PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NAM TRỰC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ NAM MỸ BÁO CÁO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Rèn kỹ cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai Tác giả : Ngô Thị Thúy Mai Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán Chức vụ : Giáo Viên Nơi công tác : THCS Nam Mỹ Nam Trực, ngày.01 tháng.02 năm 2016 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1.Tên sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm : Rèn kỹ cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai 2.Lĩnh vực áp dụng Học sinh lớp trường THCS Nam Mỹ 3.Thời gian áp dụng Từ ngày tháng năm 2016 đến ngày 10 tháng năm 2015 4.Tác giả Họ tên : Ngô Thị Thúy Mai Sinh năm 1980 Nơi thường trú: Số nhà 11/3/139 Đường Lưu Hữu Phước - TP.Nam Định Trình độ chuyên môn: ĐHSP Chức vụ: Giáo viên Nơi làm việc :Trường THCS Nam Mỹ Địa Chỉ liên hệ trường THCS Nam Mỹ Điện thoại: 0942559299 Đồng tác giả (nếu có): Họ tên: Năm sinh: Nơi thường trú: Trình độ chuyên môn: Chức vụ công tác: Nơi làm việc: Điện thoại: Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: …….% Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị:Trường THCS Nam Mỹ Địa :Trường THCS Nam Mỹ huyện Nam Trực tỉnh Nam Định - Điện thoại 03503829926 I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến Năm học 2015-2016 năm học toàn ngành GD tiếp tục thực Nghị 29 BCHTW 8- Khóa XI đổi toàn diện GD hướng tới hội nhập phát triển trọng việc đổi PPDH KTĐG theo định hướng phát triển lực học sinh Đặc biệt năm học 2015-2016 trường THCS Nam Mỹ chọn thí điểm áp dụng mô hình trường học với nhiều khó khăn thử thách, song vượt lên hết thầy trò nhà trường tâm cao, tích cực học hỏi để hoàn thành nhiệm vụ giáo dục cấp ngành giao phó Ngay từ đầu năm học sau tham gia lớp tập huấn có buổi sinh hoạt chuyên môn để trao đổi, thảo luận xây dựng kế hoạch dạy học đáp ứng mục tiêu giáo dục Là giáo viên dạy Toán trường THCS Nam Mỹ suy nghĩ để kiến thức truyền đạt đến em cách đơn giản, dễ hiểu chắn, em có kiến thức vững vàng, tạo điều kiện cho em yêu thích môn Toán, tránh cho em có suy nghĩ môn toán khô khan khó tiếp cận.Tuy vậy, việc truyền đạt kiến thức cho em qua luyện tập, giảng dạy lớp, kiểm tra tập nhà… nhận thấy điều có kĩ giải toán mà học sinh dễ bị ngộ nhận mắc sai lầm giải (kể học sinh giỏi) Từ sâu vào tìm tòi để tìm nguyên nhân từ có biện pháp hữu hiệu để hạn chế sai lầm mà học sinh hay mắc phải Trong chương trình toán THCS với lượng kiến thức lớn chặt chẽ, yêu cầu học sinh cần phải ghi nhớ, môn đại số học sinh giải toán cần phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng hợp lí dạng tập, từ hình thành kĩ sở nắm bắt kiến thức nâng cao Với thân giao trọng trách giảng dạy Môn Toán xác định phải cố gắng nỗ lực để không phụ niềm tin nhà trường phụ huynh học sinh gửi gắm.Tôi nhận thấy việc “ khắc phục sai lầm cho học sinh giải toán đại số ” quan trọng Vì công việc thường xuyên diễn người giáo viên lên lớp, định chọn đề tài “Rèn kỹ cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai” II Mô tả giải pháp Giải pháp trước tạo sáng kiến 1.1 Thực trạng Thực tiễn dạy học môn Toán trường THCS Nam Mỹ có số ưu nhược điểm sau 1/ Học sinh: Ưu điểm : Đại đa số em ngoan , có ý thức động học tâp , lớp ý nghe giảng , nhà có học làm theo yêu cầu GV Hạn chế : a, Kiến thức: - Một số Học sinh hổng kiến thức từ lớp như: + Cộng, trừ, nhân, chia số nguyên + Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỷ + Cộng, trừ, nhân, chia phân thức + Cộng, trừ, nhân, chia đa thức, đơn thức + Các phép tính lũy thừa + Các bước giải số phương trình phương trình bậc ẩn, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình tích + Các bước giải bất phương trình - Chưa thuộc công thức, định lý để áp dụng vào giải tập b Kỹ năng: - Kỹ tính toán học sinh yếu Học sinh biết áp dụng công thức để giải thường bỏ dở tính toán sai, kết sai - Kỹ trình bày yếu nhầm lẫn phép biến đổi “” ; “ =>” Thiếu điều kiện tồn phương trình đối chiếu kết tìm với điều kiện để nhận nghiệm - Trình bày cẩu thả, số viết không rõ ràng - HS thiếu lực hợp tác , tư sáng tạo chưa cao 2/ Giáo viên: Qua năm giảng dạy, thấy việc định hướng lực cho HS giáo viên hạn chế, cho học sinh tìm hiểu đầu bài, phân tích toán, cho học sinh tìm cách chứng minh Học sinh tích cực suy nghĩ trả lời câu hỏi giáo viên, phát giải vấn đề Kết học sinh thuộc vận dụng máy móc , không linh hoạt gặp câu hỏi khó lúng túng chưa nêu bật vấn đề Vì việc giúp học sinh hiểu nhầm lẫn giúp em tránh nhầm lẫn công việc vô cần thiết cấp bách, giúp em có am hiểu vững lượng kiến thức phương trình bậc hai tạo móng để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao sau Thông qua việc dự đồng nghiệp trao đổi chuyên môn nghiệp vụ hướng dẫn học sinh số phương pháp học hiệu quả: Quan sát tượng thực tế liên quan đến học, làm nhiều dạng tập, rèn kỹ thông qua việc kiểm tra đánh giá làm tập nhà học sinh năm học trước bắt đầu hướng dẫn cách học cho em Giáo viên không cung cấp, áp đặt kiến thức có sẵn mà hướng dẫn học sinh phát chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ thông qua hoạt động, hình thành thói quen vận dụng kiến thức toán học vào học tập vào thực tiễn Đặc biệt năm học này, từ đầu năm học đúc rút kinh nghiệm từ năm học trước điều cân thiết việc tạo cho em niềm hứng thú làm dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai tạo niềm yêu thích say mê học tập môn toán Chính lí đó, nên chọn để tài: “Rèn kỹ cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai” để nghiên cứu bước đầu thấy hiệu Giải pháp sau có sáng kiến 2.1 Mô tả giới thiệu nội dung biện pháp tiến hành để giải vấn đề đặt a.Học sinh phải nắm bắt mục tiêu học: - Mục tiêu kiến thức yêu cầu mức độ nhận biết, tái kiến thức cần có mức độ cao vận dụng kiến thức tình huống, nhiệm vụ gắn với thực tế - Với mục tiêu kĩ cần yêu cầu HS đạt mức độ phát triển kĩ thực yêu cầu đến nâng cao dần học - Về tình cảm, thái độ: Học sinh bước đầu làm quen với cách học tập mới, cá nhân độc lập suy nghĩ làm việc theo nhóm, tranh luận lớp Không khí học sôi nổi, vui vẻ, thoải mái, hào hứng Song giáo viên phải uốn nắn đưa vào nề nếp Yêu cầu học sinh trung thực, tỷ mỉ, cẩn thận làm việc cá nhân Khuyến khích học sinh mạnh dạn nêu ý kiến mình, không dựa dẫm vào bạn Có tinh thần cộng tác phối hợp với bạn hoạt động chung nhóm Phân công người việc, lần người trình bày ý kiến tổ, biết nghe ý kiến bạn, thảo luận cách dân chủ Biết kiềm chế mình, trao đổi nhóm đủ nghe không gây ồn ảnh hưởng đến toàn lớp b Về phương pháp dạy học: Ngoài cách dạy học thuyết trình , dạy học giải vấn đề cung cấp kiến thức cần tổ chức hoạt động dạy học thông qua việc giải nhiệm vụ thực tiễn Như qua hoạt động học tập, HS hình thành phát triển loại lực mà hình thành đồng thời nhiều lực trình dạy học c Về nội dung dạy học: Cần xây dựng hoạt động , chủ đề, chủ điểm dạng tập đa dạng nhằm rèn kỹ cho HS d Hình thức dạy học chủ yếu học tập theo lớp, theo nhóm , nhóm nghiên cứu