Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

20 542 1
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Người thực hiện: Vũ Thị Thanh Huyền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Tốn THANH HĨA NĂM 2017 MỤC LỤC Mục lục 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN đánh giá đạt từ loại C trở lên Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 17 Trang 17 Trang 18 Trang 19 Trang 19 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Kể từ năm 2016 trở trước, số phức nội dung không khó chiếm tỉ lệ nhỏ đề thi THPT quốc gia Song năm học 2016 – 2017, với việc thay đổi hình thức thi mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, số phức lại nội dung khai thác nhiều trải mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Trong đó, tốn tìm giá trị nhỏ (GTNN) giá trị lớn (GTLN) môđun số phức thường khai thác mức độ vận dụng thấp đến mức độ vận dụng cao Thơng thường, tốn giải theo phương pháp đại số, mà chủ yếu dùng bất đẳng thức thường đánh giá theo cách khác Cách làm đòi hỏi học sinh phải có tư sáng tạo cao vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức phần bất đẳng thức Đối với học sinh có học lực trung bình trở xuống, mảng kiến thức thách thức em Chính vậy, q trình giảng dạy, tơi nhận thấy đa số học sinh thường có xu hướng bỏ qua tập liên quan đến GTLN, GTNN môđun số phức đề thi Tuy nhiên, cách chuyển toán cực trị số phức sang tốn cực trị hình học nhiều giải đơn giản, hiệu vận dụng cho nhiều tập khác Có nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến toán cực trị số phức song đưa phương pháp đại số để giải có đề cập đến phương pháp hình học rời rạc, khơng hệ thống Do đó, học sinh lúng túng vận dụng, cách chuyển toán cực trị số phức sang toán cực trị hình học chuyển Để học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi giải tốn này, lựa chọn nghiên cứu triển khai thực đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kĩ giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa cho học sinh phương pháp đơn giản hiệu để giải toán cực trị số phức mà đa số học sinh tiếp thu vận dụng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bài toán cực trị số phức cách giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để làm tốn cực trị số phức, ngồi kiến thức số phức, học sinh cần trang bị thêm số kiến thức sau mô đun số phức cực trị hình học: * Mơ đun số phức: z z = (với z ≠ 0) [6] z' z' * Một số tốn cực trị hình học: Bài tốn 1: Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn [7] Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB điểm I cố định, điểm M thay đổi đoạn AB Khi đó: · + Nếu tam giác ABI có IAB tù ·ABI tù MImin = Min {IA; IB} MImax = Max {IA; IB} · · + Nếu tam giác ABI có IAB khơng tù MImin = d(I; AB) IBA MImax = Max {IA; IB}[1] z.z ' = z z ' Bài toán 3: Cho đường trịn (C) tâm O, bán kính R điểm I cố định Một điểm M thay đổi (C) Khi - Nếu I nằm ngồi (C) MImin = OI – R, MImax = OI + R - Nếu I nằm (C) MImin = R – OI, MImax = OI + R - Nếu I nằm (C) MImin = 0, MImax = 2R [2] Vậy MI = OI – R , MI max = OI + R Bài toán 4: Cho hai điểm A, B cố định Gọi O trung điểm AB Một điểm M thay đổi elip (E) cố định có tiêu điểm A B Giả sử (E) có độ dài trục lớn 2a, độ dài trục nhỏ 2b Khi đó, độ dài đoạn OM lớn a