SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người thực : Phạm Thị Trang Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn : Tốn THANH HĨA NĂM 2017 MỤC LỤC Nội dung Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Khái niệm cực đại, cực tiểu 2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 2.1.4 Quy tắc tìm cực trị 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Dạng 1: Xác định điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số cực trị hàm số 2.3.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 2.3.3 Hệ thống tập vận dụng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục 2.4.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 1 3 3 4 4 16 18 18 19 19 19 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Kì thi THPT quốc gia 2017 có số điểm so với năm học trước thí sinh phải làm thi tối thiểu, có thi bắt buộc Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ thi tự chọn KHTN (gồm mơn Vật lí, Hố học, Sinh học) thi KHXH (gồm mơn Lịch sử, Địa lí, Giáo dục cơng dân) Trong đó, mơn tốn chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Thời gian làm mơn tốn 90 phút với 50 câu hỏi trắc nghiệm, tức trung bình câu làm 1,8 phút Với hình thức thi thời gian thi áp lực không nhỏ thí sinh, địi hỏi thí sinh phải chuẩn bị cho thân lượng kiến thức, kĩ định chiến thuật làm phù hợp có kết cao Trong chủ đề ‘‘Cực trị hàm số’’ tốn khơng khó, học sinh làm theo phương pháp thơng thường lâu nhiều thời gian, kể học sinh giỏi Thực tế giảng dạy cho thấy kĩ tính tốn em học sinh trường THPT Yên Định cịn hạn chế, thiếu kinh nghiệm q trình làm trắc nghiệm nên thường dẫn tới sai sót làm Để giúp em có số kinh nghiệm kỹ làm trắc nghiệm môn toán kỳ thi THPT quốc gia tới đạt hiệu hơn, tơi tìm hiểu nghiên cứu “Một số kinh nghiệm làm thi trắc nghiệm môn toán kỳ thi THPT quốc gia” (Dành cho ban bản) Mơn Tốn học trường phổ thơng mơn học khó, học sinh thường khơng học tốt mơn Nếu thi theo hình thức trắc nghiệm học sinh gặp nhiều khó khăn nội dung kiến thức thời gian làm Để giải trọn đề 50 câu thời gian 90 phút giải theo quy trình tự luận thời gian học sinh khơng làm hết câu hỏi Với mong muốn cho học sinh trường THPT Yên Định làm quen nhanh với dạng tốn trắc nghiệm tơi chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định giải nhanh toán trắc nghiệm cực trị hàm số’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định có thêm kiến thức kĩ việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số Đề xuất số cách giải nhanh toán trắc nghiệm cực trị hàm số để giúp học sinh hình thành tư giải tốn trắc nghiệm, từ giải tốn trắc nghiệm dễ dàng Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần cực trị hàm số giúp học sinh trường THPT Yên Định yêu thích mơn Tốn Nâng cao chất lượng dạy học môn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài vào nghiên cứu cách giải nhanh số toán trắc nghiệm phần cực trị hàm số (Giải tích 12 bản) Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3, Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trong đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Thông qua kiến thức sách giáo khoa, đưa số ý nhận xét quan trọng để học sinh từ giải nhanh tốn trắc nghiệm Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin : Tham khảo ý kiến giáo viên thăm dò ý kiến học sinh Phương pháp thống kê, xử lí số liệu : Thống kê xử lí số liệu kết học tập học sinh trước sau áp dụng sáng kiến NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Học sinh phải nắm được: - Về kiến thức: + Khái niệm điểm cực đại (điểm cực tiểu) gọi chung điểm cực trị hàm số, giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số, điểm cực đại (điểm cực tiểu) gọi chung điểm cực