Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG thi vào lớp 10 – 0967.453.602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG – 0967.453.602 – Facebook.com/cuong.mathteacher Địa chỉ: Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ 53/17/Thịnh Quang – Đống Đa – HN BÀI ĐẠO HÀM – VI PHÂN – NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý I ĐẠO HÀM Quy tắc u v u v ' w u '.v Công thức STT ' u' v' w ' u v ' x n ' x n x ' x ' n c.u ' c const Hàm hợp (là hàm chứa x, u cos x ' tan x ' cot x ' log a x ' a x ' c.x ' u x ' n cos x sin x x.ln a x x a ln a e ' cos u u' cot u ' log a u ' x e u' tan u ' cot x ln x ' u2 n cos u ' u' ' sin u ' tan x 1 u' u ' n n un u sin x u '.n.u n u' u ' n cos x x u ( x) ) c n x 0; x ' un ' x sin x ' 10 n x u v ' u c.u ' c ' u '.v ' Hàm sơ cấp (chỉ có ẩn x) v 4 u a u ' u '.cos u u '.sin u tan u u' sin u u' u ln a u u '.a ln a u' ln u ' u e ' cot u u' u u '.e u Phương pháp giải nhanh 3.1 Để tìm đạo hàm hàm số y f ( x ) ta làm sau: Bước Xác định quy tắc Bước Đặt u ?; v ?; Bước Xác định công thức đạo hàm sau đặt, từ suy u ' ?; v ' ?; 3.2 Để tính đạo hàm hàm số y F(X) điểm x A ta giải nhanh cách sử dụng MTCT sau: Tại ô trống thứ ta nhập hàm số F(X), ô trống thứ ta nhập giá trị x A Rồi ấn = để thu kết II VI PHÂN Bấm qy để tính Định nghĩa Hàm số y f ( x ) xác định có đạo hàm khoảng a; b Giả sử hàm số y f ( x ) x, ứng với số gia Áp dụng định nghĩa vào hàm số y x Kí hiệu dy x ta có dy d ( x) dy df ( x ) x ' x df ( x ) x số gia x tích f '( x ) x vi phân f '( x ) x x , hàm số y f ( x ) ta có: f '( x ) dx Ta hiểu vi phân cách dễ tìm đạo hàm thay ghi y ' f '( x ) ta lại ghi dy f '( x ) dx Phương pháp giải nhanh 2.1 Để tính vi phân thuận (tức cho hàm số y f ( x ) yêu cầu tìm vi phân dy f '( x ) dx ) ta giải nhanh sau: Ta làm hoàn toàn tương tự bước tìm đạo hàm (I.3.1), từ tìm f '( x ) lắp vào công thức dy f '( x ) dx để vi phân hoàn chỉnh Địa học : Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ Bài Đạo hàm – Vi phân – Nguyên hàm Buổi 5: Thứ bảy ngày 17 tháng 12 năm 2016 2.2 Để tính vi phân ngược (tức cho vi phân dy f '( x ) dx yêu cầu tìm hàm số y f ( x ) ) ta giải nhanh sau: Xác định quy tắc công thức đạo hàm sử dụng, từ suy hàm số cho ban đầu Ví dụ: Cho vi phân hàm số y Ta thấy f '( x ) x3 x f ( x ) dy x3 sin x sử dụng quy tắc u u' x x n ' n x n sin x dx Hãy tìm hàm số y x v x u ' v ' w ' từ ta xác định cách đặt công thức w ' xn ' n f ( x ) cho x n x4 ' x4 u 4 xn ' đạo hàm sử dụng Do đó: y x4 x3 x w' sin x cos x xn ' 2x v' cos x ' C C n x n sin x xn 1 2x n sin x x2 ' cos x ' v cos x w 4x2 x3 3 const Lý phải cộng thêm C bạn đạo hàm y ' x4 x3 cos x x3 C ' x sin x C III NGUYÊN HÀM Định nghĩa Cho hàm số y f ( x ) xác định D Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) D F '( x ) f ( x ) với x D Định lý Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) D với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) D