nhỏ b Bài toán 5: Cho đường thẳng d cố định điểm A, B cố định không nằm d Một điểm M thay đổi d Khi đó: + Nếu A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác bờ đường thẳng d (MA + MB)min = AB M = AB ∩ d + Nếu A, B thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d (MA + MB)min = A’B M = A’B ∩ d với A’là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d [1] Bài toán 6: Cho đường tròn (C) đường thẳng d cố định Một điểm M thay đổi (C) điểm N thay đổi d Khi MNmin = R − d ( I ; d ) Dấu “=” xảy M ≡ H, N ≡ K [2] Bài tốn 7: Cho hai đường trịn (C1) (C2) cố định Một điểm M chạy đường tròn (C1 ) điểm N chạy đường tròn (C2 ) Ta có: + Nếu (C1) (C2) cắt MNmin = 0, MNmax = R1 + R2 + I1I2 + Nếu (C1) (C2) ngồi MNmin = I1I2 – R1 + R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2 + Nếu (C1) (C2) đựng MNmin = R1 − R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2 [2] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi gặp toán cực trị số phức, đa số học sinh gặp khó khăn thực chất tốn tìm GTNN GTLN mơ đun số phức toán cực trị đại số nội dung khó chương trình tốn THPT Đây nội dung thường bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi Nó địi hỏi học sinh phải có tư logic tư sáng tạo cao Nếu đưa cực trị biến học sinh cịn sử dụng phương pháp khảo sát hàm số Song cực trị nhiều biến học sinh thường lúng túng khơng biết sử dụng bất đẳng thức để đánh Do đó, em thường khơng giải tốn hay giải chật vật Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT nói chung học sinh trường THPT Lưu Đình Chất nói riêng, tư logic tư sáng tạo cịn hạn chế Vì vậy, gặp toán cực trị số phức đề thi, em thường có xu hướng bỏ qua, dẫn tới kết thi chưa cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để khắc phục tình trạng trên, đầu tiên, tơi giới thiệu cho học sinh phương pháp chung để giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học Sau đó, tơi chia tập cực trị số phức thành dạng xếp hệ thống tập theo mức độ tăng dần, tập sau kế thừa khai thác kết tập trước Với cách làm vậy, học sinh khơng cịn “ngợp” đứng trước toán cực trị số phức bước nâng cao tư duy, kĩ giải vấn đề, đến mức đó, em hồn tồn tự làm tập khó Phương pháp chung: -Bước 1: Từ điều kiện số phức z cho trước đưa biểu diễn hình học số phức z -Bước 2: Chuyển yêu cầu tìm cực trị số phức sang tìm cực trị hình học điểm biểu diễn hình học z -Bước 3: Sử dụng kiến thức hình học để giải toán Thực chất bước bước diễn đạt lại yêu cầu toán theo ngơn ngữ hình học Hai bước định thành cơng tốn GV cần phân tích cho học sinh hiểu rằng: Có thể giả thiết số phức z yêu cầu tìm cực trị số phức khác song biểu diễn hình học cách giải tốn Cụ thể, chia tập cực trị số phức thành dạng sau: Dạng Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường thẳng Tìm số phức z có z − z ' lớn nhất, nhỏ Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z + i + = z − 2i Tìm giá trị nhỏ z Hướng dẫn Gọi điểm M(x; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x,y ∈ R ) z = OM Ta có: z + i + = z − 2i ⇔ x + + ( y + 1)i = x + ( y − 2)i ⇔ ( x + 1) + ( y + 1) = x + ( y − ) ⇔ x + y − = ⇒ M thuộc đường thẳng (d): x + y − = ⇒ z nhỏ ⇔ OM nhỏ 2 1 ⇒ z = OM = 10 10 ⇔ OM = d (O; d ) = Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z − + 3i = z + + 2i Tìm