MỤC LỤC TT Tên mục I PHẦN MỞ ĐẦU Trang 1 Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp thực 3.1 Các phương pháp thông thường 3.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác 10 3.3 Vận dụng vào dạng tập 11 Hiệu 18 III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 12 Kết luận 19 13 Kiến nghị 19 I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mỗi người từ chưa bước chân vào trường Mầm Non làm quen với Toán qua hoạt động nhận biết Bởi Toán học môn khoa học Tự nhiên gắn liền với thực tiễn sống, coi môn học công cụ, vơ quan trọng, đóng vai trị then chốt lĩnh vực khoa học Tự nhiên Học sinh học tốt mơn Tốn khơng giúp em tính tốn giỏi, tư nhanh, phát triển khả tìm tịi sáng tạo, suy luận, lập luận lô gic mà tảng, sở vững cho em học tập tốt môn học khác, đặc biệt mơn khoa học Tự nhiên Vì q trình dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính chăm chỉ, cần cù, cẩn thận, xác, phân tích tìm phát vấn đề, … Bên cạnh dạy cho học sinh nắm vững phương pháp, cách tính, quy luật tính dạng tốn điều cần thiết với đối tượng học sinh Trong trình dạy học mơn Tốn trường THCS tơi nhận thấy việc học sinh vận dụng phương pháp học lý thuyết vào giải tốn thực tế cịn nhiều khó khăn, lúng túng Nhiều em trước yêu cầu tốn đặt khơng biết sử dụng phương pháp nào, kiến thức học để vận dụng vào giải toán cách triệt để; làm ảnh hưởng không nhỏ đến kết học tập chất lượng giáo dục môn chất lượng giáo dục chung Trong chương trình đại số lớp có mảng kiến thức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại toán giúp cho em nhiều việc giải tốn khác dạng tốn: Phân tích đa thức thành nhân tử Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nhiều dạng tốn khác như: tính nhanh, tính giá trị biểu thức, rút gọn, tìm x (giải phương trình), chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức cho trước, … Vì tơi đưa số kinh nghiệm “Hướng dẫn vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp Trường THCS Công Liêm” Việc làm giúp em học sinh trung bình, yếu biết giải toán tạo niềm vui, hứng thú cho em vươn lên học tập mà cịn giúp em học sinh khá, giỏi tìm lời giải hay cho toán nhanh triệt để Mục đích nghiên cứu - Chỉ cách hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải dạng tập - Giúp cho em có cách nhìn nhận nhiều góc độ khác dạng tốn, từ kích thích em có tìm tịi sáng tạo, khám phá điều lạ say mê học tập, có nhiều hứng thú học mơn tốn - Giúp học sinh biết vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải dạng tập như: + Tính nhanh + Tính giá trị biểu thức + Rút gọn + Tìm x (giải phương trình) + Chứng minh chia hết + Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức + Tìm cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức cho trước, … - Đổi phương pháp dạy học - Nâng cao chất lượng dạy học Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh biết vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải dạng tập - Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp trường THCS Công Liêm Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận Phân tích đa thức thành nhân tử chuyên đề khó rộng, chiếm vị trí quan trọng chương trình phổ thông bồi dưỡng