Bài tập chương −1 −4 Bài 1.1 Cho A = −2 −3 2 ,B = 3A ± 2B a) Tính b) Tìm ma trận C cho 2A + 3B − 4C = Bài 1.2 Tính tích sau:    −1 0  a)  −1   −1 −1 2 1 −2  b) 1 1 −2   −1  −1 −1   −1  −3 −3 Bài 1.3 Tính A A AA với 3 a) A = ;   b) A =   Bài 1.4 Tính AB − BA trường hợp sau: −1 a) A = , B= −3 −4 ;     0 b) A =   , B =   0 Bài 1.5 Tìm hai ma trận A, B khác ma trận cho AB ma trận không Bài 1.6 Cho A = diag(2, 3, 1, 4) B = diag(1, −1, 3, 2) Tính a) A + B b) 2A − 3B c) AB d) A3 Bài 1.7 Cho A = diag(a1 , a2 , , an ) Chứng minh rằng, với k ∈ N ta có Ak = diag(ak1 , ak2 , , akn ) Bài 1.8 Tính Ak , k ∈ N trường hợp sau: a) A = −1 −2 b) A = −1 c) A = 1   1 d) A =  1  1   1 e) A =  1  0   1 f) A =  0  0   1  g) A =  −2 −1 −3 Bài 1.9 Cho A = cos θ − sin θ Bằng quy nạp toán học, chứng minh sin θ cos θ An = cos nθ − sin nθ , ∀n ∈ N sin nθ cos nθ Bài 1.10 Cho A, B ∈ Mn (R) cho AB = BA Chứng minh rằng: a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B b) A2 − B = (A + B)(A − B) Bài 1.11 Tìm ma trận A cho A = A2 = Bài 1.12 Hãy xác định f (A) trường hợp sau: a) A = −1 −2 ; f (x) = 2x3 + 3x2 − 7x + b) A = ; f (x) = 3x3 − 2x2 − x +   1 c) A =  1  ; f (x) = 4x2 − 3x + 1 Bài 1.13 Cho A, B ∈ Mn (R) a) Giả sử A9 = A20 = In Chứng minh A = In b) Giả sử A2 B = A3 B = A8 B = In Chứng minh A = B = In c) Giả sử ABA = BAB = A4 B = In Chứng minh A = B = In Bài 1.14 Một ma trận A ∈ Mn (R) gọi lũy đẳng A2 = A   −2 −4 4 ma trận lũy đẳng a) Kiểm tra E = −1 −2 −3 b) Chứng minh rằng, A, B ∈ Mn (R) cho AB = A BA = B A B ma trận lũy đẳng c) Chứng minh rằng, A, B ∈ Mn (R) cho A B lũy đẳng A+B lũy đẳng AB = BA = Bài 1.15 Xác định hạng ma trận sau cách đưa ma trận dạng bậc thang:   1 a) A =     b) A =   12   c) A =     −3 d) A =  −2  −4   −2 −1  −2   e) A =   1 13  −2 −6 10 Bài 1.16 Tìm biện luận hạng ma trận sau theo tham số m ∈ R:   1 −3 a) A =  m  m   m 1 b) A =  m  1 m   1 3  m   c) A =   −1    m 0  m 0   d) A =   m  0 m Bài 1.17 Tìm dạng tắc theo dòng ma trận sau:   1 a) A =   0   b) A =   0   −2 −1  −2   c) A =   1 13  −2 −6 10   d) A =   2  −1 −5   −1  −7 Bài 1.18 Tìm nghịch đảo ma trận sau (nếu có): a) A = b) A = 2 c) A = sin θ − cos θ cos θ sin θ , θ ∈ R Bài 1.19 Tìm nghịch đảo ma trận sau (nếu có):   a) A =  −1    −2 b) A =  −3  1   3 −1  c) A =  −1 −4 −4 −3   13 −8 −12 d) A =  12 −7 −12  −4 −5   −4 e) A =  −1  13 −6 Bài 1.20 Tìm nghịch đảo ma trận sau (nếu có):           0  0 a) A =   −1 1 0  1 b) A =   −1 0   1 1  1 −1 −1   c) A =   −1 −1  −1 −1 Bài 1.21 Cho A = diag(a1 , a2 , , an ) Chứng minh A khả nghịch a1 a2 an = Trong trường hợp A khả nghịch, tìm A−1 Bài 1.22 Cho A, B ∈ Mn (R) Chứng minh rằng, AB khả nghịch A B khả nghịch Bài 1.23 Cho A, B ∈ Mn (R) Chứng minh rằng, AB = A + B A B giao hoán nhau, nghĩa AB = BA Bài 1.24 Giải phương trình ma trận a) b) X c) −1 −1 2 −1 X= X = −2 −1 −1 = −2     −3 −2  Bài 1.25 Cho A =  −1  B =  −1 −1 −2 a) Chứng minh A khả nghịch tìm A−1 b) Tính B tìm ma trận X thỏa mãn AXA = −2I3   −6  B = Bài 1.26 Cho A =  −2 −3 −5 −1 −3 a) Chứng minh A khả nghịch tìm A−1 b) Tìm ma trận X thỏa mãn điều kiện XA = B  −1 −3 Bài 1.27 Cho A =  1 , B =  −2 −1 −2  C = 3 −1 −2 a) Chứng minh A B khả nghịch tìm nghịch