S GIO DC V O TO THANH HểA TRNG PT NGUYN MNG TUN SNG KIN KINH NGHIM KINH NGHIM CHN H TRC TA KHI GII MT S BI TON HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA HểA Ngi thc hin: Trn Lng Hi Chc v: Giỏo viờn n v: Trng PT Nguyn Mng Tuõn SKKN thuc lnh vc (mụn): Toỏn THANH HểA Nm 2016 MC LC Phn m u .1 - Lớ chn ti .1 - Mc ớch nghiờn cu .1 - i tng nghiờn cu .1 - Phng phỏp nghiờn cu .1 Ni dung .2 2.1 C s lớ lun ca SKKN 2.2 Thc trng trc ỏp dng SKKN 2 Cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt Phn 1: Nhc li cỏc bc phng phỏp ta húa . Phn 2: Gii thiu mt s dng bi v cỏch chn h trc ta cho dng ú kốm theo vớ d minh Dng Hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD Dng Hỡnh hp ng cú ỏy l hỡnh thoi . Dang Hỡnh chúp t giỏc u Dng Hỡnh chúp t giỏc l hỡnh ch nht hoc hỡnh vuụng v mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy . Dng Hỡnh chúp t giỏc cú ỏy l hỡnh thoi v mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy 10 Dng Hỡnh chúp tam giỏc cú ỏy l tam giỏc u 10 Dng Hỡnh chúp tam giỏc cú ỏy l tam giỏc vuụng v mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy. 11 Dng Hỡnh chúp tam giỏc cú ỏy l tam giỏc vuụng v cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy 13 Dng Hỡnh lng tr ng tam giỏc . 26 Phn Mt s bi toỏn luyn 18 2.4 Kt qu thc hin ti: 19 Kt lun v kin ngh 19 - Kt lun 19 - Kin ngh .. 20 PHN M U - Lớ chn ti Trong chng trỡnh Toỏn hc núi chung v hỡnh hc núi riờng, hỡnh hc khụng gian l mt nhng ni dung quan trng, v cỏc thi tt nghip THPT, thi tuyn sinh vo i hc, cao ng trc v thi THPT Quc gia hin luụn cú mt bi toỏn hỡnh hc khụng gian Mc dự nhng nm gn õy, mc khú ca ni dung ny ó gim nhiu so vi trc nhng nú l mt tng i khú i vi a s hc sinh Bi hỡnh hc khụng gian yờu cu ngi hc phi cú t tru tng v trớ tng tng khụng gian phong phỳ cựng vi kh nng dng, kt hp linh hot cỏc nh lớ ca hỡnh hc khụng gian ó rt nhiu v khú tng tng Bờn cnh ú k nng v hỡnh khụng gian cng l mt gõy khú khn cho hc sinh, c bit l cỏc bi phi v thờm ng ph Trong ú mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian, nu gii theo phng phỏp ta li tr nờn n gin hn Tuy nhiờn phng phỏp ny khụng c cp nhiu chng trỡnh sỏch giỏo khoa THPT nờn nhiu em khụng cú kinh nghim vic dng phng phỏp ta húa giỳp cỏc em cú thờm kinh nghim vic gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta húa, giỳp cỏc em t tin hn bc vo kỡ thi THPT quục gia, phm vi ti ny, tụi xin trỡnh by mt kinh nghim nh vic s dng phng phỏp ta húa gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian, ú l phng phỏp chn h trc ta gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta húa Vi chỳt kinh nghim nh ny hi vng cỏc em s cú thờm kinh nghim v hng thỳ vic gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian - Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu mt s cỏch chn h trc ta gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta húa nhm giỳp hc sinh cú thờm kinh nghim vic gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian - i tng nghiờn cu Mt s dng bi toỏn hỡnh hc khụng gian cú th gii c bng phng phỏp ta húa - Phng phỏp nghiờn cu + Nghiờn cu lớ thuyt: Nghiờn cu cỏc ti liu v phng phỏp ta húa vic gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian Nghiờn cu mt s kinh nghim gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta húa thụng qua mt s SKKN ó t gii cp tnh Nghiờn cu cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian cỏc thi H, C trc v thi THPT Quc gia nhng nm gn ay + Nghiờn cu thc nghim: iu tra v phng phỏp thng dựng vic gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian ca mt s hc sinh lp 12 iu tra v nhng khú khn vic s dng phng phỏp ta húa gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian iu tra v phng phỏp thng dựng vic dy hc gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian ca mt s giỏo viờn dy 12; nhng khú khn vic dy hc sinh sdng phng phỏp ta húa gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian + Thng kờ: X lớ thng kờ toỏn hc v kt lun 2 NI DUNG 2.1 C s lớ lun - Khỏch th: Hc sinh lp 12 - i tng nghiờn cu: Mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian cú th gii bng phng phỏp ta húa - Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi toỏn s cp v hỡnh hc khụng gian chng trỡnh PTTH - Thc hin ti thi gian ụn thi tụt nghip ca hc sinh lp 12 nm hc 2015 2016 2.2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim Trc thc hin ti, tụi ó kho sỏt cht lng ca hc sinh thụng qua kim tra vit s dng phng phỏp to khụng gian gii quyt cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian Tụi ó tin hnh kim tra qua bi toỏn sau: Tỡm li gii bng phng phỏp to : Cho hỡnh lp phng ABCD ABCD cnh a Tỡm khong cỏch gia hai mt phng (ABD) v (CBD) Kt qu: - 30% hc sinh bit da vo gi thit la chn gc to cho to cỏc im bi toỏn c thun tin - 10% hc sinh bit cỏch gii bi hon chnh ti u Cht lng bi gii ca hc sinh thp, k nng gii toỏn dng ny yu Cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt : Phn 1: Nhc li cỏc bc phng phỏp ta húa gii cỏc bi toỏn hỡnh hc núi chung v hỡnh hc khụng gian núi riờng chỳng ta phi da vo cỏc yu t, cỏc quan h v hỡnh hc, ng phng, song song, vuụng gúc, bng Nu ta chn mt h to thớch hp thỡ ta cú th chuyn th bi toỏn hỡnh hc sang bi toỏn i s vi nhng s, nhng ch, vect vi phộp toỏn trờn nú Vi bi toỏn i s ny chỳng ta cú s nh hng rừ rng hn v kh nng tỡm c li gii nhanh hn thc hin c iu ú, ũi hi hc sinh phi cú s luyn tp, dng cỏc kin thc v cn nm c quy trỡnh gii toỏn bng phng phỏp to thớch hp Bc 1: Chn h trc to - Chn h trc ta Oxyz thớch hp - Suy ta ca cỏc im cú liờn quan Bc 2: Chuyn bi toỏn t ngụn ng hỡnh hc sang ngụn ng to Bc 3: Dựng cỏc kin thc v to gii toỏn Bc 4: Phiờn dch kt qu bi toỏn t ngụn ng to sang ngụn ng hỡnh hc Trong cỏc bc trờn, bc v bc hc sinh cú th hon ton lm c nh cỏc kin thc liờn h gia hỡnh hc khụng gian v h to ó bit, bc hc sinh cú th s dng cỏc kin thc trờn h to mt cỏch sỏng to gii cỏc bi toỏn Buc hc sinh gp khú khn hn c khụng cú phng phỏp c th khc phc khú khn ú, hc sinh phi luyn v phi bit da vo mt s dc im ca bi toỏn ny Chn h to cho gc trựng vi im c nh ó bit, da vo cỏc ng thng vuụng gúc gn vi cỏc trc to , cỏc im ó bit gn vi cỏc to n gin, thun li Phn 2: Gii thiu mt s dng bi v cỏch chn h trc ta cho dng ú kốm theo vớ d minh Dng Hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD Cho hỡnh hp ch nht ABCDABCD cú Abc = a, AC = b, AD = c Chn h trc ta Oxyz cho A( 0, 0, 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0) v A(0; 0; c) Khi ú ta cú C(a; b; 0), B(a; 0; c), C(a; b; c) v D(0; b; c) c bit trng hp bi toỏn cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD Chn h trc ta Oxyz cho A( 0, 0, 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) v A(0; 0; a) Khi ú ta cú C(a;a ; 0), B(a; 0; a), C(a; a; c) v D(0; a; c) Vớ d 1: Cho hỡnh hp ch nht ABCDABCD cú AB = a, BC = b, AA = c a) Tớnh din tớch tam giỏc ACD theo a, b, c.b) Gi M, N ln lt l trung im ca AB, BC, tớnh th tớch t din DDMN theo a, b, c Hng dn a) Chn h trc to Oxyz cho A O B Ax, D Ay v A Az , ú: A ( 0;0;0 ) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 ) ; D ( 0; b; c ) ; A ( 0;0; c ) ; D ' ( 0; b; c ) uuur uuur Ta cú: AC = (a; b;0); AD = (0; b; c) uuur uuur AC , AD = (bc; ac; ab) uuur uuur 2 AC , AD = b c + a c + a 2b (vdt) a b b) M l trung im ca AB M ;0;0 ữ; N l trung im ca BC N a; ;0 ữ uuuur a uuuur uuur 3ab uuur b DM = ; b;0 ữ; DN = a; ;0 ữ DM , DN = 0;0; ữ uuuur uuuur uuur uuuur 3abc DD ' = ( 0;0; c ) DM , DN DD ' = u u u u r u u u r u u u u r 1 3abc abc VD ' DMN = DM , DN DD ' = = (vtt) 6 Vớ d 2: Cho hỡnh lp phng ABCD ABCD cnh bng a a) Tớnh gúc v khong cỏch gia hai ng thng AB v AC b) Gi K l trung im DD Tớnh gúc v khong cỏch gia ng thng CK v AD S ACD ' = c) Mt phng (P) qua BB v hp vi hai ng thng BC, BD hai gúc bng Tớnh sin cỏc gúc ny Hng dn Chn h trc to Axyz vi B Ax, D Ay v A Az , ú: A ( 0;0;0 ) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; D ( 0; a;0 ) ; A ( 0;0; a ) ; B ( a;0; a ) ; C ( a; a; a ) ; D ( 0; a; a ) uuur uuuu r a) Ta cú AB ( a;0; a ) & AC ( a; a; a ) Gi l gúc to b AB v AC ta cú: uuur uuuu r AB AC cos = uuuu r uuuu r =0 = A ' B AC ' Gi d1 l khong cỏch gia AB v AC ta cú: uuuu r uuuu r uuur A ' B, A ' C AA ' a d1 = = uuuu r uuuu r A ' B, A ' C a uuur a uuuur b) Ta cú: K 0; a; ữ, KC a;0; ữ& A ' D ( 0; a; a ) 2 uuur uuuur KC A ' D cos = u uur uuuur = Gi l gúc to bi CK v AD, ta cú: 10 KC A ' D Gi d2 l khong cỏch gia CK v AD, ta cú: uuur uuuur uuur KC , A ' D , KD a d2 = = uuur uuuur KC , A ' D c) Ta cú BB l giao tuyn ca hai mt phng (ABBA) v (BCCB) nờn: y = x a = ( BB ') : ( BB ') : x = a y = Mt phng (P) qua BB cú dng: r ( P ) : x a + my = ( P ) : x + my a = vtpt n ( 1; m;0 ) ur uu r Vỡ (P) hp vi BC, BD (cú vtcp l u1 ( 0;1;1) v u2 ( 1; 1;1) ) hai gúc bng ( gi s l ) nờn: m m sin = = m = m ( m + 1) ( m + 1) m + 4m = m = Vi m = + ta c: sin = 2 ( = ) = ( ) 22 6 + Vi m = ta c: 6+2 6+2 6+2 sin = = = 22 + 4+ + ( ) ( ) = = +1 Dng Hỡnh hp ng cú ỏy l hỡnh thoi Cho hỡnh hp ng cú ỏy l hỡnh thoi ABCD.ABCD Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O(0; ; 0) trựng vi giao im ca hai ng chộo ca hỡnh thoi ABCD - Trc Oz i qua tõm ca hai ỏy ca - Trc Ox, Oy ln lt cha hai ng chộo ca ỏy Vớ d: Cho hỡnh lng tr ABCD.ABCD cú ỏy l ã hỡnh thoi cnh a, gúc BAD = 600 Gi M, N ln lt l trung im ca AA, CC a) Chng minh B, M, D, N, cựng thuc mt mt phng b) Tớnh AA theo a t giỏc BMDN l hỡnh vuụng Hng dn Gi O v O ln lt lad tõm ca hai ỏy ABCD ABCD t AA = b ã Theo gt, BAD = 600 ABD u, ta cú: OA = OC = BD a a = v OB = OD= 2 Chon h trc ta h trc ta Oxyz cho O l gc ta , D Ox, C Oy, O Oz a a ; 0), 2 a a a B(- ; 0; 0); A(0; ; 0); A(0; ; b); 2 a a a a b a b B(- ; 0; b); C(0; ; b); D( ; 0; b); M(0; ; ); N(0; ; ) 2 2 2 uuuur a a b uuuu r a a b DM = ; ; , NB ' = ; ; ữ ữ a) Ta cú: 2 2 2 uuuur uuuu r uuuu r uuuur DM = NB ' DM v NB ' cựng phng B, M, D, N, cựng thuc mt mt Khi ú O(0; 0; 0), D( ; 0; 0), C(0; phng uuuur uuuu r b) Theo cõu (a), DM = NB ' t giỏc BDMN l hỡnh bỡnh hnh 2 a b a 4a + b Ta cú DM = ữ + ữ + ữ = 2 2 uuuur a a b 4a + b a a b MB ' = ; ; ữ MB ' = ữ + ữ + ữ = 2 DM = MB BMND l hỡnh thoi hỡnh thoi BMND l hỡnh vuụng thỡ DM MB uuuur uuuur a a a a b b DM MB ' = ữ ữ+ + =0 ữ 2 a 3a b 2a b + =0 = 2a = b b = a 4 4 Vy BMND l hỡnh vuụng thỡ = a Dang Hỡnh chúp t giỏc u Cho hỡnh chúp u cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cú cnh a v ng cao bng h Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O(0; ; 0) trựng vi giao im ca hai ng chộo ca hỡnh vuụng ABCD - Trc Oz cha ng cao SO ca hỡnh chúp - Trc Ox, Oy ln lt cha hai ng chộo ca ỏy Khi ú, nu hỡnh biu din nh hỡnh bờn thỡ: a a ; 0; 0), B(0; ; 0), 2 a a C( ; 0; 0), D(0; ; 0) v S( 0; h) 2 A( - Vớ d: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a , ng cao SH = 2a M l im bt kỡ thuc on AH Mt mt phng ( ) qua M, song song vi AD v SH ng thi ct AB, CD, SD, SA ln lt ti I, J, K, L a) Xỏc nh v trớ im M thit din IJKL l t giỏc ngoi tip c b) Xỏc nh v trớ im M th tớch a din DJKLH t giỏ tr ln nht