MỤC LỤC Nội dung Trang 2 3 3 5-6 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II THỰC TRẠNG III CÁC GIẢI PHÁP A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ Các định lý Các tính chất B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Sử dụng đồng thời phương pháp hàm số giải hệ phương trình - Bài 1; 2; Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp biến đổi tương đương 2.1 Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nâng lũy thừa khử 6-7 phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao - Bài 1; 2; 7- 2.2 Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp giải phương trình đẳng cấp - Bài 1; 2.3 Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nhân liên hợp - Bài 1; 2; 9- 10 - 11 11- 12- 13 Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp đặt ẩn số phụ 14 - 15 - Bài 1; Sử dụng phương pháp sau kết hợp với phương pháp hàm số 16 - 17 - Bài 1; Kết hợp phương pháp cộng đại số với phương pháp hàm số 17 - 18 - Bài 1; IV Hiệu sáng kiến đem lại 19 V Đề xuất, khuyến nghị 20 21 PHỤ LỤC Rèn luyện kỹ giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 thông qua kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp khác I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hệ phương trình chủ đề quan trọng chủ đề toán học trường phổ thông Đặc biệt, kỳ thi THPT Quốc gia toán hệ phương trình thường xuất góc độ khác độ khó ngày nâng lên nên đôi lúc cách giải nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn Một loại hệ phương trình hay gặp kỳ thi gây cho học sinh khó khăn tiếp cận hệ phương trình có sử dụng phương pháp hàm số Với mong muốn giúp em học sinh có kỹ tốt, không bỡ ngỡ gặp hệ phương trình dạng này, suy nghĩ SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang rằng, cần phải hệ thống lại kiến thức, phân dạng tập cụ thể cần có phân tích đối em học sinh toán để học sinh hiểu, vận dụng có tư logic tập có dạng tương tự II THỰC TRẠNG Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đánh giá ba câu phân loại học sinh (cùng với toán hình giải tích mặt phẳng Oxy bất đẳng thức) đề thi thpt Quốc gia Cho nên gặp hệ phương trình nói chung, hệ phương trình giải phương pháp hàm số nói riêng, đa số học sinh đánh giá câu khó nên thường có chung tâm lý không làm câu này, trình ôn tập không trọng ôn luyện dạng toán Số lượng học sinh làm trọn vẹn câu hệ phương trình giải phương pháp hàm số không nhiều, thường có em giỏi môn Toán làm được, điều thể qua kết kỳ thi cấp trường cấp sở Lý em phương trình hệ, cách biến đổi để đưa việc xét hàm đặc trưng, quên phương pháp giải phương trình… III CÁC GIẢI PHÁP A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ Các định lý • Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) a) Nều f ' ( x ) ≥ với x ∈ ( a; b ) , dấu “=” xảy hữu hạn điểm hàm số f ( x ) đồng biến ( a; b ) b) Nếu f ' ( x ) ≤ với x ∈ ( a; b ) , dấu “=” xảy hữu hạn điểm hàm số f ( x ) nghịch biến ( a; b ) • Nếu hàm số liên tục đoạn [ a; b ] (hoặc nửa khoảng) có đạo hàm f ' ( x ) ≥ khoảng ( a; b ) , dấu “=” xảy hữu hạn điểm hàm số f ( x ) đồng biến đoạn [ a; b ] (hoặc nửa khoảng tương ứng) • Nếu hàm số liên tục đoạn [ a; b ] (hoặc nửa khoảng) có đạo hàm f ' ( x ) ≤ khoảng ( a; b ) , dấu “=” xảy hữu hạn điểm hàm số f ( x ) nghịch biến đoạn [ a; b] (hoặc nửa khoảng tương ứng) Các tính chất • Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng u; v ∈ ( a; b ) , • ( a; b ) f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v Tính chất 2: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến ( a; b ) y = g ( x ) hàm hàm số nghịch biến ( a; b ) phương trình f ( x ) = g ( x ) có nhiều nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) Nếu có x0 ∈ ( a; b ) cho f ( x0 ) = g ( x0 ) phương trình f ( x ) = g ( x ) có nghiệm x0 ( a; b ) Chú ý: • Khoảng ( a; b ) nêu tính chất thay miền ( −∞; a ) , ( −∞; a ] , [ a; b ] , ( a; b] , [ a; b ) , ( b; +∞ ) , [ b; +∞ ) , ( −∞; +∞ ) SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang •  f ( x ) = f ( y )  g ( x; y ) = ( 1) ( 2) Khi gặp hệ phương trình có dạng  Xét hàm số y = f ( t ) , ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục tập xác định Nếu hàm số y = f ( t ) đơn điệu, từ (1) suy x = y Khi toán đưa giải phương trình (2) theo ẩn x (hoặc y) Nếu hàm số y = f ( t ) có cực trị t = a thay đổi chiều biến thiên lần qua a Từ (1) suy x = y x, y nằm hai phía a • Vận dụng linh hoạt định lí, tính chất trên, từ phương trình ẩn x, ta sẽ đưa hai vế dạng f  h ( x )  = f  g ( x )  (chẳng hạn f ( ) x + = f ( x ) ⇔ x + = x ) với f ( t ) hàm đơn điệu đặc trưng miền D xét Thông thường dự đoán h ( x ) bậc g ( x ) , từ đồng hệ số để tìm g ( x ) B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Sử dụng đồng thời phương pháp hàm số giải hệ phương trình Đối với hệ phương trình hai ẩn x, y , ta thường phải xuất phát từ phương trình hệ để tìm mối liên hệ đơn giản x y , cách sử dụng phương pháp hàm số Khi tìm mối liên hệ x y đơn giản ta vào phương trình lại, thường ta thu phương trình ẩn (theo ẩn x ẩn y) Nhưng phương trình thu lại phức tạp (chứa bậc cao, chứa căn, ) chứa biểu thức tương đồng mặt hình thức, ta tiếp tục sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình ẩn Bài 1.(Đại học khối A năm 2010) Giải hệ phương trình: ( )  x + x + ( y − 3) − y =  2 4 x + y + − x = ( 1) ( 2) Phân tích: Ta nhận thấy khó bắt đầu với phương trình (2), để ý đến phương trình (1), x + biểu thức bậc hai x y − coi biểu thức bậc hai − y Nếu đặt t = − y  − t2  −1 − 2y =  − ÷t = t +1 t   ( ( y − 3) Biểu thức (t ) ) ( ) + t có hình thức giống với x + x , ta biến đổi ( 1) dạng f ( u ) = f ( v ) Để đưa dạng ta thường “cô lập” biến, chuyển ( y − 3) sang vế phải ( 1) Giải Điều kiện x ≤ ;y ≤ ( ) Khi ( 1) ⇔ x + x = ( − y + 1) − y ( (3) ) Xét hàm số f ( t ) = t + t = t + t , với t ∈ ¡ SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang − 2y Ta có f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀ t ∈ ¡ suy f ( t ) đồng biến R Do x ≥ ( 3) ⇔ x = − y ⇔  − x y =  − 4x Thay y = vào phương trình (2) ta được: 2 5  x +  − x2 ÷ + − x − = 2  (4) Phân tích: Phương trình (4) trông “phức tạp” nên ta định hướng sử dụng phương pháp hàm số để giải Nhận thấy x = x = không nghiệm phương trình (4)  3 5  Xét hàm số g ( x ) = x +  − x ÷ + − x − với x ∈  0; ÷, ta có:  4 2  4 5   3 g ' ( x ) = x − x  − x ÷− = 4x 4x2 − − < 0, ∀x ∈  0; ÷ − 4x − 4x 2   4  3 1 Do g ( x ) nghịch biến  0; ÷ Mà g  ÷ = nên phương trình (4) có nghiệm  4 2 ( x= ) suy y = 1 2   Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) =  ;2 ÷ Bài 146  x + + x − − y + = y (ĐH-A2013) Giải hệ phương trình  2  x + x ( y − 1) + y − y + = Giải Điều kiện x ≥ Coi (2) phương trình bậc hai ẩn x, điều kiện để tồn x ∆ ' = ( y − 1) − y + y − = y ≥ ⇔ y ≥ Đặt u = x − 1, suy u ≥ Phương trình (1) trở thành: u4 + + u = Xét f ( t ) = t + + t , với t ≥ Ta có f ' ( t ) = y4 + + y 2t t +2 ( 3) + > 0, ∀t ≥ Do phương trình (3) tương đương với y = u , nghĩa x = y + ( ) Thay vào phương trình (2) ta được: y y + y + y − = ( 4) Hàm g ( y ) = y + y + y − có g ' ( y ) = y + y + > với ∀y ≥ Mà g ( 1) = 0, nên (4) có hai nghiệm không âm y = y = Với y = ta nghiệm ( x; y ) = ( 1;0 ) ; với y = ta nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang ( 1) ( 2) Vậy nghiệm ( x; y ) hệ cho ( 1;0 ) ( 2;1) Nhận xét: Phương trình f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v hàm số f ( t ) đơn điệu D u , v ∈ D Nếu hàm đặc trưng f ( t ) có đạo hàm f ' ( t ) chưa xác định dấu (luôn dương âm) ¡ ta phải tìm cách chặn biến x; y để u , v ∈ D f ( t ) đơn điệu D Để chặn biến x, y ta dựa vào điều kiện xác định hệ phương trình, điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x tham số y (hoặc ẩn y tham số x ) có nghiệm, nhận xét điều kiện biểu thức A + B = 0, B ≥ ⇒ A ≤ ; để hệ có nghiệm (chẳng hạn: A B = c < ⇒ A < 0; A2 + B = ⇒ −1 ≤ A, B ≤ ,….)  