đảo chúng b) Tìm ma trận X thỏa mãn điều kiện AXB = C     −1 −1 −1 −2  B =  −4 −1  Bài 1.28 Cho A =  −2 −1 1 −1 −3 a) Chứng minh A khả nghịch tìm A−1 b) Tìm ma trận X thỏa A2 XA = ABA Bài 1.29 Giải hệ phương trình sau:   5x − 3y + 2z = 1; 2y − 5z = 2; a)  4z =   2x + 4y − 5y + b)  z = 11; z = 2; 3z = −9  2x − 3y + 5z − 2t =    5y − z + 3t = c) 7z − t =    2t = 9; 1; 3; Bài 1.30 Giải hệ phương trình sau: a) x1 + 4x2 − 3x3 + 2x4 = 5; x3 − 4x4 =   2x1 − 3x2 + 6x3 + 2x4 − 5x5 = 3; x2 − 4x3 + x4 = 1; b)  x4 − 3x5 =   3x1 + 2x2 − 5x3 − 6x4 + 2x5 = 4; x3 + 8x4 − 3x5 = 6; c)  x4 − 5x5 = Bài 1.31 Giải hệ phương trình sau:   2x1 + x2 − 2x3 = 10; 3x1 + 2x2 + 2x3 = 1; a)  5x1 + 4x2 + 3x3 =   x1 − 2x2 + x3 = 7; 2x1 − x2 + 4x3 = 17; b)  3x1 − 2x2 + 2x3 = 14   x1 + 2x2 − 3x3 = 1; 2x1 + 5x2 − 8x3 = 4; c)  3x1 + 8x2 − 13x3 = 7   2x1 − 5x2 + 3x3 + 2x4 = 4; 3x1 − 7x2 + 2x3 + 4x4 = 9; d)  5x1 − 10x2 − 5x3 + 7x4 = 22   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2; 2x1 + 5x2 − 2x3 + x4 = 1; e)  5x1 + 12x2 − 7x3 + 6x4 = Bài 1.32 Giải hệ phương trình tuyến tính sau:   x1 + 2x2 + x3 = 0; 2x1 + 5x2 − x3 = 0; a)  3x1 − 2x2 − x3 =   x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0; 2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 0; b)  5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 =  x1    2x1 c) x1    3x1 − 2x2 − x3 − 3x2 + x3 + x2 + 8x3 − 5x2 + x4 + 5x4 − 5x4 + 9x4 = = = = 0; 0; 0; Bài 1.33 Cho hệ phương trình   x1 + x2 − x3 = 1; 2x1 + 3x2 + kx3 = 3;  x1 + kx2 + 3x3 = Xác định giá trị k ∈ R cho: a) hệ có nghiệm nhất; b) hệ vô nghiệm; c) hệ có vô số nghiệm Bài 1.34 Cho hệ phương trình   kx1 + x2 + x3 = 1; x1 + kx2 + x3 = 1;  x1 + x2 + kx3 = Xác định giá trị k ∈ R cho: a) hệ có nghiệm nhất; b) hệ vô nghiệm; c) hệ có vô số nghiệm Bài tập chương Bài 2.1 Tính định thức cấp sau: a) 1 −2 ; −3 c) −2 −1 −3 −2 ; e) −2 ; −1 b) −2 −4 −1 ; d) ; −2 g) −3 Bài 2.2 Tính định thức cấp sau: a) 1 1 1 x y ; z t c) 1 1 1 ; 10 10 20 e) 1 0 1 0 1 0 ; 1 g) 1 1 a b a c b ; c b) 1 1 1 1 1 ; d) 4 4 ; f) 1 1 1 1 1 ; 1 h) 1 1 1 16 27 64 Bài 2.3 Chứng tỏ giá trị định thức sau 0: a) a+b c b+c a ; c+a b c) x p ax + bp y q ay + bq ; z r az + br b) ab a2 + b2 (a + b)2 bc b2 + c2 (b + c)2 ; ca c2 + a2 (c + a)2 d) sin α cos α sin(α + θ) sin β cos β sin(β + θ) ; sin γ cos γ sin(γ + θ) + 2a + 2b + 2c + 2d a b c d x x ; f) x x a b e) c c+b  a Bài 2.4 Cho ma trận A =  d g   4a 4b 4c a)  d e f  ; g h i   d e f c)  a b c  ; g h i b c c a a b b+a a+c  b c e f  có detA = Tính định thức sau: h i   2a b −c b) 2d e −f  ; 2g h −i   c b 3a d) i h 3g  ; f e 3d   a + 2b b c c)  d + 2e e f  ; g + 2h h i   4a 8b 4c c)  d 2e f  ; g 2h i   a b c d) d + 5a e + 5b f + 5c  ; −g −h −i   −a b − 3a c + 2a d) −d e − 3d f + 2d  −g h − 3f i + 2g Bài 2.5 Cho A ∈ Mn (R) A có nhiều n2 − n hệ số Chứng minh detA = Bài 2.6 Cho A ∈ Mn (R) α ∈ R Chứng tỏ det(αA) = αn detA Bài 2.7 Cho A ∈ Mn (R), n lẻ Chứng tỏ rằng, A ma trận phản xứng (nghĩa A = −A) detA = Bài 2.8 Tìm ma trận phụ hợp ma trận sau:     −4 ; a)   ; b)  −4 1 −1   c)   ;    ; d)  −2 −3  −4  −3 ; e) −5 −1   f)   0 1 0 1 10  1    Bài 2.9 * Cho Z tập hợp số nguyên A ∈ Mn (Z) Chứng tỏ detA ∈ Z, đồng thời A khả