trị đồ thị hàm số + Điều kiện cần đủ để hàm số đạt cực trị - Về kĩ năng: + Học sinh biết vận dụng kiến thức học để tìm điểm cực trị hàm số, cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số + Vận dụng kiến thức học để giải nhanh toán cực trị hàm số 2.1.1 Khái niệm cực đại, cực tiểu: Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng (a ; b) (có thể a −∞ ; b +∞ ) điểm x0 ∈ ( a; b ) a) Nếu tồn h cho f ( x ) < f ( x0 ) với x ∈ ( xo − h; xo + h ) x ≠ xo hàm số f ( x ) đạt cực đại xo b) Nếu tồn h cho f ( x ) > f ( x0 ) với x ∈ ( xo − h; xo + h ) x ≠ xo hàm số f ( x ) đạt cực tiểu xo Chú ý: - Nếu f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) xo xo gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số ; f ( xo ) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCD ( fCT ) , cịn điểm M ( xo ; f ( xo ) ) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số - Các điểm cực đại (điểm cực tiểu) gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số 2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x Khi đó, f có đạo hàm x f ' ( xo ) = 2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K = ( xo − h; xo + h ) có đạo hàm K K / { xo } , với h > a) Nếu f ′ ( x ) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f′ (x) < ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b) Nếu f′ (x) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f′ (x) > ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu f(x) Định lí 3: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp khoảng ( xo − h; xo + h ) vơi h > Khi đó: a) Nếu f ′ ( xo ) = , f ′′ ( x0 ) > x0 điểm cực tiểu; b) Nếu f ′ ( xo ) = , f ′′ ( x0 ) < x0 điểm cực đại; 2.1.4 Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính f ′ ( x ) Tìm điểm mà f ′ ( x ) không xác định Bước 3: Xét dấu f ′ ( x ) lập bảng biến thiên Bước 4: Từ bảng biến thiên suy cực trị hàm số Quy tắc 2: Bước 1: Tìm tập xác định ' Bước 2: Tính f ′ ( x ) Giải phương trình f ( x ) = kí hiệu xi (i = 1,2,3,, n) Bước 3: Tính f '' ( x ) , f '' ( xi ) Bước 4: Dựa vào dấu f '' ( xi ) suy tính chất cực trị xi 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: + Các năm trước chưa thi theo hình thức trắc nghiệm học sinh máy móc áp dụng theo giáo viên, năm 2017 Bộ giáo dục đào tạo tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm Với hình thức thi học sinh máy móc áp dụng bước đáp số nhiều thời gian khơng có thời gian cho câu khác + Kỹ tư phân tích giả thiết em học sinh hạn chế + Phần lớn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định kỹ tính tốn suy luận chưa cao nên gặp khó khăn toán trắc nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Theo kinh nghiệm giảng dạy thân chia làm dạng để học sinh hiểu rõ nắm vững dạng, vận dụng cho tập khác 2.3.1 Dạng 1: Xác định điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số cực trị hàm số Phương pháp chung: Để giúp học sinh làm tốt làm nhanh toán liên quan đến cực trị trước hết giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức liên quan đến cực trị, cách tìm cực trị cách phân biệt điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số cực trị hàm số Ngồi ra, đơi số tốn giáo viên hướng dẫn học sinh số cách loại đáp án sai tìm nhanh đáp án để khơng thời gian nhiều Bài tập 1: Hàm số y = x − x3 có điểm cực trị là: 3 B x =  −27  A x = 0; x = C x = D  ; ÷ 4  256  Giải x = Ta có: y′ = x − 3x ⇒ y′ = ⇔ x ( x − 3) ⇔  x=  2 Ta thấy y’ không đổi dấu qua x = x = điểm cực trị hàm số Và y’ đổi dấu qua x = 3 x = điểm cực trị 4 hàm số Ta chọn đáp án C Nhận xét: - Nhiều học sinh khơng nắm vững lí thuyết chọn đáp án A nghĩ nghiệm phương trình y’ = điểm cực trị hàm số - Ngoài học sinh hay mắc phải sai lầm chọn đáp