c) Gi N l giao im ca BD vi pm( ); E l giao im ca MK vi NL Gi P, ã Q ln lt l trung im ca AD v BC Xỏc nh v trớ im M PEQ = 900 Hng dn Ta cú H = AC BD v AH = a Chn h trc ta Oxyz cho H O, trc Ox cha A, trc Oy cha D, trc Oz cha S Khi ú: H(0; 0; 0); A( a; 0; 0); D(0; a; 0); S(0; 0; 2a); B(0; -a; 0) v C(-a; 0; 0) a) Gi M(m; 0; 0), ( m a ) uu r uuur uuur Vect phỏp tuyn ca mp( ): n = AD,SH = (2a; 2a;0) Phng trỡnh mp( ): -2a(x m) - 2ax = x + y m = ` m+a ma ma m+a ; ;0 ữ, J ; ;0 ữ 2 uur uuu r SA = (a;0; 2a), SD = (0; a; 2a) D thy I Phng trỡnh tham s ca ng thng SA x = a + t x = + t ' l : y = ; SD l: y = a + t ' z = 2t z = 2t ' D dng tớnh c ta cỏc im: L(m; 0; 2a 2m) v K(0; m; 2a-2m) T giỏc IJKL ngoi tip c KL + IJ = IL + KJ (9 2) m + a = 9( a m) m = a 9+ a;0;0 ữ 9+ Vy M b) t V =VDIJKLH = VD.IJKL + VH.IJKL LM IJ LK IJ S IJKL = LM LK / / IJ Ta cú: 2(a + m) = 2(a m ) Khong cỏch t H n mp( ): m am d ( H ,( )) = ; d ( D,( )) = 2 am 1 a3 2 m 2 V = 2(a m ) + m=0 ữ = a (a m ) a VMax = 3 S IJKL = (2a 2m) Vy M trựng vi H a a a a c) Ta cú: P ; ;0 ữ, Q ; ;0 ữ 2 2 m m D thy MNKL l hỡnh ch nht E l trung im ca MK E ; ; a m ữ 2 uuu r uuur ã PEQ = 900 EP.EQ = a m a m a m a m ữ ữ+ ữ ữ+ ( a + m)( a + m) = a a m + 2a 2m = m = a ã Vy PEQ = 900 thỡ M ;0;0 ữ Dng Hỡnh chúp t giỏc l hỡnh ch nht hoc hỡnh vuụng v mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy Gi s AB = a, AD = b v chiu cao SA = h Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O trựng vi A, trc Ox cha cnh AB, trc Oy cha cnh AD, trc Oz cha cnh AS ( Nh hỡnh v) Khi ú: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a;b; 0); D(0;b; 0); S( 0; 0; h) Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, SA = a v vuụng gúc vi mt phng ỏy Gi E l trung im ca CD a) Tớnh khong cỏch t C n mt phng (SBE) b) Mt phng (SBE) chia hỡnh chúp thnh hai phn Tớnh t s th tớch hai phn Hng dn gii Trong khụng gian, chn h trc ta Oxyz cho: A O, AB Ox, AS Oy , AD Oz Khi ú ta cú: B (a ;0 ;0) , S (0 ; a ;0) , D(0 ;0 ; a) , C ( a ;0 ; a) a a) Ta cú E l trung im ca CD E ( ;0; a) 2 uur uur a uur uur 2 a SB = (a; a; 0); SE = ( ; a; a ) SB, SE = a ; a ; ữ 2 ur uur uur n = 2;2;1 ( ) = SB, SE lm vec phỏp tuyn ca mp ( SBE ) Chn a r Phng trỡnh mt phng (SBE) qua B(a;0;0) v nhn n = ( 2; 2;1) lm vộct phỏp tuyn: ( SBE ) : ( x a ) + y + z = x + y + z 2a = Khong cỏch t im C n mt phng (SBE) l: 2a + a 2a a d ( C ;( SBE ) ) = = 2 + +1 uur uur uuu r a ; SC = ( a ; a ; a ) ; b) SB, SE = a ; a ; ữ r uur uur uuu a a3 VSCBE = SC SB, SE = a + a = 6 12 a3 V a3 a3 a3 SBCE = 123 = VS BEDA = VS ABCD VSBCE = = VS BEDA a 3 12 4 Dng Hỡnh chúp t giỏc cú ỏy l hỡnh thoi v mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy Gi s ABCD l hỡnh thoi cú cnh a v chiu cao SA = h Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O trựng vi giao im ca hai ng chộo, trc Ox cha cnh BD, trc Oy cha cnh AC, trc Oz i qua giao im hai ng chộo v vuụng gúc vi mp(ABCD) ( Nh hỡnh v) Khi ú, tựy theo tng bi c th m ta suy ta ca cỏc im khỏc Dng Hỡnh chúp tam giỏc cú ỏy l tam giỏc u Gi s hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a v ng cao bng h Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O trựng vi trung im ca mt cnh (chng hn cnh AB), trc Ox cha cnh AB, trc Oy trung a a tuyn OC Khi ú: A(- ; 0; 0); B( ; 0; 0); C(0; a a ; 0); S(0; ; h) 2 Vớ d: Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú cnh ỏy bng a Gi M, N ln lt l trung im ca SB, SC Bit (AMN) (SBC), tớnh theo a din tớch AMN Hng dn Gi O l hỡnh chiu ca S trờn (ABC), ta suy O l trng tõm D ABC Gi I l trung im ca BC, ta cú: AI = a a a ị OA = , OI = BC = 2 Trong mp(ABC), ta v tia Oy vuụng gúc vi OA t SO = h, chn h trc