nghịch A−1 ∈ Mn (Z) ⇔ |detA| = Bài 2.10 Hãy tính định thức sau cho biết ma trận tương ứng khả nghịch? a) a2 a a a2 ; a2 a c) −1 x x x −1 x ; x x −1 e) a b c d 1 1 1 1 ; g) a a a a a b b b a b c c a b ; c d b) x + 2x + 3x + 2x + 3x + 4x + ; 3x + 5x + 10x + 17 d) a − b + c a − b b + 2c + 2a b − c + a b − c c + 2a + 2b ; c − a + b c − a a + 2b + 2c f) a b c a c b h) a x x b x a b x b c a x b a x c b ; a b x x a Bài 2.11 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau cách áp dụng công thức định thức:     a)   ; b)   ; 1   −4 ; c)  −4 −1   d)   ;    1 1 1 1   −1 −1  −1 −1   ; f)   e)   −1  −1 −1  0  0 −1 −1 −1  Bài 2.12 Tìm điều kiện tham số để ma trận sau khả nghịch, sau tìm ma trận nghịch đảo tương ứng nó:   a bc a)  b ca  ; c ab   a b b)  ab ; b a 11   −3 c)  −7 m +  −m 2m Bài 2.13 Giải hệ phương trình sau cách áp dụng quy tắc Cramer   x1 + x2 − 2x3 = 6; 2x1 + 3x2 − 7x3 = 16; a)  5x1 + 2x2 + x3 = 16   7x1 + 2x2 + 3x3 = 15; 5x1 − 3x2 + 2x3 = 15; b)  10x1 − 11x2 + 5x3 = 36   x1 + x2 + 2x3 = 1; 2x1 − x2 + 2x3 = 4; c)  4x1 + x2 + 4x3 =   3x1 + 2x2 + x3 = 5; 2x1 + 3x2 + x3 = 1; d)  2x1 + x2 + 3x3 = 11  x1    x1 e) 2x    x1 + x2 + 2x2 + 3x2 + x2 + x3 + 3x3 + 5x3 + 2x3 + x4 + 4x4 + 9x4 + 7x4 = = = =  2x1    x1 f) 3x1    2x1 + x2 + x2 + 6x2 + 2x2 + − − + 5x3 3x3 2x3 2x3 + x4 − 4x4 + x4 − 3x4 = 5; = −1; = 8; =  x1    x1 g) 4x1    3x1 + x2 + 2x2 + x2 + 2x2 + x3 + 3x3 + 2x3 + 3x3 + x4 + 4x4 + 3x4 + 4x4 = = = = 5; 3; 7;  2x1    3x1 h) 3x    3x1 − x2 + 3x2 − x2 − x2 + 3x3 + 3x3 − x3 + 3x3 + 2x4 + 2x4 − 2x4 − x4 = = = = 4; 6; 6; 2; 2; 2; Bài 2.14 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:  x2 + x3 = 1;  mx1 + x1 + mx2 + x3 = m; a)  x1 + x2 + mx3 = m2 12   ax1 + x2 + x3 = 4; x1 + bx2 + x3 = 3; b)  x1 + 2x2 + x3 =  3x3 = 1;  x1 + (m − 1)x2 − 2x1 − 4x2 + (4m − 2)x3 = −1; c)  3x1 + (m + 1)x2 − 9x3 =  mx2 + (m + 1)x3 = m − 1;  (2m + 1)x1 − (m − 2)x1 + (m − 1)x2 + (m − 2)x3 = m; d)  (2m − 1)x1 + (m − 1)x2 + (2m − 1)x3 = m,  2x2 + x3 = m;  (m + 2)x1 + (m − 5)x1 + (m − 2)x2 − 3x3 = 2m; e)  (m + 5)x1 + 2x2 + (m + 3)x3 = 3m,   mx1 + 2x2 + 2x3 = 2; 2x1 + mx2 + 2x3 = m; f)  2x1 + 2x2 + mx3 = m,   (3m + 5)x1 + (m + 2)x2 + (m + 1)x3 = m; (4m + 5)x1 + (m + 2)x2 + (2m + 1)x3 = m; g)  (3m + 5)x1 + (2m + 1)x2 + 2x3 = m,  x2 + 2x3 = m;  (m + 1)x1 + (m − 2)x1 + (m − 3)x2 + x3 = −m; h)  (m + 2)x1 + 3x2 + (m − 1)x3 = 2m,   (2m + 1)x1 + (m − 2)x2 + (m + 2)x3 = m − 1; (2m − 1)x1 + (2m − 5)x2 + mx3 = m − 1; k)  (3m + 4)x1 + (m − 2)x2 + (2m + 5)x3 = m − Bài 2.15 Cho hệ phương trình phụ thuộc vào tham số a, b ∈ R:   x1 + 2x2 + ax3 = 3; 3x1 − x2 − ax3 = 2;  2x1 + x2 + 3x3 = b a) Xác định a để hệ có nghiệm nhất; b) Xác định a, b để hệ có vô số nghiệm tìm nghiệm tương ứng Bài tập chương Bài 3.3 Thưc phép tính: 13 a) (3, −4, 5, −6) + (1, 1, −2, 4) b) −3(4, −5, −6) + 2(1, 3, 2) Bài 3.4 Cho u = (3, −2, 1, 4) v = (7, 1, −3, 6) Tính: a) u + v b) 4u c) 2u − 3v Bài 3.5 Trong câu sau, xét xem vectơ u có tổ hợp tuyến tính vectơ u1 , u2 , u3 hay không? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính (nếu có)? a) u = (1, 3, 2), u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1) b) u = (1, 4, −3), u1 = (2, 1, 1), u2 = (1, −1, 1), u3 = (1, 1, −2) c) u = (4, 1, 2), u1 = (1, 2, 3), u2 = (2, 1, 2), u3 = (1, −1, −1) d) u = (1, 3, 5), u1 = (1, 2, 3), u2 = (3, 2, 1), u3 = (2, 1, 0) Bài 3.6 Trong câu sau, xét xem vectơ u có tổ hợp tuyến tính vectơ u1 , u2 , u3 hay không? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính (nếu có)? a) u = (10, 6, 5, 3), u1 = (1, 1, −1, 0), u2 = (3, 1, 2, 1), u3 = (2, 1, 3, 1) b) u = (1, 1, 1, 0), u1 = (1, 1, 0, 1), u2 = (1, 0, 1, 1), u3 = (0, 1, 1, 1) c) u = (1, 3, 7, 2), u1 = (1, 2, 1, −2), u2 = (3, 5, 1, −6), u3 = (1, 1, −3, −4) Bài 3.7 Trong câu sau, tìm mối liên hệ a, b, c, d để vectơ u = (a, b, c, d) tổ hợp tuyến tính vectơ u1 , u2 , u3 a) u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (1, 1, 2, 1), u3 = (1, 1, 1, 2) b) u1 = (1, 1, 1, 0), u2 = (1, 1, 0, 1), u3 = (1, 0, 1, 1) c) u1 = (1, −2, 0, 3), u2 = (2, 3, 0, −1), u3 = (2, −1, 2, 1) Bài 3.8 Xét xem vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 1, 1), u3 = (0, 1, −1); b) u1 = (−1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (1, 5, 3); c) u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1, −1), u3 = (0, 1, −2, 2) d) u1 = (1, 2, 3, −4), u2 = (3, 5, 1, 1), u3 = (1, 1, −5, 9) e) u1 = (1, 3, 1, −1), u2 = (2, 5, 1, 1) u3 = (1, 1, −3, 13), u4 = (1, 3, 2, −5) Bài 3.9 Xét xem đa thức sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 14 a) f1 = + 2t − 5t2 , f2 = −4 − t + 6t2 , f3 = + 3t − 4t2 ; b) f1 = − 2t, f2 = − t + t2 , f3 = − 7t + 10t2 ; c) f1 = − 2t + 3t2 , f2 = + t + 4t2 , f3 = + 5t + 9t2 ; d) f1 = + 2t − 3t2 − 2t3 , f2 = + 5t − 8t2 − t3 , f3 = + 4t − 7t2 + 5t3 Bài 3.10 Xét xem ma trận sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) A1 = , A2 = 1 , A3 = b) A1 = −2 , A2 = c) A1 = , A2 = d) A1 = , A2 = 1 ; 1 , A3 = −1 −1 , A3 = ; ; , A3 = 8 −5 ; Bài 3.11 Cho V không gian vectơ u, v, w ∈ V Chứng minh rằng, {u, v, w} độc lập tuyến tính {u + v, v + w, w + u} độc lập tuyến tính Bài 3.12 Trong tập hợp W sau tập hợp không gian không gian R3 ? a) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 ≥ 0} b) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 + 2x2 = 3x3 } c) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 + 3x2 = 1} d) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 = x2 = x3 } e) W = {(x1 , x2 , x3 )|x21 = x2 x3 } f) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 x2 = 0} Bài 3.13 Tập hợp không gian không gian Mn (R) ma trận vuông cấp n? a) Tập ma trận đường chéo cấp n b) Tập ma trận A ∈ Mn (R) cho detA = c) Tập ma trận A ∈ Mn (R) cho detA = 15 d) Tập ma trận A ∈ Mn (R) cho A khả nghịch e) Tập ma trận A ∈ Mn (R) cho A = A Bài 3.14 Tập hợp không gian không gian P[t]? a) Tập đa thức f (t) ∈ P[t] cho f (−t) = f (t) b) Tập đa thức f (t) ∈ P[t] cho f (−t) = −f (t) c) Tập đa thức f (t) ∈ P[t] cho f (0) = f (1) + f (2) d) Tập đa thức f (t) ∈ P[t] cho (f (t))2 = f (t) Bài 3.15 Cho W1 , W2 hai không gian không gian vectơ V Chứng minh W1 ∪ W2 không gian V W1 ⊆ W2 W2 ⊆ W1 Bài 3.16 Chứng minh rằng: a) S = {(1, −1), (−2, 3)} tập sinh R2 b) S = {(1, 1), (1, 2), (2, −1)} tập sinh R2 c) S = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} tập sinh R3 Bài 3.17 Chứng minh tập hợp đa thức f1 = + 2t − 7t2 , f2 = + t + t2 , f3 = + 2t + 4t2 tập sinh không gian P2 [t] Bài 3.18 Cho S1 , S2 tập hợp không gian vectơ V Chứng minh rằng, phần tử thuộc S1 tổ hợp tuyến tính S2 ngược lại S1 = S2 Bài 3.19 Cho A ∈ Mm×n (R) B ∈ Mm×1 (R) Chứng minh tập hợp tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính dạng AX = B không gian Rn B = Bài 3.20 Kiểm tra tập hợp sau sở R3 ? a) B = {u1 = (2, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (1, 1, 2)} b) B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1)} c) B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 1, 1), u3 = (0, 1, −1)} d) B = {u1 = (−1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (1, 5, 3)} Bài 3.21 Chứng minh tập hợp {1, t − 1, (t − 1)2 , , (t − 1)n } sở Pn [t] Bài 3.22 Kiểm tra tập hợp {1 + t, t + t2 , t2 + t3 , , tn−1 + tn } có sở Pn [t] hay không? Bài 3.23 Cho W không gian sinh vectơ u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (1, −1, 0, 1), u3 = (1, 2, 1, −1) Kiểm tra tập hợp S = {u1 , u2 , u3 } có sở W hay không? Hãy xác định dim W 16 Bài 3.24 Cho S = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, 2, 5), u3 = (5, 3, 4)} W = S a) Chứng minh S = {u1 , u2 , u3 } không sở W b) Tìm sở B W cho B ⊆ S xác định dim W Bài 3.25 Cho S = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, 2, 5)} ⊆ R3 a) Chứng minh S độc lập tuyến tính b) Cho u = (a, b, c) ∈ R3 Hãy tìm điều kiện a, b, c cho S ∪ {u} sở R3 Bài 3.26 Tìm sở cho không gian sinh vectơ sau: a) u1 = (1, 2, 3), u2 = (2, 3, 4), u3 = (3, 4, 5) b) u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1) c) u1 = (1, 2, 3, 1), u2 = (1, 2, 1, −2), u3 = (1, 3, 2, 1), u4 = (2, 1, 3, −7) d) u1 = (1, 1, −1, 2), u2 = (1, −1, −2, 1), u3 = (1, 3, 2, 1); u4 = (2, 1, 2, −1) Bài 3.27 Tìm sở cho không gian sinh đa thức sau: a) f1 = + 2t − 5t2 , f2 = −4 − t + 6t2 , f3 = + 3t − 4t2 ; b) f1 = − 2t, f2 = − t + t2 , f3 = − 7t + 10t2 ; c) f1 = − 2t + 3t2 , f2 = + t + 4t2 , f3 = + 5t + 9t2 ; d) f1 = + 2t − 3t2 − 2t3 , f2 = + 5t − 8t2 − t3 , f3 = + 4t − 7t2 + 5t3 Bài 3.28 Tìm sở cho không gian sinh ma trận sau: a) A1 = , A2 = 1 , A3 = b) A1 = −2 , A2 = c) A1 = , A2 = d) A1 = , A2 = 1 ; 1 , A3 = −1 −1 , A3 = ; ; , A3 = 17 −5 ; Bài 3.29 Cho S = {(1, 1, 2, 4), (2, −1, −5, 2), (1, −1, 4, 0), (2, 1, 1, 6)} a) Chứng tỏ S phụ thuộc tuyến tính b) Tìm sở cho không gian W = S Bài 3.30 Tìm sở chiều cho không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau:   x1 + x2 + 2x3 − x4 = 0; x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0; a)  x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 =  x1    x1 b) x1    2x1 + x2 + 2x2 + 3x2 + x2 + x3 + 3x3 + 3x3 + 3x3 + x4 + x4 + 2x4 + x4 = = = = 0; 0; 0;   2x1 − 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0; x1 − 2x2 − x3 − x4 = 0; c)  x1 − 2x2 + 6x3 + 4x4 =   x1 + x2 − x3 − x4 + x5 + x6 = 0; x1 − x2 − x3 + x4 + x5 + x6 = 0; d)  x1 + x2 + x3 − x4 − x5 + x6 = Bài 3.31 Trong không gian R3 , tìm tọa độ vectơ u = (3, 1, 4) theo sở B = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)} Bài 3.32 Trong không gian P2 [t], cho đa thức f1 (t) = + t − t2 , f2 (t) = t + t2 , f3 (t) = + 4t − t2 a) Chứng minh tập hợp B = {f1 , f2 , f3 } sở P2 [t] b) Cho f (t) = + t − 2t2 Hãy tìm tọa độ f theo sở B Bài 3.33 Trong không gian M2 (R), cho ma trận A1 = 1 , A2 = 1 −1 , A3 = 1 −1 , A4 = 0 0 a) Chứng minh tập hợp B = {A1 , A2 , A3 , A4 } sở M2 (R) b) Cho A = Hãy tìm tọa độ A theo sở B 18 Bài 3.34 Trong không gian R3 , cho vectơ u1 = (2, 1, −1), u2 = (2, −1, 2), u3 = (1, 1, −1) a) Chứng minh tập hợp B = {u1 , u2 , u3 } sở R3 b) Tìm [u]B , biết u = (1, 3, −2)   c) Tìm v ∈ R3 , biết [v]B = −3 Bài 3.35 Trong không gian R3 , cho vectơ u1 = (1, 0, −1), u2 = (1, 2, −2), u3 = (0, −3, 2) đặt B = {u1 , u2 , u3 } a) Chứng minh B sở R3 b) Tìm tọa độ vectơ ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0) ε3 = (0, 0, 1) theo sở B Bài 3.36 Trong không gian R3 , cho vectơ u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, −1, 1), u3 = (−1, 2, −1), u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, −2, 1) u3 = (2, 1, 4) a) Chứng minh tập hợp B = {u1 , u2 , u3 } B = {u1 , u2 , u3 } sở R3 b) Tìm [u]B biết u = (1, 2, 3)   c) Tìm v ∈ R3 biết [v]B =  3 −1  biết [w]B = −3  d) Tìm [w]B e) Xác định ma trận chuyển sở (B → B ) (B → B) Bài 3.37 Trong không gian P2 [t], cho đa thức f1 (t) = 1+t+t2 , f2 (t) = 2+2t+t2 , f3 (t) = + 3t + t2 , g1 (t) = + 2t, g2 (t) = t, g3 (t) = + t2 a) Chứng minh B = {f1 , f2 , f3 } B = {g1 , g2 , g3 } sở P2 [t] b) Xác định ma trận chuyển sở (B → B ) (B → B) Bài 3.38 Cho W không gian sinh vectơ u1 = (1, 0, 1, 1), u2 = (1, 1, 0, 1), u3 = (1, 1, 1, 0) 19 a) Chứng minh tập hợp B = {u1 , u2 , u3 } sở W b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ R4 Tìm mối liên hệ a, b, c, d để u ∈ W Với điều kiện đó, xác định [u]B theo a, b, c, d c) Đặt B = {u1 = (0, 1, 2, −3), u2 = (2, 0, 1, 3), u3 = (0, 1, −2, 1)} Chứng minh B sở W xác định (B → B ) Bài 3.39 Cho W không gian R4 sinh vectơ u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (1, 2, 1, −1) u3 = (2, 3, 1, 1) a) Chứng tỏ B = {u1 , u2 , u3 } sở W b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ R4 Tìm điều kiện a, b, c, d để u ∈ W Với điều kiện đó, tìm [u]B theo a, b, c, d c) Cho u1 = (1, 1, −1, 2), u2 = (2, 4, 1, −2), u3 = (1, 0, 0, 5) Chứng tỏ B = {u1 , u2 , u3 } sở W xác định ma trận chuyển sở từ B sang B từ B sang B Bài 3.40 Trong không gian R4 , cho vectơ u1 = (1, 0, 1, −1), u2 = (1, 1, −1, 2), u3 = (1, 2, −2, 2) W = {u1 , u2 , u3 } a) Chứng tỏ B = {u1 , u2 , u3 } sở W b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ R4 Tìm điều kiện a, b, c, d để u ∈ W Với điều kiện đó, tìm [u]B theo a, b, c, d c) Cho u1 = (2, 1, 0, 1), u2 = (2, 3, −3, 4), u3 = (3, 3, −2, 3) Chứng tỏ B = {u1 , u2 , u3 } sở W xác định ma trận chuyển sở từ B sang B từ B sang B  d) Tìm [u]B [v]B       biết [u]B = −2 [v]B = −3 Bài 3.41 Cho B = {u1 , u2 , u3 } sở không gian R3 có ma trận chuyển   −2 sở từ B sang sở tắc R3 P =  −3 −2  −1 a) Tìm tọa độ [u]B theo sở B vectơ u = (2, 1, −1) b) Xác định vectơ u1 , u2 , u3 sở B Bài 3.42 Trong không gian R3 (−3, −1, 15) Đặt   v1 v2  v3 cho vectơ u1 = (3, 2, 3), u2 = (2, 1, −5), u3 = = u1 − u2 − u3 , = −2u1 + 5u2 + 3u3 , = u1 − 2u2 − u3 20 a) Chứng minh B = {u1 , u2 , u3 } B = {v1 , v2 , v3 } hai sở R3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B Bài tập chương Bài 4.1 Ánh xạ sau ánh xạ tuyến tính từ R2 vào R2 ? Giải thích a) f (x, y) = (xy, x + y) b) f (x, y) = (x + y, x − y) c) f (x, y) = (x, 0) d) f (x, y) = (x2 , 0) Bài 4.2 Cho ánh xạ f : R3 → R2 xác định bởi: f (x, y, z) = (x + 2y + 3z, 2x + 2y + z) Chứng minh f ∈ L(R3 , R2 ) Bài 4.3 Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi: f (x, y, z) = (x − 2y + 2z, −x + 2y − 3z, 2x − 4y + 5z) Chứng minh f toán tử tuyến tính R3 Bài 4.4 Hãy xác định ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 cho f (1, 1, 1) = (1, 2), f (1, 1, 2) = (1, 3), f (1, 2, 1) = (2, −1) Bài 4.5 Cho u1 = (1, −1), u2 = (−2, 3) Hãy xác định toán tử tuyến tính f ∈ L(R2 ) cho f (u1 ) = u2 f (u2 ) = −u1 Bài 4.6 Hãy xây dựng ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 thỏa điều kiện f (1, −1, 1) = (1, 0) f (1, 1, 1) = (0, 1) Bài 4.7 Trong không gian vectơ R2 xét họ vectơ u1 = (1, −1), u2 = (−1, 2), u3 = (0, −1) v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), v3 = (1, 1) Tồn hay không toán tử tuyến tính f R2 thỏa mãn f (ui ) = vi , ∀i = 1, 2, Bài 4.8 Cho f : R3 → R3 ánh xạ tuyến xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 + 2x3 , x1 − x2 + 3x3 , 3x1 − 3x2 + 8x3 ) a) Chứng minh f toán tử tuyến tính R3 b) Tìm điều kiện a, b, c ∈ R cho vectơ u = (a, b, c) nằm Imf Từ tìm hạng f c) Tìm điều kiện a, b, c ∈ R cho vectơ u = (a, b, c) nằm ker f Tìm sở cho không gian ker f 21 Bài 4.9 Tìm toán tử tuyến tính R3 cho Imf = (1, 0, −1), (2, 1, 1) Bài 4.10 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 định nghĩa f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , 2x3 − x1 ) a) Tìm ma trận biểu diễn f cặp sở tắc R3 R2 b) Tìm ma trận biểu diễn f cặp sở B = (u1 = (1, 0, −1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)) B = (v1 = (1, 1), v2 = (1, 0)) Bài 4.11 Giả sử toán tử tuyến tính f trong sở tắc   A= −1 không gian R3 có ma trận biểu diễn   Hãy tìm sở cho Imf sở cho ker f Bài 4.12 Cho ánh xạ tuyến tính f (x, y, z, t) = (x + y + z − t, x + 2y − z − 2t, x + 3y − 3z − 3t) Tìm sở ker f sở Imf Bài 4.13 Tìm f ∈ L(R3 ) cho ker f = (1, 1, 1), (0, 1, 2) Imf = (1, 1, 1) Bài 4.14 Tìm f ∈ L(R3 ) cho ker f = (1, 1, 1) Imf = (1, 1, 1), (0, 1, 2) Bài 4.15 Cho f toán tử tuyến tính không gian vectơ R2 xác định f (x1 , x2 ) = (−x2 , 2x1 ) B0 sở tắc R2 a) Tìm ma trận biểu diễn f B0 b) Tìm ma trận biểu diễn f sở B = (u1 = (1, 1), u2 = (−1, 2)) Bài 4.16 Cho f toán tử tuyến tính không gian R3 xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (3x2 + x1 , −2x2 + x3 , −x2 + 2x3 + 4x1 ) a) Tìm ma trận biểu diễn f sở tắc R3 b) Tìm ma trận biểu diễn f sở B = (u1 = (−1, 2, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, −3, −2)) 22 Bài 4.17 Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R2 , xác định sau: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − 3x3 , 2x1 + x3 ) a) Tìm sở số chiều không gian Kerf Imf b) Cho A = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 1, 0)) B = (v1 = (1, 1), v2 = (1, 2)) Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ f theo cặp sở A, B (kí hiệu [f ]A,B ) Bài 4.18 Cho f toán tử tuyến tính không gian vectơ R2 xác định f (x1 , x2 ) = (−x2 , 2x1 ) B0 sở tắc R2 a) Tìm ma trận biểu diễn f B0 b) Tìm ma trận biểu diễn f sở B = (u1 = (1, 1), u2 = (−1, 2)) Bài 4.19 Cho f toán tử tuyến tính không gian R3 xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (3x2 + x1 , −2x2 + x3 , −x2 + 2x3 + 4x1 ) a) Tìm ma trận biểu diễn f sở tắc R3 b) Tìm ma trận biểu diễn f sở B = (u1 = (−1, 2, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, −3, −2)) Bài 4.20 Cho f ∈ L(R3 ) xác định bởi: f (x, y, z) = (x − 2y + 2z, −x + 2y − 3z, 2x − 4y + 5z) a) Kiểm tra vectơ u1 = (1, 1, 1), u2 = (2, 1, 0), u3 = (0, 0, 0), u4 = (0, 1, 2) có thuộc ker f hay không? b) Kiểm tra vectơ v1 = (0, 1, −1), v2 = (1, −1, 2), v3 = (0, 0, 0), v4 = (1, 1, 1) có thuộc Imf hay không? Bài 4.21 Cho f ∈ L(R3 , R2 ) xác định f (x, y, z) = (x − y + 2z, 2x − 3y + z) Tìm sở cho Im(f ) ker(f ) Bài 4.22 Cho f toán tử tuyến tính R3 xác định f (x, y, z) = (x + 3y − z, x − 2y + 4z, 2x − y + 5z) Tìm sở cho Im(f ) ker(f ) 23 Bài 4.23 Cho f ∈ L(R3 ) có dạng ma trận   1  A= −2 −3 Tìm sở cho Im(f ) ker(f ) Bài 4.24 Cho f ∈ L(R3 , R2 ) xác định bởi: f (x, y, z) = (x + y − z, 2x − 3y + z) a) Xác định ma trận biểu diễn f theo cặp sở tắc R3 R2 b) Xác định ma trận biểu diễn f theo cặp sở B = {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} (của R3 ) B = {(1, 1), (2, 3)} (của R2 ) Bài 4.25 Cho toán tử tuyến tính f ∈ L(R2 ) xác định f (x, y) = (x−2y, 2x+y) a) Tìm [f ]B0 , với B0 sở tắc R2 b) Tìm [f ]B , với B = {u1 = (1, −3), u2 = (−1, 2)} Bài 4.26 Cho toán tử tuyến tính f ∈ L(R3 ) xác định f (x, y, z) = (x + 2y, 3y − z, 2x + z) a) Xác định dạng ma trận f b) Tìm ma trận biểu diễn f theo sở B = {u1 , u2 , u3 } R3 , với u1 = (−1, 2, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, −3, −2) Bài 4.27 Cho toán tử tuyến tính f ∈ L(R3 ) xác định bởi: f (x, y, z) = (x − y + z, x + 2y − 2z, x − 3y + 3z) a) Tìm sở Imf sở ker f b) Tìm ma trận biểu diễn f theo sở B = {(1, 0, 1), (1, −2, 0), (2, 1, 3)} R3 Bài 4.28 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 cho f (u1 ) = u2 + u3 , f (u2 ) = u3 + u1 f (u3 ) = u1 + u2 , với u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1) a) Hãy xác định ánh xạ tuyến tính f b) Xác định ma trận biểu diễn f theo sở B = {u1 , u2 , u3 } Bài 4.29 Cho B = {(1, −1), (−2, 3)} sở R2 Hãy xác định f ∈ L(R2 ) cho [f ]B = −1 24 Bài 4.30 Cho B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, −1)} sở R3 Hãy xác định f ∈ L(R3 ) cho   1 [f ]B = 1 0 1 Bài 4.31 Cho cặp sở B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, −1)} (của R3 ) C = {(2, −1), (−3, 2)} (của R2 ) Hãy xác định ánh xạ tuyến tính f ∈ L(R3 , R2 ) cho [f ]B,C = −2 −1 25 ... −4   −2 −1  −2   e) A =   1 13  −2 −6 10 Bài 1.16 Tìm biện luận hạng ma trận sau theo tham số m ∈ R:   1 −3 a) A =  m  m   m 1 b) A =  m  1 m   1 3  m   c) A =   −1... 1 1   −1 −1  −1 −1   ; f)   e)   −1  −1 −1  0  0 −1 −1 −1  Bài 2.12 Tìm điều kiện tham số để ma trận sau khả nghịch, sau tìm ma trận nghịch đảo tương ứng nó:   a bc a)  b ca ... 2x4 + 2x4 − 2x4 − x4 = = = = 4; 6; 6; 2; 2; 2; Bài 2.14 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:  x2 + x3 = 1;  mx1 + x1 + mx2 + x3 = m; a)  x1 + x2 + mx3 = m2 12   ax1 + x2