x11 + xy10 = y 22 + y12  Giải hệ phương trình  4 2 7 y + 13 x + = y x x + y − Bài 147 ( ) ( 1) ( 2) Giải Xét y = 0, ( 1) ⇒ x = thay vào (2) không thoả mãn 11 x x Xét y ≠ , chia vế (1) cho y ta được:  ÷ + = y11 + y (3) y  y 11 10 Xét hàm số f ( t ) = t + t , t ∈ ¡ , ta có f ' ( t ) = 11t + > 0, ∀t ∈ ¡ nên f ( t ) hàm số đồng biến 11 ¡ Do đó,  x x ÷= f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y , y  y (3) ⇔ f  ( ) 2 Thế x = y vào (2) ta được: x + 13 x + = x x x + x − ( 4) Xét x = không nghiệm phương trình, chia vế cho x ta được: ( 4) ⇔ Đặt t = 13 + + = 23 + − x x x x x , phương trình trở thành x 8t + 13t + 7t = 3 + 3t − t ( ⇔ ( 2t + 1) + ( 2t + 1) = 3 + 3t − t + + 3t − t ) ( 5) Xét hàm số g ( u ) = u + 2u , u ∈ ¡ ta có g ' ( u ) = 3u + > 0, ∀u ∈ ¡ nên hàm số g ( u ) đồng biến ¡ Do đó, ( 5) ⇔ g ( 2t + 1) = g ( 3 + 3t − t ) ( ) ⇔ ( 2t + 1) = + 3t − t ⇔ ( t + 1) 8t + 5t + = ⇔ t = −1 Suy x = −1 ⇒ y = −1 , hệ cho vô nghiệm Bài tập tương tự: ( )  x + x + ( y − ) − y = Giải hệ phương trình  22 x + y + 18 − x = 76 SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang Đáp số: ( x; y ) = ( 1;2 )  4x2 + 2 x + = x − x y − y + ( 1)  x Giải hệ phương trình   x + − − y = x + + x + x3 ) ( ) ( ( )  −1 +  ; ÷   Đáp số: ( x; y ) =  Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp biến đổi tương đương 2.1 Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nâng lũy thừa khử phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao Ngoài phương pháp hàm số nêu phần trước, giáo viên cần nhắc lại cho học sinh số phép biến đổi tương đương phương trình để biến đổi phương trình ban đầu phương trình biết cách giải sau: 2n  g ( x ) ≥ ( f ( x ) ) ≥ f ( x ) = 2n g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x ) n +1 2n f ( x ) = n+1 g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x )  g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔  2n  f ( x ) = g ( x ) n +1 f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g n +1 ( x ) Bài (Đại học khối A năm 2012) Giải hệ phương trình:  x3 − x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =  Phân tích: Hai vế phương trình đầu có dạng bậc (với hai biến x, y), nên ta định hướng đưa phương trình đầu dạng f ( u ) = f ( v ) , nhiên hàm đặc trưng lúc f ( t ) = t − 12t không đơn điệu ¡ ta phải chặn biến Nhìn vào phương trình thứ ta 2 1 1  1  thấy đưa  x − ÷ +  y + ÷ = suy x − ≤ 1; y − ≤ 2 2  2  Giải ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1)  2 Hệ cho tương đương với:  1  1  x − ÷ +  y + ÷ = 2  2  ( 1) ( 2) 1   −1 ≤ x − ≤ − ≤ x − ≤ ⇔ Từ (2), suy  −1 ≤ y + ≤ − ≤ y + ≤   2 SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang  3 ( ) Xét hàm số f ( t ) = t − 12t  − ;  , ta có f ' ( t ) = t − < 0, suy f ( t ) nghịch  2 biến Do ( 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − ( 3) Thay vào (2), ta  x =      x − ÷ +  x − ÷ = ⇔ x − 8x + = ⇔  2  2  x =  2 1 2 3 2 3 2 1 2 Thay vào (3), ta nghiệm hệ ( x; y ) =  ; − ÷; ( x; y ) =  ; − ÷ Bài 148 ( )  x3 − y = x − y +  Giải hệ phương trình   x + − x − y − y + = ( 1) ( 2) Giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ Ta có ( 1) ⇔ x − x = ( y − 1) − ( y − 1) ( 3) Do ≤ y ≤ ⇒ −1 ≤ y − ≤ Xét hàm số f ( t ) = t − 3t với −1 ≤ t ≤ , có f ' ( t ) = 3t − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] nên hàm số f ( t ) đồng biến [ −1;1] Do ( 3) ⇔ f ( x ) = f ( y − 1) ⇔ x = y − hay y = x + Thế vào (2) ta x2 + − x2 − − x2 + = ⇔ x2 + = − x2 ⇔ x4 + 8x2 = ⇔ x = Với x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) Bài 149 ln ( + x ) − ln ( + y ) = x − y ( 1) 2 2 x − xy + y = Giải hệ phương trình:  Giải Điều kiện: x > −1, y > −1 Phương trình (1) hệ viết lại dạng ln ( + x ) − x = ln ( + y ) − y Xét hàm số f ( t ) = ln ( + t ) − t với t ∈ ( −1; +∞ ) có f ' ( t ) = Ta thấy f ' ( t ) = ⇔ t = ( 2) ( 3) −t −1 = 1+ t 1+ t Bảng biến thiên SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang Ta có ( 3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) • Nếu x, y thuộc miền đơn điệu hàm số f ( t ) f ( x) = f ( y) ⇔ x = y Thế vào phương trình (2) ta được: x = y = • Nếu x, y nằm hai miền đơn điệu khác f ( t ) xy < Khi vế trái (2) dương, phương trình không thỏa mãn Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0;0 ) Bài tập tương tự (  x2 − y + = y − x + − x  Giải hệ phương trình   x + + y − + x − y = Đáp số: ( x; y ) = ( 3;4 ) )  x − − − y = y − x + x − y + Giải hệ phương trình   x + + y + = Đáp số: ( x; y ) = ( 3;2 ) , ( x; y ) = ( −1;6 ) Giải hệ phương trình  x + + x + + x + =  2  x + y + x + y = 80 y −1 + y − + y − 5 −7 5 +5 ; ÷ 2   Đáp số: ( x; y ) =  2.2 Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp giải phương trình đẳng cấp Trong phương pháp này, việc nắm ứng dụng hàm số vào giải phương trình, ta cần phải nắm cách giải số dạng phương trình đẳng cấp sau: +) Phương trình: ax + bxy + cy = Xét y = ⇒ x =  x x Xét y ≠ 0, chia hai vế cho y phương trình a  ÷ + b  ÷+ c =  y  y phương trình bậc hai ẩn x y +) Phương trình ax + bx y + cxy + dy = Xét y = ⇒ x = SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang  Xét y ≠ , chia hai vế cho y a   3  x  x x ÷ + b  ÷ + c  ÷+ d = phương y  y  y x y trình bậc ba ẩn +) Phương trình dạng: α x + β y = mx + ny , bình phương hai vế phương trình ta phương trình đẳng cấp bậc hai hai ẩn x; y ( 1) ( 2)  x + x y − x y − 12 xy + y + = Bài Giải hệ phương trình    y + x + y = + x + − x y ( ) Phân tích: Ta đưa phương trình (2) dạng ( ) f y2 = f ( − x3 y ) với f ( t ) = t + t đồng biến [0; +∞) , ta có y = − x3 y ⇔ y = − x y (*) Để ý đến phương trình (1) ta thấy biểu thức chứa biến có bậc 4, chữ số chuyển thành biểu thức bậc ta phương trình đẳng cấp bậc 4, điều giải phương trình (*) ta vừa thu Ta có lời giải sau: Giải Điều kiện: − x3 y ≥ Ta có: ( ) ⇔ y + y = − x3 y + − x y ( 3) Xét hàm số: f (t ) = t + t với t ≥ , có f ′(t ) = 2t + > với t ≥ Nên hàm số f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) Mà y ; − x y ∈ [ 0; +∞ ) nên: ( 3) ⇔ ( ) f y2 = f ( ) − x3 y ⇔ y = − x3 y ⇔ y + x3 y = (4) Thay = y + x y vào ( 1) ta được: (5) x + x3 y − x y − 12 xy + y = Do y = không thỏa mãn nên chia hai vế phương trình (5) cho y ta được: x x x x  ÷ +  ÷ −  ÷ − 12  ÷+ =  y  y  y  y x  ⇔  − 1÷ y  x   + ÷ = y  x = y ⇔  x = −3 y Với x = y , thay vào (4) ta có: x = ⇔ x = ± Với x = −3 y , từ (4) ta có: −53 y = (vô nghiệm)  1   −1 −1  ; ÷,  ; ÷  3  3 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) là:  SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang  y3 + y = ( x + 5) x + ( 1)  Giải hệ phương trình:  2 2 x + 16 = y + y x − x + ( ) ) ( Bài 150 Giải Điều kiện x ≥ −2, y ∈ ¡ ( 1) ⇔ y + y = ( x + ) + x + Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , t ∈ ¡ f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ , suy f ( t ) đồng biến ¡ Phương trình (1) có dạng: f ( y ) = f ( x + ) ⇔ y = x + ( Thay vào (2) ta x + 16 = ( x + ) + x + x2 − 2x + ) ⇔ 2x2 − 6x + = x + x2 − 2x + ( ) ⇔ x2 − 2x + − ( x + 2) = x + x2 − x + Đặt u = x + 2, v = x − x + 4, ( u ≥ 0, v > ) Phương trình trở thành 2v − 3uv − 2u = (3) Do v > 0, chia hai vế phương trình (3) cho v ta được: u u u u  ÷ +  ÷− = ⇔ = = −2 v v v v u Do u ≥ 0, v > nên = ⇔ v = 2u v Suy x − x + = x + ⇔ x − x − = ⇔ x = ± 13 (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) là: ( 3+ )( ) 13; + 13 , − 