SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN -o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KHẮC PHỤC NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Người thực hiện: Trần Thị Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn Năm 2017 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Ở trường phổ thơng, dạy Tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh, xem giải Tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Dạy học giải Tốn có vai trị đặc biệt dạy học Tốn trường phổ thơng Các tốn phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ kĩ xảo Hoạt động giải Toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học Tốn Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy giải Tốn có vai trị định chất lượng dạy học Toán Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Tốn trường phổ thơng có lúc, có chỗ cịn chưa tốt, biểu qua việc lực giải Tốn học sinh cịn hạn chế học sinh mắc nhiều sai lầm Một nguyên nhân quan trọng giáo viên chưa ý cách mức việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho học sinh học Tốn Vì điều nên học sinh nhiều gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Đã có nhiều quan điểm ý kiến nêu xoay quanh vấn đề sai lầm sống nghiên cứu khoa học Nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò việc sửa chữa sai lầm học sinh q trình giảng dạy Tốn, chẳng hạn, G Polia phát biểu: “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình”, cịn A A Stơliar nhấn mạnh rằng: “Khơng tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh” Như khẳng định rằng, sai lầm học sinh giải Tốn cần khắc phục Vì lý đây, chọn đề tài là: “Khắc phục khó khăn sai lầm thường gặp giải toán chủ đề Giới hạn cho học sinh trung học phổ thơng ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu số khó khăn, sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán chủ đề Giới hạn đề xuất số biện pháp khắc phục góp phần nâng cao chất lượng, hiệu dạy học chủ đề Giới hạn , đặc biệt học sinh yếu kém 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài chọn nghiên cứu khó khăn, sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán chủ đề Giới hạn biện pháp khắc phục 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề liên quan đến đề tài 1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng điều tra theo hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, phỏng vấn biện pháp khác 1.4.3 Phương pháp thống kê tốn học: Xử lí số liệu thu sau q trình giảng dạy NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Giải tích nội dung khó lớp học sinh lớp 11 Trước học sinh học nhiều năm Đại số; Giới hạn, Hàm số liên tục, Đạo hàm em làm quen từ đầu Tư vấn đề thuộc Giải tích kỹ thuật giải tốn Giải tích có phần khác với Đại số Học sinh chuyển từ làm việc đối tượng hữu hạn sang đối tượng vơ hạn, địi hỏi trí tưởng tượng tư trừu tượng phải phong phú mức độ cao Sự thay đổi chương trình sách giáo khoa mơn Tốn thời gian qua tạo thiếu ổn định gây nên khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp Mặc dù có đợt bồi dưỡng thường xuyên theo chu kỳ, đợt tập huấn chương trình mới, thực chưa đủ để làm cho giáo viên có nhìn sâu sắc chất vấn đề, hình dung rõ điểm, lí mức độ thay đổi chương trình