án D điểm cực trị đồ thị hàm số Qua ta rút nhận xét: - Nếu x = x0 điểm cực trị hàm số y = f(x) f’(x0) = f’(x0) không xác định, f’(x0) = chưa hẳn x = x0 điểm cực trị hàm số - Trong tốn trắc nghiệm thường có câu hỏi đánh lừa học sinh cụm từ “điểm cực trị hàm số điểm cực trị đồ thị hàm số” Vì học sinh cần nắm vững lí thuyết để phân biệt khái niệm Bài tập 2: Hàm số sau khơng có cực trị A y = x3 − 3x + B y = x − x3 + 3x + 2n * 2− x D y = x − 2017 x + 1( n ∈ N ) C y = x+3 Giải Cách giải thông thường: Với A: Ta thấy hàm bậc ba có y’ = 3x2 – , phương trình y’ = ln có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại) Với B: Đây hàm bậc bốn có y’ = 4x – 12x2 + 3, phương trình bậc ba ln có nghiệm nên hàm số có điểm cực trị (loại) Với C: Đây hàm phân thức bậc bậc nên hàm số khơng có cực trị Do ta chọn đáp án C Nhận xét: Với toán u cầu tìm hàm số khơng có cực trị ta xét đáp án nhiều thời gian Đôi ta phải nhớ số kết biết Ví dụ tập nhìn vào bốn đáp án ta chọn đáp án C Giáo viên nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh ghi nhớ là: “Hàm phân thức bậc bậc khơng có cực trị” Bài tập 3: Cho hàm số y = − x + x + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có điểm cực đại hai điểm cực tiểu B Hàm số có hai điểm cực đại điểm cực tiểu C Hàm số có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu D Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Giải Cách giải thông thường:  y′′ ( −1) = −8 <  x = −1   Ta có: y′ = −4 x + x ⇒ y′ = ⇔  x = ; y′′ − 12 x + ⇒  y′′ ( ) = >  ′′  x =  y ( 1) = −8 < Vậy hàm số có hai điểm cực đại điểm cực tiểu Ta chọn đáp án B Nhận xét: Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng y = ax + bx + c ( a ≠ ) ta có - Nếu ab > hàm số có 1điểm cực trị x = - Nếu ab x = điểm cực đại, x = ± − hai điểm cực tiểu hàm số 2a +) a < x = điểm cực tiểu, x = ± − Đôi nhớ “mẹo” a < đồ thị hàm số có dạng chữ M nên hàm số có hai điểm cực đại điểm cực tiểu; a > đồ thị hàm số có dạng chữ W nên hàm số có hai điểm cực tiểu điểm cực đại Dựa vào nhận xét ta giải tốn sau: Ta có: a = -1 < 0, b = , a.b < nên hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu Ta chọn đáp án B Ghi nhớ nhận xét giúp học sinh giải nhanh toán Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục xác định ¡ \ { 2} có bảng biến thiên sau: ∞ + ∞ x − y + + ’ +∞ +∞ -15 y −∞ −∞ Khẳng định sau khẳng định đúng: A Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số có giá trị cực tiểu D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ - 15 Giải Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương qua x = 0, x = cực tiểu hàm số, tương tự suy x = điểm cực đại hàm số.Từ loại A B D sai giá trị cực trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Vậy ta chọn đáp án C Nhận xét: Giá trị cực trị hàm số chưa giá trị lớn nhỏ hàm số Bài tập 5: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = ( − x ) ( x − ) Phát biểu sau A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số khơng có điểm cực trị Giải x = x = 2 Ta thấy f ′( x) = ( − x ) ( x − ) = ⇔  Đến nhiều học sinh kết luận hàm số có hai điểm cực trị chọn đáp án B Tuy nhiên kết luận sai lầm, qua x = f’(x) khơng đổi dấu, ( − x ) ≥ với x Do hàm số có điểm cực trị x = Vậy ta chọn đáp án C Nhận xét: Trong đa thức, đa thức đổi dấu qua nghiệm đơn nghiệm bội lẻ, cịn nghiệm bội chẵn khơng khiến đa thức đổi dấu Qua nhận xét ta chọn đáp án C Bài tập 6: Cho hàm số y = x Tìm mệnh đề mệnh đề sau A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số khơng có cực trị C Hàm số cho có đạo hàm khơng xác định x = nên không đạt cực trị x = D Hàm số cho có đạo hàm khơng xác định x = đạt cực trị x = Giải Ta có: y ' = x x2 Hàm số có đạo hàm không xác định x = ta thấy đáp án C D ngược nhau, nên ta loại trừ đáp án A B Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương qua x = , theo định nghĩa x = điểm cực trị hàm số Ta chọn đáp án D Nhận xét: - Với hàm liên tục hàm số đạt cực trị điểm làm cho y’ = không xác định - Nếu hàm số đạt cực trị x = x0 x = x0 làm cho y’ khơng xác định 2.3.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp chung: Với kinh nghiệm giảng dạy thân rút số nhận xét sau đây: *) Đối với hàm phân thức bậc bậc y = ax + b cx + d ( c ≠ 0; ad − bc ≠ ) : Khơng có cực trị *) Đối với hàm đa thức bậc ba y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) Ta có: y′ = 3ax + 2bx + c , ∆′ = b − 3ac - Để hàm số có hai điểm cực trị phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = b − 3ac > - Để hàm số khơng có điểm cực trị phương trình y’=0 vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆′ = b − 3ac ≤ Qua ta rút kết quả: Đồ thị hàm đa thức bậc ba có hai điểm cực trị khơng có điểm cực trị 2 Bài tập 1: Với giá trị m hàm số y = x − m x − ( 4m − 3) x − đạt cực đại x = A m = ∨ m = −3 B m = C m = −3 D m = −1 Giải Ta có : y ′ = x − 2m x − ( 4m − ) y ′′ = x − 2m  y′ ( 1) = ⇔ m = −3  y′′ ( 1) < Điều kiện để hàm số đạt cực đại x =  Vậy chọn đáp án C Nhận xét: Nhiều học sinh mắc sai lầm tập thay x =1 vào phương trình y’ = suy giá trị m cần tìm m = m = -3 Khi học sinh chọn đáp án A khơng suy nghĩ đến đáp án C Qua ta có:  y′ ( x0 ) =  y′′ ( x0 ) < - Để hàm số đạt cực đại x0   y′ ( x0 ) = - Để hàm số đạt cực tiểu x0   y′′ ( x0 ) > Bài tập 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 + mx − 12 x đạt cực tiểu x = - A m = −9 B m = C m = −3 D m = Giải: Ta có y ′ = 12 x + 2mx − 12 y ′′ = 24 x + 2m  y′ ( −2 ) = ⇔ m = Vậy ta chọn đáp án D Để hàm số đạt cực tiểu x = -2   y′′ ( −2 ) > Bài tập 3: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − 3mx + 3m + có hai điểm cực trị A m > B m < C m ≥ D m ≠ Giải: Vận dụng nhận xét ta có để hàm số có hai điểm cực trị ∆′ = b − 3ac > ⇔ 9m > ⇔ m ≠ Ta chọn đáp án D 10  f ( x1 ) = Q ( x1 ) f ′ ( x1 ) + Ax1 + B = Ax1 + B (do  f ( x2 ) = Q ( x2 ) f ′ ( x2 ) + Ax2 + B = Ax2 + B Ta có  f ′ ( x1 ) = f ′ ( x2 ) = 0) Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) y = Ax + B Bài tập vận dụng: Bài tập 6: Cho hàm số y = x − 3x + ( − m ) x + + 3m, giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho A 2mx + y − 2m − = B 2mx + y − 2m + = C 2mx − y − 2m − = D 2mx + y + 2m − = Giải ′ Ta có : y = 3x − x + ( − m ) Thực phép chia y cho y’ ta 1 1 y =  x − ÷ x − x + ( − m ) − 2mx + 2m + 3 3 ( ) Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = −2mx + 2m + Ta chọn đáp án A Ngồi tơi xin giới thiệu cách bấm máy tính (sử dụng cho máy Casio fx – 570 ES PUSL) để tìm nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba sau: Bước 1: Xác định y’, y’’ Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính tốn số phức MODE →2:CMPLX Nhập biểu thức y − y′ y′′ (Công thức học sinh thừa nhận khuôn khổ 18a sáng kiến xin phép không giới thiệu vào sáng kiến) Chú ý: Với tốn khơng chứa tham số ta sử dụng biến X máy, nhiên toán chứa tham số ta sử dụng biến máy để biểu thị cho tham số cho, ta quy ước biến M Bước 3: Gán giá trị Ấn CALC Gán X với i , gán M với 100 Lúc máy tính xuất kết quả, ta tách hệ số i để đưa kết cuối Ví dụ hai tập trên: Bài tập 5: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + x − x + A 26 x + y − 15 = B −25 x + y − 15 = C 26 x − y + 15 = D 25 x − y + 15 = Ta dùng máy tính bấm sau: Bước 1: Xác định y′ = 3x + x − 3, y′′ = x + Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính tốn số phức MODE →2:CMPLX Nhập biểu thức X + X − X + − ( X + X − 3) 6X + 18 12 Bước 3: Gán giá trị Ấn CALC Gán X với i , gán M với 