Sáng kiến kinh nghiệm Nội dung Trang MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi ngiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng nghiên cứu Giải pháp thực 3.1 Các yêu cầu giải toán hình học không gian phương pháp véc tơ 3.2.Quy trình chung để giải toán hình học không gian phương pháp véctơ 3.3 Một số biện pháp để tổ chức thực 3.4.Một số dạng toán sử dụng phương pháp Dạng 1: Phần quan hệ song song: Dạng 2: Phần khoảng cách góc Dạng 3: Phần quan hệ vuông góc Hiệu sáng kiến PHẦN KẾT LUẬN Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO MỤC LỤC 2 3 4 6 6 10 14 16 18 18 19 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn Sáng kiến kinh nghiệm Toán học môn khoa học công cụ Tuy không trực tiếp sản xuất vật chất nuôi sống người môn khoa học công cụ nên môn khoa học cần phải có Toán học Để học tốt môn Toán học chuyện đơn giản Có người học nhiều, chăm giải toán thông thường, đơn giản, quen thuộc mà Còn đứng trước toán lúng túng, gặp nhiều khó khăn Phải tư toán học hạn chế chưa chịu khó suy nghĩ, chưa định hướng, linh hoạt áp dụng kiến thức, định lí vào giải toán Trong cải cách giáo dục phổ thông, nhiệm vụ chương trình hình học “Bồi dưỡng kỹ vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu số hình hình học, số quan hệ hình học Việc sử dụng vectơ để giải toán hình học” Chính vậy, việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải toán cần thiết phù hợp với xu cải cách giáo dục Mặt khác đứng trước toán hình học không gian học sinh dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) phương pháp toạ độ (lớp 12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Hơn nữa, năm học 2015- 2016 phân công dạy lớp 11A1 có tiết tự chọn, phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 qua thực tế giảng dạy, thấy có số học sinh tư tốt Với tư tưởng không dạy kiến thức cho em mà dạy hình thành em phương pháp suy luận, khả vận dụng, kết nối kiến thức để đưa phương pháp giải cho toán Giáo viên phải thực điều hướng dẫn học sinh tiết học tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi Vì lí chọn đề tài: Dạy học Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 Trường THPT Quan Sơn với chuyên đề: “Sử dụng phương pháp véc tơ để giải số toán hình học không gian” Mục đích nghiên cứu: Mục đích sáng kiến người viết muốn : - Trang bị cho học sinh giải toán hình học không gian phương pháp véc tơ - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua giúp học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo giải toán - Nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn môn toán nhà trường GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 2 Sáng kiến kinh nghiệm - Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ góp phần tích cực vào việc giáo dục tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm học sinh khối 11 trường THPT Quan sơn Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp quan sát (công việc dạy - học giáo viên học sinh) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…) - Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp thực nghiệm PHẦN NỘI DUNG GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn Sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận: Một phương thức phát triển lực tư sáng tạo giải toán rèn luyện khả phát ứng dụng đa dạng hệ thống kiến thức Toán học nhà trường Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp vectơ đóng vai trò quan trọng Đó công cụ mạnh hữu hiệu để giải số toán hình học cách nhanh gọn dễ hiểu Xét mặt khoa học, phương pháp vectơ trừu tượng, có nhiều công thức khó nhớ nhiều toán khó hiểu Cái khó việc chuyển kiện hình học toán diễn đạt ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ ngược lại Tuy nhiên, chủ đề “lôi cuốn”đối với học sinh đam mê toán học, đòi hỏi người học phải tư duy, tìm tòi sáng tạo Việc nghiên cứu đề tài thực yêu cầu việc đổi phương pháp dạy học nói chung, dạy học môn Toán chương trình Trung học phổ thông nói riêng Trong đó, việc phát huy tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh trình học tập có ý nghĩa rèn luyện em trở thành người động, có khả chủ động giải vấn đề đặt học tập sống sau Thực trạng nghiên cứu: Trong chương trình cải cách giáo dục, việc trình bày phương pháp vectơ có liên quan mật thiết đến phương pháp toạ độ Khái niệm trục toạ độ, hệ trục toạ độ học sinh làm quen chương trình toán cấp Trong chương trình hình học THPT, Ban bản: Ở lớp 10 học sinh làm quen với phương pháp véctơ, sau dùng véctơ để xây dựng hệ toạ độ mặt phẳng Sang lớp 11 học sinh làm quen với véctơ không gian, sử dụng vectơ để nghiên cứu quan hệ vuông góc không gian Ở lớp 12 vectơ sử dụng để nghiên cứu số quan hệ hình học xây dựng hệ trục toạ độ không gian Nhưng chưa sâu vào việc trình bày lời giải toán hình học không gian phương pháp véc tơ Một số định lí đóng vai trò “bản lề ” việc chuyển từ khái niệm vectơ sang khái niệm toạ độ: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ không phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng không gian GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn Sáng kiến kinh nghiệm Một số người cho học tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi việc tập cho học sinh ngồi làm, mục đích rèn luyện “kĩ giải toán cho học sinh” Việc dạy tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi không hoàn toàn Nếu tiết học theo phân phối chương trình, thầy trò cần trao đổi, truyền đạt kiến thức sách giáo khoa để học sinh thu lượm kiến thức kỹ giải toán cách tốt học tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi, người thầy cần định hướng giúp học sinh tìm phương pháp giải mới, hay nhằm phát huy tính sáng tạo, khả học tập em Để làm điều này, người thầy cần phải chuẩn bị giảng cách công phu tổ chức hoạt động dạy học tích cực để học sinh hiểu sâu kiến thức bản, hình thành kỹ giải toán kích thích niềm yêu toán Việc hướng dẫn em nắm kiến thức bản, biết liên kết, móc nối toán nhằm giúp em hiểu sâu nhớ lâu, từ mở rộng toán, tìm kiến thức Đó cách tốt để hình thành lực học toán cho em Việc hình thành cho học sinh phương pháp học tự học Toán nhiệm vụ người giáo viên Toán Cụ thể dạy học sinh cách tìm tòi, dự đoán, tự tìm kiến thức mới, biết so sánh, đối chứng, biết lật lại vấn đề, biết suy xét tính chân thực toán , giúp em có trí tưởng tượng phong phú, lập luận lôgic, trình bày khoa học giới quan vật biện chứng Trường THPT Quan sơn trường vùng cao biên giới phía tây tỉnh Thanh Hóa Hiện nay, chất lượng học tập đa số học sinh thấp Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh Nhà trường chưa có điều kiện tốt để học sinh giỏi, học sinh yếu phát triển nhận thức phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh hổng kiến thức từ lớp lớn Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp Đặc biệt lượng kiến thức đưa nặng học sinh vùng sâu vùng xa Cho nên việc nâng cao chất lượng đại trà nhiệm vụ tâm nhà trường Việc bồi dưỡng học sinh giỏi ý chưa đề cao, chưa tạo hứng thú với nhiều học sinh Có lẽ nhận thấy điều Đội ngũ giáo viên trường trực tiếp giảng dạy, cấp lãnh đạo, ngành làm để khắc phục tình trạng Theo tôi, vấn đề hạn chế tồn tại, ta giải pháp hợp lí Giải pháp thực hiện: GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 3.1 Các yêu cầu giải toán hình học không gian phương pháp véc tơ: - Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ không phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng không gian - Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số toán 3.2 Quy trình chung để giải toán hình học không gian phương pháp véctơ: Bước 1.Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận toán hình học không gian cho “ngôn ngữ” véctơ Bước Thực yêu cầu toán thông qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở Bước Chuyển kết luận vectơ sang tình chất hình học không gian tương ứng 3.3 Một số biện pháp để tổ chức thực hiện: 3.3.1 Hình thức luyện tập lớp có hướng dẫn giáo viên: - Thực phạm vi số buổi chữa tập buổi học khoá , tự chọn với tập mức độ vừa phải Giáo viên đưa phương pháp giải, ví dụ mẫu hệ thống tập, học sinh nêu lời giải có toán Sau cho học sinh tìm tòi, phát số vấn đề xung quanh giải mức độ đơn giản - Thực số buổi công tác bồi dưỡng học sinh mức độ toán cao 3.3.2.Hình thức tự nghiên cứu toán có hướng dẫn giáo viên: Hình thức cần thực liên tục trình học tập học sinh, làm cho khả tư duy, tính sáng tạo học sinh ngày tăng lên 3.4.Một số dạng toán sử dụng phương pháp: Chúng ta biết chìa khoá vạn dùng để mở khoá “giải” toán Vì đề tài phân chia, xếp tập thành dạng khác nhau, dạng cố gắng lựa chọn ví dụ, tập điển hình nhất, qua nhằm rèn luyện cho học sinh GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn Sáng kiến kinh nghiệm kĩ biến đổi vectơ đơn giản làm tiên đề cho kĩ chuyển kiện toán diễn đạt ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ ngược lại Các toán minh hoạ cho dạng toán: Dạng Phần quan hệ song song: Bài toán Hai đường thẳng phân biệt AB CD song song với uuur uuur AB = kCD r r Bài toán Cho hai a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB uuur r r không thuộc (P) Khi :AB//(P) ⇔ AB = xa + yb Bài toán Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) (MNP) Khi đó: (ABC) / / ( MNP ) uuu r uuuu r uuur  AB = xMN + yMP ⇔  uuur uuuu r uuur  AC = x1 MN + y1 MP Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F trọng tâm tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF Lời giải: Bước1:Chọn hệ véc tơ sở uuur r uuur r uuur r { AA = a, AB = b, AC = c} Theo ra: +M trọng tâm tam giác AA1B1: uuuu r uuur uuur AM = ( AA1 + AB1 ) B1 N A1 (1) C1 M +N trọng tâm tam giác A1B1C1: uuur uuur uuur uuuu r AN = ( AA1 + AB1 + AC1 ) F (2) B +E trọng tâm tam giác ABC: uuur uuur uuur AE = ( AB + AC ) E (3) C A +F trọng tâm tam giác BCC1: uuur uuu r uuur uuuu r AF = ( AB + AC + AC1 ) uuuu r uuur + MN / / EF ⇔ MN = k EF (4) Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn Sáng kiến kinh nghiệm uuuu r uuur uuuu r r r a + c (5) uuur uuur uuur r r Từ (3), (4): EF = AF − AE = a + c (6) uuuu r uuur Từ (5), (6): MN = EF (7) ( Từ (1), (2): MN = AN − AM = ) ( ) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (7) : MN // EF Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N trung điểm cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1) Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở B1 { N C1 uuur r uuur r uuuur r DA = a, DC = c, DD1 = b } uuuur uuur uuuu r + M trung điểm AA1: DM = DA + DA1 uuur uuuu r uuuur + N trung điểm B1C1: DN = DB1 + DC1 uuuu r uuuur uuuu r + MN / / ( DA1C1 ) ⇔ MN = xDC1 + yDA1 ( ) ( (1) ) (2) (3) M Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ uuuu r uuur uuuur ( ) ( Suy ra: uuuu r uuuur uuuu r MN = DC1 − DA1 C B r r r − a + 2c + b r r r r = c−a+c+b Từ (1), (2): MN = DN − DM = D1 A1 A D ) (4) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (4) : MN // (DA1C1) Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N trung điểm cạnh AA1, CC1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1) // (AB1N) Lời giải: uuur r uuur r uuur r Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở { AA1 = a, AB = b, AC = c} uuuu r uuur +M trung điểm AA1: AM = AA1 GV Phan Thị Quỳnh (1) Trường THPT Quan Sơn Sáng kiến kinh nghiệm uuur + N trung điểm CC1: AN = r uuur uuuu AC + AC1 ( ) B1 (2) + G trọng tâm tam giác A1B1C1: uuur uuur uuur uuuu r AG = ( AA1 + AB1 + AC1 ) uuuu r uuur uuur  MG = x AB1 + y AN (MGC1 ) / / ( AB1 N ) ⇔  uuuur uuur uuur  MC1 = x1 AB1 + y1 AN G (3) (4) M Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Ta có: N B uuuu r uuur uuuu r r 1r 1r MG = AG − AM = a + b + c (5) 3 uuuu r uuur uuuu r r r r MG = x AG − y AM = ( x + y )a + xb + yc (6) r r r Từ (5) (6) , a, b, c không đồng phẳng nên ta A C 1 2 = x + y  1  =x 3 1 3 = y  có: ⇒x= y= C1 A1 r uuur uuur uuuu ⇒ MG = AB1 + AN 3 (7) Ta có: uuuur uuuu r uuuu r r r 1r 1r r MC1 = AC1 − AM = a + c − a = a + c 2 uuur uuur uuur r r AN = AC + CN = a + c uuuur uuur Từ (8) (9): MC1 = AN ( ) (8) (9) (10) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian uuuu r uuur uuur 3 uuuur uuur Từ (10) : MC1 = AN ⇒ MC1 / / mp( AB1 N ) Từ (7) : MG = AB1 + AN ⇒ MG//mp(AB1 N ) (11) (12) Từ (11) (12) : mp( MGC1 ) / / mp( AB1 N ) Bài tập vận dung: Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB 1A1; N, I trung điểm CC1 CD Chứng minh : EN//AI GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn Sáng kiến kinh nghiệm Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N lần trọng tâm tam giác ABA1 ABC Chứng minh : MN//(AA1C1) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E trung điểm BB1, CC1, AA1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1)//(BA1N) Dạng Phần góc khoảng cách: Bài toán Góc hai đường thẳng AB CD tính theo công thức: uuur uuur AB.CD cosϕ = uuu r uuur AB CD uuur uuur2 Bài toán Khoảng cách hai điểm A B : AB = AB = AB r Bài toán Cho điểm M đường thẳng l có véc tơ phương a , điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l Phương pháp giải: uuuur ur Đặt AM = m , gọi N hình chiếu M lên l uuuu r uuur uuuu r uuuu r r ur r r ur r Khi đó: MN = AN − AM = xa − m MN ⊥ a ⇔ ( xa − m ) a = uuuu r Khoảng cách cần tìm : MN = r ur ( xa − m ) Bài toán Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc MA (ABC) Phương pháp giải: uuuur ur uuur r uuur r Đặt AM = m , AB = a, AC = b , gọi N hình chiếu M lên (ABC) uuuu r uuur uuuu r r r ur Khi : MN = AN − AM = xa + yb − m  Do MN ⊥ ( ABC ) nên   r r ur r ( xa + yb − m)a = r ur r  r ( xa + yb − m)b = Khi cho biết x,y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC) r r r ur r r r r ( xa + yb − m ) Nếu xa + yb ≠ góc AM (ABC) góc m xa + yb , r r r xa + yb = AM ⊥ (ABC) Bài toán Cho đường thẳng chéo nhau, d1 qua A1 có véc tơ phương ur uu r a1 ; đường thẳng d2 qua A2 có véc tơ phương a2 Tính khoảng cách góc hai đường thẳng Phương pháp giải: GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 10 Sáng kiến kinh nghiệm ur uu r a1.a2 + Góc hai đường thẳng : cosϕ = ur uur a1 a2 +Đoạn vuông góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó: uuuu r ur  P1 P2 a1 = uuuu r ur ur uu r ⇒ x, y r uu r P1 P2 = xa1 + m + ya2 Do  uuuu  P1 P2 a2 = uuuu r ur ur uu r Khoảng cách cần tìm: P1 P2 = ( xa1 + m + ya2 )2 Ví dụ 4: Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 a, điểm O O1 tương ứng trọng tâm dáy ABC A 1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO1 đường thẳng B1O Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở 5a Hãy tính đường cao lăng trụ A1 uuuur ur uuu r r uuur ur = m, AB = n, AC = p ur Giả sử h = m { AA } C1 O1 B1 Ta có: uuuu r uuuur uuur uuuu r ur r ur AO1 = AA1 + AB1 + AC1 = 3m + n + p 3 uuur uuur uuur ur r ur B1O = AO − AB1 = −3m − 2n + p ( ) ( ( ) A ) C O B Suy ra: uuuu r uuur AO1 = B1O = 9h + 3a uuuu r uuur 6h + a AO1.B1O = − ( 6h + a ) , cosϕ = ( 3h + a ) uuuu r Vì: AO1 cosϕ = nên 5a 9h + 3a (6h + a ) 5a a = ⇒h= 2 6(3h + a ) Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4.