nội dung sách giáo khoa Bản lĩnh, trình độ tư phê phán giáo viên nhiều lúc chưa thể giúp họ tự vượt qua, tìm lời giải đáp thoả đáng chỗ phân vân, cấn Nhiều kiến thức thay đổi cách trình bày, giảng dạy, giáo viên chưa kịp cập nhật theo chương trình mới, có tình trạng cũ, xen kẽ Đổi phương pháp dạy học theo hướng hoạt động hoá người học cần tiến hành triển khai trình dạy Giới hạn Đạo hàm lớp 11 nhằm nâng cao khả lĩnh hội kiến thức cách vững vàng, chủ động cho học sinh 2.2.Thực trạng vấn đề Khi học chủ đề Giới hạn học sinh làm quen với đối tượng mới, kiểu tư mang tính biện chứng Do học sinh gặp phải nhiều khó khăn sai lầm khơng thể tránh khỏi Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm có ích việc xây dựng tri thức, đặc biệt tạo nên xem xét lại tri thức biết trước Vì q trình dạy học Tốn trờng THPT, việc tìm hiểu khó khăn, sai lầm chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để chiếm lĩnh tri thức toán học đưa giảng dạy bước đầu bỏ qua trình tìm kiếm phương pháp dạy học hiệu nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức Hơn nữa, việc phát triển biết khai thác tình sai lầm làm học sinh hay mắc phải học tập q trình phát huy TTCNT học sinh + Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu lý phát sinh chất tri thức cần dạy, mặt khác trở ngại mà nhà khoa học gặp phải trình xây dựng phát triển tri thức Đây sở cho việc xác định nguồn gốc khoa học luận khó khăn mà học sinh phải vượt qua để nắm vững tri thức + mức độ tri thức cần dạy, thơng qua việc phân tích chương trình SGK làm sáng tỏ đặc trưng việc dạy tri thức q trình chuyển hóa sư phạm Nghiên cứu giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm khó khăn mà học sinh thường gặp Từ việc phát khó khăn chướng ngại tri thức Tốn học, giáo viên dự đoán sai lầm thường gặp học sinh lĩnh hội tri thức + Ta nói có chướng ngại vấn đề giải sau ta cấu trúc lại quan niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết + Ta nói có khó khăn vấn đề giải mà không cần phải xem xét lại quan điểm lý thuyết xét hay thay đổi quan niệm hành Như ta biết, sai lầm hậu không biết, không chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ người theo chủ nghĩa kinh nghiệm chủ nghĩa hành vi, mà cịn hậu kiến thức có từ trước, kiến thức có ích việc học tập trước lại sai lầm đơn giản khơng cịn phù hợp việc lĩnh hội kiến thức Những sai lầm kiểu không dự kiến trước được, chúng tạo nên từ chướng ngại Những sai lầm sinh từ chướng ngại thường tồn dai dẳng tái xuất sau chủ thể có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức Vì giúp học sinh tìm sai lầm, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm tìm cách khắc phục khó khăn sai lầm q trình lĩnh hội khái niệm việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trình dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức học sinh góp phần nâng cao hiệu dạy học 2.3 Giải pháp tổ chức thực Thực tiễn cho thấy trình học tập học sinh thường gặp phải khó khăn sai lầm: 2.3.1 Khó khăn sai lầm kiến thức, bao gồm: a) Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm chất khái niệm, định lý Nếu xét Giải tích trờng THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng khó hình thành cho học sinh học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng khía cạnh tinh vi lập luận xung quanh vấn đề này, muốn nắm vững chất đích thực vấn đề Cịn lâu tìm Giới hạn hay xét tính liên tục, học sinh cịn nặng thuật tốn, nói cách khác thiên cú pháp mà cịn coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn sau học xong khái niệm giới hạn hàm số ( mà chưa học đến định lý giới hạn hàm số f(x) liên tục) học sinh cho việc tìm giới hạn f(x) x → a đơn giản: việc thay x = a tính f(a) Khi lim x→a f(x) =f(a) điều phản ánh học sinh chưa hiểu chất kí hiệu: lim x − 18 x + 81 lim VÝ dơ1: Tính x→9 với cách nghĩ nên việc tìm giới x−9 x − 18 x + 81 hạn thay x = vào kết quả, suy nghĩ kiểu dẫn x−9 x − 18 x + 81 đến cho lim không tồn x →9 x−9 Để cho học sinh xem xét đồng thời đối tượng thõa mãn định nghĩa khái niệm định lí (qua ví dụ) đối tượng khơng thõa mãn khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ ) qua làm sáng tỏ cho học sinh hiểu nắm vững chất khái niệm hay định lí, chẳng hạn: Ví dụ2: Tính lim x →9 ( (?): Học sinh cho rằng: lim x →9 ( 81 − x + x − lim x →9 ) ( ) 81 − x + x − = (!): Thực hàm số f(x) = ) 81 − x + x − = f(9) = ( ( ) 81 − + − = ) 81 − x + x − giới hạn x =  81 − x ≥ ⇔ x = , tức tập xác định K = { 9} tập xác hàm số f(x):   x − ≥ Do khơng thể áp dụng định nghĩa lim x →9 f(x) lấy dãy { x n } để thõa mãn điều kiện định nghĩa là: { x n } → 9, nên hàm số cho giới hạn x = ∀ xn ∈ K, xn ≠ mà b) Khó khăn sai lầm hình thức (như hiểu sai cơng thức, kí hiệu ) Với SGK phổ thông nước ta sử dụng có kí hiệu ∞ để viết Giới hạn vô cực dãy số Nên tùy vào trường hợp mà kí hiệu ∞ này, hiểu theo cách khác + ∞ - ∞ hay hỗn hợp hai + ∞ - ∞ , chẳng hạn xét: Ví dụ 3: - Với lim n2 = ∞ , kí hiệu ∞ hiểu + ∞ - Với lim (-n) = ∞ , kí hiệu ∞ hiểu - ∞ - Với lim (-1)nn = ∞ , kí hiệu ∞ hiểu - ∞ + ∞ Vì vậy, nên xét giới hạn vô cực dãy số phải xét cụ thể rõ ràng, ∞ giới hạn + ∞ hay giới hạn - ∞ tức nlim → +∞ un = + lim un = - ∞ Do R tập hợp thứ tự nên kết luận chung n → +∞ ∞ Cụ thể, xét giới hạn vô cực dãy u n chung giới hạn ∞ hay viết nlim → +∞ un= n = (-1)n theo phân tích thì: nlim → +∞ (-1) n khơng tồn Bản chất + ∞ - ∞ số thực cụ thể lớn đó, mà nói đến lân cận + ∞ tức khoảng ( a, + ∞ ) lân cận ∞ khoảng (- ∞ ; a) với ∀a ∈ R, khơng thể thực qui tắc hay phép toán đại số chúng f ( x) = lim f ( x ) = L lim g ( x) = + ∞ x→ a x→ a g ( x) f ( x) f ( x ) lim L lim = x→a = = Nhưng viết: x→a g ( x) lim g ( x ) + ∞ lim Chẳng hạn: x →a x →a Nhưng kết giới hạn ( có) dãy số u n là: Giới hạn hữu hạn ( 0, số L ≠ ) Giới hạn vô cực ( ± ∞ ), nên ta xem kí hiệu + ∞ ∞ giới hạn dãy số Như vậy, thực hành giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' ''giới hạn vô hạn vô cực'', việc biến đổi phép toán giới hạn dẫn đến sai lầm kí hiệu như: ( + ∞ ) - ( + ∞ ) = ?; ∞ = ? Ví dụ 4: ( Học sinh B: lim ( Tính lim n → +∞ ( ) + − n) = n2 +1 − n ( ) ) n + − n = lim n + − lim n = (+∞) − ( +∞) = ; Học sinh A: nlim → +∞ n → +∞ n → +∞ n → +∞ Học sinh C: lim n → +∞ ( ) n2 (   lim n + − 1 = ∞ ⋅ = ; n → +∞ n   ) ( ) n + − n = lim n + + ( − n ) = lim n + + lim ( − n ) = ( + ∞ ) + ( − ∞ ) = n → +∞ n → +∞ n → +∞ c) Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư Học sinh hay sai lầm áp dụng công thức, khái niệm cho trường hợp suy