học sinh giỏi với dạng tốn như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm GTLN, GTNN biểu thức, tìm nghiệm nguyên phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, tính nhanh, tính giá trị biểu thức… Do việc lựa chọn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thích hợp để sử dụng toán cụ thể cách linh hoạt, nhanh chóng, xác việc cần thiết đối tượng học sinh Vì tơi chọn đề tài để nghiên cứu nhằm giúp em học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biết vận dụng linh hoạt vào giải thành thạo dạng toán Thực trạng vấn đề Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn năm trước năm học 2015-2016 phân công giảng dạy mơn Tốn lớp 8A, bồi dưỡng HSG Tốn trường THCS Công Liêm Tôi thấy mảng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử tương đối rộng khó, lại có nhiều ứng dụng lợi ích vận dụng vào giải dạng toán khác Dạy cho em nắm vững hiểu sâu sắc chất việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm phương pháp thông thường số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử nhiều em học sinh cịn khó khăn Thực tế có khơng HS trước yêu cầu toán phân tích đa thức thành nhân tử chưa biết phân tích nào, dùng phương pháp để phân tích cho hợp lí giải yêu cầu tốn nhanh nhất, việc vận dụng linh hoạt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải dạng toán khác; kể với HS khá, giỏi gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử hay tốn liên quan em lúng túng việc vận dụng phương pháp để tìm cách giải phù hợp nhanh Điều làm tơi trăn trở đặt câu hỏi làm để trước yêu cầu toán HS biết xác định, biết cách vận dụng kiến thức học, biết lựa chọn phương pháp để giải tốn cách tốt Tơi tiến hành khảo sát chất lượng học sinh trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho kết sau: Chưa biết khai thác Lớp Sĩ số SL 8A 36 15 Có đường lối Biết ứng dụng giải % SL % SL % 41.6 15 41.6 16.7 Từ thực trạng mạnh dạn đưa số kinh nghiệm '' Hướng dẫn vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp Trường THCS Công Liêm" Với hy vọng đem lại niềm vui, hứng thú, đam mê học tập cho em, từ tạo động lực để em vươn lên đạt kết cao Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp thực Để tạo tâm lí thoải mái tự tin q trình học tập, khơng gây áp lực căng thẳng cho HS GV cần hệ thống lại kiến thức từ mở rộng nâng cao; chuẩn bị hệ thống tập từ bản, đơn giản đến nâng cao, phức tạp - Trước hết xây dựng cho học sinh hiểu nắm vững khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức - Tiếp theo cần củng cố cho học sinh nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử; biết nêu khái quát chung phương pháp 3.1 Các phương pháp thông thường: *) Phương pháp đặt nhân tử chung Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta cần xác định nhân tử chung A B C chẳng hạn, đó: A + B = A1.C + B1.C = C ( A1 + B1 ) Cách làm gọi phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung *) Phương pháp dùng đẳng thức Đối với phương pháp trước hết yêu cầu học sinh phải ôn nắm đẳng thức học; lưu ý học sinh viết đẳng thức dạng sau: A2 ± AB + B = ( A ± B ) A3 ± A2 B + AB ± B = ( A ± B )3 A2 − B = ( A − B ) ( A + B ) A3 − B = ( A − B ) ( A2 + AB + B ) A3 + B = ( A + B ) ( A2 − AB + B ) Việc sử dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường theo hai hướng: + Biến đổi đa thức ban đầu dạng quen thuộc đẳng thức + Sử dụng đẳng thức để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức *) Phương pháp nhóm hạng tử Chúng ta biết, để phân tích đa thức thành nhân tử cơng việc quan trọng tạo nhân tử chung Do đó, nhiều trường hợp khơng thể áp dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay đẳng thức việc nhóm hạng tử để làm xuất nhân tử chung lại cần thiết Tuy nhiên phương pháp giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt dấu trừ “-“ Ta tổng quát phương pháp sau: Cho đa thức A + B + C + D (A, B, C, D biểu thức), A, B, C, D khơng có nhân tử chung thử nhóm (A + B) (C + D) phép giao hốn khác Tức nhóm hạng tử có nhân tử chung lại với tạo thành đẳng thức để làm xuất nhân tử chung đa thức *) Phương pháp phối hợp phương pháp thông thường 3.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác: *) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp áp dụng cho đa thức chưa phân tích thành nhân tử Ta tách hạng tử đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng phương pháp biết Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có cách tách thơng dụng là: + Ta tách hạng tử bậc thành hạng tử dựa vào cách suy luận ngược lại sau: (mx + n) (px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq Như đa thức a x2 + bx + c hệ số b tách thành hai hạng tử b = b + b2 cho b1.b2 = a.c + Tách hạng tử tự thành hai hạng tử c = c1 + c2 Tuy nhiên có nhiều đa thức phân tích ta khơng áp dụng hai cách nêu trên, phương pháp tách hạng tử mở rộng cho trường hợp cần tách nhiều hạng tử đa thức *) Phương pháp thêm bớt hạng tử Với đa thức cho khơng có chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức, khơng thể nhóm hạng tử Đối với đa thức dạng ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để xuất nhóm hạng tử cho dùng đẳng thức đặt nhân tử chung *) Phương pháp đổi biến Nhờ phương pháp ta đưa đa thức phức tạp trở thành đa thức đơn giản với biến khác, nhờ phân tích đa thức thành nhân tử dễ dàng nhiều *) Phương pháp đồng hệ số (hay phương pháp hệ số bất định) Cơ sở phương pháp hai đa thức (viết dạng thu gọn) đồng hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức phải *) Phương pháp xét giá trị riêng Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử lại 3.3 Vận dụng vào dạng tập Dạng 1: Tính nhanh Ví dụ 1: Tính nhanh: 732 − 27 Khi làm nhiều HS tính 732 272 trừ kết Cách làm vừa thời gian, tính sai GV hướng dẫn HS vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức ta có: 732 − 27 = ( 73 − 27 ) ( 73 + 27 ) = 46.100 = 4600 Ví dụ 2: Tính nhanh: 37,5 6,5 - 7,5 3,4 - 6,6 7,5 + 3,5 37,5 Nhiều HS tính tích 37,5 6,5 ; 7,5 3,4 ; 6,6 7,5 3,5 37,5 sau trừ, cộng kết Làm thời gian vào việc tính tốn, cịn tính sai GV gợi ý: Biểu thức có đặc biệt khơng? Có thể vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tính nhanh khơng? Sử dụng phương pháp nào? HS trả lời câu hỏi, từ HS dễ dàng làm sau: 37,5 6,5 - 7,5 3,4 - 6,6 7,5 + 3,5 37,5 = (37,5 6,5 + 3,5 37,5) – (7,5 3,4 + 6,6 7,5) (nhóm hạng tử) = 37,5 (6,5 + 3,5) - 7,5 (3,4 + 6,6) (đặt nhân tử chung) = 10 (37,5 - 7,5) (đặt nhân tử chung) = 10 30 = 300 Ví dụ 3: Tính nhanh: 452 + 402 − 152 + 80.45 Đa số HS tính 452 ; 402 ;152 80.45 cộng trừ kết Ở GV cần hướng dẫn HS: viết 80.45 dạng khác? Nếu HS chưa phát ra, GV gợi ý thêm 80 có liên quan với 40 nào? Có thể dùng đẳng thức để tính nhanh biểu thức khơng? Từ HS dễ dàng biến đổi được: 452 + 402 − 152 + 80.45 = ( 452 + 2.40.45 + 40 ) − 152 = ( 45 + 40 ) − 152 = ( 85 − 15 ) ( 85 + 15 ) = 70.100 = 7000 Ví dụ 4: Tính nhanh: 15 91,5+ 150 0,85 Tương tự ví dụ HS tính 15 91,5 150 0,85 cộng kết làm thời gian tính tốn GV hướng dẫn HS nhận xét 91,5 thêm để đủ 100, để có 8,5 cần nhân 0,85 với bao nhiêu? 15 150 liên quan nào? Từ HS biến đổi : 15 91,5+ 150 0,85 = 15 91,5+ 15 8,5 = 15 (91,5+ 8,5) = 1500 Tóm lại: Với dạng tốn tính nhanh, hạn chế HS đa số em tính trực tiếp phép tính, làm thời gian dẫn đến kết sai, khơng đảm bảo u cầu tính nhanh Để làm dạng tốn cần nhận xét tìm mối liên quan hạng tử biểu thức;từ lựa chọn linh hoạt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thích hợp để đưa biểu thức cho dạng tích nhân tử việc thực phép tính cịn tính nhẩm với số tròn chục tròn trăm cho ta kết toán cách nhanh Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức: x (x - 1) – y (1 – x) x = 2001 y = 1999 Nhiều HS thay giá trị x y vào biểu thức thực phép tính Hoặc có HS thu gọn biểu thức cách nhân đơn thức với đa thức, cộng trừ hạng tử đồng dạng thay giá trị x y vào biểu thức để thực phép tính Làm gây thời gian, việc tính tốn gặp khó khăn GV hướng dẫn HS: Biểu thức có đặc biệt khơng? Có thể làm xuất nhân tử chung hạng tử khơng? Làm cách nào? Sử dụng phương pháp để đưa biểu thức cho dạng thu gọn đơn giản? Từ HS trình bày sau: x (x - 1) – y (1 – x) = x (x - 1) + y (x – 1) = (x – 1) (x + y) Thay x = 2001 y = 1999 vào biểu thức ta được: (2001 – 1) (2001 + 1999) = 2000 4000 = 000 000 Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức: x2 + 1 x+ 16 x = 49,75 Ở không thay trực tiếp giá trị x vào mà trước hết phải thu gọn biểu 1 1 =  ÷ = , sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành thức Lưu ý 16   nhân tử dùng đẳng thức viết biểu thức cho dạng: 2 1 1  1 x + x + = x + 2.x +  ÷ =  x + ÷ = ( x + 0, 25 ) 16 4  4 Đến thay x = 49,75 vào biểu thức ta được: ( 49, 75 + 0, 25 ) = 502 = 2500 Ví dụ 7: Tính giá trị biểu thức: A= x − y − y − x = 93 y = Ở HS đễ nhận biểu thức thu gọn nên việc thay giá trị x y vào thực phép tính, hạn chế HS Nếu quan sát kĩ ta dễ thấy − y − y − = − ( y + y + 1) = − ( y + 1) Từ HS biến đổi A = x − ( y + y + 1) = x − ( y + 1) = ( x − y − 1) ( x + y + 1) Thay x= 93 y = vào biểu thức ta được: A = (93–6-1)(93+6+1)= 8600 Ví dụ 8: Cho x y hai số khác thỏa mãn x + y = y + x Tính giá trị biểu thức sau: A= x + y + xy xy − Khi gặp toán HS lúng túng việc tìm lời giải GV gợi ý x + xy + y − xy ( x + y ) − xy A= = xy − xy − cho HS viết: Cần phân tích giả thiết x + y = y + x làm xuất giá trị (x + y) Ta có x + y = y + x ⇒ x − y + y − x = ⇒ ( x − y ) ( x + y − 1) = Vì x ≠ y nên x − y ≠ suy x + y – = hay x + y = Khi đó: x + xy + y − xy ( x + y ) − xy − xy A= = = = −1 (vì x + y =1 ⇒ xy ≠ 1) xy − xy − xy − 3x2 y − Ví dụ 9: Cho x − xy + y − x + y + = Tính Q = xy 2 Khi gặp tốn nhiều HS bế tắc, khơng biết cách làm GV cần định hướng cho HS phân tích giả thiết tốn tìm x; y mối quan hệ x; y nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử, đánh giá x − xy + y − x + y + = Ta có: ⇔ x − x( y + 1) + ( y + y + 1) + ( y + y + 4) = ⇔ x − x( y + 1) + ( y + 1) + ( y + 2) = ⇔ ( x − y − 1) + ( y + ) = 2 x − y − =  x = −1 ⇔ ⇔ y + =  y = −2 ( −1) ( −2 ) − −7 = Thay x = -1 y = -2 vào biểu thức Q ta được: Q = ( −1) ( −2 ) Nhận xét: Với dạng toán tính giá trị biểu thức HS hay mắc phải sai lầm số em thay giá trị biến vào biểu thức mà không thu gọn thực phép tính, số em thấy biểu thức khơng có hạng tử đồng dạng nên không thu gọn thay giá trị vào thực phép tính dẫn đến việc tính tốn trở nên phức tạp, dễ dẫn đến kết sai Vì GV cần khắc sâu cho HS nên biến đổi biểu thức cho thành nhân tử cách thích hợp cho thay giá trị biến vào việc thực phép tính tính nhẩm Dạng 3: Rút gọn 3 2 Cho a + b + c = Rút gọn biểu thức: M = a + b + c ( a + b ) − abc Ví dụ 10: Với phương pháp biến đổi thông thường để rút gọn biểu thức M đơn giản Bài toán cho a + b + c = nên ta phân tích M theo a + b + c = cách vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử M = a + b3 + c ( a + b2 ) − abc = a + b3 + a 2c + b 2c − abc = a ( a + c ) + b ( b + c ) − abc = a ( −b ) + b ( −a ) − abc = −ab ( a + b + c ) = Ví dụ 11: (vì a + b + c = nên a + c = -b; b + c = -a) (Vì a + b + c = 0) Rút gọn phân thức ( a + b) − c2 a+b+c Để rút gọn phân thức tử mẫu phải có nhân tử chung, ta cần phân tích tử mẫu thành nhân tử, chia tử mẫu cho nhân tử chung ( a + b) − c2 ( a + b − c ) ( a + b + c ) = = a+b−c a+b+c a+b+c 10 Ví dụ 12: Rút gọn phân thức a + b − c + 2ab a − b + c + 2ac Tương tự ví dụ 10 trước hết em phân tích tử, mẫu thành nhân tử, chia tử mẫu cho nhân tử chung ( a + b − c) ( a + b + c) = a + b − c a + b − c + 2ab a + 2ab + b − c ( a + b ) − c = = = 2 2 2 a − b + c + 2ac a + 2ac + c − b ( a + c ) − b2 ( a + c − b ) ( a + c + b ) a − b + c Ví dụ 13: Rút gọn phân thức x − xy − x + y x + xy − x − y Nhờ việc phân tích tử mẫu thành nhân tử ta rút gọn dễ dàng: x − xy − x + y x ( x − y ) − ( x − y ) ( x − y ) ( x − 1) x − y = = = x + xy − x − y x ( x + y ) − ( x + y ) ( x + y ) ( x − 1) x + y Ví dụ 14: Rút gọn phân thức y − x2 x − x y + xy − y Khi giải ta cho HS phân tích tử mẫu thành nhân tử để xuất nhu cầu đổi dấu, cho HS suy luận cách nhận xét thứ tự x y tử mẫu phân thức cho để suy đốn cần đổi dấu Có thể đổi dấu sau phân tích thành nhân tử: ( y − x) ( y + x) = − ( x − y) ( x + y ) = −x − y y2 − x2 = 3 2 x − x y + xy − y ( x − y) ( x − y) ( x − y) Hoặc đổi dấu trước phân tích thành nhân tử: − ( x2 − y ) − ( x − y ) ( x + y ) −x − y y − x2 = = = 3 2 x − x y + xy − y ( x − y) ( x − y) ( x − y) Ví dụ 15: Rút gọn phân thức x7 + x6 + x5 + x + x3 + x + x + x2 −1 Mới nhìn HS thấy việc rút gọn không đơn giản lúng túng chưa tìm cách làm, GV gợi ý phân tích mẫu thành nhân tử, sau phân tích tử thành nhân tử có xuất nhân tử mẫu không? Thực cách nào? HS nêu câu trả lời nhóm hai hạng tử liên tiếp với Khi HS thực sau: x + x + x + x + x + x + x + ( x + x ) + ( x + x ) + ( x + x ) + ( x + 1) = ( x − 1)( x + 1) x2 −1 = x ( x + 1) + x ( x + 1) + x ( x + 1) + ( x + 1) ( x − 1)( x + 1) 11 = ( x + 1) ( x + x + x + 1) ( x − 1)( x + 1) = x6 + x4 + x + x −1 Tóm lại: Để rút gọn phân thức (đối với phân thức tử mẫu chưa có nhân tử chung) việc phân tích đa thức thành nhân tử để xuất nhân tử chung Tùy vào toán cụ thể mà lựa chọn phương pháp cho phù hợp Dạng 4: Tìm x (giải phương trình) Ví dụ 16: Tìm x, biết: a) x − x + = b) x − 13x = c ) x ( x − 2) + x − = Gặp tốn HS chưa có kiến thức giải phương trình bậc hai, bậc ba nên em lúng túng Vì GV cần gợi ý cho HS biến đổi đưa phương trình tích + Vậy muốn đưa phương trình tích ta làm nào? + HS nêu sử dụng PP phân tích đa thức thành nhân tử 1 1 1  a) x − x + = ⇔ x − x + = ⇔  x − ÷ = ⇔ x − = ⇔ x = 4 2 2  x =  b) x − 13x = ⇔ x ( x − 13) = ⇔ x x − 13 x + 13 = ⇔  x = 13  x = − 13  ( )( ) x − = x = c ) x ( x − 2) + x − = ⇔ ( x − 2) ( x + 1) = ⇔  ⇔ x +1 =  x = −1 Ví dụ 17: Tìm x, biết: a)2 x + x − = b)8 x3 + 12 x + x + = Tương tự ví dụ 15, HS gặp khó khăn làm tập cách phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình dạng phương trình tích Vì GV cần hướng dẫn HS nhận xét biểu thức vế trái phương trình để từ chọn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho phù hợp Trường hợp a) tách hạng tử bậc 5x a )2 x + x − = ⇔ ( x + x ) − ( x + ) = ⇔ x ( x + ) − ( x + 3) =  x = −3 x + = ⇔ ( x + 3) ( x − 1) = ⇔  ⇔ x = 2 x − =  b)8 x3 + 12 x + x + = ⇔ ( x ) + ( x ) + 3.2 x.12 +13 = ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = −1 12 a )2 x3 + x = x + x Ví dụ 18: Giải phương trình: a) x3 + x = Đây phương trình bậc ba, nên việc giải phương trình HS không dễ dàng chút Nhiều HS thực phép tính thu gọn hạng tử đồng dạng để tìm x, làm HS bế tắc q trình biến đổi không đến kết Ở GV cần gợi ý cho HS biến đổi phương trình thành dạng phương trình quen thuộc chẳng hạn phương trình tích giải phương trình tích Vậy biến đổi cách nào? Từ HS nêu dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đê biến đổi sau: a) x3 + x = ⇔ x3 − x + 5x − = ⇔ ( x −1) ( x + x + ) =   19  ⇔ ( x −1)  x + ÷ +  = ( *) 2   Vì 2 1 1 19   > 0∀x  x + ÷ ≥ 0∀x ⇒ x + ÷ + 2 2   Khi (*) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = a )2 x3 + x = x + x ⇔ x3 + x − x − 3x = ⇔ x ( x + ) ( x − 1) =  x = x =  ⇔  x + = ⇔  x = −  x − =  x =  Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = -3 x = Tóm lại: Với dạng tốn tìm x (hay giải phương trình), gặp tập đơn giản hay có dạng quen thuộc có cách giải chung em làm Song gặp tập phức tạp khơng có dạng quen thuộc đa số em khơng biết cách làm làm không đến kết Điều quan trọng GV phải hướng dẫn cho em biến đổi dạng quen thuộc, cách biến đổi quan trọng hướng dẫn em dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình cho dạng phương trình tích giải phương trình tích Hướng dẫn HS chuyển hết hạng tử sang vế, quan sát nhận xét đặc điểm biểu thức vế trái, từ lựa chọn linh hoạt phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách, thêm bớt, tìm kết dễ dàng tiện lợi Dạng 5: Chứng minh chia hết 13 Ví dụ 19: Chứng minh 55n +1 − 55n chia hết cho 54 (với n số tự nhiên) - Khi