SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHINH PHỤC BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ PHẲNG TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực : Vũ Mạnh Hùng Chức vụ: Giáo viên SKKN mơn: Tốn THANH HOÁ NĂM 2016 MỤC LỤC NỘI DUNG Trang Phần Mở đầu I Lý chọn đề tài II Phạm vi ứng dụng 1 Phần Nội dung sáng kiến kinh nghiệm A Cơ sở lý luận B Cơ sở thực tiễn Hệ thống rèn luyện kĩ giải toán 1.1 Một số toán phương pháp tọa độ 1.2 Một số tốn hình học phẳng 1.3 Một số toán đề thi ĐH - CĐ Một số dạng tốn thường gặp 2.1 Dạng Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước 2.2 Dạng Viết phương trình đường thẳng 2.3 Dạng Viết phương trình đường trịn Bài tập tự rèn luyện kĩ 2 3 7 16 17 18 Phần Kết đạt học kinh nghiệm Kết Bài học kinh nghiệm 19 19 20 Phần 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Như biết mơn tốn giúp cho học sinh rèn luyện kỹ sử dụng cơng cụ tốn học vẽ hình khơng gian, vẽ đồ thị, kỹ tính tốn, phân tích, tổng hợp Qua hoạt động học tập mơn tốn, học sinh cịn rèn luyện tính cẩn thận, khả phân tích sai, óc thẩm mỹ phẩm chất tốt đẹp người Vì việc dạy học mơn tốn ln đề mục đích mục tiêu quan trọng hình thành phát triển tư logic, tạo cho học sinh vốn kiến thức cách vận dụng kiến thức vào thực tiễn Trong kì thi THPT Quốc Gia 2015 kì thi thử THPT Quốc Gia năm học 2015-2016, toán tọa độ phẳng (tọa độ mặt phẳng Oxy) thách thức không nhỏ tất học sinh, kể học sinh giỏi Trong đề thi toán tọa độ phẳng câu khó, dùng để phân loại học sinh Do để giải tốn địi hỏi học sinh phải có kiến thức hình học vững, phải có tư hình học tốt đồng thời phải biết sử dụng phương tọa độ mặt phẳng khéo léo, linh hoạt, xác Trong q trình giảng dạy mơn tốn THPT nói chung, đặc biệt dạy ơn thi THPT Quốc Gia mơn tốn nói riêng, tơi nhận thấy đa số học sinh thường né tránh toán này, cịn số học sinh giỏi bàn luận toán theo cách đầy tiếc nuối, ví dụ: chưa chứng minh tính chất này, tính chất kia, làm phần Nhưng nói chung chưa chắn kết tốn hồn tồn xác chưa Với kinh nghiệm giảng dạy thân, ý thức vấn đề khó trách nhiệm người giáo viên cần phải định hướng cho học sinh cách nhìn nhận rõ ràng đơn giản vấn đề Vì tơi mạnh dạn chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh chinh phục toán tọa độ phẳng đề thi THPT Quốc Gia” II Phạm vi ứng dụng Đề tài: “Hướng dẫn học sinh chinh phục toán tọa độ phẳng đề thi THPT Quốc Gia” áp dụng vào giảng dạy lớp 12A2; 12A4 10B5 trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên năm học 2015 - 2016 Phần NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A Cơ sở lý luận Trong chương trình mơn tốn THPT, nội dung tọa độ mặt phẳng Oxy tập trung chủ yếu vào dạng toán: Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước tam giác, tứ giác, đường trịn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác, tứ giác, tiếp tuyến đường trịn Viết phương trình đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp đa giác Vì việc cung cấp củng cố nội dung kiến thức, phương pháp giải toán, phân loại toán quan trọng cần thiết B Cơ sở thực tiễn - Đối với học sinh: Đây dạng tốn khó, bước đầu ta phổ biến chung cho tất học sinh được, mà phải thực theo cách lớp cho số học sinh giỏi tập trung làm tập dạng Và