Định lý Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) D nguyên hàm f(x) D có dạng F(x) + C, với C số: f ( x) F ( x) C Tính chất f '( x ) dx kf ( x ) dx f ( x) k C f ( x ) dx k const , k f ( x) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx Điều kiện tồn nguyên hàm Định lý Mọi hàm số f(x) liên tục D có nguyên hàm D Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm hợp u STT Nguyên hàm hàm sơ cấp dx xn x n dx n a x dx e x dx x dx cos xdx sin xdx cos x dx C; dx x C; kdx kx ax n x C ln a ex C ln x C sin x x dx e x dx x cos x C tan x C cos sin x x cos dx dx dx dx a C x C C u ( x) x dx n x n a x ln a x e ln 1 C C x sin C C x C cos x C tan x C Chương Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG thi vào lớp 10 – 0967.453.602 dx sin x cot x C sin Một số kết khác (cần chứng minh sử dụng) a tan xdx ln cos x const , a C cot xdx x x a dx a ln sin x ln a t dx C a x a C C x a tan t a dx x a x cot x C x x2 a x a x dx x dx ln x2 ln x C a C a x2 x2 x x adx adx x2 a a x2 ln x a C Một số vi phân quan trọng cần ý d u v d c.u w du dv dw d u v d c.u ' dx vdu u udv vdu v udv v Từ ta suy ra: xdx dx a d ax e x dx dx a d x d x 2a a b a ax d b cos xdx sin xdx d b a ln x d b ae x d b a x 10 a b x a ax b d ae x a d b b d a ln x d ex a d ax 2a 1 b d x2 d ln x x dx d sin x d a sin x a d cos x dx d tan x cos x dx a a sin x x n dx n d xn a an a d a cos x d a tan x d cot x b d a cot x d ax n 1 b a b a b d b d b a cos x d b a tan x d b a cot x d b ax n a b a sin x an Một số công thức lũy thừa quan trọng cần ý am n am n a m n a m a n am n am a0 m a an n n a m a a.b n a an b n n a n b n an bn Phương pháp tính nguyên hàm 5.1 Phương pháp đổi biến số Định lý Nếu f (u ) du Cho nguyên hàm C u F (u ) u ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục f u ( x ) u '( x ) dx F u ( x) C f ( x ) dx , hàm f ( x ) dạng sau có cách làm sau: f ( x; ax b) u ax f x; x f x; n g ( x ) f x; a x f x; ln x f x;sin x u sin x f x; cos x u cos x du f x; tan x u tan x du f x; cot x u cot x du xn u ax u u du un g ( x) ax du ln x adx nx n 1dx du n u b du nu n 1du g ( x) u dx ln a du ln a g '( x ) dx dx x du cos xdx sin xd x tan x dx 1 cot x dx 5.2 Phương pháp phần Địa học : Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ u dx u dx Bài Đạo hàm – Vi phân – Nguyên hàm Định lý Nếu hàm số u Buổi 5: Thứ bảy ngày 17 tháng 12 năm 2016 v ( x ) có đạo hàm hàm liên tục D u ( x ), v u ( x )v '( x ) dx u ( x )v ( x ) u '( x )v ( x ) dx Một số dạng thường gặp: I f ( x ) sin ax I u f ( x ) e ax b dx I f ( x ) cos ax I f ( x ) ln ax dv e b dx ax b dx v du dv sin ax b dx dv e ax b f '( x ) a f '( x ) dx cos ax dx b dx v f ( x ) dx b f ( x) cos ax b f '( x ) a a dx f '( x ) dx sin ax sin ax I b b f ( x) sin ax b f '( x ) a a a dx du b cos ax I b a du cos ax ln ax b a v f ( x) dv f ( x ) e ax I ax b a f ( x) u f '( x ) dx e u u b dx b dx du f ( x) a ax v b