tử cuối) A=x2-4x-9+12 = x2-9-4x+12 = (x-3)(x+3)-4(x- 3)=(x-3)(x+3-4) = (x-3)(x1) Bài toán không phức tạp em dễ dàng tiếp thu Tôi muốn đưa toán để giúp em có học lực yếu nhận thức Việc giải toán theo nhiều cách giúp em biết xem xét toán nhiều góc cạnh từ em có nhìn phong phú A = x2-2x-2x+3 = x2-2x+1-2x+2 *Bài toán 2: Phân tích đa thức B = 4x2 - 4x - thành nhân tử Lời giải Cách :(Tách hạng tử thứ hai) B=4x2+2x- 6x-3=2x(2x+1)- 3(2x+1)=(2x+1)(2x-3) Cách :(Tách hạng tử thứ ba) B = 4x2- 4x+1-4 =(2x-1)2- =(2x-1-2)(2x-1+2) = (2x+1)(2x-3) Nhận xét : Việc tách hạng tử với mục đích tạo hệ số tỷ lệ từ xuất thừa số chung, nhân tử chung đẳng thức 2.1.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2- 6x+8 b) 9x2+ 6x- c) x + x - (với x không âm ) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) -c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b- c) Gợi ý: tách a- c=(a-b)+(b-c) a) (x- y)-x3(1- y)+y3(1- x) Gợi ý: tách 1- y=(x- y)+(1- x) 2.2 Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “thêm bớt hạng tử” 2.2.1 Cơ sở : thêm bớt hạng tử vào đa thức làm xuất nhóm có nhân tử chung xuất đẳng thức từ cho kết 2.2.2 Các toán *Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x4+81 Phân tích tìm lời giải: Ở toán chưa thể sử dụng đẳng thức nào, mặt khác chưa có nhân tử chung cần thêm bớt để có đẳng thức Đến đây, đặt câu hỏi cho học sinh : “Nếu sử dụng đẳng thức a +2ab + b thiếu phận nào” Lời giải: 4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 =(2x2+9)2-(6x)2 =(2x2+9-6x)(2x2+9+6x) =(2x2-6x+9)(2x2+6x+9) Việc giải toán phép thêm bớt đơn giản dễ dàng cho kết chưa hướng dẫn vấn đề khó em Qua toán em có kiến thức kinh nghiệm cho việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử *Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x6-1 Phân tích tìm lời giải : Ta thấy x6-1 phân tích thành (x3)2 - (x2)3-1 để sử dụng đẳng thức mặt khác ta thêm bớt để xuất đẳng thức để nhóm Lời giải : Cách 1: (Nối từ x6 đến 1) x6-1 = x6-x5+x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1 =x5(x-1)+ x4(x-1)+ x3(x-1)+ x2(x-1)+ x(x-1)+(x-1) =(x-1)(x5+ x4+ x3+ x2+ x+1) =(x-1)[x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)] =(x-1)(x+1)(x4+x2+1) =(x-1)(x+1)[x4+2x2+1-x2] = (x-1)(x+1)[(x2+1)2-x2] = (x-1)(x+1)(x2+1-x)(x2+1+x) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Cách 2: x6-1= x6+x3-x3-1 =x3(x3+1)-(x3+1) =(x3+1)(x3-1) =(x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1) Cách 3: x6-1= x6+x4+x2-x4-x2-1 =x2(x4+x2+1)-(x4+x2+1) =(x4+x2+1)(x2-1) =( x4+2x2+1-x2)(x-1)(x+1) = (x2-x+1) (x2+x+1) (x-1) (x+1) Cách 4: x6-1 = (x3)2-1 =(x3-1)(x3+1) = (x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1) Cách 5: x6-1= (x2)3-1 = (x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Cách 6: x6-1= x6-3x4+3x2-1+3x4-3x2 =(x2-1)3+3x2(x2-1) =(x2-1)[(x2-1)2+3x2] =(x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Cách 7: x6-1 = x6-x2+x2-1 =[(x3)2-x2]+(x2-1) =(x3-x)(x3+x)+(x2-1) =(x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Cách 8: x6-1= x6-x2+x2-1 =x2(x4-1)+(x2-1) =x2(x2-1)(x2+1)+(x2-1) =(x2-1)[x2(x2+1)+1] = (x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Cách 9: 10 x6-1= x6-x4+x4-1 =x4(x2-1)+(x2-1)(x2+1) =(x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Các cách làm có cách đơn giản có cách phức tạp song muốn dẫn dắt em theo nhiều hướng khác với mục đích để em có nhìn phong phú hơn, đứng trước toán em có kỹ nhận biết cách đơn giản nhất, từ có định hướng cho việc giải tập Mặt khác, việc đưa nhiều cách làm tạo cho em có “lưng vốn kiến thức” để gặp toán “làm cách không làm cách khác” * lưu ý: đa thức có dạng x 3n+ + x 3m+1 +1 chứa thừa số x + x+1 2.2.3 Bài tập tự luyện Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x5+x4+1 b) x8+x+1 c) 4x4+1 d) x8+98x2+1 2.3 Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “đổi biến số” 2.3.1 Cơ sở Khi gặp toán có số biểu thức lặp lặp lại hạng tử luỹ thừa khác để đơn giản hoá toán ta đặt biểu thức thành biến giải bình thường Sau giải toán với biến mới, ta phải thay biến ban đầu tiếp tục phân tích ( được) 2.3.2 Các toán *Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a A = (x2+x)2+4(x2+x)-12 11 B = (x2+x+1)(x2+x+2)-12 b Phân tích tìm lời giải: a) Dễ dàng nhận thấy x2+x lặp lặp lại b) x2+x+2 = (x2+x+1)+1 Lời giải Đặt x2+ x = y a A= y2+4y+12 =y2-2y+6y-12 =y(y-2)+6(y-2) =(y-2)(y+6) Thay y = x2+x A = (x2+x-2)(x2+x+6) = (x-1)(x+2)(x2+x+6) b, Đặt x2+x+1=t B = t(t+1)-12 = t2+t-12 = t2-9+t-3 =(t-3)(t+3)+(t-3) =(t-3)(t+4) Thay t=x2+x+1 A = (x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5) * Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử A = x4+6x3+7x2- 6x+1 Lời giải : 1 2 A = x2(x2+6x+7- + ) = x [( x + ) + 6( x − ) + 7] x x x x Đặt x − =y ⇒ x y2 = x2 − + x2 ⇒ y2 + = x2 + (*) x2 Thay vào (*), ta có: A = x2(y2+2+6y+7) = x2(y2+6y+9) 12 =x2(y+3)2 =(xy+3x)2 Thay y = x − x A = [ x( x − ) + 3x]2 x = ( x + x − 1)2 Cách 2: x4+6x3+7x2-6x+1 = x4+6x3-2x2+9x2-6x+1 =x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 =(x2+3x-1)2 Nếu làm phép so sánh cách cách rõ ràng cách đơn giản nhiều Vậy phải cách làm phức tạp hoá vấn đề cách không cần thiết ? Tôi muốn đưa toán cho học sinh để làm phong phú cách làm toán mà nhằm mục đích trang bị cho em kiến thức để sau giải phương trình bậc dạng đối xứng em giải nhanh gọn 2.3.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử x(x+1)(x+2)(x+3)+1 Gợi ý: x(x+1)(x+2)(x+3) = x(x+3)(x+1)(x+2) =(x2+3x)(x2+3x+2) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử (x2+y2+z2)-(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 Gợi ý: Đặt x2+y2+z2=a xy+yz+zx=b 2.4 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “hệ số bất định” 13 2.4.1 Cơ sở an = bn a = b  n−1 n −1 n n-1 n n-1 Nếu anx + an-1x + + a1 = bnx + bn-1x + + b1   a1 = b1 2.4.2 Các toán Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử x4-6x3+12x2-14x+3 (1) Phân tích tìm lời giải: Ta thấy, có ước ± 1, ± không nghiệm 1, việc tìm nghiệm khó khăn nghiệm, việc định hướng để phân tích nhân tử bậc khó khăn Nếu (1) phân tích có dạng (x2+ax+b)(x2+cx+d) Lời giải Giả sử (1) phân tích thành nhân tử, ta có x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d) a + c = −6 ac + b + d = 12  ⇒ ad + bc = −14 bd = Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4 Vậy ta có dạng phân tích (1) (x2-2x+3)(x2-4x+1) Đây toán khó, dạng toán phức tạp có số em làm Mục đích đưa toán giúp học sinh giỏi giải toán tương tự, từ mở định hướng cho việc phân tích đa thức thành nhân tử toán có ý nghĩa chìa khoá cho việc giải toán khó phân tích Mặt khác việc làm tốt phương pháp này, tạo thuận lợi cho em học tốt lớp học Vì dạng toán khó, nên đại phận học sinh lớp không làm được, tiếp tục đưa vào tập dạng gây tâm lý hoang mang, choáng váng cho học sinh có lực học trung bình yếu Vì nhanh chóng chuyển sang dạng toán khác 14 2.4.3 