thực tiễn cho thấy, học sinh giỏi lớp đáp ứng yêu cầu nói khan - Đối với giáo viên: Bài tập vấn đề sách giáo khoa ít, dễ so với thực tế học sinh gặp đề thi Tài liệu tham khảo đề cập đến vấn đề này, yêu cầu mức độ nhận biết, cịn tốn mức độ vận dụng cao chưa nhiều chưa có tính chất hệ thống Hệ thống rèn luyện kĩ giải toán 1.1 Một số toán phương pháp tọa độ Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( D ) : x - y + = hai điểm A( 1;1) , B ( - 1; 2) 1) Viết phương trình đường thẳng ( d1 ) qua A song song với ( D ) 2) Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua B vng góc với ( D ) 3) Viết phương trình đường thẳng AB ỉ3 ÷ ÷ Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC cú M ỗỗỗố ;0ứ ữ trung im đoạn AC Phương trình đường cao AH , BK x - y + = x - y +13 = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , đường thẳng BC có phương trình x + y - = , điểm M ( - 1; - 1) trung điểm đoạn AD Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD , biết đường thẳng AB qua điểm E ( - 1;1) Bài Trong mp với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Điểm M ( 2;0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao kẻ từ A có phương trình x - y - = x - y - = Viết phương trình đường thẳng AC Bài Cho hình thang vng ABCD có Bµ = Cµ = 900 Phương trình đường thẳng AC DC x + y = x - y - = Xác định tọa độ đỉnh ỉ3 hình thang ABCD , biết trung im cnh AD l M ỗỗỗố- ; 3ử ÷ ÷ ÷ 2ø Bài Cho điểm A( 5; - 4) đường thẳng ( D ) : 3x + y + = Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua đường thẳng ( D ) Bài Cho điểm A( - 2;0) , B ( 1;1) đường thẳng ( D ) : x + y - = 1) Viết phương trình đường thẳng ( d1 ) qua A tạo với ( D ) góc 450 2) Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A cách B khoảng 2 Bài Cho tam giác ABC biết A( - 4;8) ; B ( 5; - 4) đường ( D ) : 3x + y + = Tìm tọa độ điểm M đường thẳng ( D ) cho MA = MB 1.2 Một số toán hình học phẳng Bài Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC , N điểm cạnh AC cho AN = AC Chứng minh tam giác DMN vuông N Gợi ý chứng minh Lấy điểm phụ F trung điểm DI giúp tìm lời giải tốn Bài Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC , N điểm CD · cho CN = 2ND Chứng minh MAN = 450 hoctoancapba.com Gợi ý chứng minh Cách 1: Chứng minh D ADN : D AHM , từ suy đpcm Cách 2: Tính độ dài ba cạnh tam giác AMN theo a (cạnh hình vng) Áp dụng định lý Cơsin vào tam giác AMN đpcm Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc B đường chéo AC Các điểm M , K trung điểm AH DC Chứng minh BM ⊥ KM Gợi ý chứng minh Lấy điểm phụ E trung điểm BH giúp tìm lời giải toán Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi D điểm cạnh AB cho AB = 3AD H hình chiếu vng góc B CD , M trung điểm HC Chứng minh AM ⊥ BM Gợi ý chứng minh - Gọi N, I giao điểm đường thẳng qua B vng góc với BC với đường thẳng CD,CA - Chứng minh tứ giác NAME hình bình hành E trực tâm tam giác NBM suy đpcm Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm đối xứng B qua C , N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Chứng minh AN ⊥ CN Gợi ý chứng minh Tứ giác BCND tứ giác ABCN nội tiếp giúp ta tìm lời giải tốn Bài Cho tam giác ABC cân A , D trung điểm đoạn AB I , E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác ADC G giao điểm AI CD Chứng minh DG ⊥ IE Gợi ý chứng minh Chứng minh G trực tâm tam giác DEI Bài Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Gọi I giao điểm CM DN Chứng minh AI = AD Gợi ý chứng minh Lấy điểm phụ P trung điểm DC giúp tìm lời giải tốn ( ) µ µ Bài Cho hình thang vng ABCD A = D = 90 DC = 2AB , H hình chiếu D đường chéo AC , M trung điểm đoạn thẳng HC Chứng minh BM ⊥ MD Gợi ý chứng minh Lấy điểm phụ E trung điểm DH giúp tìm lời giải tốn ( ) µ µ Bài Cho hình thang vng ABCD A = B = 90 BC = 2AD , H hình chiếu vng góc điểm B cạnh CD , M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh AH ⊥ MH Gợi ý chứng minh Tứ giác BDHM tứ giác AHMD nội tiếp giúp ta tìm lời giải toán Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O, R) , phân giác góc A cắt BC D , tiếp tuyến tạI A với đường tròn cắt BC E Chứng minh tam giác ADE cân E Bài 11: Cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Tính độ dài đoạn IN biết MN = 10 Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O, R) , H trực tâm tam giác, AH cắt BC K cắt đường tròn D Chứng minh K trung điểm HD Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O, R) , M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Gọi I , J giao điểm BM ,CN với đường tròn Chứng minh AO ^ IJ Bài 14: Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường thẳng BD (M¹ B, M ¹ D) , H , K hình chiếu vng góc M đường thẳng AB, AD Chứng minh CM ^ HK Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O, R) , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác, AK cắt đường tròn ( O, R) D Chứng minh DB = DC = DK 1.3 Một số toán đề thi ĐH - CĐ Bài (CĐ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(−2;5) đường thẳng (d ) : x − y + = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với (d ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (d ) cho AM = Bài (ĐH-K.D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1; −1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + y − = , tiếp tuyến A đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC Bài (ĐH-K.B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD Điểm M (−3;0) trung điểm cạnh AB , điểm H (0; −1) l hình chiếu vng   góc B AD điểm G  ;3 ÷ trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ 3  điểm B D Bài (ĐH-K.A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD , biết M (1; 2) N (2; −1) Một số dạng toán thi thường gặp 2.1 Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Bài tốn tổng qt: Tìm điểm M Ỵ ( D ) : ax + by + c = thỏa điều kiện cho trước *Phương pháp B1 Đặt tọa độ cho điểm M æ - am - c ổ - bm - c ữ ỗ Mỗ m; , b M ; mữ ữ ữ hoc ỗ ỗ ữ ữ, a ỗ ç è ø è a ø b B2 Khai thác tính chất hình học điểm M + Tính đối xứng; Khoảng cách; Góc + Quan hệ song song, vng góc + Tính chất điểm đường đặc biệt tam giác + Ba điểm thẳng hàng, hai vectơ phương *Phương pháp B1 Xem điểm M giao điểm hai đường (đường thẳng, đường tròn) B2 Lập phương trình đường Giải hệ tìm M Ví dụ Cho điểm A ( −1;3) đường thẳng ∆ có phương trình x − 2y + = Dựng hình vng ABCD cho hai đỉnh B, C nằm ∆ tọa độ đỉnh C dương Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Bài giải • Đường thẳng (d) qua A vng góc với ∆ có pt: 2x + y + m = A ( −1;3) ∈ ∆ ⇔ −2 + + m = ⇔ m = −1 Suy ra: ( d ) : 2x + y − = { { x − 2y = −2 x=0 • Tọa độ B nghiệm hệ phương trình: 2x + y = ⇔ y = ⇒ B ( 0;1) Suy ra: BC = AB = + = {  x − 2y + = C∈ ∆  x = 2y − • Đặt C ( x ; y ) với x , y > , ta có: BC = ⇔  x 02 + ( y − 1) = ⇔  x 02 + ( y 0− 1) = 0   { { x =2 x = −2 Giải hệ ta được: y = y = (loại) Suy ra: C ( 2; ) 0 { { uuur uuur x − = −1 − x =1 • Do ABCD hình vng nên: CD = BA ⇔ y D − = − ⇔ y D = ⇒ D ( 1; ) D D Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A Biết  1 A ( −1; ) , B ( 1; −4 ) đường thẳng BC qua điểm I  2; ÷ Tìm tọa độ đỉnh C  2 Bài giải • Phương trình đường thẳng BC: 9x − 2y − 17 = uuur  AB = ( 2; −8 )  uuur  9c − 17  • Do C ∈ BC nên ta đặt C  c; ÷, ta có  AC =  c + 1; 9c − 25     ÷     uuur uuur 9c − 25 =0⇔ c=3 • Theo gt tam giác ABC vuông A nên: AB.AC = ⇔ c + − • Vậy C ( 3;5 ) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, 9 3 I  ; ÷ tâm hình chữ nhật M ( 3;0 ) trung điểm cạnh AD Tìm tọa  2 độ đỉnh hình chữ nhật Bài giải • Do MI đường trung bình ABD nên AB = 2MI = 9 + =3 4 10 • Vì SABCD = AB.AD = 12 nên AD = 12 = 2 ⇒ MA = MD = AB uuu r   • Đường thẳng AD qua M ( 3;0 ) nhận IM =  ; ÷ làm VTPT có phương 2 2 3 3 trình là: ( x − 3) + ( y − ) = ⇔ x + y − = • Phương trình đường trịn tâm M bán kính R = là: ( x − 3) + y = 2 • Tọa độ A D nghiệm hệ phương trình: { { x + y − = y = − x x=2 x=4 ( x − 3) + y = ⇔ ( x − 3) + ( − x ) = ⇔ y = ∨ y = −1   Suy ra: ta chọn A ( 2;1) , D ( 4; −1) { x = 2x − x = − = • Vì I trung điểm AC nên: y C = 2y I − y A = − = ⇒ C ( 7; ) C I A {x = 2x − x = Vì I trung điểm BD nên: y B = 2y I − y D = ⇒ B ( 5; ) B I D Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A ( 2; −4 ) , B ( 0; −2 ) trọng tâm G thuộc đường thẳng 3x − y + = Hãy tìm tọa độ C biết tam giác ABC có diện tích Bài giải 3 • Do G trọng tâm tam giác ABC nên: S∆GAB = S∆ABC = = • Phương trình đường thẳng AB là: x−2 y+4 = ⇔ x+y+2=0 −2 • Đặt G ( a; b ) , G ∈ ( d ) : 3x − y + = nên 3a − b + = , ta có: S∆GAB = ⇔ AB.d ( G, AB ) = ⇔ a + b + = ±1   Tọa độ G là: G  − ; − ÷ G ( −1; −2 )  2 1     • Với G  − ; − ÷ ⇒ C  − ; ÷  2  2 1 • Với G ( −1; −2 ) ⇒ C ( −5;0 ) 11 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ( d ) : x − y + = đường tròn ( C ) : x + y2 + 2x − 4y = Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) mà qua kẻ · hai tiếp tuyến MA MB với (C) (A,B hai tiếp điểm) cho AMB = 600 Bài giải • (C) có tâm I ( −1; ) bán kính R = 1· · · = 600 ⇒ AMI = AMB = 300 • Theo giả thiết: AMB • Tam giác AMI vng A nên: s in300 = AI ⇒ IM = 2AI = 2R = IM 2 • Đặt M ( t; t + 1) ∈ (d) , ta có: IM = 20 ⇔ ( t + 1) + ( t − 1) = 20 ⇔ t = ⇔ t = ±3 • Vậy có hai điểm cần tìm M1 ( −3; ) M ( 3; ) Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x + y + = A ( - 4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C , N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C , biết N ( 5; - 4) Bài giải æt - - 2t + ÷ ; · Do C Î d nên C ( t ; - 2t - 5) Gọi I trung điểm AC , suy I ỗ ữ ỗ ỗ ố ứ ÷ · Tam giác BDN vng N nên IN = IB Suy ra: IN = IA : 2 2 ỉ t - 4ư ỉ ỉ æ - 2t + ö - 2t + t - 4ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç C 1; - 7) 5+ = + 8ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ è ÷ è ÷ è ÷ Û t = Suy ra: ( ỗ ỗ ỗ ỗ ố ø ø ø ø · Đường thẳng AC có phương trình: x + y + = 12 Đường thẳng BN qua N vng góc với AC là: x - y - 17 = ⇒ B ( 3a +17; a) æ 3a +17 + a- ÷ · Trung im ca BN thuc AC nờn: 3ỗ + ữ ỗ ÷ + = Û a =- ç è ø · Vậy B ( - 4; - 7) r Ví dụ Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + y - = tam giác ABD có trực tâm H ( - 3; 2) Tìm tọa độ đỉnh C D Bài giải · Gọi I giao điểm AC BD Þ IB = IC Mà IB ^ IC nên D IBC vuông · cân I Þ ICB = 450 BH ^ AD Þ BH ^ BC Þ D HBC vng cân B Þ I trung điểm HC · Do CH ^ BD trung điểm I CH thuộc BD nên tọa độ điểm C t/m: ìï ( x + 3) - ( y - 2) = ïï ïí ỉy + Do C ( - 1;6) ữ ùù x - + ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ùùợ ố ứ · Ta có IC = IB = BC = Þ ID = 3IC Þ CD = IC + ID = IC 10 = CH 10 = ID ID AD ét = 2 Do D ( - 2t; t ) CD = suy ra: ( - 2t ) +( t - 6) = 50 Û ê ê ët = · Vậy D ( 4;1) D ( - 8;7) Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường ỉ 17 1ư ÷ ÷, chân đường phân giác góc A D ( 5;3) cao h t nh A l H ỗỗỗố ; - ø 5÷ trung điểm cạnh AB M ( 0;1) Tìm tọa độ đỉnh C Bài giải · Ta có H Ỵ AH AH ^ HD ⇒ AH có phương trình: x + y - = ⇒ A ( - 2a; a ) 13 éa = ê · Do M trung điểm AB : MA = MH ⇒ ( - 2a ) +( a - 1) = 13 Û ê ⇒ A( - 3;3) êa =ê ë 2 · Phương trình AD y - = Gọi N đối xứng với M qua AD Þ N ( 0;5) · Đường thẳng AC có phương trình x - y +15 = Đường thẳng BC có phương trình x - y - = ïì x - y - = Suy tọa độ điểm C thỏa mãn hệ ïíï ïỵ x - y +15 = ỉ 3ư ÷ ÷ trung điểm cạnh AB , Ví dụ Cho tam giỏc ABC cú im M ỗỗỗố- ; ứ 2÷ điểm H ( - 2; 4) điểm I ( - 1;1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C Bài gii à uuu r ổ 1ử IM = ỗ - ; ữ ữ ỗ ữ Ta cú M ẻ AB AB ^ IM ⇒ AB : x - y + 33 = ỗ ố 2ứ à A ẻ AB ị A( a;7 a + 33) Do M trung điểm AB nên B ( - a - 9; - a - 30) uuur uuu r éa =- Ta có AH ^ HB Þ AH HB = Þ a + 9a + 20 = Þ ê ê ëa =- · Với a =- Þ A ( - 4;5) , B ( - 5; - 2) Ta có BH ^ AC ⇒ AC : x + y - = éc = 2 Do C ( - 2c; c) Từ IC = IA Þ ( - 2c) +( c - 1) = 25 Þ ê ê ëc = Do C khác A , suy C ( 4;1) · Với a =- Þ A ( - 5; - 2) , B ( - 4;5) Ta có BH ^ AC ⇒ AC : x - y + = ét =- ëc =- 2 Do C ( t ; t + 8) Từ IC = IA Þ ( t +1) +( 2t + 7) = 25 Þ ê ê Do C khác A , suy C ( - 1;6) 14 2 Ví dụ 10 Cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) +( y - 1) = đường thẳng D : y - = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm ( C ) , đỉnh N P thuộc D , đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc ( C ) Tìm tọa độ điểm P Bài giải · Ta có tâm ( C ) I ( 1;1) Đường thẳng IM ⊥ D ⇒ IM: x = ⇒ M ( 1; a ) · Do M Ỵ ( C ) nên ( a - 1) = ⇒ a =- a = Mà M Ï D ⇒ M ( 1; - 1) ỉ b +1 · N Ỵ D Þ N ( b;3) Trung điểm MN thuộc ( C ) ị ỗ ỗ ỗ ố 2 1ữ +( 1- 1) = ị ữ ữ ø éb = ê ê ëb =- · Do N ( 5;3) N ( - 3;3) à P ẻ D ị P ( c;3) uuur uur + Khi N ( 5;3) , từ MP ^ IN suy c =- Do P ( - 1;3) uuur uur + Khi N ( - 3;3) , từ MP ^ IN suy c = Do P ( 3;3) r Ví dụ 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC , N điểm cạnh CD cho CN = ND Giả sử ỉ 11 ữ Mỗ ; ữ v AN cú phng trình x - y - = Tỡm ta im A ỗ ỗ ố2 ÷ ø Bài giải · Gọi H giao điểm AN BD Kẻ đường thẳng qua H song song với AB , cắt AD BC P Q Đặt HP = x Suy PD = x, AP = x HQ = x Ta có QC = x , nên MQ = x Do D AHP = D HMQ , suy AH ^ HM · Hơn nữa, ta có AH = HM Do