Điểm D nằm cạnh SC, CD=3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Tính thể tích hình chóp Lời giải: uur r uur r uuu r r SA = a , SB = b , SC =c Chọn hệ véc tơ sở { } Đặt ϕ góc phẳng đỉnh hình chóp GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 11 Sáng kiến kinh nghiệm N hình chiếu vuông góc điểm A đường thẳng BD uuur uuur uuur uuur uuur r r r AN = DN − DA = xDB − DA = − a + xb) + (1 − x )c Do AN ⊥ DB S uuur uuur r r r r r ⇒ AN DB = ⇔ −a + xb + (1 − x)c (b − c) = ( ) D ⇔ (17 x − 1) − 8( x + 1)cosϕ = (1) Mặt khác: C A uuur AN = ⇔ AN = ⇔ 17 x − x + 13 − 8( x + 1) cos ϕ = (2) Từ (1) (2) ta x = Vì : cosϕ = uuur N 55 64 B Mặt khác: AN = ⇔ AN = ⇔ 17 x − x + 13 − 8( x + 1) cos ϕ = (2) Từ (1) (2) ta x = Vì : cosϕ = 55 64 Ta tính độ dài đường cao hình chóp SO Vì O trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uur uur uuu r r r r SO = SA + SB + SC = a + b + 4c 3 uuu r r r r 1 ⇒ SO = a + b + 4c = 48 + 96cosϕ = 58 3 uuur r r AB = b − a = uuur AB uuu r 174 Vậy: VS ABC = SO = 16 ( ) ( ( ) ) Ví dụ 6: Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC cạnh , cạnh bên SC vuông góc với đáy có độ dài M,N trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo góc khoảng cách SM CN Lời giải: GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 12 Sáng kiến kinh nghiệm Ta chọn hệ véc tơ sở { S uuu r r uuu r r uuu r r CA = a, CB = b, CS = c } +Ta tìm góc ϕ SM CN? Ta có: P C uuur uuuu r uuu r r r SM = CM − CS = (b − 2c) uuur r r CN = (a + b) A Q M N Khi đó: B uuur uuur SM CN cosϕ = uuur uuur = ⇒ ϕ = 450 SM CN +Tính khoảng cách SM CN? Gọi P thuộc SM Q thuộc CN Khi đó: uuur uuur uuur uuu r r r r PQ = xSM + yCN + SC =  ya + ( x + y ) b − ( x + ) c  Do PQ đoạn vuông góc chung SM CN nên:  uuur uuur r x=−   PQ.SM = 3 x + y = −1  ⇔  uuur uuur r ⇔  x + y = y =  PQ.CN =  uuur r r r uuur r r r ⇒ PQ = a − b − 2c ⇒ PQ = a − b − 2c 6 ( ) ( ) = 3 Ví dụ 7: Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vuông góc vuông góc với đáy, SA = Mặt phẳng ( α ) song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng ( β ) song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Lời giải: GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 13 Sáng kiến kinh nghiệm Chon hệ véc uuu r r uuu r r uuur r tơ { AS = a, AB = b, AC = c} ur r sở A r Giả sử m, n véc tơ khác , tương ứng vuông góc hai mặt phẳng ( α ) C ( β ) , ϕ góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) ur r m.n Thế thì: cosϕ = ur r m.n ur r r r Đặt m = xa + yb + zc Ta có: S B r r r r r uur ur  b − c xa + yb + zc = ur  SB.m = m ⊥ ( α ) ⇔  uuur ur ⇔ r r r r c ( xa + yb + zc ) =  AC.m = ( )(  y = −23 6 x − y − z =  ⇔   y + 2z =  x = − z ) ur Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ m ⊥ ( α ) không xác định ur r r r Chọn z = −1 ⇒ x = 1, y = nên m = a + 4b − 2c véc tơ vuông góc với ( α ) uuu rr  r r r r  SC.n = o t = − u ⇔ Tương tự : n = ta + ub + vc ⊥ ( β ) ⇔  uuur r v = −2u  AB.n = r r r r Chọn : u = −2 ⇒ v = 4, t = ⇒ n = a − 2b + 4c ur r m.n Khi : cosϕ = ur r = m.n Bài tập vân dụng Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: 1.Giữa AB1 BC1 Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 14 Sáng kiến kinh nghiệm Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc ϕ , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE Dạng Phần quan hệ vuông góc: Bài toán Hai đường thẳng phân biệt AB CD vuông góc với uuur uuur AB.CD = r r Bài toán 10 Cho hai a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không uuur r  AB.a = thuộc (P) Khi :AB ⊥ (P) ⇔  uuur r  AB.b = Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc đường chéo BA1 CB1 cho: BM CN = , = Chứng minh rằng: MA1 NB1 MN ⊥ BA1 , MN ⊥ CB1 Lời giải: uuu r r uuur r uuur r Chọn hệ véc tơ sở { BA = a, BB1 = b, BC = c} r r r rr rr C1 D1 rr Khi đó: a = b = c = a; a.b = c.b = a.c = A1 B1 Theo : N uuuu r uuur BM = ⇒ BM = BA1 = 3 MA1 uuur uuur CN = ⇒ CN = CB1 = 3 NB1 r r ( a + b) ( r r b−c M D ) C A B Mặt khác: uuur uuur uuur r r BN = BC + CN = 2b + c uuuu r uuur uuuu r r r r MN = BN − MN = −a + b + c ( ) ( ) Do đó: uuuu r uuur r r r MN BA1 = −a + b + c uuuu r uuur r r r MN CB1 = − a + b + c r r ( ) ( a + b ) = ⇒ MN ⊥ BA ( ) ( b − c ) = ⇒ MN ⊥ CB r r Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có mặt hình thoi nhau.Các góc phẳng góc tam diện đỉnh A1 GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 15 Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh rằng: A1C ⊥ ( AB1D1 ) Lời giải: Chọn hệ véc tơ uuur r uuuur r uuuur sở r { A A = a, A B = b, A D = c} Theo 1 C1 O1 giả D1 B1 A1 thiết : ·AA D = D · A B = ·AA B = ϕ 1 1 1 Gọi m độ dài cạch hình hộp Ta có: D uuur r r r uuur uuur r r r r r A1C = a + b + c ⇒ A1C AB1 = (a + b + c ) b − a = 0A uuur uuur ⇒ A1C ⊥ AB1 (1) uuur uuuu r r r r r r A1C AD1 = (a + b + c ) c − a = uuur uuuu r ⇒ A1C ⊥ AD1 (2) ( ( ) C B ) Từ (1) (2) suy A1C ⊥ ( AB1 D1 ) Bài tập vân dụng Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN ⊥ A’C Bài Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), SA=a , AC=2a, AB=a, ·ABC = 900 Gọi M N hai điếm cho: uuur uuur r 3MB + MS = uuu r uuur r NS + 3NC = Chứng minh: SC ⊥ (AMN) Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO ⊥ (ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: DC ⊥ (SOE)) Hiệu sáng kiến: Trong trình giảng dạy lớp 10 thấy hướng dẫn học sinh sử dụng véc tơ để giải toán hình học phẳng, toán đại số học sinh vận dụng tốt hứng thú Từ thực trạng trình dạy lớp 11 mạnh dạn hình thành phương pháp cách phát triển từ toán đến toán mức độ khó trình giảng dạy khoá dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, để trang bị đầy đủ kiến thức véc tơ phổ thông, trang bị thêm phương pháp giải toán hình học không gian cho học sinh, để đứng trước toán hình học không gian học sinh tự tin lựa chọn ba phương pháp để giải GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 16 Sáng kiến kinh nghiệm Tôi nhận thấy, việc khai thác phương pháp véc tơ để giải hình học không gian để giúp học sinh tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác đứng trước toán hình học không gian điều cần thiết Hơn nữa, phương pháp không đòi hỏi học sinh phải tư trực quan cao, mà cần học sinh nắm vững số toán sách giáo khoa số kỹ biến đổi tuý mặt đại số vận dụng phương pháp để giải hình học không gian cách đơn giản nhanh chóng Từ giúp học sinh tự tin gặp toán khó công việc khó sống, hình thành thân em tính kiên trì sáng tạo công việc Sau nghiên cứu kỹ vận dụng biện pháp sư phạm xây dựng vào trình dạy học, thấy trở ngại, khó khả thi việc vận dụng biện pháp Những dạng toán, toán, phương pháp giải vừa kích thích tính tích cực, độc lập học sinh lại vừa giúp học sinh lĩnh hội tri thức phương pháp trình giải toán Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát chiếm lĩnh đơn vị kiến thức Học sinh nắm kiến thức phương pháp giải toán hình học không gian, học tập cách tích cực hơn, đặc biệt hình thành cho học sinh phương pháp tư Học sinh bắt đầu ham thích dạng toán mà trước em “ngại” - gặp phải kiến thức yêu cầu tư cao Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy yêu thích môn Toán hơn, đặc biệt kiến thức hình học không gian Việc thực nghiệm biện pháp sư phạm cho thấy biện pháp sư phạm có tính khả thi, bước đầu đem lại hiệu tốt Mức độ lĩnh hội, tiếp thu kiến thức thu trước sau vận dụng linh hoạt đề tài vào việc ôn luyện cho học sinh lớp 11A1 gồm 33 em học sinh với việc bồi dưỡng học sinh giỏi sau: Trước vận dụng đề tài vào việc ôn luyện bồi dưỡng: Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 6,1 15,2 17 51,5 18,2 Sau vận dụng đề tài vào việc ôn luyện bồi dưỡng: Giỏi SL % GV Phan Thị Quỳnh Khá SL TB % SL Yếu % SL Kém % SL Trường THPT Quan Sơn % 17 Sáng kiến kinh nghiệm 15,2 20 60,6 21,2 0 Từ kết trên, nhận thấy khả nắm bắt kiến thức vận dụng kiến thức học sinh sau ôn luyện, bồi dưỡng kiến thức tương đối tốt Các em có vốn kiến thức sử dụng phương pháp vectơ để giải số toán hình học không gian tương đối vững Đây là, tảng để học sinh vận dụng vào việc giải toán khó, tìm phương pháp giải Như vậy, cho thấy việc ôn luyện bồi dưỡng kiến thức theo chuyên đề cụ thể đạt hiệu tốt KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm thu kết sau đây: Sáng kiến kinh nghiệm đưa ra: Các dạng toán giải toán hình học không gian phương pháp véc tơ Trong dạng toán đưa dạng toán, có ví dụ cụ thể tập tương tự Đã đề xuất hai biện pháp nhằm nâng cao hiệu dạy học học sinh Trung học phổ thông học chủ đề giải toán hình học không gian phương pháp véc tơ Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu dạng toán đề xuất Với dung lượng 17 trang giấy A4 tương đương với tiết học lớp Không thiết giảng dạy tất nội dung đề tài này, mà với dạng ta chọn lọc vài ví dụ mẫu sáng kiến để giảng dạy cho học sinh Qua thực tế giảng dạy lớp 11A1, trình bày tiết khoảng 1/10 nội dung sáng kiến bước đầu tạo hứng thú cho học sinh Như vậy, khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Thời gian làm sáng kiến kinh nghiệm ngắn, yêu cầu dung lượng sáng kiến không nhiều Vì vậy, mà chưa khai thác hết GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 18 Sáng kiến kinh nghiệm vấn đề xung quanh phương pháp Rất mong đóng góp đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài mình./ TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Sách giáo khoa hình học lớp 11- bản- Nhà xuất giáo dục Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà, Sách tập hình học lớp 11cơ bản- Nhà xuất giáo dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Sách giáo viên hình học lớp 11- bản- Nhà xuất giáo Sách hướng dẫn giảng dạy hình học lớp 11 Bùi Văn Nghị (chủ biên), Trần Trung, Nguyễn Tiến Trung (2010), dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ môn Toán lớp 11, NXB Đại học sư phạm Hà Nội Đào Tam (chủ biên), Trần Trung (2010), tổ chức hoạt động nhận thức dạy học môn Toán trường Trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm Hà Nội GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 19 Sáng kiến kinh nghiệm Quan Sơn, ngày 20 tháng 05 năm 2016 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG TÔI CAM ĐOAN KHÔNG COPPY Nguyễn Mạnh Cường GV Phan Thị Quỳnh Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 20 Sáng kiến kinh nghiệm GV Phan Thị Quỳnh Trường THPT Quan Sơn 21 ... sinh giỏi Vì lí chọn đề tài: Dạy học Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 Trường THPT Quan Sơn với chuyên đề: Sử dụng phương pháp véc tơ để giải số toán hình học không gian Mục đích nghiên cứu: Mục... toán hình học không gian học sinh dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) phương pháp toạ độ (lớp 12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Hơn nữa, năm học 20 15-... - Trang bị cho học sinh giải toán hình học không gian phương pháp véc tơ - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua giúp học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo giải toán - Nâng cao