biến Trong lịch sử điển hình sai lầm vận dụng phép tương tự: Ví dụ 5: Tính tổng: S = 1- + – + Cách 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) + … = Cách 2: S = – (-1 + 1) – (1 - 1) + … = Cách 3: S = - + – + - = -1 + (1 -1) + (1 -1) + = -1 Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi người Italia nêu cách tính tổng sau: S = - + – + ⇒ S – = -1 + – + ⇒ - S = S - ⇒ S = Bình luận: Với ba cách giải đầu áp dụng tính chất kết hợp tổng hữu hạn số hạng cho tổng vô hạn số hạng Một tổng hữu hạn số hạng không phụ thuộc vào thứ tự số hạng 2.3.2 Khó khăn sai lầm kĩ năng, bao gồm: Hiện trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sáng tạo, học sinh yếu Học sinh trường chuyên lớp chọn cịn có ý thức tự học tự độc lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tịi lời giải cho tốn, tự giải nhiệm vụ học tập, cịn đại đa số học sinh ỷ lại thầy cơ, sách giải tập, thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác định lý dạng tập bản, dẫn đến học tập cách máy móc, rập khn, không phát huy kỹ sáng tạo không rèn kỹ kỹ xảo giải toán giải tốn thường gặp khó khăn sai lầm a) Khó khăn sai lầm vận dụng: định nghĩa, định lý, cơng thức Ví dụ 6: Tính lim x →1 x −1 (?): Học sinh cho kết quả: lim x →1 =∞ x −1 (!): Nhưng kết không tồn mà lúc ta phải phân biệt ra: xlim →1 − 1 ∞ , lim = - ∞ xlim = + khơng tồn ví dụ + x →1 x − →1 x − x −1 ta thấy: + Điểm a = điểm “giáp ranh’’ x → 1− tức dãy (x n – 1) mang giá trị âm; x → 1+ tức dãy ( xn -1) mang giá trị dương + Điểm a ≠ dãy xn → a, (a ≠ 1) ta thấy x → a+ hay x → a- dãy (xn -1) khơng đổi dấu Ví dụ 7: + + + n Tính nlim → +∞ n2 + + + + n (?): nlim = nlim →+∞ → +∞ n +2 n + lim + + lim = 0+0+ +0 = n → +∞ n + n + n→+∞ n + 2 (!): Các định lý phép toán Giới hạn phát biểu cho hữu hạn số hạng Trong lời giải áp dụng cho giới hạn tổng vô hạn số hạng nên dẫn đến sai lầm Lời giải là: Ta có: 1+2+….+n = n( n + 1) đó: n( n + 1) n lim + + + n = lim lim n + n = lim = = 2 n → +∞ n → +∞ n → +∞ n → +∞ 2( n + ) n +2 2n + 2+ n 1+ (!): Nhận xét: Tổng vơ hạn đại lượng có giới hạn chưa có giới hạn (tức phép tốn giới hạn tổng, hiệu, tích, thương phát biểu sử dụng cho hữu hạn số hạng ) Vì thường sử dụng phép đánh giá kẹp phép biến đổi phân tích để tính tốn tổng vơ hạn đại lượng có giới hạn Ví dụ 8: Tính lim + ( − 1) n →+∞ n n (?): Khơng tồn Giới hạn dãy số xét có: u1 = 1, u2 = , u3 = , … không tăng không giảm (!): Lời giải đưa khơng đúng, định lý dãy đơn điệu bị chặn có giới hạn nêu lên điều kiện đủ mà điều kiện cần để dãy số có giới hạn Mặt khác cần lưu ý rằng: Những số hạng dãy số không ảnh hưởng tới tồn giới hạn dãy số Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ 102007 dãy số bắt đầu tiến bị chặn dãy số có giới hạn, số hạng từ ( 102007 -1) trở trước không cần quan tâm Sự quan tâm tới số hạng dãy giúp cho phán đốn mà thơi, lời giải sau: Vì 0≤ + ( − 1) n n ≤ ( ∀n ∈ N * n Ví dụ 9: Tính nlim → +∞ ) n + ( − 1) lim nlim = nên n→+∞ = → +∞ n n ( − 1) n n2 + (?): Học sinh áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất: un lim =0 ± ∞ nlim Nếu nlim →+∞ un= L n →+∞ vn= → +∞ v n Tức: Với un = (-1)n, = n + ( − 1) n lim n2 + n → +∞ = n (!): Kết nhầm lẫn nlim →+∞ (-1) khơng có giới hạn, un = (-1)n dãy bị chặn khơng có