Bài tập tự luyện Dùng phương pháp hệ số bất định, phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x4+4x3+5x2+2x+1 b) 3x2+22xy+11x+37y+7y2+10 2.5 Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “xét giá trị riêng” 2.5.1.Cơ sở: Phân tích đa thức A(x1,x2, ,xn) thành nhân tử Nếu: x1=a1 mà A(x1,x2, ,xn)= x2=a2 mà A(x1,x2, ,xn)= A(x1,x2, ,xn) = k(x1-a1)(x2-a2) ( k số) 2.5.2 Bài toán Phân tích đa thức P = ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) thành nhân tử Lời giải a = b  Nếu thay b = c vào (1) P = -> a-b, b-c, c-a nhân tử P c = a Mặt khác P có bậc Vậy P = k(a-b)(b-c)(c-a) (2) với k số Nếu thay a = 1, b = 2, c = biểu thức ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)= k(a-b)(b-c)(ca), ta có k = Đây dạng toán phức tạp cố gắng chọn toán thật đơn giản, đưa toán phức tạp vừa thời gian lại không hiệu 2.5.3 Bài tập tự luyện Phân tích đa thức thành nhân tử M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) N = a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a) (c+a-b) 15 2.6.Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “tìm nghiệm đa thức” 2.6.1.Cơ sở: - Nếu f(a)=0 x-a nhân tử đa thức f(x) Khi f(x)=(x-a)g(x), f(x), g(x) đa thức - Nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm x1 , x2 phân tích thành a ( x − x1 ) ( x − x2 ) - Đối với đa thức biến x : tổng hệ số không đa thức có nghiệm có nhân tử x - Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 có nhân tử x+1 2.6.2 Các toán Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử x3+3x2-4 Phân tích tìm lời giải: Dễ nhẩm thấy x=1 nghiệm đa thức -> đa thức chứa nhân tử x-1, ta phải biến đổi đa thức làm xuất nhân tử x-1 Lời giải x3+3x2-4 =x3-1+3x2-3 = (x-1)(x2+x+1)+3(x2-1) = (x-1)[x2+x+1+3(x+1)] =(x-1)(x2+4x+4) = (x-1)(x+2)2 Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2+3x+2 (1) b) x2-x+12 (2) Gợi ý: Hãy tìm nghiệm đa thức Giải a) Dễ thấy x=-1 x=-2 nghiệm đa thức (1) Vậy x2+3x+2=(x+1)(x+2) Trên sở em hiểu thật kỹ phần a, cho em nhà tự làm phần b Bài toán đơn giản, lại mở hướng cho việc suy luận tìm lời giải, có tác dụng định hướng cho việc phân tích làm xuất nhân tử chung 16 Mặt khác, muốn đưa dạng toán để em sớm tiếp cận làm quen với nghiệm phương trình đặc biệt phương trình bậc hai mà em học nhiều lớp năm học sau Vấn đề toán không “to tát” song toán mở cho em ý tưởng 2.6.3 Bài tập tự luyện Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2-4x+3 b) 2x3-2x2-x+1 c) x3-2x2+1 2.7 Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp 2.7.1 Các toán Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử A = bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b) Lời giải A = b2c+bc2+ac2-a2c-a2b-ab2 =(abc- a2b)+(ac2-a2c)+(b2c-ab2)+(bc2-abc) (thêm bớt abc) = ab(c-a)+ac(c-a)+b2(c-a)+bc(c-a) =(c-a)(ab+ac+b2+bc) =(c-a)[a(b+c)+b(b+c)] =(c-a)(b+c)(a+b) Bài toán có vai trò củng cố phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, mặt khác tổng hợp kiến thức giúp em có nhìn nhận thấu đáo làm toán Bài toán 2: Chứng minh n n2 n3 A= + + số nguyên Phân tích tìm lời giải: Ta quy đồng biểu thức thành phân thức phân thức số nguyên tử chi a hết cho mẫu Vậy toán trở việc chứng minh tử chia hết cho mẫu sau quy đồng 17 Lời giải: n n n 2n + 3n + n + + = Ta có 6 2n+3n2+n3 = n(2+3n+n2) = n[(n2+n)+(2n+2)] = n[n(n+1)+2(n+1)] = n(n+1) (n+2) Vì n∈Z nên n(n+1)(n+2) tích ba số nguyên liên tiếp -> có thừa số chia hết cho 2, thừa số chia hết cho -> n(n+1)(n+2) chia hết cho Vậy 2n + 3n + n ∈ Z hay A ∈ Z (đpcm) Bài toán giải vấn đề đồng thời có liên hệ với kiến thức cũ qua em củng cố kiến thức thấy liên hệ, tính hệ thống, móc xích thống chương trình Chắc chắn qua tập trên, em hiểu sâu sắc hơn, có nhìn toàn diện đặc biệt có hệ thống phương pháp tốt để làm tập, từ cho em làm tập sau: 2.7.2 Bài tập tự luyện Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử a4+4a3+a+ Bài : Tính nhanh a3- a2b- ab2+b3 với a=5,75; b=4,25 Bài : Tìm x biết a) x2+x = b) 6x3+x2=2x Trên hệ thống tập từ dễ đến khó mà cung cấp cho học sinh Qua đó, thấy trình độ tiếp thu kiến thức em lên nhiều, việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng giải toán nói chung em tiến hành có hệ thống, có định hướng đặc biệt đối tượng học sinh có học lực yếu biết làm tập dạng tương tự 3– Khả thực hiện, lợi ích sáng kiến kết bước đầu đạt 18 3.1.Khả ứng dụng đề tài Đây đề tài có khả ứng dụng chương trình giảng dạy toán dễ dàng, không dùng cho giáo viên giảng dạy toán mà hiệu giáo viên giảng dạy môn toán dạy học sinh giải phương trình bậc cao hay toán có sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử Đồng thời tài liệu tham khảo tốt cho học sinh tự tìm tòi học hỏi học dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử 3.2.Lợi ích kinh tế, xã hội đề tài Để thực tốt yêu cầu đề việc giải toán “phân tích đa thức thành nhân tử” với thời lượng lên lớp khóa có tiết khó, đòi hỏi người giáo viên cần nắm vững kiến thức bước giải toán dạng này, tích cực áp dụng giảng dạy học khóa ngoại khóa Cùng với tích cực học tập học sinh chắn em học tốt dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử Trên sở giúp học sinh tự tin, chủ động giải toán khó học tập tự tin sống, xây dựng nên người mới, vừa động vừa có kiến thức Đây mục tiêu cần đạt giáo dục giai đoạn 3.3 Kết thực Sau thực nghiệm sáng kiến kinh nghiệm lớp trường THCS Đình Cao thấy học sinh có kỹ tốt giải toán phân tích đa thức thành nhân tử thể qua kết thực nghiệm.Trước thực phương pháp này, đầu năm học cho học sinh lớp (năm học: 2015-2016) phụ trách ( gồm 61 em) làm kiểm tra toán lớp 8(Bài số 1) nội dung phân tích đa thức thành nhân tử Sau thực đề tài trình dạy khóa dạy phụ đạo, tiến hành cho em làm kiểm tra (Bài số 2) nội dung phân tích đa thức thành nhân tử Kết ghi lại sau : Số Điểm DTB Điểm 5-6 Bài số 61 32 53 % 17 28 % Bài số 61 8% 18 30% Điểm 7- 11% 26 42% Điểm 9- 10 8% 12 20 % 19 Rõ ràng kết học tập học sinh tăng lên rõ rệt Một kết khác mà học sinh đạt thông qua trao đổi trò chuyện với em học sinh Tôi thiết nghĩ nói lên số là: - Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học toán , từ tạo cho em tính tự tin, độc lập suy nghĩ - Phát triển tư logic, óc quan sát, suy luận toán học C KẾT LUẬN Trên vài kinh nghiệm nhỏ rút từ thực tế năm giảng dạy thân tôi.Với việc làm nêu trên, thân tự nghiên cứu áp dụng Bước đầu thấy có số kết sau: - Trong trình giải tập giúp em có khả phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề cách chặt chẽ, em không ngại khó, mà tự tin vào khả học tập - Nhiều em giỏi tìm cách giải hay ngắn gọn phù hợp - Cách làm em đa dạng, nhiều cách khác Tuy bên cạnh kết đạt số học sinh học yếu, lười học, có khả tự giải toán phân tích đa thức thành nhân tử mức đơn giản Một yếu tố ảnh hưởng đến chất lượng học em có lẽ phương pháp giảng dạy thân đôi lúc chưa thực hợp lí Trong trình giảng dạy, hẳn mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập em tốt hơn, tạo cho em có đầy đủ điều kiện bước vào sống học lên Để đạt kết đòi hỏi giáo viên học sinh cần phải : - Giáo viên cần có kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh - Học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành loại toán, giải nhanh, thành thạo nhiều cách Trên sở giải tập, biết đặt tập để kích thích say mê học toán 20 - Kiến thức SGK bao quát, song “lột tả” hết ngõ ngách kiến thức, người thầy cần phải biết khai thác “các mắt” kiến thức tạo chiều sâu giảng - Trong giảng dạy, người thầy tránh chữa tập cách tràn lan, mà cần có hệ thống, phân dạng tập đặc biệt hướng dẫn cho em mặt phương pháp - Người thầy tránh làm thay em mà phải tổ chức cho em tìm tòi phát kiến thức, từ tạo dựng ý thức tự học cho học sinh Những biện pháp việc làm trình bày trên,bước đầu chưa đạt kết chưa thật mỹ mãn tâm ý thân Tuy nhiên, thực tốt nghĩ góp phần đổi phương pháp dạy học mà ngành quan tâm đạo Mặt khác, với cách trình bày Tôi thiết nghĩ , áp dụng cho số phần khác như: Giải phương trình bậc cao; Rút gọn phân thức Đại số Tôi tin kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé kinh nghiệm đúc kết qua sách quý thầy giáo, cô giáo trước bạn đồng nghiệp Vì vậy, thân mong góp ý, xây dựng quý thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp, nhằm giúp bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy Để thân có điều kiện cống hiến nhiều trí lực cho nghiệp giáo dục, nghiệp mà toàn Đảng, toàn dân ta quan tâm Tôi xin chân thành cảm ơn Đây SKKN thân viết, không chép nội dung người khác Đình Cao, ngày 18 tháng năm 2016 Người viết 21 Nguyễn Văn Điệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán tập - Tôn Thân Sách giáo viên toán tập 1- Tôn Thân Toán bồi dưỡng học sinh lớp đại số hình học -Vũ Hữu Bình - Tôn Thân Ôn tập đại số – Nguyễn Ngọc Đạm – Vũ Dương Thụy Toán nâng cao chuyên đề Đại số -Vũ Dương Thụy Nâng cao phát triển Toán - Vũ Hữu Bình Toán bồi dưỡng học sinh Đại số -Vũ Hữu Bình Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên Phương pháp giải dạng toán 8- Nguyễn Văn Nho 22 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2 Ý nghĩa tác dụng giải pháp Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài II Phương pháp tiến hành nghiên cứu Cơ sở lí luận sở thực tiễn Các biện pháp tiến hành, thời gian nghiên cứu B NỘI DUNG I Muc tiêu đề tài II Giải pháp đề tài Các PP phân tích đa thức thành nhân tử Các dạng tập cách giải Khả thực hiện, lợi ích kết đạt 18 C KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 23 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS ĐÌNH CAO Tổng điểm: Xếp loại : TM Hội đồng khoa học Hiệu Trường Nguyễn Văn Hạnh XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ CỪ Tổng điểm: Xếp loại : TM Hội đồng khoa học 24 ... chưa hướng dẫn vấn đề khó em Qua toán em có kiến thức kinh nghiệm cho việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử *Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x6-1 Phân tích tìm lời giải : Ta... định hướng, điều khiển hoạt động học sinh để học sinh chiếm lĩnh kiến thức, vận dụng kiến thức học, biến kiến thức học thành Đối với việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử em học lớp 8, ... tử thành số hạng tử khác làm xuất nhân tử chung đẳng thức từ toán giải 2.1.2 Các toán *Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2 - 4x+3 Phân tích tìm lời giải: Ta phải tách ba hạng tử