1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Khi giải toán vấn đề khó khăn giải thích lại xuất yếu tố sẵn trình giải toán để đến lời giải Phải có trình suy luận logic để dẫn tới xuất yếu tố giải toán Quá trình xuất lời giải xuất lời giải tối ưu để lại nhiều kinh nghiệm quý, GV biết khai thác cách hợp lí để dạy cho học sinh trình tư chắn việc học học sinh mang tính chủ động, sáng tạo Xu hướng đề thi Đại học trọng nhiều đến tính sáng tạo học sinh, đề thi nhiều toán mà rõ ràng mặt đường lối giải toán Thực tiễn yêu cầu học sinh phải trang bị đầy đủ kiến thức, đặc biệt khả suy luận logic tìm kiếm lời giải Trong đề thi tuyển sinh đại học năm gần thường xuyên xuất toán giải hệ phương trình Đối với đa số học sinh toán khó Phần lớn em lúng túng đứng trước việc phải lựa chọn phương pháp giải vấn đề cho hướng trở nên hợp lí dễ dàng Các phương pháp giải hệ đa dạng: phương pháp đặt ẩn phụ, phân tích thành nhân tử, biến đổi tương đương,… Phương pháp hàm số số cách giải áp dụng phổ biến Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp để giải vấn đề thường học sinh áp dụng cách máy móc Đa số kĩ tốt việc phân tích toán nhận dạng cách nhạy bén hàm số sử dụng Do đó, tiến hành khảo sát, triển khai thực đề tài: “Rèn luyện kĩ năng, phát triển tư sáng tạo cho học sinh lớp 12 THPT thông qua kĩ thuật gỡ nút thắt tạo nút thắt toán giải hệ phương trình phương pháp hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh hình thành kĩ nhận biết dạng toán sử dụng phương pháp hàm số, rèn luyện cách lựa chọn hàm số hướng phù hợp cho Nâng cao lực sáng tạo, khả khái quát hóa thông qua việc biến đổi sáng tạo hệ phương trình dựa hàm số lựa chọn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12 THPT, sau học sinh học tính đồng biến, nghịch biến chương 1- hàm số (Giải tích lớp 12) 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận, đọc tài liệu liên quan đến hệ phương trình giải phương pháp sử dụng tính biến thiên hàm số Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Quy trình dạy học hiểu tổ hợp thao tác giáo viên học sinh tiến hành theo trình tự định đối tượng nhận thức Chẳng hạn, quy trình bốn bước để giải toán gồm : • Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán • Bước 2: Xây dựng thuật giải • Bước 3: Thực thuật giải • Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Để giải hệ phương trình theo phương pháp hàm số ta thực theo hướng sau:  Hướng 1: Bước 1: Đưa hai phương trình cộng, trừ phương trình hệ để đưa dạng : f ( x) = k (1) Bước : Xét hàm số y = f ( x ) Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Bước : Lúc phương trình (1) có nghiệm ( mà ta nhẩm được)  Hướng 2: Bước : Đưa hai phương trình cộng, trừ phương trình f ( x) = g ( x) (1) hệ để đưa dạng Bước : Xét hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x) Dùng lập luận để khẳng định y = f ( x ) hàm đồng biến (nghịch biến) y = g ( x) hàm nghịch biến (đồng