13; − 13 Bài tập tương tự  x + x + 10 + y = y + 12 y Giải hệ phương trình  2 y − x − + y ( x + 1) =  + 161 153 + 161  − 161 153 − 161  ; ; ÷ ÷ 32 32    1  x − y = −  x2 + y + Giải hệ phương trình  2 y + x + y = x + y + y +  Đáp số: ( x; y ) = ( 3;3) Đáp số: ( x; y ) =  ( ) 2.3 Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nhân liên hợp SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 10 Trong mục ta xét đến lớp toán sử dụng phương pháp hàm số để đơn giản phương trình hệ, sau vào phương trình lại sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp Mục đích phương pháp nhân lượng liên hợp đưa phương trình thu phương trình tích số Một số dạng nhân lượng liên hợp cần ý sau: - Nhân lượng liên hợp cách nhóm số hạng phương trình: Quan sát số hạng có phương trình để tìm mối liên hệ chúng, sau nhóm lại nhân lượng liên hợp để làm xuất nhân tử chung - Nhân lượng liên hợp cách thêm bớt số: Đoán nghiệm x0 phương trình, sau thêm bớt số nhân lượng liên hợp để xuất nhân tử x − x0 Cách đoán nghiệm x0 ta dùng chức SOLVE máy tính cầm tay chọn số x0 cho f ( x0 ) số nguyên (hoặc hữu tỉ) 2 x y + y = x + x Bài Giải hệ phương trình  ( x + ) y + = ( x + 1) ( 1) ( 2) Giải Điều kiện y ≥ −1 Do x = không thỏa mãn hệ chia hai vế phương trình (1) cho x ta được: y y ( 1) ⇔  ÷ + = x3 + x x x t∈¡ Xét hàm số f ( t ) = t + 2t , ( 3) Ta có: f ' ( t ) = 3t + ≥ 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số f ( t ) đồng biến R y  y ÷= f ( x) ⇔ = x ⇔ y = x x x Do ( 3) ⇔ f  Thế y = x vào (2) ta được: ( x + 2) ⇔ ( x + 2) Ta có ( x2 + = x2 + 2x + ) x2 + − x = x + + x > x + x ≥ nên nhân hai vế phương trình với x + + x ta được: x + = x2 + + x ⇔ x2 + = ⇔ x = ± ( ) Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = − 3;3 , ( x; y ) = Bài 151 ( ) 3;3 ( x + + x)( y + + y ) = Giải hệ phương trình    4 x + + 22 − x = y + ( 1) ( 2) Giải Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Do + y2 − y > 22 y − y = − y + y ≥ 0, ∀y ∈ ¡ SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 11 + y − y ta Nên nhân hai vế phương trình (1) với ( 1) ⇔ x + + x2 = ( − y ) + ( −y) +1 (3) Xét hàm số h ( t ) = t + t + , t ∈ ¡ Ta có h ' ( t ) = + t t2 +1 t2 +1 + t = t +t > t2 +1 t2 +1 Suy hàm số h ( t ) đồng biến R ≥ 0, ∀t ∈ ¡ Do ( 3) ⇔ x = − y Thay y = − x vào phương trình (2) ta x + + 22 − x = x + Nhẩm nghiệm x = , thực nhân liên hợp ta thu nghiệm x = phương trình: x+2 +2 − 22 − x + = x + (*) đặt VT = f ( x) ; VP = g ( x) Ta có: f ′( x) = −4 x + 2.(2 + x + 2) − 22 − x (2 + 22 − x ) < 22   g ′( x) = > với ∀x ∈  −2; ÷     Suy f ( x) nghịch biến, g ( x) đồng biến  −2; 22   Mà f ( −1) = g (−1) = suy phương trình (*) có nghiệm x = −1 Vậy nghiệm ( x; y ) hệ cho: ( 2; −2 ) , ( −1;2 ) Bài 152 2 ( x − ) x + = − y Giải hệ phương trình:  ( x − ) y + = y + x − x + ( 1) ( 2) Giải Điều kiện: x ≥ −6; y ≥ −1 Phương trình (2) tương đương với x−2 x2 − 4x + ⇔ x−2 ( x − 2) + Xét hàm số f ( t ) = y +1 = y+2 y +1 = t t +1 ( ) ( 3) y +1 +1 , t ∈ ¡ , có f ' ( t ) = (t ) +1 t2 +1 > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Do đó, ( 3) ⇔ f ( x − ) = f ( ) y +1 ⇔ x − = x ≥ y +1 ⇔   y = x − 4x + SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 12 Thay vào (1) ta ( x − 2) x + = − x2 + x + ⇔ ( x − 2) ⇔ ( x − 2) ( ) x + − = − x − x + 15 x−3 = − ( x − 3) ( x + ) x+6 +3  2x −  ⇔ ( x − 3)  + x + 5÷=  x+6 +3  2x − + x + ≥ nên phương trình có nghiệm x = , suy y = Do x ≥ nên x+6 +3 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;0 ) Bài tập tương tự )( ( )  x + x2 + y + y2 + =  Giải hệ phương trình   x + − x = y − − y + Đáp số: ( x; y ) = ( −1;1) , ( x; y ) = ( 2; −2 ) ( 1) ( 2) ( 17 − x ) − x + ( y − 14 ) − y = Giải hệ phương trình  2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 Hướng dẫn Đưa phương trình đầu hệ dạng: f ( ) 5− x = f ( ) ( ) − y , với f ( t ) = + 3t t , hàm số f ( t ) đồng biến ¡ nên ta thu − x = − y ⇔ y = x −1 Thế vào phương trình thứ hai hệ, đến giải đơn giản Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp đặt ẩn số phụ Một số phép đặt ẩn phụ giải phương trình: + Nếu phương trình chứa + Nếu phương trình chứa n f ( x ) f ( x ) ta đặt t = n f ( x) f ( x ) ± g ( x ) f ( x ) g ( x ) , ta đặt t = f ( x) ± g ( x) Ngoài cần ý số cách biến đổi để làm xuất ẩn phụ: Chia hai vế cho biểu thức khác thực biến đổi đẳng thức  y + y = x3 + 3x + x + Bài Giải hệ phương trình   − x − y = − y − ( 1) ( 2) Giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ ( 1) ⇔ ( x + 1) + x + = y + y f ( t ) = t + t , t ∈ ¡ có f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ Xét hàm số SKKN năm học: 2015 – 2016 (3) nên hàm số f ( t ) đồng biến R Trang 13 Do đó, ( 3) ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) ⇔ y = x + Thế vào (2) ta được: − x2 + = + x + − x (4) Đặt t = + x + − x ( t ≥ ) ⇒ t = + − x ⇒ − x = t2 − 2 Phương trình (4) trở thành t = t2 − + = t ⇔ t − 2t = ⇔  t = Với t = , ta có + x + − x = ⇔ + − x = (vô nghiệm) Với t = ta có + x + − x = ⇔ + − x2 = ⇔ − x2 = ⇔ x = Với x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) )( ( )  x + x2 + y + y + =  Giải hệ phương trình  y 35 = y + x − 12  Bài 153 ( 1) ( 2) Giải Điều kiện x > Do y2 +1 − y > ( 1) ⇔ ( x+ y − y ≥ , nên )( x2 + y + y2 + ⇔ x + x2 + = ( − y ) + )( ( − y) ) y2 + − y = y2 + − y ( 3) +1 Xét hàm số f ( t ) = t + t + 1, t ∈ ¡ , ta có f '( t ) = + t t +1 = t2 +1 + t Nên hàm số f ( t ) đồng biến R Do đó, t +1 t +t > t +1 ≥ 0, ∀t ∈ ¡ ( 3) ⇔ f ( x ) = f ( − y ) ⇔ x = − y Thay vào (2) ta được: y + y y2 −1 = 35 12 (4) y > Ta thấy phương trình (4) có nghiệm  ( 4) ⇔ y + ⇔ y >1 y2 y2 1125 + = y − y − 144 y4 + y2 −1 y2 ⇒ y > Khi đó, 1125 =0 144 y −1 − SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 14 Đặt t = y2 y −1 ( t > ) , phương trình trở thành: 49  t = −  1125 12 t + 2t − =0⇔ 144 t = 25  12 25 Do t > nên t = , ta có 12  25  y = y = ±   y 25 16 = ⇔ 144 y − 625 y + 625 = ⇔  ⇔ y − 12  y = 25 y = ±   5 Đối chiếu điều kiện y > ta y = ; y =  −5   −5  ; ÷; ( x; y ) =  ; ÷ Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) =   4  3 Bài tập tương tự  x3 − y = ( x − y ) + Giải hệ phương trình   x + − x − y − y + = Đáp số: ( x; y ) = ( 0;1)  x − y + x − y − 30 = 28 y Giải hệ phương trình  ( y + ) = − x y + 10 ( ) Đáp số: ( x; y ) = − 2; −1 , ( − 1;2 + ) Sử dụng phương pháp sau kết hợp với phương pháp hàm số Trong phương pháp này, ta thực biến đổi phương trình hệ dạng tích số, thực rút ẩn theo ẩn (trong số trường hợp ta phải rút x , y , xy, ) vào phương trình lại hệ sử dụng phương pháp hàm số  y − x + + = x + + − x Bài Giải hệ phương trình  3 2 2 x − y + x y = xy − 3x + y Phân tích: Nhìn vào hệ ta thấy khó bắt đầu phương trình thứ hệ Để ý đến phương trình thứ hai, ta thấy có cặp hệ số giống nhau: hệ số (trong x ;2 xy ), hệ số (trong x ,3 y ), hệ số (trong y , x y ) ta nghĩ đến ghép cặp biểu thức có hệ số giống lại để làm xuất nhân tử chung Giải Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Ta có (2) ⇔ x( x − y ) + y ( x − y ) + 3( x − y ) = SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 15 ⇔ (2 x + y + 3)( x − y ) = ⇔ y = x (vì x + y + > , với −1 ≤ x ≤ ) Thay y = x vào (1) ta được: x − x + + = x + + − x (3) Xét hàm số f ( x ) = x − x − x + − − x + + 2, x ∈ [-1;2] Ta có f ' ( x ) = x − − Và f '' ( x ) = + x +1 4( x + 1) x + 1 + + 2− x 4(2 − x) − x > 0, ∀x ∈ (−1;2) Do hàm số f ’ ( x ) đồng biến khoảng (-1; 2), nên phương trình f ’ ( x ) = có nhiều 1 2 nghiệm Mặt khác f ’  ÷ = , từ ta có BBT f ( x) Vì f( ) = + − < 0, nên từ bảng biến thiên suy phương trình f(x) = có nhiều 2 nghiệm, f(0) = f(1) = 0, phương trình (3) có nghiệm x =0; x = Tóm lại hệ cho có nghiệm (0; 0) (1;1) Bài 154 Giải hệ phương trình:  xy + = y x +  2  y + ( x + 1) x + x + = x − x Phân tích: Ta thấy phương trình thứ hệ phương trình bậc ẩn y nên ta rút y theo x vào phương trình thứ hai hệ Giải ĐKXĐ: x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ Ta có xy + = y x + ⇔ y ( ) x2 + − x = ⇔ y = x2 + − x ⇔ y = x + + x (1) Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta có : ( x2 + + x ) + ( x + 1) x + x + = x − x ⇔ + x x + + x + ( x + 1) x + x + = ⇔ ( x + 1) 1 +  ( x + 1) +  = ( − x ) 1 +   ( −x) +  (*)  SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 16 ) ( Xét hàm số f (t ) = t + t + với t ∈ ¡ Ta có f '(t ) = + t + + t2 t +2 > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ f (t ) đồng biến R Mặt khác, phương trình (*) có dạng f ( x + 1) = f ( − x) ⇔ x + = − x ⇔ x = − vào (1) ta tìm y =   Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) =  − ;1÷   Thay x = − Bài tập tương tự 2 x +3 y + y + 4.2 x +4 y = 22 x +3 y + 4( y +1) ( 1)  Giải hệ phương trình:  y + y − x + xy ( 2) 2 x − y − = 2 y + y − 3x +   22 − 10 − 10  ; ÷   Đáp số: ( 1; −1) , ( 8;6 ) ,   x3 y − y = 28 Giải hệ phương trình:  2  x y + xy + y = 18 ( ) Đáp số: 2; Kết hợp phương pháp cộng đại số với phương pháp hàm số Trong dạng này, chưa sử dụng phương pháp hàm số để biến đổi hệ phương trình mà muốn sử dụng được, cần phải kết hợp phương trình hệ lại, áp dụng tính chất hàm số để biến đổi  x3 ( + y ) = Bài Giải hệ phương trình   x y − = ( ) Phân tích: Đối với hệ này, ta nghĩ đến cô lập biến sử dụng phương pháp hàm số Chia hai vế phương trình thứ cho x , chia hai vế phương trình thứ hai cho x cộng lại ta được: y3 + y = Giải • • 1 + , đến ta sử dụng phương pháp hàm số x3 x Với x = dễ thấy không thỏa mãn hệ Với x ≠ , ta có:  2 + y = x 1 ⇒ y + y = + (1) Hệ cho tương đương với  x x  y3 − =  x Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , t ∈ ¡ có f ' ( t ) = 3t + > với t ∈ ¡ R nên hàm số f ( t ) đồng biến R SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 17 1  x Do đó, (1) có dạng f ( y ) = f  ÷ ⇔ y = x    x = −1; y = −1  y = x y = ⇔ ⇔ x Thế vào hệ sẽ được:  x = ; y =    x  + ÷ = 2 x3 + 3x − =     x 1 2   Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) là: ( −1; −1) ,  ;2 ÷ Bài 155  x3 ( y + 55 ) = 64 Giải hệ phương trình   xy y + y + = 12 + 51x ( ) ( 1) ( 2) Hướng dẫn:Tương tự 1, ta cô lập biến x, y; chia hai vế phương trình (1) cho x , phương trình (2) cho x cộng lại với biến đổi dạng: ( 4 y + 1) + ( y + 1) =  ÷ + x x Giải Với x = y = hệ không thỏa mãn 64  3 y + 55 = x Với x ≠ 0, y ≠ , HPT ⇔   y + y + y = 12 + 51  x 4 Cộng theo vế lại ta được: ( y + 1) + ( y + 1) =  ÷ + x x (3) Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , t ∈ ¡ có f ' ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ nên hàm số f ( t ) đồng biến ¡ 4 ÷ ⇔ y + = x ⇔ xy = − x x Phương trình (3) có dạng f ( y + 1) = f  Kết hợp với (1) ta được: x ( − x ) + 55 x3 = 64 ⇔ 13 x3 + x − 16 = ( ) ⇔ ( x − 1) 13 x + 16 x + 16 = ⇔ x =1 ⇒ y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 1;3) Bài tập tương tự Giải hệ phương trình:  y + y + y + x − 22 x + 21 = ( x + 1) x −  2 x − 11x + = y Đáp số: Nghiệm hệ: ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( 5;2 ) SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 18  x + + − y = Giải hệ phương trình:   y + + − x = ( 1) ( 2)  11 11  ; ÷ 9 9 Đáp số: Nghiệm ( x; y ) hệ là: ( 3;3) ,  IV Hiệu sáng kiến đem lại Qua áp dụng lớp 12A, 12B 12C trường THPT Mai Anh Tuấn mang lại kết thiết thực, cụ thể: Trong đề thi khảo sát chất lượng tuần đầu học kì I năm học 2015-2016 trường THPT THPT Mai Anh Tuấn có câu:  x x − y y + xy + y − y + = “Giải hệ phương trình:  3 x − y + x + y − xy = ” Đây câu không khó, ta cần cộng theo vế phương trình hệ (mục