giá trị nhỏ z −3+i Hướng dẫn Gọi điểm M(x; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x,y ∈ R ) Gọi I(3; -1) z − + i = IM Ta có: z − + 3i = z + + 2i ⇔ x − + ( y + 3)i = x + + (2 − y )i ⇔ ( x − ) + ( y + 3) = ( x + 1) + ( − y ) ⇔ 3x − y − = ⇒ M thuộc đường thẳng (d): x − y − = 2 2 34 ⇒ z − + i nhỏ ⇔ IM nhỏ ⇔ IM = d ( I ; d ) = 17 34 ⇒ z − + i = IM = 17 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z + − 2i = z − 4i Tìm giá trị nhỏ iz + [3] Hướng dẫn Gọi điểm M(x; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x,y ∈ R ) Ta có: z + − 2i = z − 4i ⇔ x + + ( y − 2)i = x + ( y − 4)i ⇔ ( x + ) + ( y − ) = x + ( y − ) ⇔ x + y − = (1) 2 Ta lại có: iz + = − y + + xi = ( y − 1) + x (2) Đặt N(y; x), I(1; 0) từ (1) (2) ⇒ IN = iz + N thuộc đường thẳng (d): x + y − = ⇒ iz + nhỏ ⇔ IN nhỏ ⇔ IN = d ( I ; d ) = 2 Vậy iz + = IN = ( ) Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn u = ( z + − i ) z + + 3i số thực Tìm giá trị nhỏ z Hướng dẫn Gọi M(x;y) điểm biểu diễn z = x+ yi (x,y ∈ R ) z = OM 2 Ta có: u =  ( x + 3) + ( y − 1) i   ( x + 1) − ( y − 3) i  = x + y + x − y + + ( x − y + ) i ⇒ u ∈ R ⇔ x − y + = ⇒ M thuộc đường thẳng d: x – y + = ⇒ z nhỏ ⇔ OM nhỏ ⇔ OM = d (O; d ) = 2 ⇒ z = OM = 2 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z + = z ( z + 2i ) Tìm giá trị nhỏ z +i Hướng dẫn Gọi điểm M(x; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x,y ∈ R ) , I(0; -1) z + i = IM  z + 2i = Ta có: z + = z ( z + 2i) ⇔ ( z − 2i )( z + 2i) = z ( z + 2i ) ⇔   z − 2i = z * z + 2i = ⇔ z = -2i ⇔ z + i = -i ⇒ z + i = 2 2 * z − 2i = z ⇔ x + ( y − 2) = x + y ⇔ y − = ⇒ M ∈ d : y − = ⇒ z + i nhỏ ⇔ IM nhỏ ⇔ IM = d ( I ; d ) = ⇒ z + i = Từ trường hợp ⇒ Min z + i = Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đoạn thẳng Tìm số phức z có z − z ' lớn nhất, nhỏ Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z − − i + z − − 2i = Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M + m Hướng dẫn Gọi M(x;y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ⇒ z = OM Đặt A(1; 1), B(3; 2) Khi z − − i + z − − 2i = ⇔ MA + MB = = AB ⇒ MA + MB = AB ⇒ M thuộc đoạn thẳng AB uuur uuu r · Ta có: AO AB = −3 ⇒ OAB tù nên OA ≤ OM ≤ OB ⇒ M = Max z = OB = 13 , m = Min z = OA = ⇒ M + m = 13 + Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z − + i Hướng dẫn Giả sử M(x; y) điểm biểu diễn hình học z = x + yi Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1) ⇒ z − + i = MI Ta có: z + − i + z − − 7i = ⇔ MA + MB = AB ⇒ M thuộc đoạn thẳng AB uur uuu r uur uuu r · · Ta lại có: AI AB = 6; BI BA = 66 ⇒ IAB IBA nhọn ⇒ Max z − + i = Max{IA, IB} = 73 Min z − + i = d ( I ; AB ) Phương trình đường thẳng AB: x – y + = ⇒ Min z − + i = d ( I ; AB ) = Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn Tìm số phức z có z − z ' lớn nhất, nhỏ Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z − + 4i = Tìm giá trị nhỏ z Hướng dẫn Giả sử M(x; y) điểm biểu diễn hình học z = x + yi z = OM Ta có: z − + 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y + ) = 16 ⇒ M thuộc đường trịn (C) tâm I(3; -4) bán kính R = ⇒ Min z = OM = OI − R = − = 2 Max z = OM max = OI + R = + = Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z − − 3i = Tìm giá trị nhỏ z + + i [4] Hướng dẫn Giả sử M(x; y) điểm biểu diễn hình học z = x + yi ⇒ N(x; - y) điểm biểu diễn z = x − yi Gọi A(- 1; - 1) ⇒ z + + i = AN Ta có: z − − 3i = ⇔ ( x − ) + ( y − 3) = ⇒ N thuộc đường trịn (C) tâm I(2; 3) bán kính R = 2 ⇒ z +1+ i z +1+ i = AN = AI − R = − = m ax = AN m ax = AI + R = + = Ví dụ 10 Cho số phức z thỏa mãn z +2−i = Tìm giá trị nhỏ lớn z +1− i z Hướng dẫn Giả sử M(x; y) điểm biểu diễn hình học z = x + yi z = OM z + 2−i = ⇔ x + + ( y − 1) i = x + − ( y + 1) i Ta có: z +1− i 2 2 ⇔ ( x + ) + ( y − 1) = ( x + 1) + ( y + 1)  ⇔ x + ( y + 3) = 10   ⇒ M thuộc đường tròn (C) tâm I(0;-3) bán kính R = 10 ⇒ Min z = OM = OI − R = 10 − Max z = OM max = OI + R = 10 +  z − + 4i +  Ví dụ 11 Cho số phức z thỏa mãn log  ÷ = Tìm giá trị nhỏ z − + i + 3  lớn z Hướng dẫn Giả sử M(x; y) điểm biểu diễn hình học z = x + yi z = OM Ta có: log  z − + 4i +  = ⇔ z − + 4i + = ⇔ z − + 4i = ÷ 1 z − + i + z − + 4i + 3  2 ⇔ ( x − 3) + ( y + ) = 52 ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn (C) tâm I(3; - 4) bán kính R = ⇒ Min z = OM = OI − R = − = ⇒ Min z = Max z = 10 Max z = OM max = OI + R = + = 10 Ví dụ 12 Cho số phức z thỏa mãn: z − z + 25 = z − + 4i Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn z − + 5i Hướng dẫn Gọi M(x;y) điểm biểu diễn z = x+ yi (x,y ∈ R ) Gọi A(3; -5) ⇒ z − + 5i = AM Ta có: z − z + 25 = z − + 4i  z − + 4i = ⇔ ( z − + 4i )( z − − 4i ) = z − + 4i ⇔   z − − 4i = * z − + 4i = ⇔ z = − 4i ⇔ z − + 5i = * z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = ⇒ M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; 4), bán kính R = ⇒ Min z − + 5i = AM = AI − R = − = Max z − + 5i = AM max = AI + R = + = 12 Từ trường hợp ⇒ Min z − + 5i = 1, Max z − + 5i = 12 Ví dụ 13 Cho số phức z thỏa mãn − 2i z − − 2i = Tìm giá trị nhỏ + 2i lớn z − − 2i Hướng dẫn Gọi M(x;y) điểm biểu diễn z = x+ yi (x,y ∈ R ) , gọi A(3; 2) ⇒ N(y; x) điểm biểu diễn z = x − yi z − − 2i = AN Ta có: − 2i z − − 2i = ⇔ ( −1 − 2i)( x + yi) − − 2i = + 2i ⇔ ( x − y + 1) + ( − x − y − 2)i = ⇔ ( x − y + 1) + (− x − y − 2) = ⇔ x + y + x = ⇒ N thuộc đường tròn (C) tâm I ( −1;0 ) , R = ⇒ z − − 2i z − − 2i = AN = AI − R = − m ax = AN m ax = AI + R = + Dạng 4: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z elip Tìm số phức z có z − z ' lớn nhất, nhỏ Ví dụ 14 Cho số phức z thỏa mãn z + + z − = 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 10 B C.4 D [8] Hướng dẫn Gọi M(x;y) điểm biểu diễn số phức z Đặt A(-4; 0), B(41; 0) Khi z + + z − = 10 ⇔ MA + MB = 10 z = OM Do MA + MB = 10 ⇒ M thuộc elip (E) có tiêu điểm A(-4; 0), B(4; 0) độ dài trục lớn 2a = 10 (E) có tiêu cự 2c = AB = ⇒ c = ⇒ b = a − c = 32 ⇒ (E) có độ dài trục nhỏ 2b =6 Khi Max z = maxOM = a = , Min z = OM = b = ⇒ đáp án D Nhận xét: GV cần lưu ý phân biệt cho học sinh điều kiện: MA + MB = 2a với 2a = AB 2a < AB để tránh nhầm lẫn dạng dạng 2 + iz + = Tìm giá trị lớn Ví dụ 15 Cho số phức z thỏa mãn iz + 1− i i −1 giá trị nhỏ z Hướng dẫn 2 2 + iz + = ⇔ xi − y + + xi − y + =4 Giả sử z = x +yi ⇒ iz + 1− i i −1 1− i i −1 ⇔ − y + + ( x + 1)i + − y − + ( x − 1)i = ⇔ y − + ( x + 1)i + y + + ( x − 1)i = (1) Gọi M(y; x), A(1; -1), B(-1; 1) ⇒ (1) ⇔ MA + MB = ⇒ M thuộc elip (E) có tiêu điểm A, B, độ dài trục lớn 2a = 4, tiêu cự 2c = AB = 2 , có tâm O(0; 0) trung điểm AB Ta có: b2 = a2 – c2 = ⇒ b = ⇒ độ dài trục nhỏ 2b = 2 Ta lại có OM = y + x = z ⇒ Max z = MaxOM = a = , Min z = MinOM = b = Ví dụ 16 Cho số phức z thỏa mãn z + − 3i + z − − 5i = 38 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z − − 4i Hướng dẫn Giả sử M(x; y) điểm biểu diễn hình học z Đặt A(-4; 3), B(8; 5) ⇒ I(2; 4) trung điểm AB Khi z + − 3i + z − − 5i = 38 ⇔ MA + MB = 38 z = IM Do MA + MB = 38 ⇒ M thuộc elip (E) có tiêu điểm A, B độ dài trục lớn 2a = 38 , tâm I(2; 4) (E) có tiêu cự 2c = AB = 37 , có độ dài trục nhỏ 2b = (trong b2 = a − c = ) Khi Max z = max IM = a = 38 , Min z = OM = b = Bài tập vận dụng 10 Ví dụ 17 Cho số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z − + i Ví dụ 18 Cho số phức z thỏa mãn z + + z − = 10 Giá trị nhỏ z là: A B C D Dạng 5: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường thẳng Tìm số phức z có z − z1 + z − z2 lớn nhất, nhỏ Ví dụ 19 Cho số phức z thỏa mãn z − = z − − i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − − i + z − + i Hướng dẫn Gọi M(x;y) điểm biểu diễn z = x+ yi (x,y ∈ R ) 2 Ta có: z − = z − − i ⇔ ( x − 1) + y = ( x − ) + ( y − 1) ⇔ x + y − = ⇒ M thuộc đường thẳng (d): x + y – = Gọi A(3; 1), B(4; -1) P = z − − i + z − + i = MA + MB Bài tốn trở về: Tìm điểm M ∈ (d): x + y – = cho P = MA + MB nhỏ Ta thấy A, B thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Gọi A’ điểm đối xứng A qua d ⇒ P = MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B Dấu “=” xảy M ≡ M’ = A’B ∩ d Gọi H = AA’ ∩ d ⇒ H ∈ d H trung điểm AA’ uuur Do H ∈ d ⇒ H(x; -x + 2) ⇒ AH = ( x − 3; − x + 1) uuur uu r ⇒ AH ud = x − = ⇔ x = ⇒ H (2;0) ⇒ A ' ( 1; −1) ⇒ Pmin = A’B = Ví dụ 20 Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = z − 2i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − 2i + z − − 2i Hướng dẫn Gọi M(x;y) điểm biểu diễn z = x+ yi (x,y ∈ R ) 2 2 Ta có: z + − 2i = z − 2i ⇔ ( x + ) + ( y − ) = x + ( y + ) ⇔ x − y + = ⇒ M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + = Gọi A(0; 2), B(1; - 2) 11 P = z − 2i + z − − 2i = x − ( y − 2)i + x − − ( y + 2)i = MA + MB Bài tốn trở về: Tìm điểm M ∈ (d): x - 2y +1 = cho P = MA + MB nhỏ Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d ⇒ P = MA + MB ≥ AB Dấu “=” xảy M ≡ M’ = AB ∩ d ⇒ Pmin = AB = 17 Ta cịn mở rộng tốn sau: Ví dụ 21 Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = z − 2i Tìm giá trị lớn biểu thức P = z − 2i − z − − 2i Hướng dẫn Gọi M(x;y) điểm biểu diễn z = x+ yi (x,y ∈ R ) 2 2 Ta có: z + − 2i = z − 2i ⇔ ( x + ) + ( y − ) = x + ( y + ) ⇔ x − y + = ⇒ M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + = Gọi A(0; 2), B(1; - 2) P = z − 2i + z − − 2i = x − ( y − 2)i + x − − ( y + 2)i = MA + MB Bài tốn trở về: Tìm điểm M ∈ (d): x - 2y +1 = cho P = MA − MB lớn Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Gọi A’ điểm đối xứng A qua d ⇒ P = MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B Dấu “=” xảy M ≡ M’ = A’B ∩ d Gọi H = AA’ ∩ d ⇒ H ∈ d H trung điểm AA’ uuur Do H ∈ d ⇒ H(2y – 1; y) ⇒ AH = (2 y − 1; y − 2) uuur uu r 4  −2  ⇒ AH ud = y − = ⇔ y = ⇒ H ( ; ) ⇒ A '  ; ÷ 5 5  65 Dạng 6: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z1 , z2 đường (C1), (C2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ z1 − z2 ⇒ Pmax = A’B = 12 Ví dụ 22 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + = 5, z2 + − 3i = z2 − − 6i Tìm giá trị nhỏ z1 − z2 Hướng dẫn Giả sử M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1 = a + bi , N (c; d ) điểm biểu diễn số phức z2 = c + di (a + 5) + b = 25  z1 + = ⇔ Ta có   8c + 6d = 35  z2 + − 3i = z2 − − 6i ⇒ M thuộc đường tròn (C ) :( x + 5)2 + y = 25 N thuộc đường thẳng d : x + y = 35 Ta thấy đường thẳng d không cắt (C ) z1 − z2 = MN Bài toán trở thành: Cho M chạy đường tròn (C ) :( x + 5) + y = 25 N chạy đường thẳng d : x + y = 35 Tìm giá trị nhỏ MN Đường trịn (C) có tâm I(-5; 0), bán kính R = Gọi d’ đường thẳng qua I, vng góc với d, cắt đường trịn (C) K, L Ta có: MN nhỏ M ≡ K, N ≡ H Khi đó: MNmin = d(I, d) – R = 7,5 – = 2,5 Ví dụ 23 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + i = 5, z2 − = z2 − Tìm giá trị nhỏ z1 − z2 Hướng dẫn Giả sử M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1 = a + bi , N (c; d ) điểm biểu diễn số phức z2 = c + di  z1 + i = a + (b + 1) = 25 ⇔ Ta có  z − = z − 5c + d = −12 2  13 ⇒ M thuộc đường tròn (C ) : x + ( y + 1) = 25 N thuộc đường thẳng d: 5x + 7y + 12 = Ta thấy đường thẳng d cắt (C ) z1 − z2 = MN Bài toán trở thành: Cho M chạy đường tròn (C ) : x + ( y + 1) = 25 N chạy đường thẳng d : x + y + 12 = Tìm giá trị nhỏ MN Đường trịn (C) có tâm I(0; -1), bán kính R = Gọi d’ đường thẳng qua I, vng góc với d, cắt đường trịn (C) K, L Ta có: MN nhỏ M ≡ K, N ≡ H Khi đó: MNmin = R - d(I, d) = − 74 74 Ví dụ 24 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + − 4i = 1, z2 + − i = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn z1 − z2 [5] Hướng dẫn Giả sử M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1 = a + bi , N (c; d ) điểm biểu diễn số phức z2 = c + di  z1 + − 4i = (a + 3) + (b − 4) = ⇔ Ta có  2 (a + 6) + (b − 1) =  z2 + − i = ⇒ M thuộc đường tròn (C1 ) :( x + 3)2 + ( y − 4) = N thuộc (C2 ) :( x + 6) + ( y − 1)2 = 25 z1 − z2 = MN Bài toán trở thành: Cho M chạy đường tròn (C1 ) :( x + 3) + ( y − 4) = N chạy đường tròn (C2 ) :( x + 6) + ( y − 1) = 25 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn MN Đường tròn (C1 ) :( x + 3)2 + ( y − 4) = có tâm I1(-3; 4), bán kính R1 = Đường tròn (C2 ) :( x + 6) + ( y − 1) = 25 có tâm I2(-6; 1), bán kính R2 = 14 Do R2 – R1 < I1I2 < R2 + R1 nên hai đường tròn cắt A, B Khi đó: MNmin = ⇔ M ≡ N ≡ A M ≡ N ≡ B MNmax = R2 + R1 + I1I2 = + ⇔ M ≡ C, N ≡ D ⇒ Min z1 − z2 = 0, Max z1 − z2 = + 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy trường THPT Lưu Đình Chất, bước đầu thu số kết khả quan Học sinh có tiến rõ rệt, thể qua chất lượng kì thi khảo sát Đa số học sinh trung bình trở lên giải toán cực trị số phức Các em bắt đầu u thích, hào hứng chinh phục tốn khó cực trị số phức, khơng cịn tâm lí bỏ qua gặp dạng toán Học sinh khá, giỏi không dừng lại dạng tập giới thiệu mà biết cách áp dụng cách tư “quy lạ quen” để giải toán phức tạp hơn, bước nâng cao tư khả vận dụng linh hoạt kiến thức học Thơng qua đó, chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung ngày nâng cao Đề tài thảo luận, đánh giá tổ chuyên môn đồng nghiệp áp dụng công tác giảng dạy Tất có phản hồi tích cực hiệu đề tài Không vậy, việc giải nội dung hạn chế đề tài lại nguồn cảm hứng cho đồng nghiệp việc nghiên cứu khoa học Từ đó, phong trào nghiên