I F ( x ) F '( x ) F ( x )l ax F ( x) b a ax f ( x) b dx dạng tuân theo quy tắc đặt sau: dv = Mũ – Lượng – Đại – Lô = u Có nghĩa nguyên hàm có chứa hai hàm khác ví dụ: I e x sin xdx ta đặt dv e x dx u sin x thoe chiều ưu tiên quy tắc Và hàm f(x) thay hàm khác hàm có Sau chuỗi tập trắc nghiệm: Câu Cho khẳng định sau: (I) e x e x hai nguyên hàm nhau; (II) sin x nguyên hàm sin2x; (III) x Số khẳng định là: A x6 2 x3 2x ln C x e ln x C x 5 2x 2x x6 e là: ln 2 x3 C e ln C 1 Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) cos x 16 cos x 16 C cos x B cos x 16 tan x là: Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) C A tan x x C B tan x x C Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) e x là: A e3 2x B C e3 2x 1 x 2x A ln C x 1 x 2x B ln 6 x7 x2 C 2x ln x x e D D ln C cot x C C C x5 cos x 4 x3 2x x6 ln x e ln 2 x2 C 1 2x D cot x C 16 cos x 16 x2 C tan x Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) là: sin x.cos x A cot 2x C B cot 2x C Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) sin x.cos x là: A C là: x x D x 7 B x B x Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) A ex B Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) A x 2 e x nguyên hàm 1 e2 x C C C C cos x D 16 cos x 16 D tan x D e2 x x2 C C C là: 1 x 2x C ln 1 x 2x D ln Câu Khẳng định là: Chương Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG thi vào lớp 10 – 0967.453.602 A x C x dx 10 dx 10 10 x x C 10 C B x D x dx 10 dx 10 x C x C Câu 10 Cho khẳng định sau: (I) Nguyên hàm tổng tổng nguyên hàm; (II) Nếu hàm số f(x) liên tục D hàm số f(x) có nguyên hàm D; (III) Tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định nó; (IV) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) D F’(x) = f(x) Khẳng định là: A (I), (II) B (I), (II), (III) C (III), (IV) D Tất Câu 11 Khẳng định là: A x x2 C x x2 5 dx dx x2 x2 C B x x2 C D x x2 2 dx 2 dx x2 x2 C C Câu 12 Khẳng định là: A cos x sin xdx C cos x sin xdx cos x C B cos x sin xdx cos x C D cos x sin xdx cos x C cos x C Câu 13 Khẳng định là: dx A e C x ex e dx x e x e e D C ex dx B C x x ex x x ex e dx e C ex 1 C Câu 14 Khẳng định là: A x ln x dx C x ln x dx 2 x2 ln x x2 ln x 4 x2 x2 x x x2 ln x x2 ln x C B x ln x dx C D x ln x dx C B x sin x dx C D x sin x dx B x2 2x e x dx ex D x2 2x e x dx ex x2 2 x x2 C x x2 C Câu 15 Khẳng định là: A x sin x dx C x sin x dx x cos x x cos x sin x sin x 1 x cos x x cos x sin x 1 sin x C C Câu 16 Khẳng định là: A x2 x e x dx C x2 x e x dx ex x2 ex x2 C C x2 C C Câu 17 Khẳng định là: A x cos xdx x sin x cos x C B x cos xdx x sin x cos x C C x cos xdx x sin x cos x C D x cos xdx x sin x cos x C B f ( x) D f ( x ).g ( x ) dx Câu 18 Khẳng định sai là: A f '( x ) dx f ( x) C kf ( x ) dx k C f ( x) C k Câu 19 Tìm hàm số f(x) biết f '( x ) 2x A 2x 1 x C B x f ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx g ( x ) dx 1 x 1 g ( x ) dx 2x 1 C Địa học : Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ C x 2x C D x 1 2x C Bài Đạo hàm – Vi phân – Nguyên hàm Buổi 5: Thứ bảy ngày 17 tháng 12 năm 2016 cos x Câu 20 Tìm hàm số f(x) biết f '( x ) sin x A C cos x B sin x A B C x2 sin x C x2 ln x x x x2 B F ( x ) x x C F ( x ) Câu 23 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) A F ( x ) x cot B F ( x ) x tan x B F ( x ) Câu 25 Tìm hàm số F(x) biết F '( x ) x2 A F ( X ) Câu 26 Biết x f (u ) du A f 2x dx C f 2x dx F (2 x sin x 2x sin x 3x2 cos x e 3) C 2x 2x ln e x ln Câu 29 Hàm số F ( x ) A f ( x ) B F ( x ) 3sin x sin x cos x B f ( x ) Câu 30 Tìm nguyên hàm f ( x ) A 2x 2x C cos x C tan x x 1 sin x C F ( x ) ln biết F x2 D F ( x ) 3x x D F ( x ) sin x 1 21 tan x 2 x3 x2 x x3 D F ( x ) B e 2x x biết F (0) ln B f 2x dx F (2 x D f 2x dx F (2 x cos x f x2 x e 3) ex e x ln C 3) C Khẳng định sai là: D f 2x C F ( x ) cos x 3sin x ln e x ln 2 sin x cos x 2x 2x B 3cos 3x B F ( x ) C f ( x ) D F ( x ) x e sin x cos x D f ( x ) cos x 3sin x 2x C C C 3cos x C tan x 2x 1 D C 2x C sin x Câu 32 Tìm hàm số F(x) biết F(x) nguyên hàm hàm số y A F ( x ) C f (0) Câu 31 Hàm số sau nguyên hàm f ( x ) A x2 3cos x nguyên hàm hàm số ln 2sin x cos x sin x 2x Câu 28 Tìm nguyên hàm F(x) f ( x ) A F ( x ) C 1 C F ( x ) C B f ( x ) ln x C F ( x ) cot x D F ( x ) cot x 2 x đồ thị y F ( x ) cắt trục tung điểm có tung độ e Câu 27 Cho hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện f '( X ) A f ( x ) x2 C Tìm khẳng định F (u ) F ( x) C cos x sin x B F ( x ) e D Câu 24 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) A F ( x ) C 2x x x2 D x2 Câu 22 Hàm số sau không nguyên hàm hàm số f ( x ) A F ( x ) C x ln x 1 x x2 C C sin x Câu 21 Tìm hàm số f(x) biết f '( x ) sin x C F ( x ) D cos x C cos x tan x C F(0) = D F ( x ) tan x Chương Nguyên hàm - tích phân ứng dụng Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG thi vào lớp 10 – 0967.453.602 4m Câu 33 Cho f ( x ) sin x Tìm m để nguyên hàm F(x) f(x) thỏa mãn F(0) = F A m B m Câu 34 Nguyên hàm hàm số f ( x ) sin x A sin x Câu 35 Nguyên hàm x x A ln dx x 3x 84 x sin x C C sin x sin x D C sin x sin x C x 2 x C ln x x D ln C x x C 2 x x x dx B C ln 84 D m là: B ln C Câu 36 Tính nguyên hàm A cos x cos x B 2sin x C 3 C m 22 x3x x C 84 x C ln ln 3ln D 84 x ln 84 C C Câu 37 Khẳng định sai là: x2 x dx A e x dx B C e2 x C C sin xdx cos x C dx D x ln x x x C Câu 38 Nguyên hàm F(x) hàm số f ( x )  x  x  R thỏa mãn F(-1) = là: A x  x  x  C x  x  x  B x  x  x Câu 39 Hàm số y = f(x) thỏa mãn f '( x )  x  A  B x  x x A x  x 3 B x   f(1) = là: x2 1 x 2 C  Câu 40 Hàm số y  f ( x ) thỏa mãn f '( x )  ax  D x  x  x  b x2 x D x  x  3x  , f (  1)  2, f (1)  6, f '(1)  là: C x  3 x 3 D x  x 3 Câu 41 Nếu F(x) nguyên hàm f(x) G(x) nguyên hàm g(x) khẳng định sau sai: B  kf ( x ) dx  kF ( x )  C ,  k  A   f ( x )  g ( x )  dx  F ( x )  G ( x )  C C   f ( x ).g ( x )   F ( x ).G ( x )  C Câu 42 Nếu A  f ( x ) dx  2008 x 2007 x  2008 x Câu 43 Nếu  f ( x ) dx  e x   f ( x)dx  '  f ( x)  2007 ln x  C f(x) bằng: B D 2007 x  2008 x C 2008 x  2007 ln x D C D 2007 ln x  2008 x2  sin x  C f(x) bằng: A B Câu 44 Nguyên hàm hàm số f ( x )  e 2008 x  2009 dx là: B 2008 x  2009 C A e C  2008 x  2009  e 2008 x  2009  C D 2008 e 2008 x  2009  C 2009 e 2008 x  2009  C Câu 45 Khẳng định là: A  ln x x dx  ln x  C ln x B  B  x ln x   ln x dx  ln x  C ln x C  C  x ln x   ln ln x  C x dx  ln x  C ln x D  D  x ln x  ln x  C x dx  ln x C Câu 46 Khẳng định là: A dx  x ln x  ln ln x  C dx x C dx dx Câu 47 Nguyên hàm hàm số f ( x )  x.cos x là: Địa học : Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ Bài Đạo hàm – Vi phân – Nguyên hàm x sin x Buổi 5: Thứ bảy ngày 17 tháng 12 năm 2016 2 C x sin x C Câu 48 Nguyên hàm hàm số f ( x )  x.e x là: A B  A  x  1 e x  C B 1  x  e x  C Câu 49 Nguyên hàm hàm số f ( x )  A  4 tan x  C B 4 2008 C Câu 51 Tính I   sin x D x sin x  cos x  C C   x  1 e x  C D  x  1 e x  C là: sin x cot x co t x  C Câu 50 Nguyên hàm hàm số f ( x )  A C x sin x  cos x  C C ex e  2008 x 4 D  tan x  C co t x  C là: B ln  e x  2008   C C B I  2 cos x  C C I   ex e x  2008 x D Kết khác C dx cos x A I  cos x  C Câu 52 Nguyên hàm hàm số f ( x )  cos x C cos x D I  cos x C cos x là: x A sin x  C B 2 sin x  C Câu 53 Nguyên hàm hàm số f ( x )  A x  2008  C x 4e 2x C B  sin x Câu 56 Nguyên hàm hàm số f ( x )  2x  C B 2x  2x C cos x  cos x A x   cos x C C x2 e2 x x  2008 C D x  2008  C x x  3 C D x C   3 3 C sin x D sin x C 2 x  4e 2x C D C C 2 x  4e x C x sin x là: B C C là: 4e Câu 57 Nguyên hàm hàm số f ( x )  x.cos x là: x sin x x  3dx Câu 55 Nguyên hàm hàm số f ( x )  A  tan x  C sin x là: B  x    C A x   C D  C 2 A x  2008 B x  2008  C Câu 54 Tính nguyên hàm sin x C cos x C x x sin x  cos x C D x  C x sin x  cos x C SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN BỞI THẦY CƯỜNG TOÁN – 0967.453.602 Địa học tại: CS1: Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ CS2: 53/17/Thịnh Quang – Đống Đa – Hà Nội (Ngã tư sở) Face: https://www.facebook.com/cuong.mathteacher - Email: cuong.mathteacher@gmail.com Tài liệu biên soạn từ nhiều nguồn mạng nên không tránh khỏi sơ suất, mong tác giả bỏ qua Chương Nguyên hàm - tích phân ứng dụng ... https://www.facebook.com/cuong.mathteacher - Email: cuong.mathteacher@gmail.com Tài liệu bi n so n từ nhiều ngu n m ng n n kh ng tránh khỏi sơ suất, mong t c giả bỏ qua Chư ng Nguy n h m - tích ph n ng. .. ) tan x Chư ng Nguy n h m - tích ph n ng d ng Nguy n M nh C ng – GV chuy n luy n thi THPTQG thi v o lớp 10 – 0967.453.602 4m C u 33 Cho f ( x ) sin x T m m để nguy n h m F(x) f(x) th a m n F(0)... x C C C C cos x D 16 cos x 16 D tan x D e2 x x2 C C C là: 1 x 2x C ln 1 x 2x D ln C u Kh ng định là: Chư ng Nguy n h m - tích ph n ng d ng Nguy n M nh C ng – GV chuy n luy n thi THPTQG thi