đích để khử xy ) biến đổi dạng f ( ) x +1 = f ( y) với f ( t ) = t + 2t Tuy nhiên theo thống kê, học sinh làm câu không nhiều, nội dung ứng dụng hàm số giải phương trình, hệ phương trình tổ chuyên môn thống từ đầu năm thầy cô nghiêm túc thực Lớp 12A Lớp 12B Lớp 12C Tổng số HS Số học sinh làm 12/42 17/43 13/45 42/130 câu HPT Tỉ lệ 28,6% 39,5% 30,2% 32,2% Sau áp dụng sáng kiến lớp 12A, 12B, 12C (với thời lượng 20 tiết/lớp), kỳ thi thử đại học lần trường THPT Mai Anh Tuấn có câu:  x3 − y − 3x + x − y − = “Giải hệ phương trình:  ” 2 x + + y + = x + y −  tỉ lệ học sinh làm câu tăng lên rõ rệt cách giải hệ phức tạp (biến đổi phương trình thứ dạng f ( y ) = f ( x − 1) với f ( t ) = t + 3t từ y = x − Thế vào phương trình thứ dùng tiếp phương pháp nhân lượng liên hợp sẽ được: x =  x+2 sau dựa vào đánh giá chứng minh phương trình (*) vô  + = x + ( *)  x + + x+2+2 nghiệm.) Số học sinh làm câu HPT Tỉ lệ Lớp 12A 25/42 Lớp 12B 26/43 Lớp 12C 24/45 Tổng số HS 75/130 59,5% 60,5% 53,3% 57,7% - Các em không tâm lý e ngại gặp hệ phương trình nói riêng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nói chung qua sáng kiến em nắm cách hệ thống phương pháp giải phương trình bất phương trình phương pháp giải tương tự SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 19 V Đề xuất, khuyến nghị Đối với nhà quản lý giáo dục, nhà trường: Tổ chức chương trình tập huấn bồi dưỡng nghiệp vụ hàng năm cho giáo viên đặc biệt chuyên đề ôn thi thpt Quốc gia, thi học sinh giỏi cấp tỉnh Các chuyên đề khó phương trình-bất phương trình-hệ phương trình, phương pháp tọa độ mặt phẳng, bất đẳng thức cần tập trung nhiều để giúp cho sở giáo dục, thầy cô giáo có thêm tư liệu việc đào tạo, bồi dưỡng nâng cao lực toán học nói riêng phát triển tư cho học sinh nói chung Đối với giáo viên: - Phải không ngừng tự học, tự trau dồi thân để nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ - Mỗi dạng toán cần có phương pháp giải riêng, có công thức từ hình thành cho học sinh đường tư logic để giải toán, giúp cho em có cách học, tự học hiệu - Người thầy cần phải tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh, bên cạnh cần động viên kịp thời để em có hứng thú với môn - Thầy giáo hướng dẫn cách tự đọc sách cho học sinh, hướng dẫn em tự tìm tòi qua sách vở, báo toán, trang web toán học Sử dụng mạng xã hội để trao đổi với em vấn đề liên quan đến môn học - Người thầy tăng cường luyện tập cho em dạng chuyên đề đề thi để em có nhiều thời gian tiếp cận tập dượt với dạng toán thi, từ giúp em có kết học tập ngày tốt Trên báo cáo sáng kiến đúc rút trình học tập công tác trường thpt Mai Anh Tuấn, chắn sẽ có nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Ngươi viết SKKN Lê Thị Liên PHỤ LỤC Danh mục tài liệu tham khảo Phạm Kim Chung, Phạm Chí Tuân, Lê Đình Mẫn, Ngô Hoàng Toàn Phương trình vô tỷ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Lê Văn Đoàn, Văn Đức Chín Phương trình, bất phương trình & hệ phương trình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Báo toán học tuổi trẻ Các Website toán học: mathvn.com, k2pi.net, violet.vn, SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 20 ... Đáp số: ( x; y ) =  2.2 Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp giải phương trình đẳng cấp Trong phương pháp này, việc nắm ứng dụng hàm số vào giải phương trình, ta cần phải nắm cách giải số. .. x Giải hệ phương trình   x + − − y = x + + x + x3 ) ( ) ( ( )  −1 +  ; ÷   Đáp số: ( x; y ) =  Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp biến đổi tương đương 2.1 Kết hợp phương pháp hàm. .. đồng hệ số để tìm g ( x ) B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Sử dụng đồng thời phương pháp hàm số giải hệ phương trình Đối với hệ phương trình hai ẩn x, y , ta thường phải xuất phát từ phương trình hệ để