AM = MH = 2d ( M , ( AN )) = 10 · A Ỵ AN , suy A ( t ; 2t - 3) Khi đó: 2 ỉ 11ư ỉ 7÷ 45 10 ÷ MA = Û ç t+ç 2t - ÷ = Û t - 5t + = ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố 2ứ ố 2ứ ột = ê ê ët = · Vậy A ( 1; - 1) A( 4;5) r 15 Ví dụ 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + y = x - y + = ; ỉ1 ÷ ÷ Tìm tọa độ đỉnh ABCD đường thẳng BD qua im M ỗỗỗố- ;1ứ ữ Bi gii ùỡ x + y = · Tọa độ điểm A tha h ùớ ị A( - 3;1) ùùợ x - y + = · Gọi N điểm thuộc AC cho MN || AD Suy MN có phương trình x - y + = ìï ïï x - y + = ổ 1ử ị Nỗ - 1; ÷ ÷ Vì N thuộc AC , nên ta im N tha h ớù ỗ ữ ç 3ø è ïï x + y = î · Đường trung trực D MN qua trung điểm MN vng góc với AD , nên có phương trình là: x + y = · Gọi I K giao điểm D với AC AD ïì x + y = ị I ( 0;0) ùợ x + y = Suy tọa độ điểm I thỏa mãn hệ ïíï ïì x + y = tọa độ điểm K thỏa mãn hệ ïíï ùợ x - y + = ị K ( - 2; 2) uuu r uur uuu r uuur · AC = AI Þ C ( 3; - 1) ; AD = AK Þ D ( - 1;3) uuu r uuu r BC = AD Þ B ( 1; - 3) Ví dụ 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng D : x + y + = 2 đường tròn ( C ) : x + y - x - y = Gọi I tâm ( C ) , M điểm thuộc D Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến ( C ) ( A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Bài giải · Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) , bán kính IA = · · Tứ giác MAIB có MAI = MBI = 900 MA = MB 16 Þ S MAIB = IA.MA Þ MA = Þ IM = IA2 + MA2 = · M Ỵ D , có tọa độ dạng M ( t ; - t - 2) ét = 2 MA = Û ( t - 2) +( t + 3) = 25 Û 2t + 2t - 12 = Û ê ê ët =- · Vậy M ( 2; - 4) M ( - 3;1) Ví dụ 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 1) trung điểm cạnh AC, điểm H (0; − 3) chân đường cao kẻ từ A, điểm E (23; − 2) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C Tìm tọa độ điểm B biết điểm A thuộc đường thẳng d : x + y − = điểm C có hồnh độ dương Bài giải  x = − 3t · A ∈ d : 2x + y − = ⇔  ⇒ A( −3a + 1, 2a + 1)  y = + 2t · Vì M (2; 1) trung điểm AC nên suy uuur  HA = ( −3a + 1; 2a + 4) C (3 + 3a; − 2a) ⇒  uuur  HC = (3 + 3a; − 2a ) a = uuur uuur · Vì ·AHC = 900 nên HA.HC = ⇒   a = − 19  13 + Với a = ⇒ A(−2; 3), C (6; − 1) thỏa mãn   + Với a = − 13 ⇒ C  − 13 ; 13 ÷ khơng thỏa mãn 19 18 51   · Với A(−2; 3), C (6; − 1) ta có CE : x + 17 y + 11 = 0, BC : x − y − =  3b + b +  Suy B(3b + 9; b) ∈ BC ⇒ trung điểm AB N  ; ÷   Mà N ∈ CE ⇒ b = −4 ⇒ B(−3; − 4) Ví dụ 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 3), · tâm đường tròn ngoại tiếp I (2; 1), phương trình phân giác góc BAC x − y = Tìm tọa độ đỉnh B, C biết BC = 5 · góc BAC nhọn 8 6 8 6 Đáp án: B(0; 2), C  ; − ÷ B  ; − ÷, C (0; 2)     2.2 Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng 17 Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết A ( 1;6 ) hai đường trung tuyến nằm hai đường thẳng có phương trình x − 2y + = 0,3x − y − = Bài giải • Do tọa độ điểm A không nghiệm phương trình nên ta có: BM là: x − 2y + = ; CN là: 3x − y − =  b+6 • Đặt B ( 2b − 1; b ) , N trung điểm AB nên : N  b; ÷   b+6  b+6 N  b; − = ⇔ b = Suy ra: B ( 3; ) ÷∈ CN ⇔ 3b −   c + 3c +  ; ÷    • Đặt C ( c;3c − ) , M trung điểm AC nên : M  c +1 3c +  c + 3c +  M ; − + = ⇔ c = −1 Suy ra: C ( −1; −5 ) ÷∈ BM ⇔  2  Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M ( 6; ) đường trịn (C) có phương trình ( x − 1) + ( y − ) = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt 2 đường tròn (C) hai điểm A, B cho AB = 10 Bài giải • Đường trịn (C) có tâm I ( 1; ) bán kính R = • Gọi H hình chiếu vng góc I AB ⇒ IH = 10 • Đường thẳng (d) thỏa đề khi: d ( I;(d) ) = IH ⇔ 9a = b ⇔ b = ±3a Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác ( AD ) : x − y = , đường cao ( CH ) : 2x + y + = , cạnh AC qua M ( 0; −1) , AB = 2AM Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC Đáp án: ( AB ) : x − 2y + = ; ( AC ) : 2x − y − = ; ( BC ) : 2x + 5y + 11 = 18 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A ( −1; ) Trung tuyến CM : 5x + 7y − 20 = đường cao BH : 5x − 2y − = Viết phương trình cạnh AC BC Đáp án: Phương trình cạnh BC là: ( BC ) : 3x + 2y − 12 = Ví dụ 5: Cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm d :2 x − y + = , cạnh AB nằm d ′ :12 x − y − 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm M ( 3;1) Đáp án: AC : x + y − 33 = 2 Ví dụ 6: Cho đường trịn ( T ) : x + y − x − y + 18 = điểm A ( 4;1) , B ( 3; − 1) Gọi C , D hai điểm thuộc ( T ) cho ABCD hình bình hành Viết phương trình đường thẳng CD Đáp án: Có hai đường thẳng thỏa mãn : x − y + = 0; x − y + = 2.3 Dạng 3: Viết phương trình đường trịn Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(4; 1) đường thẳng ∆ : 3x − y + = Viết phương trình đường tròn qua A, B cắt ∆ C, D cho CD = Bài giải · Giả sử (C) có tâm I (a; b), bán kính R > · Vì (C) qua A, B nên IA = IB = R ⇔ ( a − 1) + (b − 2) = (a − 4) + (b − 1) = R · Kẻ IH ⊥ CD H Khi CH = 3, IH = d ( I , ∆) = −9a + 29 2 43 51 1525 · Suy (C ) : ( x − 1) + ( y + 3) = 25 (C ) :  x − ÷ +  y − ÷ = 13   13  169  Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y − 19 = đường tròn (C ) : x + y − x − y = Từ điểm M nằm đường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C ) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB = 10 19 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 1; ) ; B ( 3; ) đường thẳng d : y − = ,Viết phương trình đường trịn ( C ) qua hai điểm A, B · cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt M , N cho MAN = 600 Đáp án: ( C ) : x + y − x − y + = ⇔ ( C ) : ( x − 3) + ( y − ) = 2 Bài tập tự rèn luyện kĩ Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M , N   trung điểm cạnh AB CD Biết M  − ; ÷ đường   thẳng BN có phương trình x + y − 34 = Tìm tọa độ điểm A, B biết điểm B có hồnh độ âm Bài 2: Cho hình thoi ABCD có AC = BD Biết đường thẳng AC có phương trình x − y − = , đỉnh A ( 3;5 ) điểm B thuộc đường thẳng (d ) : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C , D hình thoi ABCD Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 30 hai điểm M (1; 4), N ( −4; −1) nằm hai đường thẳng AB, AD Phương trình đường chéo AC x + y − 13 = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD , biết hai điểm A D có hồnh độ âm Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S = 12, giao điểm hai đường   cho I  ; ÷, trung điểm cạnh BC M(3; 0) hoành độ điểm B lớn 2   hoành độ điểm C Xác định toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Bài 5: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD CD = AB Gọi H chân đường vng góc hạ từ D