Đang tải... (xem toàn văn)
tuyen tap 80 bai toan hinh hoc lop 9 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...
Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90 0 . CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90 0 . Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90 0 ; Â là góc chung => AEH ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90 0 ; C là góc chung => BEC ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có C 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C 2 = A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C 1 = C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C 1 = E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) Nguyễn văn mạnh 0984583557-thcs đông hng 1 Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90 0 . AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90 0 . Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. 4.Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E 1 = A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => E 3 = B 1 (2) Mà B 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 = E 2 + E 3 Mà E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2 + E 3 = 90 0 = OED => DE OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 OE 2 ED 2 = 5 2 3 2 ED = 4cm Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1.Chứng minh AC + BD = CD. 2.Chứng minh COD = 90 0 . 3.Chứng minh AC. BD = 4 2 AB . 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 900 (Vì BE đường cao) ∠ CDH = 900 (Vì AD đường cao) Mà ∠ CEH ∠ CDH hai góc đối tứ giác CEHD Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900 CF đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900 Như E F nhìn BC góc 900 => E F nằm đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; ∠A góc chung AE AH = => ∆ AEH ∼ ∆ADC => AD AC => AE.AC = AH.AD * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C góc chung BE BC = => ∆ BEC ∼ ∆ADC => AD AC => AD.BC = BE.AC Ta có ∠C1 = ∠A1 (vì phụ với góc ABC) ∠C2 = ∠A1 (vì hai góc nội tiếp chắn cung BM) => ∠C1 = ∠ C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân C => CB đương trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn => ∠C1 = ∠E1 (vì hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp ∠C1 = ∠E2 (vì hai góc nội tiếp chắn cung HD) ∠E1 = ∠E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Lời giải: Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Xét tứ giác CEHD ta có: Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn ∠ CEH = 900 (Vì BE đường cao) Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm 1 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP ∠ CDH = 900 (Vì AD đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mà ∠ CEH ∠ CDH hai góc đối tứ giác CEHD Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900 AD đường cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900 Như E D nhìn AB góc 900 => E D nằm đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có ∠BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => ∠E1 = ∠A1 (1) Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => ∠E3 = ∠B1 (2) Mà ∠B1 = ∠A1 ( phụ với góc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mà ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE E Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD 5.Chứng minh MN ⊥ AB Chứng minh ∠COD = 90 6.Xác định vị trí M AB để chu vi tứ giác ACDB đạt giá 3.Chứng minh AC BD = trị nhỏ 4.Chứng minh OC // BM Lời giải: 5.Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD 2 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM 10 Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà ∠AOM ∠BOM hai góc kề bù => ∠COD = 900 Theo ∠COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM ⊥ CD ( OM tiếp tuyến ) 11 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, AB 12 Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = Theo ∠COD = 900 nên OC ⊥ OD (1) 13 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM ⊥ OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vuông góc với OD) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính 14 Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB 15 ⇒ IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB O => AB tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD CN AC CN CM = = 16 Theo AC // BD => BN BD , mà CA = CM; DB = DM nên suy BN DM 17 => MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB 18 ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vuông góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB 19 Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn Ta có ∠C1 = ∠C2 (1) ( CI Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) phân giác Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm góc ACH 20 Lời giải: (HD) 24 ∠C2 + ∠I1 = 21 Vì I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường ...http://ebooktoan.com/Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 1 Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 ( lm tt bi oxy trong thi i hc cỏc em cn phi nm vng cỏc tớnh cht v cỏc mi liờn h ca gi thit, xõu chui c cỏc d kin ca tỡm n kt qu. Di õy l mt s bi tp hay m thy tỡm c trờn mng hy vng nú giỳp ớt c cỏc em cng c kin thc hỡnh hc phng. chỳc cỏc em cú k thi tht tt). Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đ-ờng tròn (O). Các đ-ờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đ-ờng tròn (O) lần l-ợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đ-ờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đ-ờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đ-ờng cao) => CEH + CDH = 180 0 H ( ( 2 - - 2 1 1 1 P N F E M D C B A O Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đ-ờng cao => BE AC => BEC = 90 0 . CF là đ-ờng cao => CF AB => BFC = 90 0 . Nh- vậy E và F cùng nhìn BC d-ới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đ-ờng tròn đ-ờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đ-ờng tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90 0 ; Â là góc chung => AEH ADC => AC AH AD AE => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90 0 ; C là góc chung => BEC ADC => AC BC AD BE => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có C 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C 2 = A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C 1 = C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đ-ơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đ-ờng tròn => C 1 = E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh t-ơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đ-ờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đ-ờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đ-ờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đ-ờng cao) http://ebooktoan.com/Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 2 H 1 3 2 1 1 O E D C B A CDH = 90 0 ( Vì AD là đ-ờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đ-ờng cao => BE AC => BEA = 90 0 . AD là đ-ờng cao => AD BC => BDA = 90 0 . Nh- vậy E và D cùng nhìn AB d-ới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đ-ờng tròn đ-ờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đ-ờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đ-ờng cao nên cũng là đ-ờng trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. 