vấn đề, đạt đến kết luận GV Sử dụng rộng rãi có hiệu hình thức làm việc theo nhóm lớp nhằm: - Tạo điều kiện khuyến khích học sinh làm việc tự lực - Tạo điều kiện, không khí thuận lợi để học sinh phát biểu ý kiến cá nhân, phát huy sáng tạo rèn luyện ngôn ngữ - Rèn luyện thói quen phân công, hợp tác giúp đỡ hoạt động tập thể, cộng đồng: Vừa tự nêu ý kiến riêng (dù chưa đầy đủ, xác) Biết sửa lỗi sai , sai lầm tính toán trình bày lời giải cho bạn để sửa Biết tranh luận để bảo vệ ý kiến mình, vừa biết lắng nghe ý kiến bạn Nhờ có ý kiến bạn nhóm mà sửa lại ý kiến sai gợí ýcho suy nghĩ e Kiểm tra, đánh giá trình dạy học Về chất đánh giá lực phải thông qua đánh giá khả vận dụng kiến thức kĩ thực nhiệm vụ HS tình khác 2.2 Các biện pháp cụ thể : Khi giảng dạy phần chuyên đề phương trình bậc II Chúng chia thành dạng Ở dạng hướng dẫn học kỹ lý thuyết , hướng dẫn em học tập theo cá nhân , theo nhóm để dễ dàng HS tự tìm lỗi học sinh hay mắc , sai lầm lời giải tìm cách khắc phục qua giúp em nắm bắt tốt kiến thức, nhớ lâu mà lại không nhàm chán xây dựng thói quen học tập khoa học * Dạng 1: Giải phương trình bậc II Trước hết yêu cầu HS nắm vững lý thuyết cách giải phương trình bậc II 1.1 Cách giải phương trình bậc hai khuyết c dạng : ax2+ bx = Phương pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , giải phương trình tích Ví dụ : Giải phương trình x − x − ⇔ 3x ( x − 2) = ⇔ 3x = ⇔ x = x−2=0⇔ x =2 1.2 Cách gải phương trình bậc hai khuyết b dạng : ax2+ c = Phương pháp : Biến đổi dạng Hoặc x = m( m ≥ 0) ⇔x=± m x − m = ⇔ ( x + m )( x − m ) = ⇔ x+ m =0⇔ x=− m x− m =0⇔ x=− m Ví dụ : Giải phương trình 4x − = ⇔ x = ⇔ x = ± GV tổ chức cho HS làm tập áp dụng giải phương trình bậc hai khuyết a) 7x2 - 5x = ; b) 3x2 +9x = ; c) 5x2 – 20x = d) -3x2 + 15 = ; e) 3x2 - = ; f) 3x2 + = 1.3 Cách giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) Công thức nghiệm Phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) ∆ = b − 4ac * Nếu ∆ > phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1 = -b - ∆ -b + ∆ ; x2 = 2a 2a * Nếu ∆ = phương trình bậc hai có nghiệm kép: x1 = x2 = -b 2a * Nếu ∆ < phương trình bậc hai vô nghiệm ( Hoăc hướng dẫn HS sử dụng công thức nghiệm thu gọn hệ số b = b/ Đây tập không khó, chủ quan học sinh dễ bị mắc phải sai lầm Chẳng hạn ví dụ VD: Giải phương trình x2 – (1 + + Học sinh nhầm lẫn b = (1 + )x+ =0 ) dẫn tới kết sai Giáo viên yêu cầu học sinh xác định rõ hệ số a, b,c ý dấu chúng + Học sinh nhầm lẫn tính = b2 – 4ac = - (1 + = - (1 + =-4-2 )2 - + 3) - -4 Giáo viên phải rõ cho học sinh thấy bình phương số âm phải số dương Yêu cầu học sinh học lại quy tắc lũy thừa số âm + Khi tính = học sinh biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương đa thức Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại đẳng thức bình phương tổng, bình phương hiệu hướng dẫn học sinh phân tích - Khi sử dụng công thức nghiệm thu gọn học sinh ý hệ số b = b/ Những lưu ý HS : - Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nghiệm phương trình bậc II công thức nghiệm thu gọn Trong trình giảng giáo viên kiểm tra học sinh nhắc lại nhiều lần - Trước giải phương trình cần xác định rõ hệ số a,b,c GV tổ chức cho HS làm tập áp dụng giải phương trình bậc hai Bài 1: 1.a) 2x2 - 7x + = c) 6x2 + x - = b)y2 – 8y + 16 = ; d) 6x2 + x + = ; Bài 2: a/ 2x2 - 5x + = b/ 5x2- x + = c/ -3x2 + 2x + = d/ 4x2 - 4x + = e/ - 2x2 - 3x + = f/ 5x2 - 4x + = Bài 3: a/ (x + 2)2 - 3x - = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)2 - x + = (x - 1)(x - 2) c/ 10x2 + 17x + = 2(2x - 1) - 15 d/ x2 + 7x - = x(x - 1) - Bài a, 2x2 - 2 x + = c, b, 2x2 - (1-2 )x - = 2 x - 2x - = 3 d, 3x2 - 2 x = * Dạng 2: Tìm tham số để phương trình bậc II có nghiệm vô nghiệm Giải biện luận phương trình ax + bx + c = (1) Phương pháp: Thực theo bước sau B1  Xét a =  m = ? Thay trực tiếp vào (1)  x = ? B2  Xét a ≠ Ta tính ∆ = b2 – 4.a.c B3   ∆ < 0: phương trình vô nghiệm  ∆ = 0: phương trình có nghiệm số kép x1 = x2 = − b = thay m vào tính 2a nghiệm  ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 , = − b ∆ 2a Từ ta suy ra: a ≠ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt  ∆ > a ≠ Điều kiện để phương trình có nghiệm kép  ∆ =  a =  b ≠ Điều kiện để phương trình có nghiệm  a ≠   ∆ = Vì GV dạy dạng trước tiên phải yêu cầu HS : - Học sinh nắm điều kiện tồn phương trình bậc II - Học sinh phải nắm số nghiệm phương trình bậc hai phụ thuộc vào dấu - Học sinh phải nắm quy tắc giải bất phương trình bậc ẩn, quy tắc giải bất phương trình tích, bất phương trình thương VD1: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm phân biệt 4x2 + 3x + m - = = – 16 (m - 1) = 25 – 16m Học sinh giải sai: Phương trình có nghiệm phân biệt >0 25 -16m > m> Giáo viên yêu cầu học sinh phát lỗi sai chia vế bất phương trình cho số âm BPT không đổi chiều Giáo viên ôn lại cho học sinh phép biến đổi tương đương Bất phương trình Yêu cầu học sinh giải lại VD2: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm phân biệt x2 – mx + m + = = m2 – (m+3) = m2 – 4m – 12 Phương trình có hai nghiệm phân biệt m2 – 4m – 12 > Học sinh phân tích biểu thức m2 – 4m – 12 thành nhân tử 10 Biện luận cho ∆ ≥ với giá trị tham số cách biến đổi ∆ - dạng ∆ = ( A ± B) + m Với m ≥ Ví dụ Cho phương trình x − (m − 2) x + m − = Chứng minh PT cho có nghiệm phân biệt với m Ta cã: a = 1; b = −(m − 2); c = m − ⇒ ∆ = [ − (m − 2)] − 4.1.(m − 5) = (m − 4m + 4) − 4m + 20 = m − 8m + 24 = m − 2.m.4 + + = (m − 4) + > Vì ∆ > với giá trị m nên PT cho có nghiệm phân biệt với m Những lưu ý , yêu cầu HS - Hs nhận dạng PT bậc ẩn, PT bậc II ẩn - Nắm điều kiện tồn PT bậc ẩn, PT bậc II ẩn - Rèn kỹ giải PT VD: Cho PT (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = Chứng minh PT cho có nghiệm với m Hs giải sai: + Chỉ giải trường hợp PT cho PT bậc II (Thiếu trường hợp Pt bậc I) + Thiếu điều kiện hệ số a để tồn PT bậc II Gv hướng dẫn giải: + Pt cho cần điều kiện để PT bậc I ? Cần điều kiện để PT bậc hai + Nêu điều kiện tồn PT bậc II + Hướng dẫn Hs chia hai trường hợp: * m + = m = -2 PT trở thành 5x – = x = *m+2 Tính m -2 PT trở thành PT bậc II = (1- 2m)2 – (m + 2) (m - 3) = 25 > với m 12 Vậy PT có nghiệm phân biệt với m -2 KL: Vậy với m PT có nghiệm Giáo viên hướng dẫn học sinh: N xét x = nghiệm PT suy PT có nghiệm với m GV tổ chức cho HS làm tập áp dụng Bài Cho phương trình: 2x2 – mx + m – = Chứng minh phương trình có nghiệm với m Bài Cho phương trình: x2 – (k – 1)x + k – = 1/Giải phương trình k = 2/Chứng minh phương trình có nghiệm với k Bài 3: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – = Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m *Dạng 4: Tìm tham số để PT có nghiệm cho trước Phương pháp Cách tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước +) Ta thay x = x1 vào phương trình cho tìm giá trị tham số Cách tìm nghiệm thứ Thay giá trị tham số tìm vào phương trình giải phương trình Hoặc cách Muốn tính nghiệm lại Dùng Viet cho tích số x 2.x1 = P suy nghiệm lại Ví dụ Cho phương trình: x2 – x + 2m – = (1) a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 = b) Tìm nghiệm lại Giải a/ Thay x1 = vào phương trình (1) ta có 12 − + 2m − = ⇔ 2m = ⇔ m = Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 = b/ Thay m = Vào PT (1) Ta có : 13 x − x + 2.3 − = ⇔ x − x = ⇔ x( x − 1) = Vậy nghiệm thứ hai phương trình (1) lµ x = x=0 Những lưu ý , yêu cầu HS ⇔ x =1 - Học sinh nắm định nghĩa nghiệm PT - Nắm cách giải PT bậc nhất, PT bậc II GV tổ chức cho HS làm tập áp dụng Bài 1Tìm m để phương trình có nghiệm cho trước, tính nghiệm kia? a/ 2x2 − (m + 3)x + m − = ; x1 = b/ mx2 − (m + 2)x + m − = ; x1 = c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + = ; x1 = d/ (4 − m)x2 + mx + − m = ; x1 = e/ (2m − 1)x2 − 4x + 4m − = ; x1 = −1 f/ (m − 4)x2 + x + m2 − 4m + = ; x1 = −1 g/ (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − = ; x1 = h/ x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m = ; x1 = Bài 2Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + m – = a)Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt ? b)Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = Tính nghiệm x2 lại ? Bài Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – = a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ? b)Xác định m để phương trình có nghiệm x1 = 2; tính nghiệm x2 lại ? Bài ; Cho phương trình : (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x + m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? b)Định m để phương trình có nghiệm ? Tính nghiệm lại ? * Dạng 5: Hệ thức Viet ứng dụng: Phương pháp: Định lý Vi-ét : Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) S = x1 + x2 = p = x1x2 = b a c a 14 * Đảo lại : Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm x2 – S x + p = phương trình bậc hai : Yêu cầu HS - Học sinh phải thuộc hệ thức Viet, công thức nhẩm nghiệm - Rèn kỹ tính toán - Trước sử dụng hệ thức Viet phải kiểm tra xem phương trình bậc II có nghiệm không Nếu phương trình có chứa tham số phải tìm điều kiện tham số để phương trình cho có nghiệm VD1: Không giải phương trình, dùng hệ thức viết tính tổng tích nghiệm phương trình sau ( ) x2 + 2x + ( Học sinh giải sai: x1 + x2 = )=0 = x1 x2 = = Giáo viên cho học sinh kiểm tra xem phương trình có nghiệm không Bằng cách tính / / = 12 - ( )( ) = - < PT vô nghiệm Giáo viên chốt: Ta sử dụng hệ thức Viet phương trình bậc hai có nghiệm VD2: Dùng công thức nhẩm nghiệm để nhẩm nghiệm PT sau: 3x2 – (3 + )x+ a + b + c = + [-(3+ =3-3- =0 )] + + =0 Học sinh hay nhầm lẫn phá ngoặc có dấu “-” đứng trước Giáo viên ôn lại quy tắc phá ngoặc có dấu cộng, dấu trừ đứng trước VD3: Hãy chứng tỏ phương trình 2x2 + 5x + = có nghiệm -2 Hãy tìm nghiệm ? 15 Học sinh chứng minh x = -2 nghiệm phương trình Giáo viên nhắc lại cho học sinh khái niệm nghiệm phương trình Và hướng dẫn học sinh tìm nghiệm lại theo hệ thức Viet Cách 1: x1 + x2 = Cách 2: x1 x2 = VD4:Tìm hai số u, v trường hợp sau: u – v = -2 u v =80 Học sinh giải sai: u v hai nghiệm phương trình x2 + 2x + 80 = Giáo viên rõ cho học sinh lỗi sai: Đầu không cho u+v mà cho u - v Vậy ta coi u số thứ – v số thứ hai Ta có u + (-v) = -2 Vậy u.