xuống AC M trung điểm HC Biết tọa độ đỉnh B(5;6) , phương trình đường thẳng ( DH ) : x − y = , phương trình đường thẳng ( DM ) : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD 20 Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I (3;3)  4  13  AC = BD Điểm M  2; ÷ thuộc đường thẳng AB , N  3; ÷ thuộc đường thẳng  3  3 CD Viết phương trình đường chéo BD , biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi M (1;3) trung điểm cạnh BC ,  1 N  − ; ÷ điểm cạnh AC cho AN = AC Xác định tọa độ đỉnh  2 hình vuông ABCD , biết D nằm đường thẳng (d ) : x − y − = Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình l 3x + y − = 0, x − y − = Đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D ( 4; −2 ) Viết phương trình đường thẳng AB, AC; biết hồnh độ điểm B khơng lớn Kết quả: ( AB) : 3x + y - = 0;( AC ) : y- = Phần KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Kết Khi chưa thực đề tài này, kết học sinh qua đợt thi khảo sát kiểm tra chất lượng tương đối thấp Một điểm câu hình học tọa độ phẳng đề thi đa số học sinh " bỏ qua ", cịn số học sinh giải câu đạt 50% số điểm cao Như biết, học sinh giải tốn này, chắn điểm thi mơn tốn từ trở lên, khả đậu đại học cao Do giải dạng tốn khơng phát huy tính sáng tạo học tập học sinh, mà cịn tạo tự tin lớn cho học sinh kì thi THPT Quốc Gia, tiền đề thành công tương lai cho em học sinh Thực tế thực đề tài này, chất lượng học tập học sinh nâng lên rõ rệt, kết qua lần thi khảo sát tăng lên tích cực Cụ thể thống kê 21 số lượng học sinh hoàn thành câu tọa độ phẳng qua kì khảo sát gần sau: Lớp 12A2 12A4 10B5 Sĩ số 37 44 42 Giải Giải Giải Giải Không 100% 70% 50% 25% 10 15 14 16 10 11 10 giải Bài học kinh nghiệm Từ việc tiếp thu lớp đến việc trình bày vào thi học sinh trình tương đối dài khó khăn Thực tế cho thấy, nhiều học sinh tiếp thu kiến thức phát vấn đề nhanh, trình bày thiếu chặt chẽ, chí thiếu xác Do giáo viên cần rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, tính tự kiểm tra ln phải ôn tập kiến thức có liên quan thường xuyên, liên tục tỉ mỉ Trên kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy mơn tốn năm học 2015 - 2016 Với khả trình độ có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong có trao đổi góp ý cấp lãnh đạo, bạn đồng nghiệp để đề tài hồn thiện đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn bậc THPT nói chung trường THPT Nguyễn Xuân Ngun nói riêng XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hố, ngày 24 tháng 05 năm 2016 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác VŨ MẠNH HÙNG 22 ... độ phẳng đề thi THPT Quốc Gia? ?? II Phạm vi ứng dụng Đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh chinh phục toán tọa độ phẳng đề thi THPT Quốc Gia? ?? áp dụng vào giảng dạy lớp 12A2; 12A4 10B5 trường THPT Nguyễn Xuân... logic, tạo cho học sinh vốn kiến thức cách vận dụng kiến thức vào thực tiễn Trong kì thi THPT Quốc Gia 2015 kì thi thử THPT Quốc Gia năm học 2015-2016, toán tọa độ phẳng (tọa độ mặt phẳng Oxy) thách... vấn đề khó trách nhiệm người giáo viên cần phải định hướng cho học sinh cách nhìn nhận rõ ràng đơn giản vấn đề Vì tơi mạnh dạn chọn đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh chinh phục toán tọa độ phẳng đề thi