Đang tải... (xem toàn văn)
Giai bai tap dai so lop 10 chuong 3 bai 2 phuong trinh quy ve phuong trinh bac nhat bac hai tài liệu, giáo án, bài giảng...
- 42 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác °. cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosAcosBcosC. ±. cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC. ². cos2Acos2CB− + cos2Bcos2AC− + cos2Ccos2BA− = sinA + sinB + sinC. ³. sin A sin B sin C Acot cotsin A sin B sin C 2 2++ Β=+−. <61> Chứng minh ΔABC vuông tại A nếu và chỉ nếu sinA = sin B sin Ccos B cos C++. <62> Chứng minh biểu thức sin(250o + α)cos(200o – α) – cos240ocos(220o – 2α) không phụ thuộc vào α. <63> Chứng minh: ¬. sin84osin24osin48osin12o = . −. sin10o + sin20o + sin30o + sin40o + sin50o = oo1sin252sin 5. ®. sin10αsin8α + sin8αsin6α – sin4αsin2α = 2cos2αsin6αsin10α. ¯. 2cos22αcosα – cos5αcos4α – cos4αcos3α = 2cosαsin2αsin6α. <64> ΔABC có 4A = 2B = C. Chứng minh rằng: ¬. 111abc=+ −. cos2A + cos2B + cos2C = . <65> Chứng minh mệnh đề sau: «Điều kiện cần và đủ để một trong các góc của ΔABC bằng 60o là sin3A + sin3B + sin3C = 0». <66> Chứng minh rằng ΔABC là tam giác đều nếu các góc của nó thoả: ¬. sin sin sin = . −. cosAcosBcosC = sin sin sin . <67> Chứng minh rằng ΔABC cân nếu các góc của nó thoả hệ thức: tan2A + tan2B = 2tan2AB2+. <68> Chứng minh rằng ΔABC vuông hoặc cân nếu: acosB – bcosA = asinA – bsinB trong đó a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện với các góc A, B, C. <69> Tính số đo góc C của ΔABC biết sinA + sinB + sinC – 2sin sin = 2sin . <70> Tìm các góc của ΔABC nếu: sinA + sinB – cosC = . <71> Nếu A, B, C là 3 góc của ΔABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3cosA + 3(cosB + cosC). 6 Trường THPT Nguyễn Hữu Huân Vũ Mạnh Hùng Bài Tập Cơ Bản & Nâng Cao -09/2006 10 Vũ Mạnh Hùng - 41 - ´. oo11sin18 cos36− = 2. !0. tanα + cotα + tan3α + cot3α = 28cos 2sin 6αα. !1. sin 2 sin 3 sin 4cos 2 cos 3 cos 4α− α+ αα− α+ α = tan3α. !2. 2sin 2 sin 5 sin 3cos 1 2sin 2α+ α− αα+ − α = 2sinα. !3. cos 6 cos 7 cos 8 cos 9sin 6 sin 7 sin 8 sin 9α− α− α+ αα− α− α+ α = cot . !4. 2sin 2 sin 42(cos cos3 )α+ αα+ α = tan2αcosα. !5. 22322232cot cot1cotααα−+= 8cos2cosα. !6. oo oo ooooocos 28 cos56 cos 2 cos 4 3 sin 38sin 2 sin 28 4sin 2 sin 28+=. !7. 16cos3α.sin2α = 2cosα – cos3α – cos5α. !8. (cosα – cosβ)2 – (sinα – sinβ)2 = – 4sin2cos(α + β). <58> Đơn giản biểu thức: ¬. sin sin 3cos cos3α+ αα+ α. −. cos 4 cos 2sin 2 sin 4α− αα+ α. ®. cos m cos nsin n sin mα− αα− α. ¯. cos 3 cos 4 cos 5sin 3 sin 4 sin 5α+ α+ αα+ α+ α. °. 22(sin 2 2 cos 1)cos sin cos 3 sin 3α+ α−α− α− α+ α. ±. 21 cos cos 2 cos3cos 2cos 1+α+ α+ αα+ α−. ². 2sin 2 cos 2 cos 6 sin 6sin 4 2sin 2 1α+ α− α− αα+ α−. ³. sin(2 2 ) 2sin(4 ) sin(6 4 )cos(6 2 ) 2 cos(4 ) cos(6 4 )α+ π + α−π + α+ ππ− α + α−π + α− π. ´. sin(2 ) sin(2 ) cos( 2 )cos(2 ) cos(2 ) sin( 2 )α+β+ α−β− − αα+β + α−β − + α. <59> Biến đổi thành tích: ¬. 