biến) Bước : Lúc phương trình (1) có nghiệm x = x0 nghiệm  Hướng 3: Bước 1: Đưa hai phương trình cộng, trừ phương trình (1) hệ để đưa dạng f (u) = f (v) Bước : Xét hàm số : y = f (t ) Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Bước : Khi từ (1) suy : u = v Hệ thống tập giải hệ phương trình dựa tính biến thiên sử dụng phổ biến đề thi Tuy nhiên việc giải vấn đề theo hướng khiến học sinh gặp nhiều khó khăn toán khó.Vì sử dụng hệ thống tập có xếp hợp lí mức độ dạng, chủ yếu sử dụng hướng thứ 3, nhằm: - Rèn luyện kĩ nhận biết hàm số giải toán hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu - Phát triển tư sáng tạo, khái quát hóa thông qua phát triển hệ thống tập theo mức độ khác dựa sở hàm số chọn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a Thuận lợi Việc giải hệ phương trình thường áp dụng kĩ biến đổi đại số quen thuộc mà học sinh rèn luyện từ cấp 2, giảng dạy hệ phương trình thường dễ tạo hứng thú học tập cho em thông qua tập đơn giản b Khó khăn Qua khảo sát thực tế, học sinh trường THPT nói chung học sinh trường THPT Lê Viết Tạo nói riêng (có chất lượng đầu vào thấp), kỹ giải dạng toán khó hệ phương trình hạn chế Điều gây khó khăn việc giảng dạy giáo viên, khiến học sinh cảm thấy nản chí, muốn bỏ đứng trước toán giải hệ phương trình 2.3 Các giải pháp để giải vấn đề Từ thực tế học sinh trường THPT Lê Viết Tạo với đa số hạn chế tư hệ thống khái quát hoá kỹ giải hệ phương trình, sở tiến hành thực nghiệm áp dụng đề tài 2.3.1 Kỹ thuật gỡ nút thắt hàm số sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình a Kiến thức *Tính đơn điệu hàm số Xét hàm số y = f ( x) liên tục khoảng (a,b) i Định nghĩa: - Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (tăng) khoảng (a,b) với x1, x2 thuộc khoảng (a,b), x1 ≤ x2 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) - Hàm gọi nghịch biến (giảm) khoảng (a,b) với x1, x2 thuộc y = f ( x ) khoảng (a,b), x1 ≤ x2 f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ii Tính chất: -Tính chất 1: Nếu hàm y = f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a,b) f ( x1 ) = f ( x2 ) x1 = x2 - Tính chất 2: Nếu hàm y = f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a,b) phương trình f ( x ) = có không nghiệm khoảng (a,b) iii Định lí: - Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (tăng) khoảng (a,b) với x thuộc khoảng (a,b), f '( x) ≥ , dấu xảy hữu hạn điểm - Hàm số gọi nghịch biến (giảm) khoảng (a,b) với x thuộc khoảng (a,b), f '( x ) ≤ , dấu xảy hữu hạn điểm *Lưu ý: Khi sử dụng phương trình f (u ) = f (v), u ∈ (a, b); v ∈ (c, d ) , ta xét hàm số f (t ), t ∈ (a, b) ∪ (c, d ) Tập xác định hàm số định đến bước quan trọng toán kết luận tính đơn điệu b Các ví dụ Ví dụ Tìm hàm số phương trình sau: a y + x − x = − x − y 3 b x - y - y + 3x-15 y = 14 Mục đích ví dụ yêu cầu gỡ nút hàm số cho phương trình Phân tích +Cần phân li hai ẩn sang hai vế phương trình +Từ nhận dạng, dự đoán hàm số cần sử dụng +Đối với câu a, ta dựa vào vế đơn giản vế chứa biến y để đưa hàm số, sau biến đổi vế chứa biến x, để đơn giản, học sinh đặt u = x −1 + Đối với câu b, sử dụng hàm số theo biến x, bên vế lại để dễ biến đổi, ta dùng công cụ máy tính nhẩm nghiệm để so sánh x y, chẳng hạn: x=0 y = −2 (máy tính cầm tay hỗ trợ công đoạn này), bên vế lại biến đổi làm xuất y + Ngoài học sinh tìm biểu thức y + cách đặt t = y + a tìm số a cách đồng thức(chỉ cần đồng hệ số tự vế chứa y) Lời giải a y3 + x − x = − x − y ⇔ y + y = (3 − x) − x ⇔ y + y = 2(1 − x) − x + − x Xét hàm số: f (t ) = 2t + t f '(t ) = 6t + > 0, ∀t ∈ ¡ b x − y − y + 3x − 15 y = 14 ⇔ x + x = y + y + 15 y + 14 ⇔ x + x = ( y + 2)3 + 3( y + 2) f(t) = t + 3t , f '(t) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡  x3 + x + x + = y + y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:   − x − y = − y − (2) Phân tích Xét phương trình đa thức + Giữ nguyên vế đơn giản ( vế phải) + Đặt VP = f ( y ) , ( y = v ) + VT = f (u ), u = x + a + Việc tìm a dựa vào đồng thức dùng máy tính để so sánh ẩn x, y, ta tìm a=1 Lời giải Đk: x ∈ [ −1,1] , y ∈ [ 0,2] (1) ⇔ ( x + 1)3 + ( x + 1) = y f (t ) = t + t , t ∈ [ 0,2] f '(t ) = 3t + t > 0, ∀t ∈ [ 0,2] f (u ) = f (v) ⇔ u = v ⇔ y = x + Thay vào (2) ta có: − x2 + x + + − x + = a = x +1 + 1− x ⇒ a = o∨ a = Do a>0, ta có a = ⇒ − x2 = ⇔ x = 0, y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) = (0,1) 2 x − y = ( y − x )( xy + 2) Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x + y = Phân tích Nếu thay vào phương trình thứ ta đẳng thức Lời giải 2 Thay = x + y vào phương trình thứ ta x − y = ( y − x)( xy + x + y ) ⇔ x − y = y − x ⇔ x + x = y + y (1) t t Xét hàm số f (t ) = + t , t ∈ ¡ có f '(t ) = ln + 3t > 0, ∀t ∈ ¡ suy f (t ) đồng biến ¡ (1) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y vào pt thứ hai ta x = y = ±1 Vậy tập nghiệm hệ S = { (1;1); (−1; −1)}  (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  2 (2)  4 x + y + − x = Lời giải  x≤  3 − x ≥  ⇔ ĐK:  5 − y ≥  y ≤  2 (1) ⇔ (4 x + 1)2 x + (2 y − 6) − y = ⇔ (2 x) + 1 (2 x) =   ( − 2y ) + 1 − y ⇔ (2 x)3 + x =  ( − 2y ) + − 2y ⇔ f (2 x) = f ( − y ) với f (t ) = t + t f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ f (t ) đồng − x2 ,x ≥0 biến ¡ Vậy f (2 x) = f ( − y ) ⇔ x = − y ⇔ y = 2  − 4x2  Thế vào pt (2) ta x +  ÷ + − x − = ⇔ g ( x) =    − 4x2   3 + − x − 7, x ∈ 0;  Với g ( x) = x +  ÷  4    3 Hàm số nghịch biến g’(x) 0, ∀x ∈ ¡ x + − x > x + ≥ x +1   Suy g ( x) đồng biến ¡ Bởi g ( x) = g (0) ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = = 3x (1) ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y Ví dụ Giải hệ phương trình  2 (2)  x − 12 xy + 20 y = Lời giải ĐK: x > −1, y > −1 (1) ⇔ ln(1 + x) − x = ln(1 + y ) − y ⇔ f ( x) = f ( y ) với f (t ) = ln(1 + t ) − t , t ∈ (−1; +∞) −t f '(t ) = −1 = = ⇔ t = ∈ (−1; +∞ ) ⇒ f (t ) đồng biến (−1;0) 1+ t 1+ t nghịch biến khoảng (0; +∞) TH x, y ∈ (−1;0) x, y ∈ (0; +∞) f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Thế vào pt (2) ta x = y = (không thỏa mãn) 2 TH x ∈ (−1;0), y ∈ (0; +∞) ngược lại xy < ⇒ x − 12 xy + 20 y > TH xy = hệ có nghiệm x = y = Vậy hệ có nghiệm x = y = Ví dụ (Đại học khối A năm 2012) Giải hệ phương trình sau:  x − 3x − x + 22 = y + y − y (1)   2 x + y − x + y = (2)   Phân tích + Cái hay toán nằm chỗ: sau gỡ nút hàm số ta lại gặp khó khăn việc chứng minh cho hàm đơn điệu Điều khiến nhiều bạn bỏ cuộc, suy nghĩ sang hướng khác cho hàm số không sử dụng + Vấn đề đòi hỏi ta phải ý đến việc tìm điều kiện cho ẩn đặc trưng t, khó nhìn điều kiện t không đơn việc dựa theo điều kiện hai ẩn x, y từ đầu, mà phải dựa vào đánh giá phương trình (2) Lời giải (1) ⇔ x3 − x − x + 22 = y + y − y f (t ) = t +3t − 9t , t ∈ ¡ f '(t ) = 3t + 6t − Bảng biến thiên: t −∞ f’(t) -3 + +∞ - + +∞ f(t) -∞ Ta tìm điều kiện t 1 (2) ⇔ ( x − ) + ( y + ) = 2 1 ⇒ ( x − )2 ≤ 1;( y + ) ≤ 2  − ≤ x − ≤1  ⇒  −1 ≤ y + ≤    3  x ∈ − ,      1  1 ⇒ ⇒ t ∈ − ,  ⇒ f '(t ) < 0,∀t ∈ − ,   2  2  y ∈ − ,   2   ⇒u=v ⇒ y=x−2 3 (2) ⇒ x = , y = − ∨ x = , y = − 2 2 Ví dụ 10 Giải hệ phương trình: (1)  y (3x + x − 1) + y =  2  y x + y x − y + y = (2) Phân tích +Chia hai vế (1) cho y , (2) cho y cộng vế theo vế hai phương trình ta gỡ nút hàm số Lời giải HD:  x + x − = −  y y2 2  hpt ⇔  ⇒ x + 3x + x + = ( )3 + 3( ) ⇒ f ( x + 1) = f ( ) y y y  x3 + x + = +  y y Như việc gỡ nút nhiều tập tương đối phức tạp, không dựa phương trình mà kết hợp nhân, chia, cộng, trừ phương trình Để tìm hiểu “nguồn gốc nút” ấy, ta tìm cách tự tạo số nút thắt 2.3.2 Kỹ thuật tạo nút thắt hàm số cho số toán giải hệ phương trình Mục đích nội dung giúp học sinh làm quen với số kỹ thuật tạo nút hàm số để tạo dạng đề thi quen thuộc, mức độ khó, dễ khác Từ cách tư học sinh hiểu số ý tưởng đề để “đón đầu” xu người đề Để nắm kĩ thuật sáng tạo hệ phương trình, học sinh cần phải rèn luyện nhuần nhuyễn kĩ như: thêm-bớt, quy lạ quen, f ( x) = t + t , có f ’ ( t ) = 3t + ≥ , ∀t ∈ ¡ nên Ví dụ Xét hàm số: hàm số f(t) đồng biến ¡ Ta có f ( x ) = x x + x = ( x + 1) x f ( y + 2) = ( y + 2) y + + y + = (y+ 3) y + Ta có phương trình ( x + 1) x = ( y + 3) y + ⇔ f ( x ) = f ( y + 2) ⇔ x = y+2⇔ x= y+2 Cho x = 3, y = 10 Kết hợp với phương trình khác nhận (x,y)=(3,1) nghiệm, chẳng hạn phương trình: y + − x − + − x2 = ( x + 1) x = ( y + y + (1) Ta có hệ   y + − x − + − x = o (2) Như để giải phương trình (1), ta xét hàm số f(t)=t3+t, chứng minh hàm số y=f(t) đồng biến ¡ Biến đổi phương trình (1) để được:  x = y + Thế vào pt(2) ta được: x + − x − + − x2 = ⇔ x + − + − x − + − x2 = x −3 x−3 ⇔ + − ( x − 3)( x + 3) = x +1 + 1+ x − x = ⇔ 1  + = x + 3(3)  x + + + x − Xét PT (3) Với x≥2 VT≤3/2,VP≥5 Vậy phương trình (3) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x,y)=(3,1) * Để làm cho toán trở nên khó ta xét hàm số f(t) với biểu thức theo t phức tạp hơn, chẳng hạn:  f ( x + 1) = ( x + 1) + ( x + 1) = x3 + 12 x + x + + x + = x + 12 x + x + = ( x3 + x + x + 1) f ( y + 3) = (2 y + 3) y + + y + = (2 y + 4) y + Từ ta có Pt: x3 + x + x + = (y + 2) y + ⇔ f (2 x + 1) = f ( x + 3) ⇔ y = 2x2 + x − Cho x = 1, y = Kết hợp với phương trình khác nhận ( x, y ) = ( 3,1) nghiệm, chẳng hạn phương trình: y − x y + − 6x2 + = 4 x + x + x + = (y + 2) y + Ta có hệ:  (II)  y − x y + − x + = 11 Như để giải hệ phương trình (II), ta xét hàm số f ( t ) = t + t , chứng minh hàm số y=f(t) đồng biến ¡ Biến đổi phương trình đầu để được: y = x + x − Thế vào pt sau ta được: 2x2 + 2x −1 − x 2x2 + x + − 6x2 + = ⇔ x2 + x + − x x2 + 2x + − x2 = x =1  x + x + = 3x ⇔ ⇔  x = − 11  x + x + = −2 x  Vậy hệ có nghiệm (1;3) ( − 11 ; − 11) Ví dụ Ta xét hàm số khác, chẳng hạn ta xét hàm số t2 2 f (t ) = t (2 + t + 4), f '(t ) = + t + + ≥ 0, ∀t ∈ ¡ t2 + Suy f(t) đồng biến R Ta có: f (2 x ) = x(2 + x + 4) = x + x x + f (2 y + 1) = (2 y + 1)(2 + (2 y + 1) + 4) = y + + (2 y + 1) y + y + Từ ta có phương trình: x = y + 1  Kết hợp với phương trình khác nhận   ;0 ÷ nghiệm, chẳng hạn PT: 2  2x + + y + − = Ta có hệ:  x + x x + = y + + (2 y + 1) y + y + (III)  2y +1 − = x + +  Như để giải hệ phương trình (III), ta xét hàm số t2 2 f (t ) = t (2 + t + 4), f '(t ) = + t + + ≥ 0, ∀t ∈ ¡ , hàm số t +4 y = f ( t ) đồng biến ¡ Biến đổi phương trình đầu để được: x = y + Thế vào pt sau ta được: 12 2x + − + 2x −1 = 2x −1 2x −1 ⇔ + =0 2x + + 4x2 + 2x +1 ⇔ x = ⇒ y = 1  Vậy hệ có nghiệm  ;0 ÷ 2  * Để làm cho toán trở nên khó ta xét hàm số f(t) với biểu thức theo t phức tạp hơn, chẳng hạn: 1 1 1 f ( ) = (2 + + 4) = (2 + + x ) = (2 x + + x ); x x x x x x f (2 y ) = y (2 + y + 4) = y + y y + 1 ⇒ f ( ) = f (2 y ) ⇔ = y x x 1 Cho x = suy y = Kết hợp với phương trình khác nhận x = 1, y = 2 làm nghiệm, chẳng hạn phương trình: −2 x + x − + 2y −1 = y Ta có hệ:  1 −1 =  −2 x + x − + y y (IV)   2 2 x + + x − x y y + = Như để giải hệ phương trình (IV), ta xét hàm số f (t ) = t (2 + t + 4), f '(t ) = + t + + t2 t2 + ≥ 0, ∀t ∈ ¡ , hàm số y=f(t) đồng biến ¡ Biến đổi phương trình sau để được: = 2y x Thế vào pt đầu ta được: 13 −2 x + x − + x x − = ⇔ 2x −1+ x 2x − − 2x2 =  2x −1 = x ⇔  x − = −2 x ⇔ x =1⇒ y =  1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = 1; ÷  2 Ví dụ Sau ta xây dựng hệ phương trình giải phương pháp hàm số mà phải kết hợp hai phương trình hệ Đầu tiên ta xây dựng hệ phương trình giải cách nhân phương trình hệ với số kết hợp với phương trình lại Chẳng hạn ta xét hàm số f (t ) = t + 3t , f '(t ) = 3t + ≥ 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số f(t) đồng biến ¡ f (2 x + 1)3 + 3(2 x + 1) = x + 12 x + 12 x + ; f ( y + 2) = ( y + 2)3 + 3( y + 2) = y + y + 15 y + 14 Khi f (2 x + 1) = f ( y + 2) ⇔ x + = y + (2) Cho x=1 y=1 Từ ta xét hệ phương trình 2  4 x + x − y − y − = (V)  y + y − 12 x + =   Để giải hệ ta lấy phương trình đầu nhân trừ phương trình sau biến đổi để đưa phương trình dạng (1), với f ( t ) = t + 3t có f ’ ( t ) = 3t + ≥ ∀t ∈ ¡ nên hàm số f(t) đồng biến ¡ Khi ta có y = x − Thay vào phương trình đầu hệ ta có x=1, suy y=1 * Bây ta xây dựng hệ phương trình giải cách nhân hai phương trình hệ với số kết hợp hai phương trình lại với Chẳng hạn ta xét hàm số f (t ) = t + t , f '(t ) = 3t + ≥ 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số f(t) đồng biến ¡ Ta có: f (2 x − 1) = (2 x − 1)3 + (2 x − 1) = x − 12 x + x − 2; f (3 y − 2) = (3 y − 2)3 + (3 y − 2) = 27 y − 54 y + 39 y − 10 ⇒ f (2 x − 1) = f (3 y − 2) ⇔ x3 − 12 x + x − = 27 y − 54 y + 39 y − 10(1) Chọn x=1, y=1 14 Khi ta biến đổi PT (1) cho hai vế PT (1) thay cặp số (1,1) vào, chẳng hạn ta biến đổi sau: (1) ⇔ x + x − 12 y − = 27 y − 54 y + 27 y + 12 x − 12 Từ ta có hệ :  x + x − y − = 0(3)   x + y − 18 y + y − = 0(4) Để giải hệ phương trình , ta lấy PT (3) nhân trừ PT (4) nhân với ta PT (2), biến đổi PT (2) PT(1) Xét hàm số f (t ) = t + t , f '(t ) = 3t + ≥ 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số f(t) đồng biến ¡ Nên PT (1) suy f ( x − 1) = f ( y − ) hay x − = y − Thế vào PT (3) ta x = 1, y = nghiệm hệ Bài tập đề nghị Bài toán: Giải hệ phương trình sau: 2   x + 21 = y − + y  2   y + 21 = x − + x ln( x + 1) − ln( y + 1) = x − y  2  x − 12 xy + 20 y =  x + + − y =   − x + y + =  x + y − x − y = 4x − y    x − 16 = y − x (4 x + 1) x + ( y − 3) − y =  2  x + y + − x =  x − = y −  x y  2 y = x3 +   x + y = y + x  x + y x −1  − = x − y  x − = y −  x y  2 x = y3 +   x y − x + y =  2 x + x + y − 12 x + 13 =  + x + − y = 10   x − y + y = x (9 + y − y )  x5 + xy = y10 + y 11   x + + y + =  2(2 x + 1)3 + x + = (2 y − 3) y − 12   x + + y + = 15 y  x e = 2007 − y2 −1  13  e y = 2007 − x  x2 −1  x + 3x + ln(2 x + 1) = y 14   y + y + ln(2 y + 1) = x x + 2x − y = y + x − y  15    xy =  x + xy + y = x + xy + y 16  2 3x − + y − 3x + = x− y  − x + y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y 2 17  3   y − 2( x − 1) + =  x + y + x + y = 18   x + y + x − y = 2 y −1  x + x − 2x + = +1 19  x −1   y + y − y + = +1 2( x + x − y − 1) = x ( y + 1) 21   y + x + + ln( y + x) =  x − y = (log y − log x)( xy + 2) 23  3  x + y = 16 27 x − y = 27 x + y − 12 x + 25   x + x − 15 x + 30 = 4 9(2 y + 4)  x + 91 = y − + y 20   y + 91 = x − + x x− y x+ y e + e = 2( x + 1) 22  x + y e = x − y +  x3 y = 24 24  2 x + y = 3 2y  log = x −2y 2012  x  26  3  x + y = x2 + y2   x+ y 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Tổ chức thực nghiệm Tổ chức thực nghiệm trường THPT Lê Viết Tạo, huyện Hoằng Hóa gồm: • Lớp thực nghiệm: 12A Thời gian tiến hành thực nghiệm từ tháng 09 năm 2015 đến tháng 01 năm 2016 Hoạt động học tập học sinh nhìn chung diễn sôi không gây cảm giác áp đặt Việc sử dụng biện pháp nhận hứng thú học sinh giải toán học toán Kết kiểm tra Điểm Lớp 10 Số TN(12A) 0 