ta nh hỡnh v ta c: ổa ữ O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ỗỗỗ ; 0; ữ ữ ữ ố ứ 10 ổ a ổ a a a hữ ữ ; ; ữ Nỗ ; ; ữ ỗ v ữ ữ ỗ ỗ 2ữ ố 12 ứ ố 12 ứ ur uuuur uuur ur uuu r uuu r ổah ổ 5a a2 ữ ữ ộ ự ộ ự ỗ ỗ ữ ữ ị n( AMN ) = ờAM , AN ỳ= ỗ ; 0; , n( SBC ) = ờSB, SC ỳ= ỗ- ah; 0; ữ ữ, ỷ ỗ ỷ ữ ữ ỗ 24 ứ ứ ố4 ố ur ur 5a Mỗ ỗ- ( AMN ) ^ ( SBC ) ị n ( AMN ) n( SBC ) = ị h = ị SD AMN uuuur uuur ự a 10 = ộ AM , AN ỳ = ỷ 16 12 Dng Hỡnh chúp tam giỏc cú ỏy l tam giỏc vuụng v mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy (Ta xột hai trng hp) Trng hp 1: ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A v SA (ABC) Gi s ABC l tam giỏc vuụng ti A, cú cnh AB = a, AC = b v chiu cao SA = h Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O trựng vi A, trc Ox cha cnh AB, trc Oy cha cnh AC, trc Oz cha cnh SA ( Nh hỡnh v) Khi ú: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; b; 0) v S( 0; 0; h) Vớ d: Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc vi im M c nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch n cỏc mt phng (OBC), (OCA), (OAB) ln lt l: 1cm, 2cm v 3cm Tớnh a, b, c th tớch hỡnh chúp O.ABC t giỏ tr nh nht Hng dn Chon h trc ta cho O trựng vi gc ta , A Ox, B Oy, C Oz Ta cú: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) mp(OAB) Oxy, mp(OBC) Oyz, mp(OCA) Oxz d(M; (OAB)) = d(M; (Oxy)) = zM = d(M; (OBC)) = d(M; (Oyz)) = xM = d(M; (OCA)) = d(M; (Oxz)) = yM = suy M=(1; 2; 3) x y z + + =1 Ta cú phng trỡnh mt phng (ABC) theo on chn l: a b c Do M(1; 2; 3) (ABC) nờn + + = (1) a b c 1 1 Th tớch hỡnh chúp O.ABC: VO ABC = OC.SOAB = OC OA.OB = a.b.c 3 11 p dng bt ng thc Cụ-Si cho s dng , v , ta cú a b c abc 27 hay VO ABC 27 a b c a b c abc Do ú VMin = 27, ú = = = a = 3, b = v c = a b c 1= + + 3 33 = 33 Vy a = 3, b = v c = Trng hp ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B v SA (ABC) Gi s ABC l tam giỏc vuụng ti B, cú cnh AB = a, AC = b v chiu cao SA = h Ta cú th chon h trc ta Oxyz theo hai cỏch sau : Cỏch 1: Chon h trc ta Oxyz cho A O ; trc Ox nm trờn mp(ABC) v vuụng gúc vi AC; trc Oy cha AC; tc Oz cha AS Khi ú ta cú: A(0;0;0); C (0; b;0); S (0;0; h) AB a 2 AB = AH AC AH = = AC b AB.BC a b a BH = = AC b a b a a B ; ;0 ữ b b ữ Cỏch 2: Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O trựng vi B, trc Ox cha cnh AB, trc Oy cha cnh BC, trc Oz i qua B v vuụng gúc vi mp(ABC) ( Nh hỡnh H.1 hoc H 2) Khi ú: 12 B(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; b; 0) v S( a; 0; h) Vớ d: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏyABC l tam giỏc vuụng ti B, cnh bờn SA vuụng gú vi ỏy (ABC) Bit AB = 3, BC = SA = a) Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABC b) Trờn AB ly im E cho AE = a Mt phng (P) qua E song song vi SA v BC ct hỡnh chúp theo thit din l hỡnh gỡ? Tớnh din tớch thit din Tỡm a din tớch ny ln nht Hng dn ABC vuụng ti B nờn AC = AB + BC = + 16 = V ng cao BD ca AB.BC 3.4 12 = = AC 5 AB AB = AD AC AD = = AC ABC BD = Chon h trc ta Oxyz cho A O ; trc Ox nm trờn mp(ABC) v vuụng gúc vi AC; trc Oy cha AC; tc Oz cha AS Khi ú ta cú: 12 A(0;0;0); C (0;5;0); S (0;0;4); B ; ;0 ữ 5 a) Phng trỡnh mt cu (S) ngoi tip hỡnh chúp S.ABC cú dng: x2+ y2+ z2 - 2ax - 2by - 2cz = Do (S) i qua S, A, B, C nờn ta cú h phng trỡnh: 16 c = a = 144 81 24 18 + a b = b = 25 25 25 10b = c = Suy phng trỡnh mt cu l (S) x2+ y2+ z2 - 25y - 4z = Gi I l Tõm mt cu (S) I 0; ;2 ữ I l trung im ca on SC Tõm I ca mt cu (S) I l trung im ca on SC b) Gi s mp(P) ct SB,SC, AC theo th t ti H, G, F thit din l t giỏc EFGH mp(P) // SA mp(P) ct (SAB) v (SAC) theo hai giao tuyn song song EH // FG mp(P) // BC mp(P) ct (ABC) v (SBC) theo hai giao tuyn song song EE // FGH Vy thit din EFGH l hỡnh bỡnh hnh ã Mt khỏc ta li cú EH // SA v EF // BC M SA BC EH EF HEF = 900 EFGH l hỡnh ch nht Vy thit din EFGH l hỡnh ch nht 13 EH OE SA.OE 4(3 a ) = EH = = SA OA OA EF AE OC AE 4a = EF = = OC AO AO 4a 4(3 a ) 16 S EFGH = EF.EH = = a (3 a ) 3 Do a nm trờn cnh AB nờn < a 0 Ta cú p dng bt ng thc Cụ-Si cho hai s a v a, ta cú a + (3 a ) a (3 a ) a (3 a ) a (3 a ) 2 Do ú S EFGH = 16 16 a (3 a ) = S EFGH 9 Dy ng thc xy a = a a = Vy din tớch thit din EFGH ln nht bng a = Dng Hỡnh chúp tam giỏc cú ỏy l tam giỏc vuụng v cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy ( Ta xột cỏc trng hp sau) Trng hp 1: ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti C, cú (SAB) (ABC) v ABC cõn ti S Gi s ABC l tam giỏc vuụng ti C, cú cnh CA = a, CB = b v chiu cao SH = h Gi H l trung im ca AB SH l ng cao ca hỡnh chúp Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O trựng vi C, trc Ox trựng vi tia CA, trc Oy trựng vi tia CB, trc Oz i qua C v vuụng gúc vi mp(ABC) ( Nh hỡnh H 1) Khi ú: A(a; 0; 0), a b B(0; b; 0), C(0; 0; 0) v S( ; ; h) 2 Trng hp 2: ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, cú (SAB) (ABC) v SBC cõn ti S Gi s ABC l tam giỏc vuụng ti A, cú cnh AB = a, AC = b v chiu cao SH = h Gi H l trung im ca AB SH l ng cao ca hỡnh chúp Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O trựng vi A, trc Ox cha cnh AC, trc Oy cha cnh AB, trc Oz i qua A v vuụng gúc vi mp(ABC) 14 ( Nh hỡnh trờn) Khi ú:A(0; 0; 0), B(0; a; 0), C(b; 0; 0) v S(0; a ; h) Trng hp 3: ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti cõn tai C, cú (SAB) (ABC) v SAB cõn ti S Gi s AC =BC = a, v chiu cao SH = h Gi H l trung im ca AB SH l ng cao ca hỡnh chúp Chn h trc ta Oxyz cho gc ta O trựng vi H, trc Ox cha cnh HC, trc Oy cha cnh AB, trc Oz cha cnh HS ( Nh hỡnh trờn) Khi a ú: H(0; 0; 0); A(0; ; 0); B(0; a ; 0); C( a ; 0; 0) v S(0; 0; h) Vớ d: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti A, mt bờn SBA l tam giỏc u cnh a v vuụng gúc vi ỏy Tớnh khong cỏch gia hai ng thng SA v BC Hng dn: a) Tam giỏc SBC u, cnh bng a v H l trung a im ca BC SH = Tam giỏc ABC vuụng cõn ti a, cú BC = a a AB = AC = Gi H l trung im ca BC, ta cú: BC a AH = = 2 Chn h trc ta Oxyz cho O H , tia HA tia Ox, tia HB tia Oy v tia HS tia Oz ổ a ữ ổ ổa ổa a 3ử ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ C 0; ;0 ; S 0;0; ỗ ;0;0 ; B 0; ;0 ; ữ ú ta cú: H( 0; 0; 0); Aỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ố ỗ ỗ ứ ữ ứ ỗ ố2 ứ ố ữ ứ ố 15 uuu uur ổa r a 3ữ ữ SA = ỗ ;0; ; BC = ( 0; - a;0) ; ỗ ữ ỗ ỗ ữ ố2 ứ uur uuu r ổ a2 uur a2 ữ ộSA, BC ự= ỗ ộSA, ữ ;0; ị ỗ ữ ỳ ỷ ỗ ữ ỗ 2ứ ố uuu r ổa a AC = ỗ - ; - ;0ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 2 ứ uuu r uuu r a3 ự BC ỳ AC = ỷ uur uuu r ộSA, BC ự= a ỳ ỷ Khong cỏch gia hai ng thng SA v BC: uur uuu r uuu r ộSA, BC ự AC ỳ a3 a ỷ d ( SA, BC ) = uur uuu = = r ộSA, BC ự 4.a ỳ ỷ Dng Hỡnh lng tr ng tam giỏc (Ta xột hai trng hp sau) Trng hp 1: Hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC vuụng ti A Vớ d 1: Cho hỡnh lng tr ng ABCA1B1C1 cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn vi AB = AC= a v AA = h Gi E, F ln lt l trung im ca BC v AC Tỡm trờn on EF im I cỏch u hai mt phng (ABC) v (ACCA) Tớnh khong cỏch ú Hng dn Chn h trc to Axyz vi B Ax, ú: A(0;0;0); B(a;0;0); C(0;a;0); A(0;0;h); B(a;0;h) C(0;a;h) a a a a a Vỡ E, F l trung im ca BC v A1C1 nờn: E , ,0 ữE , ,0 ữ v F 0, , h ữ 2 2 Phng trỡnh ng thng EF c cho bi: a a x = t a a 2 Qua E , ,0 ữ a EF : EF y = (t R ) uuur a vtcp EF ,0, h ữ z = ht a a a Vỡ I EF nờn I t , , ht ữ t[0 1] 2 Vỡ I cỏch u (ABC) v (ACC1A1) nờn a a a ah a ah t = ht t = I , , ữ 2 a + 2h a + 2h a + 2h Khi ú im I chia on EF theo t sụ k, tc l: x kxF a a a xI = E = k= k a + 2h 2(1 k ) 2h Khong cỏch t I n mt phng (ABC) v (ACC1A1) l 16 d = zI = ah a + 2h Trng hp 2: hỡnh lng tr ng tam giỏc ABC.ABC cú ỏy ABC u Ta cú th chn h trc ta nh mt hai hỡnh trờn Vớ d Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, AA=2a Gi D l trung im ca BB; im M di ng trờn cnh AA Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca din tớch tam giỏc DMC Hng dn + Chn h trc ta Oxyz cho O trựng vi trung im ca cnh AC, B Ox; C Oy; Oz vuụng gúc vi hai ỏy Khi ú: a a a ; 0; ữ; B ' ; 0; 2a ữ; A 0; ; ữ; B a a C 0; ;0 ữ; C ' 0; ; 2a ữ a ; 0; a ữ D l trung im ca BB D a Do M di ng trờn AA, ta M 0; ; t ữvi t [0;2a] r uuur uuu DM , DC ' uuuur a a uuuur a a DM = ; ;t a ữ ữ; DC ' = ; ; a ữ ữ 2 uuuur at a 3 DC ' = ; (2a t ); a ữ ữ 2 uuuur a 2t 3a 3a a DC ' = + (4a 4at + t ) + = 4t 12a + 15a 4 Din tớch tam giỏc DMC: SDMC = Ta cú: uuuur DM , uuuur DM , 17 SDMC = r uuur uuu a DM , DC ' = 4t 12at + 15a Giỏ tr ln nht hay nh nht ca SDMC ph thuc vo giỏ tr ca hm s f(t) = 4t2 12at + 15a2 trờn on (t [0;2a]) 3a 3a Ta cú: f(0) = 15a2 ; f(2a) = 7a2 ; f ữ = 6a2 GTLN ca hm s f(t) trờn [0; 2a] l 15a2 ị giỏ tr ln nht ca din tớch tam a 15 giỏc DCM l S DC1M = Khi ú t = GTNN ca hm s f(t) trờn [0; 2a] l 6a2 ị giỏ tr ln nht ca din tớch tam giỏc f (t) = 8t 12a ; f '(t ) = t = DCM l S DC M a2 = Phn Mt s dng bi toỏn luyn Bi Cho hỡnh lng tr t giỏc u ABCDABCD ng cao h Mt phng (ABD) hp vi mt bờn (ABBA) mt gúc Tớnh th tớch v din tớch xung quanh hỡnh lng tr Bi Cho hỡnh hp ABCDABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O cnh bng a, gúc = 600 , O B vuụng gúc vi ỏy ABCD, cho BB= a a) Tớnh gúc gia cnh bờn v ỏy b) Tớnh khong cỏch t B, B n mp(ACD) Bi Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a, SA vuụng gúc vi ỏy Tớnh di on SA bit rng s o gúc nh din (B SC D) bng 1200 Bi Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a T trung im H ca cnh AB dung SH vuụng gúc vi mp(ABCD) cho nh din cnh AD ca hỡnh chúp S.ABCD cú s o bng 600 a) Tớnh SH v khong cỏch t H n mp(SCD) b) Gi K l trung im ca cnh AD Chng minh CK SD v tớnh s o gúc nh din (A, SD, C) c) Tớnh gúc gia hai mt phng (SBC) v (SCK) Bi Chng minh rng hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú AC vuụng gúc vi mt phng (BCD) Bi Cho hỡnh lp phng ABCD ABCD cnh a Trờn BD v AD ln lt ly hai im thay i M,N cho DM = AN = x, (0 x a 2) CMR: MN luụn song song vi mt mt phng c nh Bi Cho t din DABC ú gúc tam din nh D l vuụng Gi I l tõm hỡnh cu ngoi tip t din Chng minh nu ( ) l mt phng bt k qua I thỡ khong 18 cỏch t D xung ( ) bng tng i s khong cỏch A, B, C xung ( ) Bi TSH 2008-khi B Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, SA = a, SB = a v (SAB) (ABCD) Gi M, N ln lt l trung im ca cnh AB, BC Tớnh cụsin ca gúc gia hai ng thng SM, DN Bi Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh ng a, SA vuụng a gúc vi ỏy Gi M, N l hai im theo th t thuc BC, DC cho BM = 3a DN = CMR hai mt phng (SAM) v (SMN) vuụng gúc vi Bi 10 ng thng (d) to vi ng thng (d1) v (d2) ct cỏc gúc bng nhau, ngoi nú khụng vuụng gúc vi mt phng ( ) cha cỏc ng thng ny CMR hỡnh chiu vuụng gúc (d) ca ng thng (d) lờn mt phng ( ) cng to thnh nhng gúc bng vi ng thng (d1) v (d2) Bi 11 TSH 2002-khi B Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD Gi M, N, P l trung im ca BB, CD, AD.Tớnh gúc gia hai ng thng CN v MP Bi 12 TSH 2006-khi A Cho ABCD.ABCD l hỡnh lp phng cú di cnh bng a Gi M, N ln lt l trung im ca cnh AB, CD Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AC v MN 2.4 Kt qu thc hin ti: Sau thi