cứu khoa học, trau dồi kiến thức, bồi dưỡng nghiệp vụ ngày trọng III Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua đề tài thu số học: - Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều toán với cách giải khác - Rèn luyện cho học sinh phân tích tốn để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày cách chặt chẽ, cô đọng 15 Thông qua việc quy toán lạ, phức tạp cực trị số phức tập hình học đơn giản, quen thuộc, học sinh dần khắc phục tâm lí “sợ” toán cực trị số phức, tạo hứng thú học tập, tăng khả sáng tạo học tập Sử dụng phương pháp cực trị hình học để giải tập cực trị số phức biến tập phức tạp thành tập đơn giản học sinh, đặc biệt học sinh khơng thực có tính sáng tạo cao, tư không thật tốt, học sinh có lực học trung bình trở xuống, bước cải thiện điểm số em Đặc biệt, đề tài hữu dụng với học sinh đặt mục tiêu điểm 8, kì thi THPT Quốc gia Nó tài liệu tham khảo hữu ích giáo viên dạy ôn chuyên đề số phức 3.2 Kiến nghị Tuy nhiên, thời gian có hạn nên phạm vi viết, giải số dạng tốn Vẫn cịn số dạng cực trị số phức mà chưa thể chuyển qua tốn cực trị hình học Mong bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có cách khác thác tốt cho toán thuộc thể loại XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 16 Vũ Thị Thanh Huyền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bài tập toán tập – Tơn Thân – Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục [2] Bài tập toán tập – Tơn Thân – Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục [3] Đề thi thử lần chuyên đại học Vinh năm 2017 [4] Đề thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội năm 2017 [5] Đề thi thử THPT Hưng Nhân – Thái Bình năm 2017 [6] Giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất giáo dục [7] Toán tập – Nhà xuất giáo dục [8] Đề thi thử số – Toán học tuổi trẻ 17 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên STT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại ( Sở, Tỉnh ) Rèn luyện cho HS kĩ giải Sở GD & ĐT tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ hóa KQĐG XL (A, B, C) C Năm đánh giá xếp loại 753/QĐ – SGD&ĐT – 3/11/2014 18 ... luyện cho học sinh kĩ giải toán cực trị số phức phương pháp hình học? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa cho học sinh phương pháp đơn giản hiệu để giải toán cực trị số phức mà đa số học sinh tiếp thu vận... toán cực trị số phức, kiến thức số phức, học sinh cần trang bị thêm số kiến thức sau mơ đun số phức cực trị hình học: * Mô đun số phức: z z = (với z ≠ 0) [6] z'' z'' * Một số tốn cực trị hình học: ... giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để khắc phục tình trạng trên, đầu tiên, giới thiệu cho học sinh phương pháp chung để giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Sau đó, tơi chia tập cực trị

Ngày đăng: 16/10/2017, 14:08

Hình ảnh liên quan

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC - Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Xem tại trang 1 của tài liệu.
* Một số bài toán cực trị hình học: - Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

t.

số bài toán cực trị hình học: Xem tại trang 4 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Người thực hiện: Vũ Thị Thanh Huyền

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan