S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT TẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Người thực hiện: Nguyễn Xuân Sơn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2016 MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sang kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm 2.3 Một số phương pháp để giải toán hệ phương trình 2.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương 2.3.1.1 Hệ phương trình có phương trình phương trình bậc với ẩn x ( y ) 2.3.1.2 Hệ phương trình có phương trình đưa phương trình tích 2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 12 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 13 3.1 Kết luận 13 Tài liệu tham khảo 14 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Hệ phương trình toán khó, thường có mặt đề thi Đại học Các toán dạng thường ẩn dạng không mẫu mực, tức dạng có quy tắc giải Nhưng biết cách biến đổi, ta đưa dạng toán thường gặp Trong thực tế, để giải toán đòi hỏi học sinh phải nghiên cứu kỹ, nắm vững kiến thức đẳng thức, kiến thức liên quan như: biến đổi tương đương, hàm số tính đơn điệu hàm số… Trong trình giảng dạy môn toán trường THPT nhận thấy trình độ học sinh khác Mức độ lực tư em chênh lệch đáng kể Với đối tượng học sinh lớp tiếp thu chậm việc giải toán hệ phương trình khó thực Vậy làm để em học sinh giải toán kỳ thi Đại học? Vì viết này, đưa số phương pháp để giải toán hệ phương trình đề thi Đại học 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm tạo không khí làm việc tập thể cách thoải mái, tạo điều kiện để em học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây hứng thú phát triển tư logíc Giúp em học sinh tham gia kỳ thi Đại học, gặp toán giải hệ phương trình tự tin sử dụng phương pháp giải học để giải tốt toán Đặc biệt qua giúp học sinh có khả ứng phó thích ứng nhanh với thay đổi, đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy ngành giáo dục nói riêng đất nước nói chung Qua nhiều lần thử nghiệm nhận thấy rằng: trang bị phương pháp giải học sinh đạt mong muốn nêu 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các toán giải hệ phương trình đề thi Đại học 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điêù tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sang kiến kinh nghiệm - Phương pháp biến đổi tương đương: Là phương pháp sử dụng kỹ thuật biến đổi đồng nhất, nhằm đưa phương trình hệ phương trình dạng đơn giản để giải, đưa hệ phương trình dạng biết - Phương pháp đặt ẩn phụ: đặt a = f (x, y) b = g(x, y) rôi tìm điều kiện a b (nếu có) Sau đưa hệ phương trình cho hệ phương trình hai ẩn a b mà giải phương pháp biến đổi tương đương - Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: Sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa hai phương trình hệ phương trình dạng f (u(x)) = f (v(y)) với y = f (t) hàm số đơn điệu tập D (dựa vào phương trình hệ ta tìm D ) Từ suy u(x) = v(y) , suy mối quan hệ hai ẩn x y 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm Khi gặp toán giải hệ phương trình đề thi đại học, học sinh lúng túng cách giải Tuy nhiên nắm bắt phương pháp giải khó khăn giải 2.3 Một số phương pháp để giải toán hệ phương trình 2.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương Các loại hệ phương trình thường gặp sử dụng biến đổi tương đương: 2.4.1.1 Hệ phương trình có phương trình phương trình bậc với ẩn x ( y ) Các Ví dụ: Ví dụ 1: ( ĐH – khối D năm 2002) Giải hệ phương trình: 23x = 5y2 − 4y (1)   4x + 2x+1 = y (2)  x  +2 Giải: Từ phương trình (2) ta có: y = 2x vào phương trình (1) ta được: y=  y3 − 5y2 + 4y = ⇔  y =  y = Từ suy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (0;1) (2;4) Ví dụ 2: ( ĐH – khối A năm 2004) Giải hệ phương trình:  log1 (y − x) − log4 y = 1(1)   2 (2)  x + y = 25 Giải: Điều kiện: y > x y > Phương trình (1) tương đương với phương trình: y− x 3y − log4(y − x) − log4 = 1⇔ − log4 = 1⇔ x = y y  3y  Thế vào phương trình (2) ta có:  ÷ + y2 = 25 ⇔ y = ±4  4 So sánh với điều kiện, ta y = 4, suy x = ( thỏa mãn y > x ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (3;4) Ví dụ 3: ( ĐH – khối B năm 2008) Giải hệ phương trình:  x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + (1)  (2)  x + 2xy = 6x + Giải: Nhận thấy x = không thỏa mãn hệ phương trình − x2 + 6x + x ≠ Xét , ta có (2) ⇔ y = vào phương trình (1), ta được: 2x  − x2 + 6x +   − x2 + 6x +  (1) ⇔ x4 + 2x3  ÷+ x  ÷ = 2x +  ÷  ÷ x x      x = 0(L ) ⇔ x4 + 12x3 + 48x2 + 64x = ⇔ x(x + 3) = ⇔   x = −4 Với x = −4 ⇒ y = − 17 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (−4; − ) Bài tập tương tự: Bài 1: ( ĐH – khối B năm 2005) Giải hệ phương trình:  x − + − y =  3log9(9x ) − log3 y = Bài 2: ( ĐH – khối A năm 2009) Giải hệ phương trình: log (x2 + y2) = 1+ log (xy) 2  x − xy+ y = 81 3 Bài 3: ( ĐH – khối D năm 2009) Giải hệ phương trình: 2  x(x + y + 1) − =   ( x + y ) − + 1=  x2  Bài 4: ( ĐH – khối B năm 2010) Giải hệ phương trình: log2(3y − 1) = x  x x 4 + = 3y Bài 5: ( ĐH – khối D năm 2010) Giải hệ phương trình:  x2 − 4x + y + =  2log2(x − 2) − log y = 2.3.1.2 Hệ phương trình có phương trình đưa phương trình tích Các Ví dụ: Ví dụ 1: ( ĐH – khối A năm 2003) Giải hệ phương trình:  1  x − x = y − y (1)  2y = x3 + (2)  Giải: Điều kiện xác định: x ≠ 0; y ≠ y = x  1 (1) ⇔ (x − y)1+ ÷ = ⇔  y = − xy    x x=  Với y = x , vào (2) ta được: x − 2x + 1= ⇔  −1± x=  Với y = − , vào (2) ta được: x 2  1  1 (2) ⇔ x + x + = ⇔  x2 − ÷ +  x + ÷ + = (phương trình vô nghiệm) 2  2  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  −1+ −1+   −1− −1−  (1;1); ; ; ÷; ÷  ÷ ÷ 2 2    Ví dụ 2: ( ĐH – khối B năm 2013) Giải hệ phương trình: 2x2 + y2 − 3xy + 3x − 2y + 1= (1)  2 4x − y + x + = 2x + y + x + 4y (2) Giải: Điều kiện: 2x + y ≥ 0, x + 4y ≥ y = x+ (1) ⇔ (x − y + 1)(2x − y + 1) = ⇔   y = 2x + Với y = x + 1, thay vào (2) ta được: 3x2 − x + = 3x + + 5x + ⇔ 3(x2 − x) + (x + 1− 3x + 1) + (x + − 5x + 4) =   1 ⇔ (x2 − x) 3+ + ÷= x + 1+ 3x + x + + 5x +   x = ⇔ x2 − x = ⇔  x = Khi ta nghiệm (x; y) là: (0;1);(1;2) Với y = 2x + 1, thay vào (2) ta được: 3− 3x = 4x + + 9x + ⇔ 3x + ( 4x + − 1) + ( 9x + − 2) =   ⇔ x 3+ + ÷= ⇔ x = 4x + + 9x + +   Khi ta nghiệm (x; y) là: (0;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (0;1); (1;2) Ví dụ 3: ( ĐH – khối D năm 2012) Giải hệ phương trình:  xy + x − = (1)  2 2x − x y + x + y − 2xy − y = (2) Giải:  y = 2x + (2) ⇔ (2 x − y + )( x − y ) = ⇔ Ta có:   y = x Với y = x + thay vào (1) ta được: x2 + x − 1= ⇔ x = −1±  −1+   −1−  ( x ; y ) ; ; ; − ÷ ÷ Do ta nghiệm là:  ÷ ÷ 2    Với y = x2 thay vào (1) ta được: x3 + x − = ⇔ (x − 1)(x2 + x + 2) = ⇔ x = Do ta nghiệm (x; y) là: (1;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  −1+   −1−  (1;1); ; 5÷; ; − 5÷  ÷ ÷ 2    Bài tập tương tự: Bài 1: ( ĐH – khối B năm 2002) Giải hệ phương trình:  x − y = x − y   x + y = x + y + Bài 2: ( ĐH – khối B năm 2003) Giải hệ phương trình:  y2 + 3y =  x2  3x = x +  y2  Bài 3: ( ĐH – khối D năm 2008) Giải hệ phương trình:  xy + x + y = x2 − 2y2   x 2y − y x − = 2x − 2y Bài 4: ( ĐH – khối A năm 2011) Giải hệ phương trình: 5x2y − 4xy2 + 3y3 − 2(x + y) =  2  xy(x + y ) + = (x + y) 2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Các Ví dụ: Ví dụ 1: ( ĐH – khối A năm 2008) Giải hệ phương trình:   x + y + x y + xy + xy = − (∗)   x4 + y2 + xy(1+ 2x) = −  Giải:  x + y + xy ( x + y ) + xy = −  Ta có: (∗) ⇔  (x2 + y)2 + xy = −  Đặt a = x + y; b = xy hệ phương trình trở thành:    5 a + b + ab = − b = − a − a = 0; b = −  ⇔  ⇔    a2 + b = − a3 + a2 + a =  a = − 1; b = −    4 2   x2 + y =  x =   Với a = 0; b = − ta có hệ phương trình:  ⇔ 25  xy = −    y = − 16  x = x + y= −   2⇔  Với a = − ; b = − ta có hệ phương trình:   2  xy = −  y = −   25   3 ; 1; − ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  ;− ÷ 16 ÷ 2   Ví dụ 2: ( ĐH – khối D năm 2009) Giải hệ phương trình:  x(x + y + 1) − = (1)   ( x + y ) − + 1= (2)  x2  Giải: Điều kiện xác định: x ≠ Chia hai vế (1) cho x, ta hệ phương trình cho tương đương với hệ:   x + y + 1− x = (∗)  (x + y) − + 1=  x2 Đặt a = x + y,b = hệ phương trình (∗) trở thành: x  a = 2; b = a − 3b + 1= ⇔  1 a − 5b + 1=  a = ; b =  2 Với a = 2; b = ta tìm x = 1; y = 1 Với a = ; b = ta tìm x = 2; y = − 2  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (1;1); 2;− ÷ 2  Ví dụ 3: ( ĐH – khối B năm 2009) Giải hệ phương trình:  xy + x + 1= 7y (1)  2  x y + xy + 1= 13y (2) Giải: Nhận thấy y= nghiệm hệ phương trình Chia hai vế (1) cho y2 (2) cho y , ta được:  1 x  x  + y + x = 13  + x÷ − = 13 y  y y  ⇔    x x + 1+ x=  + x  ÷+ y =  y y  y   x + x, b = hệ phương trình trở thành: y y a2 − b = 13 a2 + a − 20 =  a = 4; b = ⇔ ⇔   a = −5; b = 12 a + b = b = − a   x + y =  xy + 1= 4y  x = 1; y =  ⇔ ⇔ Với a = 4; b = ta có hệ:    x = 3y x =  x = 3; y =  y  x + = −5  y  Với a = −5; b = 12 ta có hệ:  hệ vô nghiệm x  = 12  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  1; ÷; (3;1)  3 Bài tập tương tự: Bài 1: ( ĐH – khối B năm 2002) Giải hệ phương trình:  x − y = x − y   x + y = x + y + Bài 2: ( ĐH – khối A năm 2006) Giải hệ phương trình:  x + y − xy =   x + + y + = Bài 3: ( ĐH – dự bị khối A năm 2006) Giải hệ phương trình: Đặt a = 10  x2 + 1+ y(x + y) = 4y  (x + y − 2)(x + 1) = y Bài 4: ( ĐH – dự bị khối D năm 2009) Giải hệ phương trình:  x(x + y + 1) − =   (x + y) − + 1= x  Bài 5: ( ĐH – dự bị khối A năm 2007) Giải hệ phương trình:  x4 − x3y + x2y2 =   x y − x + xy = 2.3.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Các Ví dụ: Ví dụ 1: ( ĐH – khối A năm 2010) Giải hệ phương trình: 4(x2 + 1)x + (y − 3) 5− 2y = (1)  2 (2) 4x + y + 3− 4x = Giải: Điều kiện: x ≤ ; y ≤ Phương trình (1) tương đương với phương trình: (4x2 + 1)2x = (5− 2y + 1) 5− 2y (∗) Nhận thấy (∗) có dạng f (2x) = f ( − 2y) , với f (t) = (t2 + 1)t Ta có f ′(t) = 3t2 + 1> 0,∀t∈ ¡ suy hàm số f (t) đồng biến ¡ x≥  Do đó: (∗) ⇔ 2x = − 2y ⇔  5− 4x2 y =  2 5  Thế vào phương trình (2) ta được: 4x +  − 2x2 ÷ + 3− 4x − = (3) 2  Lại thấy x = x = nghiệm (3)  3 5  2 Xét hàm số g(x) = 4x +  − 2x ÷ + 3− 4x − khoảng  0; ÷  4 2  11 5   3 4 g′(x) = 8x − 8x − 2x2 ÷− = 4x(4x2 − 3) − < 0,∀x∈  0; ÷ ss 3− 4x 3− 4x 2   4  3 uy hàm số g(x) nghịch biến khoảng  0; ÷  4  1 Măt khác g ÷ = nên phương trình (3) có nghiệm x = , suy  2 y = 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  ;2÷ 2  Ví dụ 2: ( ĐH – khối A năm 2012) Giải hệ phương trình:  x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9y   2 x + y − x+ y =  Giải: (x − 1)3 − 12(x − 1) = (y + 1)3 − 12(y + 1) (1)  2 Hệ cho tương đương với:  1  1 (2)  x − ÷ +  y + ÷ = 2  2    1 − ≤ x − ≤ − ≤ x − 1≤   ⇔ 2 Từ (2), suy   −1≤ y + ≤ − ≤ y + 1≤   2  3 Xét hàm số f (t) = t3 − 12t  − ;   2 Ta có f ′(t) = 3(t2 − 4) < , suy f (t) nghịch biến Do (1) ⇔ x − 1= y + 1⇔ y = x − (3)  x =   1  3 2 Thay vào (2), ta  x − ÷ +  x − ÷ = 1⇔ 4x − 8x + = ⇔  2  2  x =   3  1 Thay vào (3), ta nghiệm hệ (x; y) là:  ;− ÷;  ;− ÷  2  2  3  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:  ;− ÷;  ;− ÷  2  2 2 Ví dụ 3: ( ĐH – khối A năm 2013) Giải hệ phương trình: 12  x + + x − − y4 + = y (1)   x2 + 2x(y − 1) + y2 − 6y + 1= (2) Giải: Điều kiện: x ≥ Từ (2) ta 4y = (x + y − 1)2 , suy y≥ Đặt u = x − 1(u ≥ 0) Phương trình (1) trở thành: u4 + + u = y4 + + y (3) Xét hàm số f (t) = t + + t, với t ≥ Ta có f ′(t) = 2t3 + 1> 0,∀t ≥ t +2 Do phương trình (3) tương đương với y = u, nghĩa x = y4 + Thay vào phương trình (2) ta y(y7 + 2y4 + y − 4) = (4) Hàm số g(y) = y7 + 2y4 + y − có g′(y) = 7y6 + 8y3 + 1> 0, ∀y ≥ Mà g(1) = 0, nên (4) có hao nghiệm không âm y = y = Với y = 0, x = Với y = 1, x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (1;0); (2;1) Bài tập tương tự: Bài 1: ( ĐH – dự bị khối D năm 2006) Giải hệ phương trình: ln(x + 1) − ln(y + 1) = x − y  2  x − 12xy + 20y = Bài 2: ( ĐH – dự bị khối A năm 2007) Giải hệ phương trình:  x + x2 − 2x + = 3y−1 +    y + y2 − 2y + = 3x−1 + Bài 3: ( ĐH – dự bị khối B năm 2008) Giải hệ phương trình:  x − − y = 8− x3  (x − 1) = y 13 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải hệ phương trình Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Số học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 12 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng toán nói trên, kết qua kiểm tra thử sau : Điểm từ đến Điểm trở lên Điểm Năm Tổng Lớp học số Số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 38 13.1 % 20 52,6 % 13 34,3 % 2012- 12A9 2013 12B9 36 14 % 17 47 % 14 39 % 39 20,5 % 22 56,4 % 23.1 % 2014- 12A10 2015 12B10 42 21 % 23 55 % 10 24 % Như thấy phương pháp có hiệu tương đối Theo dạy toán giải hệ phương trình giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt 14 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Bài toán giải hệ phương trình toán thường gặp đề thi Đại học Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Việc giảng dạy giải tập toán nói chung, hay toán giả hệ phương trình nói riêng phụ thuộc vào nhiều yếu tố Tuy nhiên biết kết hợp, vận dụng kiến thức phương pháp giải học nhuần nhuyễn, hợp lý đạt hiệu cao Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho đề tài đạt hiệu cao Tôi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phũng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề XÁC NHẬN CỦA HIÊU TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 10 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Xuân Sơn 15 Tài liệu tham khảo : Đề thi tuyển sinh vào Đại học – cao đẳng Bộ Giáo dục đào tạo 16 ... gặp toán giải hệ phương trình đề thi đại học, học sinh lúng túng cách giải Tuy nhiên nắm bắt phương pháp giải khó khăn giải 2.3 Một số phương pháp để giải toán hệ phương trình 2.3.1 Phương pháp. .. 2.3 Một số phương pháp để giải toán hệ phương trình 2.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương 2.3.1.1 Hệ phương trình có phương trình phương trình bậc với ẩn x ( y ) 2.3.1.2 Hệ phương trình có phương. .. phát triển tư logíc Giúp em học sinh tham gia kỳ thi Đại học, gặp toán giải hệ phương trình tự tin sử dụng phương pháp giải học để giải tốt toán Đặc biệt qua giúp học sinh có khả ứng phó thích