gian thc hin ti SKKN, tụi ó tin hnh kim tra qua bi toỏn tỡm li gii bng phng phỏp to : Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a T trung im H ca cnh AB dung SH vuụng gúc vi mp(ABCD) cho nh din cnh AD ca hỡnh chúp S.ABCD cú s o bng 600 a Tớnh SH v khong cỏch t H n mp(SCD) b Gi K l trung im ca cnh AD Chng minh CK SD v tớnh s o nh din (A, SD, C) c Tớnh gúc gia hai mt phng (SBC) v (SCK) Kt qu : - 100% hc sinh bit da vo gi thit la chn gc to cho to cỏc im bi toỏn c thun tin - 80% Phiờn dch ỳng t bi toỏn hỡnh hc khụng gian sang ngụn ng to - 75% hc sinh bit cỏch gii bi hon chnh ti u Kt lun v in ngh - Kt lun Qua kt qu iu tra kho sỏt thc tin ta thy rng gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian, hc sinh thng khụng chỳ ý n phng phỏp to v tớnh u vit ca nú hoc rt lỳng tỳng gii bng phng phỏp to Mt 19 nhng khú khn l hc sinh cha cú kinh nghim vic chon h trc ta phự hp vi tng hỡnh c th Do ú hc sinh rt ngi gii cỏc bi toỏn khụng gian Vỡ vy, giỳp hc sinh cú hng thỳ hc mụn hỡnh hc khụng gian v thy c tớnh u vit ca phng phỏp to gii bi hỡnh hc khụng gian, thy giỏo cn hng dn cỏc em chn h trc ta phự hp vi tng hỡnh c th - Kin ngh Trong ni dung, chng trỡnh sỏch giỏo khoa THPT khụng cp n phng phỏp ta húa cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian, ú hc sinh khụng cú nhiờu thi gian nghiờn cu v dng phng phỏp ny Vỡ vy tụi cú ngh vi t chuyờn mụn xõy dng chng trỡnh ging dy mụn t chn toỏn lp 12, nờn tho lun thng nht a phng phỏp ta húa vo ni dung ca cỏc tit hc t chn cỏc em giỳp cỏc em cú thờm thi gian v kinh nghim dng phng phỏp ny gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian Trong quỏ trỡnh bi dng kin thc v phng phỏp ta húa cỏc tit hc t chn, giỏo viờn nờn c gng giỳp cỏc em cú cỏi nhỡn tht n gin v phng phỏp ta húa Mun vy phi chỳ trng t bc u tiờn l chn h trc ta hp lớ cho va trc quan, d nhỡn li va thun li cho vic tớnh ta ca cỏc im khỏc cú liờn quan Nu lm c iu ny, cỏc em s thy c s n gin v tin li ca phng phỏp T ú cỏc em s t tin v cú hng thỳ hc mụn hỡnh hc khụng gian hin Trong quỏ trỡnh biờn son chc chn cũn nhiu thiu sút, rt mong cỏc Thy cụ v cỏc em hc sinh úng gúp ý kin chuyờn ca tụi hon thin hn v cú th ỏp dng rng rói hn Tụi xin chõn thnh cm n! XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Húa, ngy 25 thỏng nm 2013 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Ngi vit Trn Lng Hi 20 CC TI LIU THAM KHO Trn Th Võn Anh: Phng phỏp gii toỏn t lun hỡnh hc khụng gian NXB Hc Quc Gia H Ni nm 2008 ng Khc Nhõn, Lờ Tp: Gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp to NXB Giỏo dc - 1997 Phan Huy Khi: Phng phỏp to gii cỏc bi toỏn s cp NXB Thnh ph H Chớ Minh Vn Nh Cng: Trn c Huyờn Hỡnh hc 11 NXB Giỏo dc - 1993 Lờ Hng c, Lờ Hu Trớ: Phng phỏp gii toỏn hỡnh hc gii tớch khụng gian Nh xut bn H Ni - 2002 Mt s ti SKKN v phng phỏp ta húa gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian ca cỏc giỏo viờn cú kinh nghim Mt s thi H-C v thi THPT quc gia; thi th THPQ quc gia ca cỏc trng THPT 21 ... trỡnh by mt kinh nghim nh vic s dng phng phỏp ta húa gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian, ú l phng phỏp chn h trc ta gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta húa Vi chỳt kinh nghim... toỏn hỡnh hc khụng gian Nghiờn cu mt s kinh nghim gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta húa thụng qua mt s SKKN ó t gii cp tnh Nghiờn cu cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian cỏc thi H, C... a s hc sinh Bi hỡnh hc khụng gian yờu cu ngi hc phi cú t tru tng v trớ tng tng khụng gian phong phỳ cựng vi kh nng dng, kt hp linh hot cỏc nh lớ ca hỡnh hc khụng gian ó rt nhiu v khú tng tng