3 – 4cos2α. −. 1 + sin – 1 – sin (0 < α ≤ π). ®. 6sin22α – 1 – cos4α. ¯. 2cos22α + 3cos4α – 3 °. sin6α – 23 cos23α + 3. ±. cos2 – sin2 ². 1 + sin2a – cos2a – tan2a. ³. cos22α + 3cos18α + 3cos14α + cos10α. <60> Chứng minh trong ΔABC: ¬. sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos . −. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC. ®. sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC. ¯. cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin sin sin . - 40 - Gúc Lng Giỏc & Cụng Thc Lng Giỏc <51> Chng minh: ơ. sin5osin55osin65o = sin15o. . cos5ocos55ocos65o = cos15o. đ. cos( )sin( )sin = sin . . 4cos( )sin( ) = sin 3sin. . 1 2sin50o = o12cos160. . ooosin(80 4 )4sin(20 )sin(70 )++ = cos(40o + 2). . sin2 + cos( )cos( + ) = . . sin22 cos( 2)sin(2 ) = . . sinsin3 = sin22 sin2. !0. cos2(45o ) cos2(60o + ) cos75osin(75o 2) = sin2. !1. cos2cos sin4sin cos3cos2 = 0. <52> n gin biu thc: ơ. sinsin(x) + sin2(). đ. sin22 + sin2 + cos(2+)cos(2). . sin2(45o + ) sin2(30o ) sin15ocos(15o + 2). . sin3cos3 + cos3sin3. . sin3sin3 + cos3cos3. <53> Chng minh Giải tập Đại Số lớp 10 Chương Bài 2: Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai Hướng dẫn giải tập lớp 10 Bài 2: Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) a Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: 2x + ≠ ⇔ x ≠ – 3/2 Quy đồng mẫu thức khử mẫu thức chung 4(x2 + 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3) => 12x + = – 4x – 15 => x = – 23/16 (nhận) b mẫu ĐKXĐ: x ≠ ± Quy đồng mẫu thức khử (2x + 3)(x + 3) – 4(x – 3) = 24 + 2(x2 -9) => 5x = -15 => x = -3 (loại) Phương trình vô nghiệm c Hướng dẫn giải: Bình phương hai vế được: 3x – = => x = 14/3 (nhận) Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam d Bình phương hai vế được: 2x + = => x = – 1/2 Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) Giải biện luận phương trình sau theo tham số m a m(x – 2) = 3x + Hướng dẫn giải: ⇔ (m – 3)x = 2m + • • Nếu m ≠ phương trình có nghiệm x = (2m+1)/(m-3) Nếu m = phương trình trở thành 0x = Vô nghiệm b m2x + = 4x + 3m ⇔ (m2 – 4)x = 3m – • Nếu m2 – ≠ ⇔ m ≠ ± 2, có nghiệm x = (3m-6)/(m2 – 4) = 3/(m+2) Nếu m = 2, phương trình trở thành 0x = 0, x ∈ R nghiệm • phương trình Nếu m = -2, phương trình trở thành 0x = -12 Vô nghiệm • c) (2m + 1)x – 2m = 3x – ⇔ 2(m – 1)x = 2(m-1) • • Nếu m ≠ có nghiệm x = Nếu m = x ∈ R nghiệm phương trình Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) Có hai rổ quýt chứa số quýt Nếu lấy 30 rổ thứ đưa sang rổ thứ hai số rổ thứ hai 1/3 bình phương số lại rổ thứ Hỏi số quýt rổ lúc ban đầu ? Hướng dẫn giải: Gọi x số quýt chứa rổ lúc đầu Điều kiện x nguyên, x > 30 Ta có phương trình 1/3 (x – 30)2 = x + 30 ⇔ x2 – 3x + 810 = ⇔ x = 45 (nhận), x = 18 (loại) Trả lời: Số quýt rổ lúc đầu: 45 Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) Giải phương trình a 2x4 – 7x2 + = Hướng dẫn giải: Đặt x2 = t ≥ ta 2t2 – 7t + = 0, t ≥ 2t2 – 7t + = ⇔ t1 = (nhận), t2 = 5/2 (nhận) Suy nghiệm phương trình ẩn x x1,2 = ±1, x3,4 = ± b) 3x4 + 2x2 – = Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Đặt x2 = t ≥ 3t2 + 2t – = ⇔ t1 = -1 (loại), t2 = 1/3 (nhận) Suy nghiệm phương trình ẩn x x1,2 = ± Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) Giải phương trình sau máy tính bỏ túi (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ ba) a 2x2 – 5x + = Sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp phím hình x1 = 3.137458609 Ấn tiếp = hình x2 = -0.637458608 Làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ ba ta nghiệm gần phương trình x1 ≈ 3.137 x2 ≈ -0.637 b -3x2 + 4x + = Ấn x1 = 1.72075922 tiếp x2 = 0.387 Muốn lấy tròn số thập phân ta ấn Kết x1 = 1.721 Ấn tiếp = Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam c 3x2 + 7x + = Ấn liên tiếp Kết x1 = -1.000 Ấn tiếp = x2 = -1.333 d 9x2 – 6x – = Ấn 0.333 Ấn tiếp = x2 = 0.333 Kết Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) Giải phương trình a |3x – 2| = 2x + Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: 2x + ≥ Bình phương hai vế được: (3x – 2)2 = (2x + 3)2 => (3x – 2)2 – (2x + 3)2 = ⇔ (3x -2 + 2x + 3)(3x – – 2x – 3) = => x1 = -1/5 (nhận), x2 = (nhận) Tập nghiệm S = {-1/5; 5} Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam x1 = b |2x -1| = |-5x – 2| Hướng dẫn giải: Bình phương hai vế: (2x – 1)2 = (5x + 2)2 => (2x – + 5x + 2)(2x – – 5x – 2) = => x1 = -1/7, x2 = -1 c Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x ≠ 3/2, x ≠ -1 Quy đồng khử mẫu thức chung: (x – 1)|x + 1| = (2x – 3)(-3x + 1) • Với x≥ • => Với x -1 < -1 ta ta được: được: x2 – -x2 + = = -6x2 + 11x – 11x – -6x2 + => Kết luận: Tập nghiệm d |2x + 5| = x2 +5x +1 Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam ĐKXĐ: x2 +5x +1 > • Với x ≥ -5/2 • ta được: 2x + = x2 + 5x + => x1 = -4 (loại); x2 = (nhận) Với x < -5/2 ta được: -2x – = x2 + 5x + => x1 =-6 (nhận); x2 = -1 (loại) Kết luận: Tập nghiệm S = {1; -6} Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) Giải phương trình: a Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x – ≥ ⇔ x > Bình phương hai vế => 5x + = (x – 6)2 ⇔ x2 = (loại), x2 = 15 (nhận) b Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: – ≤ x ≤ Bình phương hai vế được: Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Điều kiện x ≤ Bình phương tiếp ta được: x2 = x + => x1 = -1 (nhận); x2 = (loại) Vậy: Tập nghiệm S {-1} c Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x ≥ -2 => 2x2 + = (x + 2)2 => x2 – 4x + = d Hướng dẫn giải: ĐK: x ≥ -1/3 => 4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2 => x1 = -9/5 (loại), x2 = (nhận) Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Cho phương trình 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – = Xác định m để phương trình có nghiệm gấp ba nghiệm Tính nghiệm trường hợp Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 x2 với x2 = 3x1.Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = x1 = 2(m+1)/3 => x1 = (m+1)/6 Thay x1 = (m+1)/6 vào phương trình ta 3((m+1)/6)2 -2(m + 1) (m+1)/6 + 3m – = ⇔ -3m2 + 30m – 63 = ⇔ m1 =3, m2 =7 Thay m = vào phương trình ta thấy pt có hai nghiệm x1 = 2/3; x2 = Với m = ta có hai nghiệm x1 = 4/3; x2 = Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam 51 Chơng III phơng trình và hệ phơng trình Ngày soạn: 11/10/2008 Tiết 24: Đ1. Đại cơng về phơng trình (tiết1) I - Mục tiêu 1. Về kiến thức Hiểu khái niệm phơng trình, tập xác định (điều kiện xác định) và tập nghiệm của phơng trình. Hiểu khái niệm phơng trình tơng đơng và các phép biến đổi tơng đơng. 2. Về kĩ năng Biết cách xác định xem một số cho trớc có phải là nghiệm của một phơng trình đã cho hay không. Biết cách sử dụng các phép biến đổi tơng đơng thờng dùng. áp dụng đợc các kiến thức đã học vào giải toán về phơng trình. 3. Về thái độ Rèn tính cẩn thận khi làm toán, tính nghiêm túc khoa học. II - Phơng pháp, phơng tiện 1. Phơng pháp: Vấn đáp, phát huy trí lực học sinh 2. Phơng tiện: Sách giáo khoa, biểu bảng, tranh minh hoạ về đồ thị. III - Tiến trình bài học 1. ổn định lớp 10A1( ) vắng: 10A2( ) vắng: 10A3( ) vắng: 2. Kiểm tra bài cũ: kết hợp 3. Bài mới Hoạt động 1: Khái niệm phơng trình một ẩn. Hoạt động của giáo viên và học sinh Yêu cầu cần đạt HĐGV - Thuyết trình ở lớp dới ta đã làm quen với khái niệm phơng trình, chẳng hạn mệnh đề chứa biến P(x) đã nêu là một phơng trình. Giá trị của biến làm cho mệnh đề chứa biến đó đúng (x = 2) chính là nghiệm của phơng trình. Vậy phơng trình là gì ? Giá trị của biến nh thế nào đợc gọi là nghiệm của phơng trình ? - Tổ chức cho học sinh đọc phần định nghĩa, chú ý 1, ví dụ 1 và chú ý 2 - SGK. Đặt vấn đề: Cho mệnh đề chứa biến P(x): x , x + 1 = 2x - 1 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề P 1 2 ; P(2) ; P(0). ĐN:(SGK) 52 - Củng cố: + Phát vấn, kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh. + Nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) và đồ thị của các hàm số f(x) và g(x) vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ. HĐHS - Xét mệnh đề chứa biến: P(x): x , x + 1 = 2x - 1 + Nói đợc P 1 2 và P(0) là các mệnh đề sai còn P(2) là mệnh đề đúng. - Đọc, nghiên cứu phần định nghĩa phơng trình của SGK. - Trả lời câu hỏi của giáo viên. Nêu ý kiến của bản thân về khái niệm phơng trình, nghiệm của phơng trình. - Nêu đợc: Khi vẽ đồ thị của hai hàm số f(x) và g(x) trên cùng một mặt phẳng toạ độ thì hoành độ giao điểm của chúng (nếu có) là nghiệm của phơng trình f(x) = g(x). Hoạt động 2: Củng cố Hoạt động của giáo viên và học sinh Yêu cầu cần đạt HĐGV - Gọi sinh thực hiện bài tập. - Củng cố khái niệm điều kiện xác định và nghiệm của phơng trình. - Đặt vấn đề: Hai phơng trình x a 0 x 1 và x - a = 0 có cùng tập nghiệm không ? HĐHS - Nêu đợc: Điều kiện x - 1 0 (x 1). - Với học sinh Khá: Nói đợc x = a là nghiệm duy nhất của phơng trình nếu a 1. Tập nghiệm của phơng trình là nếu a = 1. Tìm điều kiện xác định và tìm tập nghiệm của phơng trình ẩn x: x a 0 x 1 . Hoạt động 3: Phơng trình tơng đơng. Giáo viên: - Giải quyết vấn đề đã đặt ra ở hoạt động 2: a 1 thì hai phơng trình đã cho có cùng tập nghiệm, a = 1 thì phơng trình đầu có tập nghiệm , còn phơng trình thứ 2 có tập nghiệm là một phần tử duy nhất x = a. - Thuyết trình khái niệm hai phơng trình tơng đơng. 53 Củng cố: Tổ chức hoạt động 1 của SGK theo nhóm học tập. Giao nhiệm vụ: + Mỗi nhóm giải quyết một ý của hoạt động. + Cử đại diện của nhóm báo cáo kết quả trớc lớp. + Nhận xét kết quả của nhóm bạn. Kết quả đạt đợc: a) Khẳng định x 1 2 x 1 x 1 0 là khẳng định đúng. b) Khẳng định x x 2 1 x 2 x 1 là khẳng định sai vì x = 1 không là nghiệm của phơng trình đầu tiên. c) Khẳng định x 1 x 1 là khẳng định sai vì phơng trình đầu còn có nghiệm khác nữa là x = - 1. Giáo viên: - Củng cố về hai phơng trình tơng đơng với nhau trên D ( Với điều kiện D hai phơng trình tơng đơng) - Phép biến đổi tơng đơng. Hoạt động 4: Định lí 1 (điều kiện đủ để hai phơng trình tơng đơng) về phép biến đổi tơng đơng. Giáo viên: - Đặt vấn đề: Cho phơng trình f(x) = g(x) có tập xác định D và y = h(x) Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 14 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) · x 0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x 0 ) = g(x 0 )" là một mệnh đề đúng. · Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. · Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức Px 1 () thì cần điều kiện P(x) ¹ 0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức Px () thì cần điều kiện P(x) ³ 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) có tập nghiệm S1 và f 2 (x) = g 2 (x) (2) có tập nghiệm S 2 . · (1) Û (2) khi và chỉ khi S 1 = S 2 . · (1) Þ (2) khi và chỉ khi S 1 Ì S 2 . 3. Phép biến đổi tương đương · Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. · Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x xx 55 312 44 +=+ b) x xx 11 515 33 +=+ ++ c) x xx 2 11 9 11 -=- d) x xx 22 315 55 +=+ Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) xx 112 +-=- b) xx 12 +=- c) xx 11 +=+ d) xx 11 -=- e) x xx 3 11 = f) xxx 2 123 =-+ Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) xxx 2 3(32)0 += b) xxx 2 1(2)0 + = c) x x xx 1 2 22 = d) xx x xx 2 43 1 11 -+ =++ ++ CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 15 Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) xx 21 -=+ b) xx 12 +=- c) xx 212 -=+ d) xx 221 -=- Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) xx xx 11 = b) xx xx 22 11 = c) xx xx 22 = d) xx xx 11 22 = Bài 6. a) Chú ý: Khi a ¹ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) mxmx 2 (2)23 +-=- b) mxmxm ()2 -=+- b) mxmmx (3)(2)6 -+=-+ d) mxmxm 2 (1)(32) -+=- e) mmxxm 22 ()21 -=+- f) mxmxm 2 (1)(25)2 +=+++ Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) xaxb baab ab (,0) -=-¹ b) abxabbx (2)2(2a) ++=++ c) xabxbcxb babc acb 2 3(,,1) 111 +++ ++=¹- +++ d) xbcxcaxab abc abc 3(,,0) ++=¹ Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x Î R. a) mxn (2)1 -=- b) mmxm 2 (23)1 +-=- c) mxxmxmx 2 (2)(1)() ++=+ d) mmxxm 22 ()21 -=+- Bài 4. a) II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất b x a =- b ¹ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 16 1. Cách giải Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c a . – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c a - . – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b b 2 ¢ = . 2. Định lí Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Trang 30 1. Tính chất 2. Một số bất đẳng thức thông dụng a) aa 2 0, ³" . abab 22 2 +³ . b) Bất đẳng thức Cô–si: + Với a, b ³ 0, ta có: ab ab 2 + ³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b. + Với a, b, c ³ 0, ta có: abc abc 3 3 ++ ³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c. Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất Û x = y. – Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất Û x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + abcab -<<+ ; bcabc -<<+ ; cabca -<<+ . e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y Î R, ta có: axbyabxy 22222 ()()() +£++. Dấu "=" xảy ra Û ay = bx. CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. BẤT ĐẲNG THỨC Điều kiện Nội dung a < b Û a + c < b + c (1) c > 0 a < b Û ac < bc (2a) c < 0 a < b Û ac > bc (2b) a < b và c < d Þ a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b và c < d Þ ac < bd (4) a < b Û a 2n+1 < b 2n+1 (5a) n nguyên dương 0 < a < b Þ a 2n < b 2n (5b) a > 0 a < b Û ab < (6a) a < b Û 33 ab < (6b) Điều kiện Nội dung xxxxx 0,, ³³³- xaaxa £Û-££ a > 0 xa xa xa é £- ³Û ê ³ ë ababab -£+³+ Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Trang 31 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản · Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. · Một số BĐT thường dùng: + A 2 0 ³ + AB 22 0 +³ + AB .0 ³ với A, B ³ 0. + ABAB 22 2 +³ Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài 1. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) abcabbcca 222 ++³++ b) ababab 22 1 ++³++ c) abcabc 222 32() +++³++ d) abcabbcca 222 2() ++³+- e) abcaabac 4422 12(1) +++³-++ f) a bcabacbc 2 22 2 4 ++³-+ g) abbccaabc 222222 (1)(1)(1)6+++++³ h) abcdeabcde 22222 () ++++³+++ i) abc abbcca 111111 ++³++ với a, b, c > 0 k) abcabbcca ++³++ với a, b, c ³ 0 HD: a) Û abbcca 222 ()()()0 -+-+-³ b) Û abab 222 ()(1)(1)0 -+-+-³ c) Û abc 222 (1)(1)(1)0 -+-+-³ d) Û abc 2 ()0 -+³ e) Û abaca 22222 ()()(1)0 -+-+-³ f) Û a bc 2 ()0 2 æö ³ ç÷ èø g) Û abcbcacab 222 ()()()0 -+-+-³ h) Û aaaa bcde 2222 0 2222 æöæöæöæö -+-+-+-³ ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèø i) Û abbcca 222 111111 0 æöæöæö -+-+-³ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø k) Û ( ) ( ) ( ) abbcca 222 0 -+-+-³ Bài 2. Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) abab 3 33 22 æö ++ ³ ç÷ èø ; với a, b ³ 0 b) ababab 4433 +³+ c) aa 4 34 +³ d) abcabc 333 3++³ , với a, b, c > 0. e) ab ab ba 66 44 22 +£+; với a, b ¹ 0. f) ab ab 22 112 1 11 +³ + ++ ; với ab ³ 1. g) a a 2 2 3 2 2 + > + h) abababab 554422 ()()()() ++³++; với ab > 0. HD: a) Û abab 2 3 ()()0 8 +-³ b) Û abab 33 ()()0 ³ Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Trang 32 c) Û aaa 22 (1)(23)0 -++³ d) Sử dụng hằng đẳng thức abababab 33322 ()33+=+ BĐT Û abcabcabbcca 222 ()()0 éù ++++-++³ ëû . e) Û abaabb 2224224 ()()0 -++³ f) Û baab abab 2 22 ()(1) 0 (1)(1)(1) ³ +++ g) Û a 22 (1)0 +> h) Û ababab 33 ()()0 ³ . Bài 3. Cho a, b, c, d Î R. Chứng minh rằng abab 22 2 +³ (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) abcdabcd 4444 4+++³ b) abcabc 222 (1)(1)(1)8+++³ c) abcdabcd 2222 (4)(4)(4)(4)256++++³ HD: a) ababcdcd 44222222 2;2+³+³ ; abcdabcd 2222 2+³ b) aabbcc 222 12;12;12 +³+³+³ c) aabbccdd 2222 44;44;44;44 Trn S Tựng Hm s bc nht bc hai CHNG II II CHNG HM S S BC BC NHT NHT V V BC BC HAI HAI HM HM S S I.I HM nh ngha Cho D R, D Hm s f xỏc nh trờn D l mt qui tc t tng ng mi s x D vi mt v ch mt s y R x gl bin s (i s), y gl giỏ tr ca hm s f ti x Kớ hiu: y = f(x) D gl xỏc nh ca hm s T = { y = f ( x ) x D} gl giỏ tr ca hm s Cỏch cho hm s Cho bng bng Cho bng biu Cho bng cụng thc y = f(x) Tp xỏc nh ca hm s y = f(x) l hp tt c cỏc s thc x cho biu thc f(x) cú ngha th ca hm s th ca hm s y = f(x) xỏc nh trờn D l hp tt c cỏc im M ( x; f ( x ) ) trờn mt phng to vi mi x D Chỳ ý: Ta thng gp th ca hm s y = f(x) l mt ng Khi ú ta núi y = f(x) l phng trỡnh ca ng ú S bin thiờn ca hm s Cho hm s f xỏc nh trờn K Hm s y = f(x) ng bin (tng) trờn K nu x1 , x2 K : x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) Hm s y = f(x) nghch bin (gim) trờn K nu x1 , x2 K : x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) Tớnh chn l ca hm s Cho hm s y = f(x) cú xỏc nh D Hm s f gl hm s chn nu vi x D thỡ x D v f(x) = f(x) Hm s f gl hm s l nu vi x D thỡ x D v f(x) = f(x) Chỳ ý: + th ca hm s chn nhn trc tung lm trc i xng + th ca hm s l nhn gc to lm tõm i xng VN 1: Tỡm xỏc nh ca hm s Tỡm xỏc nh D ca hm s y = f(x) l tỡm tt c nhng giỏ tr ca bin s x cho biu thc f(x) cú ngha: D = { x R f ( x ) coự nghúa} iu kin xỏc nh ca mt s hm s thng gp: P( x ) 1) Hm s y = : iu kin xỏc nh: Q(x) Q( x ) 2) Hm s y = R( x ) : iu kin xỏc nh: R(x) Chỳ ý: + ụi ta s dng phi hp cỏc iu kin vi + iu kin hm s xỏc nh trờn A l A D A + A.B B Baứi Tỡnh giỏ tr ca cỏc hm s sau ti cỏc im ó ch ra: Trang www.MATHVN.com Hm s bc nht bc hai Trn S Tựng a) f ( x ) = x Tớnh f(0), f(2), f(2), f(3) b) f ( x ) = x Tớnh f(2), f(0), f(3), f(2) x 3x + c) f ( x ) = x + x Tớnh f(2), f(2), f(0), f(1) x x < d) Tớnh f(2), f(0), f(1), f(2) f(3) f ( x ) = x + x x x > e) Baứi a) d) g) Baứi a) x < f ( x ) = x = Tớnh f(2), f(1), f(0), f(2), f(5) x > Tỡm xỏc nh ca cỏc hm s sau: 2x + x b) y = y= 3x + 2x x x y= y= e) x 3x + 2 x 5x + 2x +1 x y= y= h) ( x 2)( x x + 3) x3 + Tỡm xỏc nh ca cỏc hm s sau: b) y = x y = 2x d) y = x + g) y = Baứi a) b) c) x e) y = 2x ( x 2) x Tỡm a hm s xỏc nh trờn K ó ch ra: 2x + y= ; K = R x2 6x + a 3x + y= ; K = R x 2ax + K = (0; +) y = x a + 2x a ; d) y = x 3a + + xa ; K = (0; +) x + a x + 2a ; x a +1 + x + 2a + ; f) y = xa e) y = x + a + + ; xa e) y = www.MATHVN.com www.MATHVN.com f) y = i) y = x+4 3x x2 + x + 1 x + 2x2 c) y = x + x + f) y = x + x + ( x + 2) x h) y = x + c) y = x i) y = x + + x2 S: a > 11 S: < a < S: a S: a K = (1; 0) S: a hoc a K = (1; 0) S: a K = (1; +) S: a Trang Trn S Tựng Hm s bc nht bc hai VN 2: Xột s bin thiờn ca hm s Cho hm s f xỏc nh trờn K y = f(x) ng bin trờn K x1 , x2 K : x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) x1 , x2 K : x1 x2 f ( x2 ) f ( x1 ) >0 x2 x1 y = f(x) nghch bin trờn K x1 , x2 K : x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) x1 , x2 K : x1 x2 f ( x2 ) f ( x1 ) 0, hm s ng bin trờn R + Khi a < 0, hm s nghch bin trờn R th l ng thng cú h s gúc bng a, ct trc tung ti im B(0; b) Chỳ ý: Cho hai ng thng (d): y = ax + b v (d): y = ax + b: + (d) song song vi (d) a = a v b b + (d) trựng vi (d) a = a v b = b + (d) ct (d) a a Hm s y = ax + b (a 0) b x ax + b a y = ax + b = b (ax + b) x < a Chỳ ý: v th ca hm s y = ax + b ta cú th v hai ng thng y = ax + b v y = ax b, ri xoỏ i hai phn ng thng nm phớa di trc honh Baứi V th ca cỏc hm s sau: a) y = x b) y = x + c) y = Baứi Tỡm to giao im ca cỏc cp ng thng sau: a) y = x 2; x d) y = x y = 2x + b) y = x + 2; y = 4( x 3) x x y = x c) y = x; d) y = ; y= Baứi Trong mi trng hp sau, tỡm giỏ tr k th ca hm s y = x + k ( x + 1) : a) i qua gc ta O b) i qua im M(2 ; 3) c) Song song vi ng thng y = 2.x Baứi Xỏc nh a v b th ca hm s y = ax + b : a) i qua hai im A(1; 20), B(3; 8) b) i qua im M(4; 3) v song song vi ng thng d: y = x + y = x + c) Ct ng thng d1: ti im cú honh bng v ct ng thng d2: y = x + ti im cú tung bng d) Song song vi ng thng y = x v i qua giao im ca hai ... được: (3x – 2) 2 = (2x + 3) 2 => (3x – 2) 2 – (2x + 3) 2 = ⇔ (3x -2 + 2x + 3) (3x – – 2x – 3) = => x1 = -1/5 (nhận), x2 = (nhận) Tập nghiệm S = {-1/5; 5} Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam x1 = b |2x -1|... x2 = -1 .33 3 d 9x2 – 6x – = Ấn 0 .33 3 Ấn tiếp = x2 = 0 .33 3 Kết Bài (Hướng dẫn giải trang 63 SGK Giải tích 10 bản) Giải phương trình a |3x – 2| = 2x + Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: 2x + ≥ Bình phương hai. .. phương trình a 2x4 – 7x2 + = Hướng dẫn giải: Đặt x2 = t ≥ ta 2t2 – 7t + = 0, t ≥ 2t2 – 7t + = ⇔ t1 = (nhận), t2 = 5 /2 (nhận) Suy nghiệm phương trình ẩn x x1 ,2 = ±1, x3,4 = ± b) 3x4 + 2x2 – = Thư viện