7 4 40 Kết lớp thực nghiệm có 26/40 (chiếm 65%) đạt trung bình trở lên, có 12/40 (chiếm 30%) đạt giỏi Sau thực đề tài, em học sinh có được: - Có thêm phương pháp để giải hệ phương trình sử dụng tính đơn điệu hàm số, hình thành thục kỹ giải toán từ biết so sánh với cách giải cụ thể loại (đại số, lượng giác, mũ, logarit) để tìm ưu điểm bật phương pháp hàm này; - Tư logic, sáng tạo, hệ thống khái quát hoá Trên sở em có phương pháp tư khoa học cho nhóm đối tượng học sinh trung bình - trở lên; - Tích cực chủ động hứng thú học tập nội dung đối tượng học sinh, từ tạo động lực niềm tin vào thân để em tự tin học môn Toán Kết khả quan việc thực đề tài năm học qua có ý nghĩa to lớn tạo động lực niềm tin cho tiếp tục thực đề tài năm học 17 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Bên cạnh việc rèn kĩ giải hệ theo phương pháp xét tính đơn điệu hàm số, học sinh thực hành cách xây dựng toán (tự tìm đề mức độ khó, dễ khác nhau) Điều khiến em trở nên tự tin đứng trước toán giải hệ phương trình dù phức tạp, kích thích tư sáng tạo, khả khái quát hóa 3.2 Kiến nghị Sau thực đề tài, ưu điểm kết đề tài trình bầy trên, nhận thấy việc thực đề tài hiệu số vấn đề sau quan tâm: - Một số học sinh chưa thành thạo kỹ tính đạo hàm hàm số Do đó, thầy cô giáo giảng dạy cần hướng dẫn cho học sinh tính đạo hàm, tìm cực trị ,miền giá trị hàm số cách thành thạo - Đề tài khái quát cách giải phổ biến cho hệ phương trình thuộc nhiều dạng khác nghĩa triệt tiêu tất cách giải khác trường hợp cụ thể Do đó, đòi hỏi thầy cô áp dụng cần coi trọng tính ưu việt đề tài tập mà áp dụng theo cách khác gặp khó khăn để tạo hứng thú tính chủ động tích cực cho em Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn nhiều hạn chế Tôi mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lưu Thị Hương 18 MỤC LỤC 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC 2.2 KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH 2.3 NGHIỆM CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 KỸ THUẬT GỠ NÚT THẮT HÀM Trang 1 2 3 SỐ KHI SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.3.2 KỸ THUẬT TẠO NÚT THẮT CHO 11 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH 2.4 3.1 3.2 NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 17 18 18 18 19 ... GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 KỸ THUẬT GỠ NÚT THẮT HÀM Trang 1 2 3 SỐ KHI SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.3.2 KỸ THUẬT TẠO NÚT THẮT CHO 11 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH... nút thắt hàm số cho số toán giải hệ phương trình Mục đích nội dung giúp học sinh làm quen với số kỹ thuật tạo nút hàm số để tạo dạng đề thi quen thuộc, mức độ khó, dễ khác Từ cách tư học sinh. .. viên, khiến học sinh cảm thấy nản chí, muốn bỏ đứng trước toán giải hệ phương trình 2.3 Các giải pháp để giải vấn đề Từ thực tế học sinh trường THPT Lê Viết Tạo với đa số hạn chế tư hệ thống khái