100 Khi máy tính xuất 26 − i Vậy phương trình qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho 26 − x ⇔ 26 x + y − 15 = Vậy đáp án ta chọn A Bài tập 6: Cho hàm số y = x − 3x + ( − m ) x + + 3m, giả sử đồ thị hàm số có hai y= điểm cực trị Tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho A 2mx + y − 2m − = B 2mx + y − 2m + = C 2mx − y − 2m − = D 2mx + y + 2m − = Giải Ta có : y′ = 3x − x + ( − m ) Bước 1: Xác định y′ = 3x − x + ( − m ) , y′′ = x − Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính tốn số phức → MODE 2:CMPLX Nhập biểu thức X + X − ( − M ) X + + 3M − ( X − X + ( − M ) ) 6X − 18 Bước 3: Gán giá trị Ấn CALC Gán X với i , gán M với 100 Khi máy tính xuất 202 − 200i Ta thấy 202 − 200i = 2.100 + − 2.100i ⇒ y = 2m + − 2mx Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho y = 2m + − 2mx Vậy đáp án ta chọn A Nhận xét: Đơi việc sử dụng máy tính thuận lợi nhanh giải theo cách thông thường Với hình thức thi học sinh khơng nắm vững rộng kiến thức mà cịn phải có kĩ sử dụng máy tính thành thạo để tránh thời gian làm Bài tập 7: Xác định tất giá trị m để hai điểm cực trị đồ thị hàm sau y = x3 − 3x + mx đối xứng qua đường thẳng x − y − = A m = B m = −2 C m ∉ ∅ D m = Giải: Ta có y′ = 3x − x + m Để hàm số có hai điểm cực trị y′ = 3x − x + m = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = − 3m > ⇔ m < Sử dụng máy tính cầm tay học sinh dễ dàng tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ( m − 3) x − y + m = Thông thường học sinh giải tiếp sau: Gọi x1, x2 hai điểm cực trị  x1 + x2 =  hàm số Theo định lí vi-et ta có  m  x1 x2 = 13 Khi hai điểm cực trị đồ thị hàm số  2mx1 − x1 + m  M  x1 ; ÷    2mx2 − x2 + m  M  x2 ; ÷   Tọa độ trung điểm I M1M2 I(1; m - 2) Để hai điểm cực trị đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng I ∈ ∆ x − y − =  ⇔m=0 d ⊥ ∆ Vậy đáp án chọn A Nhận xét: Cách làm cho kết tốn trắc nghiệm lại nhiều thời gian Ta sử dụng nhận xét sau để rút ngắn thời gian làm Chương trình không đề cập tới khái niệm “điểm uốn” thi trắc nghiệm ta ghi nhớ để dùng cần Điểm uốn đồ thị hàm số bậc ba điểm có hồnh độ thóa mãn y’’ = nằm đồ thị Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Gọi I điểm I ∈ ∆ với ∆ đường thẳng mà hai điểm d ⊥ ∆ uốn đồ thị hàm số bậc ba,  cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng đó, d đường thẳng qua hai điểm cực trị Quay trở lại với toán ta làm sau: Ta có y′ = 3x − x + m , y′′ = x − , y ′′ = ⇔ x = Tọa độ điểm uốn I(1; m-2) Để hàm số có hai điểm cực trị y′ = 3x − x + m = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = − 3m > ⇔ m < Sử dụng máy tính cầm tay học sinh dễ dàng tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ( m − 3) x − y + m = Theo nhận xét ta có : 1 − ( m − ) − =  I ∈ ∆ ⇔ 2  ⇔ m =  32  d ⊥ ∆ m −  ÷ = −1 3  3   Vậy ta chọn đáp án A *) Đối với hàm đa thức bậc bốn trùng phương y = f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ ) Ta có: y ′ = 4ax + 2bx x = ′ y =0⇔  x = − b (1) 2a  Nhận xét: - Hàm đa thức bậc bốn trùng phương ln có điểm cực trị - Số điểm cực trị hàm số phụ thuộc vào số nghiệm phương trình (1) 14 +) Để hàm số có ba điểm cực trị phương trình y’=0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ ab < +) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm kép x = ⇔ ab ≥ b Khi đồ thị hàm 2a b ∆   b ∆  − ;− ÷ , C − − ; −  ÷ AB = AC  a 4a ÷ 2a 4a ÷    - Nếu ab +) Để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu  điểm cực đại , x = ± − b hai điểm cực tiểu 2a Đôi nhớ “mẹo” a < đồ thị hàm số có dạng chữ M nên hàm số có hai điểm cực đại điểm cực tiểu; a > đồ thị hàm số có dạng chữ W nên hàm số có hai điểm cực tiểu điểm cực đại Bài tập 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = f ( x) = x + 2mx + m + m có điểm cực trị A m ≥ B m > C m ≤ D m < Giải: Để hàm số có điểm cực trị ab ≥ ⇔ 2m ≥ ⇔ m ≥ Ta chọn đáp án A Bài tập 2: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = f ( x) = mx + ( m − ) x + có hai điểm cực tiểu điểm cực đại m < − B − < m < A  0 < m < C m > D < m < Giải: Áp dụng nhận xét phần trước: Để hàm số có điểm cực tiểu điểm cực m >  ab < ⇔ ⇔ < m < Ta chọn đáp án D a > m < đại  Nhận xét: - Nếu chưa rút nhận xét phần trước học sinh phải trình bày dài để tìm điều kiện thõa mãn yêu cầu tốn - Vì học sinh phải ghi nhớ cơng thức để làm tốn cách nhanh Sau dựa vào số nhận xét tơi xin đưa số dạng tốn tổng quát cho học sinh hiểu ghi nhớ công thức để làm thi trắc nghiệm tốt 15 Bài tốn 1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Giải: Với ab < đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Do điểm A (0;c) nằm trục tung cách điểm B C Nên tam giác ABC phải vng cân A Khi AB ⊥ AC uuur  b b  uuur  b b2  ;− ÷ Ta có AB =  − − ; − ÷÷; AC =  − ÷ a 4a    2a 4a  uuur uuur b3 Do AB ⊥ AC nên AB AC = ⇔ = −8 a Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x) = x − 8m x + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông 1   1  1 A { 0} B   C −  D − ;  2  2  2 Giải: Nếu chưa biết kết học sinh giải theo hướng sau: Tập xác định: D = ¡ Ta có y ' = x3 − 16m x Hàm số có ba điểm cực trị ab − 3 3 Bài 14: Biết đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d có điểm cực trị (-1;18) (3; A m < B m > -16) Tính a + b + c+ d A B C D 2 Bài 15: Tìm m để hàm số y = mx + ( m − ) x + có hai điểm cực đại điểm cực tiểu A −3 < m < B < m < C m < −3 D m > Bài 16: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 1 B m = C m = −1 D m = A m = Bài 17: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m = 3 B m = − 3 C m = + 3 D m = − 3 Bài 18: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng cân 19 A m = B m = −1 C m = D m = −2 Bài 19: Cho hàm số y = x + ln ( x − m ) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho có hai điểm cực trị D a C m < − A m > B m > Bài 20: Cho hàm số y = −2 x + ( 2m − 1) x − ( m − 1) x + Hỏi có tất giá trị tham số m để hàm số có hai điểm cực trị A B C D 1A 11B 2A 12D 3A 13B 4B 14B 2 Đáp số 5B 6D 15C 16A 7B 17A 8D 18A 9A 19A 10A 20B 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục: Qua thời gian thực đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định giải nhanh tốn trắc nghiệm cực trị hàm số” tơi nhận thấy tiết học đạt hiệu cao nhiều so với cách dạy truyền thống đọc chép tiết dạy sử dụng giảng điện tử cho học sinh nhìn chép Khi cho học sinh luyện tập toán cực trị hàm số theo số cách giải nhanh phần lớn gây hứng thú cho học sinh, phát huy tính tích cực cho học sinh tránh tình trạng lớp học thụ động, nhàm chán giáo viên khơng phải lặp lặp lại câu hỏi có cấu trúc gần giống Qua sáng kiến học sinh tư duy, so sánh nội dung kiến thức với nhau, qua khắc sâu kiến thức học Trong năm học dạy lớp 12C7 12C6 Ở lớp 12C7 áp dụng sáng kiến q trình giảng dạy, lớp 12C6 tơi sử dụng cách dạy truyền thống Đầu năm tỉ lệ học sinh giỏi, khá, trung bình hai lớp gần tương ứng Cụ thể là: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp Tổng Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ SL SL SL SL SL % % % % % 12C7 43 14 16 37.2 16 37.2 11.6 0 12C6 43 4.7 14 32.6 20 46.6 11.6 4.7 Kết sau lần cho kiểm tra đánh giá sáng kiến thực sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp Tổng Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ SL SL SL SL SL % % % % % 12C7 43 20.9 20 46.5 13 30.3 2.3 0 12C6 43 7.0 14 32.6 21 48.8 9.3 2.3 Nhận xét: Đối với lớp 12C7 hầu hết em làm tập thành thạo Điểm khá, giỏi tăng lên nhiều, điểm