4. Vì O là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E 1 = A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => E 3 = B 1 (2) Mà B 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 = E 2 + E 3 Mà E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2 + E 3 = 90 0 = OED => DE OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đ-ờng tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam http://violet.vn/thcs-dongphu-thanhhoa/ - trinhdinhtuyet Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 1 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 H ( ( 2 - - 2 1 1 1 P N F E M D C B A O Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90 0 . CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90 0 . Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90 0 ; Â là góc chung => AEH ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90 0 ; C là góc chung => BEC ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có C 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C 2 = A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C 1 = C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C 1 = E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) H 1 3 2 1 1 O E D C B A http://violet.vn/thcs-dongphu-thanhhoa/ - trinhdinhtuyet Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 2 CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90 0 . AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90 0 . Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. 4. Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E 1 = A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => E 3 = B 1 (2) Mà B 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 = E 2 + E 3 Mà E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2 + E 3 = 90 0 = OED => DE OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 OE 2 ED 2 = 5 2 3 2 ED = 4cm Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 90 0 (Vì BE là đường cao) ∠ CDH = 90 0 (Vì AD là đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 90 0 . CF là đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 90 0 . Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 90 0 ; ∠A là góc chung => ∆ AEH ∼ ∆ADC => => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90 0 ; ∠C là góc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có ∠C 1 = ∠A 1 (vì cùng phụ với góc ABC) ∠C 2 = ∠A 1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => ∠C 1 = ∠ C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => ∠C 1 = ∠E 1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp ∠C 1 = ∠E 2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) ∠E 1 = ∠E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng minh ED = BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 90 0 (Vì BE là đường cao) ∠ CDH = 90 0 (Vì AD là đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC AC AH AD AE = AC BC AD BE = 2 1 1 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 => ∠BEA = 90 0 . AD là đường cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 90 0 . Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có ∠BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC. 4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ∠E 1 = ∠A 1 (1). Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => ∠E 3 = ∠B 1 (2) Mà ∠B 1 = ∠A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => ∠E 1 = ∠E 3 => ∠E 1 + ∠E 2 = ∠E 2 + ∠E 3 Mà ∠E 1 + ∠E 2 = ∠BEA = 90 0 => ∠E 2 + ∠E 3 = 90 0 = ∠OED => DE ⊥ OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 – OE 2 ED 2 = 5 2 – 3 2 ED = 4cm Bài 3 : Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1.Chứng minh AC + BD = CD. 2.Chứng minh ∠COD = 90 0 . 3.Chứng minh AC. BD = . 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 900 (Vì BE đường cao) ∠ CDH = 900 (Vì AD đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mà ∠ CEH ∠ CDH hai góc đối tứ giác CEHD Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900 CF đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900 Như E F nhìn BC góc 900 => E F nằm đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; ∠A góc chung AE AH = => ∆ AEH ∼ ∆ADC => => AE.AC = AH.AD AD AC * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C góc chung BE BC = => ∆ BEC ∼ ∆ADC => => AD.BC = BE.AC AD AC Ta có ∠C1 = ∠A1 (vì phụ với góc ABC) ∠C2 = ∠A1 (vì hai góc nội tiếp chắn cung BM) => ∠C1 = ∠ C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân C => CB đương trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn => ∠C1 = ∠E1 (vì hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp ∠C1 = ∠E2 (vì hai góc nội tiếp chắn cung HD) ∠E1 = ∠E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 900 (Vì BE đường cao) TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP ∠ CDH = 90 (Vì AD đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mà ∠ CEH ∠ CDH hai góc đối tứ giác CEHD Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900 AD đường cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900 Như E D nhìn AB góc 900 => E D nằm đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có ∠BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => ∠E1 = ∠A1 (1) Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => ∠E3 = ∠B1 (2) Mà ∠B1 = ∠A1 ( phụ với góc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mà ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE E Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N 1.Chứng minh AC + BD = CD Lời giải: 2.Chứng minh ∠COD = 90 AB 3.Chứng minh AC BD = 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD 5.Chứng minh MN ⊥ AB 6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ 1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà ∠AOM ∠BOM hai góc kề bù => ∠COD = 900 3.Theo ∠COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM ⊥ CD ( OM tiếp tuyến ) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, AB 2 Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R => AC BD = 4 Theo ∠COD = 900 nên OC ⊥ OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực ... đường cao tam giác 93 Lời giải: 94 Ta có : éACB = 90 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) MAB => AD, BC, MH đồng quy I 95 => éMCI = 90 0 (vì hai góc kề bù) 100 ∆OAC cân 96 éADB = 90 0 ( nội tiếp chắn... éAMC = 90 0 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => éEMC = 90 0 (vì hai góc kề bù).(2) 11 11 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 38 39 éAEB = 90 0 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay éMEN = 90 0... K tâm đường tròn 90 (2) ( ∠IHC = 90 0 ) bàng tiếp góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B hoctoancapba.com 22 Do BI ⊥ BK hay∠IBK = 90 0 23 Tương tự ta có ∠ICK = 90 0 B C nằm đường