giới hạn Vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp hai đại lượng có giới hạn là: −1 ≤ 2n −1 ≤ n2 + n2 −1 lim = = n → +∞ 2n n → +∞ n lim −1 n2 + ≤ nên nlim → +∞ ( − 1) n n2 + ≤ ( − 1) n n2 + 1 n2 + ≤ n = Bình luận: Khái niệm giới hạn hàm số khái niệm khó hiểu học sinh (thậm chí giáo viên), dạy khái niệm giới hạn giáo viên khơng quan tâm tới giải thích tập xác định hàm số có vai trị tính giới hạn nào? ) ( 1− x2 + x − Ví dụ 10: Tính lim x→1 1− x2 = lim x − = Có học sinh lập luận: Ta có lim x→1 x→1 Vậy theo định lí giới hạn tổng hai hàm số thì: ( ) lim 1− x2 + x − = x→1 Thực hàm số f(x) = 1− x2 + x − khơng có giới hạn x = lẽ biểu thức 1− x2 + x − có nghĩa điểm x = nên tập xác định f(x) K= { 1} Do khơng thể định nghĩa limf(x) được, khơng x→1 thể lấy dãy { xn} với xn ∈ K , xn ≠ mà { xn} dần tới Học sinh áp dụng định lí khơng hiểu rõ phạm vi áp dụng định lí Ví dụ 11: Tìm giới hạn 10 ( n − 1) Π  1 Π 2Π sin + sin + + sin I = lim   n→∞ n n n n   Π 2Π ( n − 1) Π sin sin sin (?): Ta có , , n = 0, , lim n lim n = lim =0 n→∞ n→∞ n→∞ n n n Nên I = + + + = (!): Định lí giới hạn tổng, hiệu, tích, thương dãy phát biểu cho số hữu hạn dãy, dãy phải có giới hạn, học sinh áp dụng cho tổng vô hạn Lời giải là: Đặt A n = ( n − 1) Π  1 Π 2Π + + sin sin + sin , n  n n n  ta có: 2nAn sin ( n − 1) Π  Π Π Π 2Π Π Π  + + 2sin sin =  2sin sin + 2sin sin = 2n n 2n n 2n n 2n    ( 2n − 3) Π − cos( 2n − 1) Π  Π 3Π   3Π 5Π   cos − cos + cos − cos + + cos    2n 2n   2n 2n  2n 2n    = 2sin Nên A n = ( n − 1) Π 2n 2sin ( n − 1) Π 2n Π 2n.sin 2n Π ( n − 1) Π = 1.sin Π = 2 ⇒ limA n = lim 2n sin , n→∞ n→∞ Π Π 2n Π Π sin 2n lời giải sai học sinh Nhiều ví dụ khác xung quanh chủ đề giới hạn, xét tính liên tục, khả vi hàm số cho nhiều công thức, tập xác định chia thành nhiều khoảng, g(x) x ≤ a  Ví dụ 12: Tìm giới hạn hàm số f(x) = h(x) a < x < b ϕ(x) x ≥ b  11 = g(a) Rất nhiều học sinh suy nghĩ x ∈ ( −∞;a] limg(x) x→a Thực lời giải phải xét giới hạn bên phải, bên trái x = a b) Khó khăn sai lầm kĩ biến đổi Ví dụ 13: Tìm lim x →1 x2 −1 x −1 (?): Học sinh giải: x2 −1 x2 −1 ( x + 1) = 2, ⇒ lim = x+1 x→1 = lim x →1 x −1 x −1 x2 −1 Kết thật sai lầm biến đổi đồng = x+1 dấu x −1 khơng thể xảy ra, chúng có tập xác định hoàn toàn khác (!): Ta hiểu chất chọn dãy xn → 1, xn ≠ , ( ∀n ∈ N * ) ⇒ Khi lim x →1 xn − = xn+1 xn − x2 −1 ( x + 1) = = lim x →1 x −1 Ví dụ 14: Tìm lim x→∞ x + x + + 3x 16 x + + x + (?): Học sinh biến đổi là:   2 x + + +  1+ + + x x x + x + + 3x x x   lim = lim = lim = x →∞  x → ∞ x→∞ 1 1 16 x + + x + 16 + + + x 16 + + +  x x x x   (!): Thực học sinh thường hay nhầm lẫn đưa biểu thức khỏi dấu dạng x = x , kết x → + ∞ nên phải biến đổi, x Ta có: x + x + = x + + x2 16 x + = x 16 + 12 x2  x  x + x + + 3x  Khiđó: lim = lim x →∞ x→∞  16 x + + x + x    1+ + +  x x  lim = 3x   x →+∞ 1 + + +  16 + + +  x x x  x x  = x 1 16 + + +   1+ + −  −2 x x x x x =  xlim → −∞ 1  16 + − −  x x Bình luận: Một sai lầm mà học sinh hay mắc phải định hướng phân chia hai trường hợp x → +∞ x → −∞ biến đổi xét có hai trường hợp thường với x → +∞ đến kết quả, lấy kết thay đổi dấu kết luận trường hợp x → −∞ , qua ví dụ kết lại khơng Mặt khác khơng dùng kí hiệu dạng chung chung ∞ mà phân hai loại rõ ràng x → +∞ x → −∞ chắn học sinh đỡ gặp khó khăn sai lầm nh c) Khó khăn sai lầm định hướng kĩ tính tốn Ví dụ 15: Tính lim n → +∞ 4n + − 2n − n + 4n − − n (?):   1 1  4+ −2−  n + − −   n n n n  n + − 2n −   lim lim lim Thực hiện: n → +∞ = =   n → +∞  4 n + 4n − − n n→+∞   + − − 1 n + − − 1   n n n n     đến gặp dạng vô định học sinh tính tốn tiếp để khử dạng vơ định cách nhân chia tử mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng phân thức phức tạp, khó khăn tính tốn, dễ đến kết (!): Khi tìm giới hạn, số học sinh khơng có thói quen định hướng xác định dạng, trước biến đổi tính tốn đại số, từ đầu xác định n → + ∞ tử số mẫu số có dạng vơ định ( ∞ - ∞ ) ta phải khử dạng vơ định trước, cụ thể: 13 Tính: nlim → +∞ lim [ 4n n → +∞ [ 4n + − 2n − == n + 4n − − n ] [ + − ( 2n + 1) ( n + 4n + 1) − n2 × 2 ] [    + + + 1   n n n + 4n + + n n ( − 4)  = −1 = lim ×  n → +∞  1   4n + + 2n + n 4 +   + + +    n  n n  ] ] 2 Bình luận: Khi tìm giới hạn, số học sinh khơng có thói quen xác định dạng thuộc lọai vô định trước định hướng biến đổi tính tốn đại số, xem dạng: (- ∞ ) + (- ∞ ), (+ ∞ ) + (+ ∞ ), (+ ∞ ) - (- ∞ ), (- ∞ ) - (+ ∞ ) thuộc dạng vô định ( ∞ ) - ( ∞ ), nên hay áp dụng kỹ thuật tính tốn khử dạng vơ định để giải Đơi việc áp dụng cho phép tính kết giới hạn, đa số trường hợp khác dẫn tới dạng vô định loại khác nữa, chẳng hạn: Ví dụ 16: Ví dụ 17: ( ) x2 lim lim x − x = lim ∞ x → −∞ (x – x) = x → −∞ x → − ∞ 1 =+ ; x2 + x + x x3 Tìm lim Tìm x → −∞ x + − x = lim x +1 + x x → −∞ ( x2 + − x = lim x → −∞ ) 1− thực biến đổi   − x + − 1 x   = lim x → −∞ x (dạng ) − 1+ +1 x Nên dạng hiểu chất kết hợp với bảng kết phép tốn vơ cực lập có đáp số: Ví dụ 18: lim (x2 – x) = lim x2 - lim x = + ∞ x → −∞ x → −∞ x → −∞ ) ( x + − x = xlim Ví dụ 19: xlim → −∞ → −∞ ( ) ∞ x + − xlim → −∞ x = + Hoặc xét sau, cụ thể: lim (x2 – x) = lim x 1 −  = +∞ x → −∞ x    + 12 − x x + − x = xlim x Ví dụ 21 xlim → −∞  → −∞ x x  Ví dụ 20: x → −∞ ( )     = lim − x + + 1 = +∞   x → −∞  x    d) Sai lầm giải tích quen với tính hữu hạn đại số: Các đối tượng môn đại số gắn liền với q trình hữu hạn, vấn đề giải tích thường liền với q trình vơ hạn Vì vậy, tính hữu hạn 14 đại số khiến học sinh gặp khó khăn nhận thức hay sai sót xem xét vấn đề giải tích Ví dụ 22: Đối với tốn: tính lim + + + n (Đại số giải tích 11- sách n2 + chỉnh lí hợp 2000) Học sinh giải sau: + + + n n lim = lim + lim + + lim = n +2 n +2 n +2 n +2 Do đó, dạy định lí phép toán giới hạn giáo viên cần lưu ý “tính hữu hạn” nêu định lí, định lí khơng áp dụng cho biểu thức có số phép tốn vơ hạn e)Sai lầm vận dụng máy móc phép tốn đại số vào giải tích: Ví dụ 23: Khi tính lim sin n + cos n n +1 Có học sinh giải sau: sin n + cos n sin n cos n = lim + lim (1) n +1 n +1 n +1 −3 sin n −3 ≤ ≤ Ngồi ra, ta có: với ∀ n lim =lim = nên n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 sin n cos n lim = tương tự, ta có lim =0 n +1 n +1 sin n + cos n Kết luận: lim = 0+0 = n +1 sin n cos n Bình luận: phải chứng tỏ lim lim tồn trước ta có (1) n +1 n +1 Vì lim Khi dạy định lí phép tốn giới hạn giáo viên cần lưu ý học sinh “tính tồn tại” nêu định lí Kiểm nghiệm 2.4.1 Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tốn tìm giới hạn nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn tìm giới hạn để lựa chọn phương pháp phù hợp sở 15 giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận, bước tìm giới hạn từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tìm giới hạn sách giáo khoa Đại số Giải Tích Lớp 11 số đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em giải lượng lớn tập 2.4.2 Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng hai đối tượng lớp 11A6( Lớp đối chứng) 11A1 (Lớp thực nghiệm) có lực học tương đương Cách kiểm nghiệm: Cho học sinh hai lớp làm đề kiểm tra chương IV – Giới hạn Kết sau: 11A6 11A1 Không mắc sai lầm Mắc sai lầm trình tìm trình tìm giới hạn 55% 80% giới hạn 45% 20% Quá trình thực nghiệm kết rút sau thực nghiệm cho thấy: mục đích thực nghiệm đợc hồn thành, tính khả thi hiệu quan điểm đợc khẳng định Thực quan điểm góp phần phát huy tính tích cực, tự giác học tập học sinh, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn cho học sinh trờng THPT 16 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 KẾT LUẬN: Dự đoán, phát nguyên nhân hướng khắc phục khó khăn sai lầm học sinh học chủ đề Giới hạn có ý nghĩa lớn q trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động, củng cố trau thêm kiến thức tính giới hạn Từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng 3.2 ĐỀ XUẤT: Bộ giáo dục nên đưa thêm nhiều tập mà học sinh hay mắc sai lầm làm toán vào chương trình sách giáo khoa kỳ thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia để học sinh tìm tịi sai lầm thường mắc giải tốn giúp em tránh sai lầm làm tập XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 19 tháng 05 năm 2017 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Trần Thị Hà 17 Tài liệu tham khảo Khu Quốc Anh ( chủ biên) (2007), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11 mơn Tốn, Nxb Giáo dục Lê Quang Anh (chủ biên), Giới hạn dãy số, Nxb Đồng Nai Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thành Quang (1996), Sai lầm phổ biến giải toán, Nxb Giáo dục Trần Thị Hà (2009 ), Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học vinh Trần Văn Hạo (Tổng chủ biờn), Vũ Tuấn (chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Đại Số Giải Tích 11, Nxb Giáo dục Nguyễn Văn Mậu (2001), Giới hạn dãy số hàm số, Nxb Giáo dục Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nxb Hà Nội 8.Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ (1995), Phương pháp giải tốn Đại số Giải tích lớp 11, Nxb Giáo dục 18 MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận 2.2.Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.4 Kiểm nghiệm Kết luận đề xuất 16 19 ... học sai lầm học sinh? ?? Như khẳng định rằng, sai lầm học sinh giải Toán cần khắc phục Vì lý đây, chọn đề tài là: ? ?Khắc phục khó khăn sai lầm thường gặp giải toán chủ đề Giới hạn cho học sinh trung. .. hiệu dạy học chủ đề Giới hạn , đặc biệt học sinh yếu kém 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài chọn nghiên cứu khó khăn, sai lầm thường gặp học sinh THPT giải toán chủ đề Giới hạn biện... cao hiệu dạy học 2.3 Giải pháp tổ chức thực Thực tiễn cho thấy trình học tập học sinh thường gặp phải khó khăn sai lầm: 2.3.1 Khó khăn sai lầm kiến thức, bao gồm: a) Các khó khăn sai lầm liên quan