yếu giảm đáng kể Học sinh nắm 20 kiến thức cách chắn hơn, sâu rộng Học sinh biết hiểu thêm, hiểu số phương pháp giải tốn Học sinh có hứng thú học tập môn nhiều hơn, say mê Việc phân loại tập đề tài nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển kiến thức kỹ cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Từ giúp học sinh có khả tự rút kiến thức, tự tham gia hoạt động để củng cố vững kiến thức, rèn luyện kỹ tính tốn thời gian tốn trắc nghiệm Đối với lớp 12C6 sử dụng cách dạy truyền thống nên điểm khá, giỏi không tăng lên nhiều, điểm yếu giảm không đáng kể Kĩ tính tốn giải nhanh tốn trắc nghiệm cịn hạn chế Từ ta nhận thấy tính hiệu sử dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.4.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường: Sau dạy cho em số cách giải nhanh tốn cực trị hàm số giúp tơi có thêm hứng thú dạy học đặc biệt tốn trắc nghiệm tìm số phương pháp vận dụng cho việc dạy học phù hợp với đổi thi cử Tôi chia sẻ kinh nghiệm cho đồng nghiệp để áp dụng cho lớp 12 khác đặc biệt lớp có học sinh lực học yếu trung bình kết có phần cải thiện Qua tạo cho thân giáo viên khác nhà trường có nhiều động lực để tìm tịi, phát phương pháp dạy học phù hợp với học sinh nâng cao chất lượng trường THPT Yên Định 3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Mơn tốn nhiều mơn học khác địi hỏi chăm nổ lực trình học tập Sự đầu tư thời gian công sức để học nhân tố quan trọng làm nên thành công Khi dạy học thầy cô không nên cứng nhắc phương pháp, mà phải có linh hoạt giảng Khơng dạy theo kiểu “thầy đọc trị chép”, hậu đến thi học trị “chép hết thầy đọc” Nên dạy cho học sinh cách phân tích, đánh giá, tự chủ động tìm cách giải cho toán đặc biệt toán trắc nghiệm Để học sinh thực nhập vào học, chủ động lối suy luận cách nghĩ Từ rèn luyện cho học sinh kĩ làm trắc nghiệm nhanh xác 3.2 Kiến nghị: Sau đây, tơi xin nêu số kiến nghị để việc dạy học Tốn trường THPT n Định ngày có hiệu cao với hình thức thi trắc nghiệm, đáp ứng mục tiêu giáo dục nay: - Tổ chức bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên phương pháp dạy học tích cực việc đổi kiểm tra đánh giá cách sâu rộng hiệu Đặc biệt bồi dưỡng cho giáo viên cách đề trắc nghiệm ôn thi theo hình thức trắc nghiệm cho phù hợp với yêu cầu giáo dục - Đổi việc đánh giá dạy giáo viên - Nhà trường cần mua thêm số tài liệu trắc nghiệm cho giáo viên học sinh tham khảo 21 Trong khuôn khổ đề tài SKKN, nêu việc áp dụng phương pháp dạy học tốn cực trị hàm số Từ tạo điều kiện cho việc mở rộng nghiên cứu áp dụng sang phần khác chương trình góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT Yên Định XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phạm Thị Trang 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12,Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất NXB giáo dục Việt Nam, 2013 Bài tập giải tích 12, Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất NXB giáo dục Việt Nam, 2013 Giải tích 12 Nâng cao, Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng NXB Giáo dục Việt Nam, 2014 Bài tập Giải tích 12 Nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thi Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2014 Dạy học tích cực Một số phương pháp kĩ thuật dạy học, Nguyễn Lăng Bình (chủ biên), Đỗ Hương Trà, Nguyễn Phương Hồng, Cao Thị Thặng NXB Đại học Sư phạm, 2010 Tạp chí tốn học tuổi trẻ Diễn đàn toán học Trang mạng K2pi.vn trang mạng toán khác 23 PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Đề gồm 20 câu, câu làm 0,5 điểm) Thời gian làm 35 phút x3 + x + C ( 2; −3) Câu 1: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = − A D B ( 0;1) Câu 2: Cho hàm số y = x + x + , khẳng định sau A Hàm số đạt