(-v) = -80 Ta có u –v nghiệm phương trình x2 + 2x + 80 = VD5: Tìm m để phương trình sau có tích nghiệm x2+ (2m + 1)x + m2 + 5m = Học sinh giải sai: Phương trình cho có x1 x2 =6 m2 +5m= m1 = m2 = -6 Giáo viên sửa lỗi sai: Chưa tìm điểu kiện để phương trình cho có nghiệm Phương trình có nghiệm - 16m -1 m Đối chiếu điều kiện m1 = > loại; m = -6 < thỏa mãn VD6: Tìm a để PT (a - 2) x2 – (a - 4)x – = có nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm Hs giải sai: - Không đặt điều kiện tồn phương trình bậc II 16 - Hs không phân tích để tìm mối liên hệ nghiệm x1 x2 Gv hướng dẫn Hs giải: - Tìm điều kiện để PT cho PT bậc II: a – - Tìm điều kiện để PT có nghiệm: / = a2 a với a - PT có nghiệm gấp đôi nghiệm : x1 = 2x2 x2 = 2x1 x1 – 2x2 = x2 – 2x1 = (x1 – 2x2) (x2 – 2x1) = Giáo viên chốt cách giải: + B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm + B2: Áp dụng hệ thức Viet tính tổng, tích nghiệm + B3: Biểu diễn biểu thức cho theo tổng tích nghiệm rổi giải theo yêu cầu để xác định giá trị tham số + B4: Đối chiếu giá trị tham số vừa tìm để đưa kết luận * Dạng 6: Giải toán cách lập phương trình - Học sinh phải nắm bước giải toán cách lập phương trình - Khi giải ý chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn viết đơn vị có - Biết tìm mối liên hệ kiện toán để lập phương trình - Chia thành dạng toán: Toán tìm số, toán chuyển động, toán công việc… VD: Một tàu thủy xuôi dòng sông từ A đến B dài 48 km ngược dòng từ B A hết Tính vận tốc tàu thủy Biết vận tốc dòng nước km/h Học sinh giải sai: +Gọi vận tốc tàu thủy x (km/h) ĐK x Z + Khi giải phương trình x1 = 20, x2 = -4 Không loại nghiệm x = -4 Giáo viên sửa lỗi sai: Khi chọn ẩn ý đặt điều kiện cho ẩn + Nếu đại lượng chọn làm ẩn đại lượng đo lường đặt điều kiện x > + Nếu đại lượng chọn làm ẩn đại lượng người, vật, đồ vật, cối… đặt điều kiện x Z+ x N* + Trong trình tìm mối liên hệ kiện để lập phương trình, cần ta bổ sung điểu kiện cho ẩn 17 * Dạng 7: Phương trình quy phương trình bậc hai Phương trình tích: phương trình có vế không, vế lại tích nhân tử chứa ẩn  A1 ( x ) = (1)  A ( x ) = (2) A1 ( x) A2 ( x) An ( x) = ⇔     An ( x ) = (n) Ta giải n phương trình (1), (2), , (n) lấy tất nghiệm chúng Ví dụ Giải phương trình: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + Giải: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + ⇔ (2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 = ⇔ (2x2 + x – + 2x - 1)(2x2 + x – - 2x + 1) =  2x +3x - = (1) ⇔ (2x + 3x - 5)(2x - x - 3) = ⇔   2x - x - = (2) 2 Giải phương trình (1) (2) ta x1 = 1; x2 = -2,5; x3 = -1; x4 = 1,5 Vậy S = { x1 = 1; x = -2,5; x = -1; x = 1,5} Nhận xét:- Loại phương trình em HS làm quen từ lớp - THCS Lên lớp 9, sau học xong phương trình bậc hai ẩn, để giải phương trình bậc cao (bậc lớn 2), HS THCS thường dùng phương pháp biến đổi đưa phương trình tích Muốn HS phải có kĩ phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ cần phân tích thành tích nhân tử bậc bậc hai) - Chú ý tới tính chất phương trình bậc ba: ax + bx + cx + d = Nếu a + b + c + d = phương trình có nghiệm x = Nếu a – b + c – d = phương trình có nghiệm x = -1 - Đa thức bậc n có hệ số nguyên Nếu có nghiệm nguyên nghiệm nguyên phải ước hệ số tự (Định lí tồn nghiệm nguyên phương trình với hệ số nguyên).Khi nhận biết nghiệm (chẳng hạn x = x 0), ta phân tích vế trái phương trình thành nhân tử (chứa nhân tử x – x 0) *Ví dụ Giải phương trình: x3 + x − x − = (*) Hướng dẫn: Chú ý – + (- 3) – (- 8) = => (*) có nghiệm x = -1, 3 2 từđóphântíchđược: x + x − x − = ( x + x ) + ( x + x ) − (8 x + 8) = x ( x + 1) + x( x + 1) − 8( x + 1) = ( x + 1) ( x + x − ) 18 Kết luận: Phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = −5 + 89 −5 − 89 ; x3 = 4 Phương trình chứa ẩn mẫu:Loại phương trình này, HS làm quen từ lớp dạng phương trình thường gặp chương trình toán THCS 2.1 Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu, ta thường giải theo bước sau:Bước Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình; Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức; Bước Giải phương trình nhận được; Bước Kết luận: Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thoả mãn ĐKXĐ, giá trị thoả mãn ĐKXĐ nghiệm phương trình cho 2.2 Ví dụ: Giải phương trình: 3x x2 + − = 2x − x +1 x −1 Giải:- ĐKXĐ: x ≠ ± Khi (*) ⇔ ⇒ (*) 3x x2 + − = 2( x − 1) x + ( x − 1)( x + 1) x( x + 1) − 2( x − 1) = 2( x + 2) ⇔ x + x − x + = x + ⇔ x + x − x + − x − = ⇔ x + x − = (**) Giải phương trình (**), ta x1 = (không thoả mãn ĐKXĐ) x2 = - (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = - 2.3 Lưu ý: + Trong thực hành, cần lưu ý việc kiểm tra giá trị tìm ẩn (sau bước 3) Một phương trình chứa ẩn mẫu vô nghiệm bước không tìm giá trị ẩn vô nghiệm giá trị tìm bước không thoả mãn ĐKXĐ + Cách giải cách giải thường dùng nên áp dụng với phương trình mà sau ta quy đồng, khử mẫu vế phương trình bậc không lớn 2, không phức tạp Đối với số dạng phương trình chứa ẩn mẫu đặc biệt, ta phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải Ví dụ: Giải phương trình: 2x x −3 − = x − 3x + x + x + 2 Giải: -ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠ Ta thấy x = không nghiệm phương trình Chia tử mẫu phân 19 thức cho x ≠ 0, ta được: 2x − + x − 1 2x +1+ x = −3 Đặt 2x + = x t, phương trình trở thành: −3 − = (*) (ĐK: t ≠ - 1; t ≠ 3) t − t +1 => 4t + – 2t + = -3(t2 – 2t – 3) 3t2 - 4t + = t1 = 1; t2 = (đều thoả mãn ĐK t) -Với t1 = 1, ta có: 2x + 1 1 = (vô nghiệm) ; với t2 = , ta có: 2x + = (vô x x nghiệm).Vậy phương trình cho vô nghiệm *Chú ý : Dùng phương pháp giải trên, giải phương trình có dạng sau : Dạng1: mx nx + =c ax + px + b ax + qx + b ax + mx + b ax + nx + b ax + mx + b nx + = + =0 Dạng2 : Dạng 3: 2 ax + px + b ax + qx + b ax + px + b ax + qx + b Phương trình trùng phương: 3.1 Định nghĩa: Phương trình trùng phương phương trình có dạng ax + bx2 + c = 0, a, b, c số cho trước, a ≠ 3.2 Cách giải:-Khi giải dạng phương trình này, ta thường đưa phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ x2 = t (t ≥ 0), ta có phương trình bậc hai trung gian : at2 + bt + c = -Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau trả biến: x = t Nếu giá trị tìm t thoả mãn t ≥ 0, ta tìm nghiệm phương trình ban đầu 3.3 Ví dụ: *Ví dụ 1: Giải phương trình: x − x − = (1) Giải: Đặt x2 = t, ĐK: t ≥ Phương (1) trở thành 3t2 - 2t - = (1’) Giải (1’) ta được: t1 = (thoả mãn ĐK); t2 = Với t1= => x2 = => x = ± 1;Với t2 = (thoả mãn ĐK) 1 => x2 = x = ± 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1 ; x4 = − 3 3.4 Nhận xét : Về số nghiệm phương trình trùng phương, ta thấy: 20 + Phương trình trùng phương vô nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm, có nghiệm âm + Phương trình trùng phương có nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm + Phương trình trùng phương có nghiệm phân biệt (khi cặp nghiệm đối nhau) phương trình bậc hai trung gian có nghiệm dương phân biệt + Phương trình trùng phương có nghiệm phân biệt (1 nghiệm nghiệm lại đối nhau) phương trình bậc hai trung gian có nghiệm nghiệm dương III Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đem lại: Chúng áp dụng sáng kiến vào giảng dạy trường THCS Nam Mỹ Qua việc đối chiếu, so sánh suy ngẫm, thấy thực hiệu quả, em phát triển nhiều lực, khả vận dụng kiến thức tốt hơn, em thể rõ nét tính tích cực, chủ động, hòa đồng, có trách nhiệm trước tập thể Sau vận dụng việc day – hoc vào giảng dạy cho học sinh điều tra cho kết sau: Biểu học tập HS Biểu học tập HS Những năm trước HS giơ tay phát biểu, lớp B (thực nghiệm) HS hăng hái trả lời câu hỏi GV bổ sung theo phong trào, yêu cầu trả câu trả lời bạn, chỗ được, chưa lời im lặng tìm trợ nêu lí do, nguyên nhân chưa giúp, trả lời không nội Có câu trả lời chưa hoàn toàn đủ dung câu hỏi Học sinh thuộc thể tích cực tham gia vào hoạt động Hs nhanh quên kiến thức nhớ lâu, hiểu chất mối liên hệ không hiểu sâu chất Tham gia hoạt động theo chất, khái niệm HS thích thú tham gia vào hoạt động: Suy hướng dẫn giáo viên nghĩ, trao đổi, thảo luận, thực hành, để lĩnh hội tư duy, động não Thiếu tập trung vào nội dung kiến thức Tập trung ý vào vấn đề học, kiên học, hứng thú với trì hoàn thành nhiệm vụ giao nhiệm vụ giao Ít đặt câu hỏi với GV với bạn Hay hỏi bạn giáo viên nội dung học nội dung học 21 Chỉ số thành viên (nhóm Trao đổi nhau, có phân công cụ thể cho trưởng, thư kí) làm việc thành viên tham gia thực vào hoạt nhóm, thành viên khác động, ý kiến cá nhân tôn trọng đến làm, thường ngồi im, xem, quan thống ý kiến sát bạn làm Kêt học tập chưa cao, thiếu Ghi nhớ kiến thức lớp, học thoải mái, chủ động, phụ thuộc nhiều vào tính độc lập cao, không chờ đợi, lệ thuộc vào GV giúp đỡ GV Có kỹ tốt Với lượng kiến thức ngày nâng cao khó thêm, học sinh gặp khó khăn để ghi nhớ kiến thức đồ sộ tất môn học đầu Vì thế, cần truyền đạt kiến thức thầy, cô giáo tới học sinh cách dễ hiểu Từ thấy cần phải học hỏi nhiều nữa, nghiên cứu nhiều loại sách để bổ trợ cho môn toán Giúp thân ngày vững vàng kiến thức phương pháp giảng dạy, giúp cho học sinh không coi môn toán môn học khô khan đáng sợ Đồng thời không với môn đại số mà cần tiếp cận với mảng kiến thức khác môn toán để giảng dạy kiến thức truyền đạt tới em không cứng nhắc áp đặt * Kiến nghị: Đối với giáo viên cần có thời gian nghiên cứu Trong trình giảng dạy phải giúp học sinh tổng hợp kiến thức học từ đo giúp em tự tin có tảng kiến thức vững để học THPT Với kết sáng kiến kinh nghiệm này, mong bạn đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ, góp ý để vững vàng hơn, tự tin nghiệp trồng người, hoàn thành tốt nhiệm vụ GD cấp ngành giao phó Tôi xin chân thành cảm ơn! IV Cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin cam kết không chép vi phạm quyền Nam Mỹ, ngày tháng 02 năm 2016 22 Duyệt Tổ chuyên môn Người viết sáng kiến kinh nghiệm Ngô Thị Thuý Mai CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận) (Ký tên, đóng dấu) PHÒNG GD&ĐT (xác nhận, đánh giá, xếp loại) ( ký tên, đóng dấu) TÀI LIỆU THAM KHẢO: Chủ biên Nhà xuất SGK Toán 9… ………… Phan Đức Chính …………Giáo dục SBT Toán ………………Phan Đức Chính …………Giáo dục SGVToán 9…………………………………… ……… Giáo dục Sách nâng cao phát triển T9 ………………………Giáo dục Ôn luyên toán THCS Vũ Hữu Bình ……… Giáo dục Chuyên đề Phương trình bậc hai … Nguyễn Văn Hinh …NXB Hà Nội 23 24 25 26 ... cao 2/ Giáo viên: Qua năm giảng dạy, thấy việc định hướng lực cho HS giáo viên hạn chế, cho học sinh tìm hiểu đầu bài, phân tích toán, cho học sinh tìm cách chứng minh Học sinh tích cực suy nghĩ... 1.Tên sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm : Rèn kỹ cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai 2.Lĩnh vực áp dụng Học sinh lớp trường THCS Nam Mỹ 3.Thời gian áp dụng Từ ngày... Thông qua việc dự đồng nghiệp trao đổi chuyên môn nghiệp vụ hướng dẫn học sinh số phương pháp học hiệu quả: Quan sát tượng thực tế liên quan đến học, làm nhiều dạng tập, rèn kỹ thông qua việc