cực tiểu x = B Hàm số có cực đại cực tiểu C Hàm số có cực đại khơng có cực tiểu D Hàm số khơng có cực trị Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = x2 ( x − 1) ( x − 2) Số điểm cực trị hàm số là: A B C D Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục tập số thực ¡ có đạo hàm y′ = x4 − 6x2 + Mệnh đề A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số có điểm cực trị Câu 5: Cho hàm số y = x3 − 3x + Giả sử x1 ; x2 điểm cực trị hàm số Khi tích x1.x2 A - B - C D Câu 6: Hàm số y = x − x + 15 : A Nhận điểm x = làm điểm cực đại B Nhận điểm x = làm điểm cực đại C Nhận điểm x = làm điểm cực tiểu D Nhận điểm x = làm điểm cực tiểu x2 + 2x + Câu 7: Cho hàm số y = Mệnh đề đậy đúng? x +1 A Cực tiểu hàm số B Cực tiểu hàm số -1 C Cực tiểu hàm số D Cực tiểu hàm số -2 Câu 8: Giá trị cực tiểu hàm số y = − x + x + 24 A B ( C -1 ) D Câu 9: Tìm m để hàm số: y = x − m+ x + mx + m+ đạt cực trị x = A B C -1 D Câu 10: Đồ thị hàm số y = x − 3x + có điểm cực đại A (2;-3) B (0;1) C (0;2) D Đáp án khác 2 Câu 11: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − ( m + 1) x + m − đạt cực tiểu x = A m < −1 B m ≥ m ≤ −1 C m = −1 D m ≤ −1 Câu 12: Tìm tập hợp giá trị m để hàm số y = x3 x + + ( m − ) x − đạt cực tiểu x = A ∅ B { 0} C { 1} D { 2} 2 Câu 13: Cho hàm số y = x + ( m − ) x + m − 5m + Giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân thuộc khoảng sau đây? 4 3  21   1 D ( −1;0 ) A ; B ; C 0;  ÷ 7 2  ÷  ÷  10   2 Câu 14: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình bên, khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số có giá trị cực đại - B Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(-2;0) điểm cực đại B(0;-4) C Hàm số có giá trị cực đại – D Hàm số đạt cực tiểu A(-2;0) đạt cực đại B(0;-4) Câu 15: Với giá trị tham số m đồ thị hàm số x3 y = + mx + ( m + ) x − ( 2m + 1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu A m ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 2; +∞ ) B m ∈ ( −∞; −3) ∪ ( −2; +∞ ) C m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) D m ∈ ( −∞; ) ∪ ( 3; +∞ ) Câu 16: Cho hàm số: y = x3 + (m+ 2)x2 + (m+ 1)x + 3− m Tìm m để hàm số có cực trị A m= −1 B m= C ∀m D Không có giá trị 25 Câu 17: Tìm tất giá trị thực m để đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + 1chỉ có điểm cực trị A m≥ B m= −1 C m< D m≤ −1 Câu 18: Cho hàm số y = x4 + 2mx2 − m− , xác định giá trị thực tham số m để hàm số có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích A m= B m= −2 C m= D m= −4 Câu 19:Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = − x + ( m − 2015 ) x + 2017 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân? A m = 2017 B m = 2016 C m = 2014 D m = 2015 Câu 20: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + x − m với m tham số thực Xác định m để hàm số đạt cực trị x1 ; x2 cho x1 + x2 ≤ A m ∈  −3;1 − ) ∪ ( −1 + 3;1 B m ∈  −3; −1 − ) ∪ ( −1 − 3;1 C m ∈  −3; −1 − ) ∪ ( −1 + 3;1 D m ∈ ( −3; −1 − ) ∪ ( −1 + 3;1) 1B 11A 2A 12D 3A 13A 4D 14D Đáp số 5C 6B 15C 16C 7C 17A 8D 18B 9A 19A 10B 20C 26 ... học sinh trường THPT Yên Định làm quen nhanh với dạng tốn trắc nghiệm tơi chọn nghiên cứu đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định giải nhanh toán trắc nghiệm cực trị hàm số? ??’ 1.2... cứu: Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định có thêm kiến thức kĩ việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số Đề xuất số cách giải nhanh toán trắc nghiệm cực trị hàm số để giúp học sinh hình... để hàm số đạt cực trị - Về kĩ năng: + Học sinh biết vận dụng kiến thức học để tìm điểm cực trị hàm số, cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số + Vận dụng kiến thức học để giải nhanh toán cực