gặp tập nhiều HS cách giải, em lúng túng, GV cần gợi ý cho HS: n +1 n Để ( 55 − 55 ) M54 cần phân tích 55n +1 − 55n thừa số cho xuất thừa số chia hết cho 54, việc làm phân tích 55n +1 − 55n thành nhân tử, từ HS biết hướng làm giải sau: 55n +1 − 55n = 55n ( 55 − 1) = 55n.54M54 (với n số tự nhiên) Qua HS thấy nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử mà em giải tập cách dễ dàng tạo niềm vui thích thú học tập cho em Ví dụ 20: Chứng minh ( 5n + ) − chia hết cho với số nguyên n Tương tự ví dụ GV hướng dẫn HS phân tích ( 5n + ) − thành nhân tử (dùng đẳng thức) để làm xuất thừa số chia hết cho 5: ( 5n + ) − = ( 5n + − ) ( 5n + + ) = 5n ( 5n + ) M5 ( ∀n ∈ Z ) Ví dụ 21: Chứng minh với số nguyên n ta có: a) n3 - 13n chia hết cho b) n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120 Cũng hai ví dụ GV hướng dẫn HS phân tích sau: a) Ta có: n3 - 13n = (n3 - n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n Vì n – 1; n; n + ba số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết tích n (n - 1) (n + 1) chia hết cho 2.3 = (vì nguyên tố nhau), 12n chia hết cho Do n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho ( ∀n ∈ Z ) Vậy n3 - 13n chia hết cho ∀n ∈ Z b) Ta có: n5 - 5n3 + 4n = n5 - n3 - 4n3 + 4n = n3(n2 - 1) - 4n(n2 - 1) = n(n2 - 1)(n2 - 4) = n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) tích số nguyên liên tiếp (vì n ∈ Z ) Trong số nguyên liên tiếp có hai số bội (trong có số bội 4, bội bội 5) Do tích số ngun liên tiếp chia hết cho 8.3.5= 120 (vì 8, 5, đơi ngun tố nhau) Qua ví dụ để giúp HS làm tốt dạng toán chia hết GV cần hướng dẫn em hiểu theo định hướng sau: + Số nguyên a chia hết cho số nguyên b ≠ tồn q ∈ Z cho a = b.q 14 + Phân tích biểu thức cho thừa số để xuất số chia thừa số chia hết cho số chia, việc làm phân tích đa thức thành nhân tử việc chứng minh chia hết trở nên đơn giản dễ dàng Vì GV cần hướng dẫn em phân tích biểu thức cho thành nhân tử, tùy vào cụ thể mà dùng đẳng thức hay đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử cho phù hợp.Qua HS thấy lợi ích việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán thật thú vị Trên em HS biết đến lợi ích việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải số dạng toán Tuy nhiên với HS khá, giỏi cho em khám phá tìm hiểu thêm vài dạng sau đây: Dạng 6: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: Ví dụ 22: Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc thì: a=b=c a+b+c =0 Giải: Từ a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 - bc) = (b + c)[(b + c)2 - 3bc] = (b + c)3 - 3bc(b + c) Lại có: a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + (b3 + c3) - 3abc = a3 + (b + c)3 - 3bc(b + c) - 3abc = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Do a3 + b3 + c3 - 3abc = a + b + c = : a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = hay (a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a) = suy a = b = c Ở ví dụ cách phân tích đa thức thành nhân tử để đưa đẳng thức dạng tích sau xét thừa số chứng minh đẳng thức ta có kết cần tìm ( x + y + z ) − x3 − y − z = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Ví dụ 23: Chứng minh rằng: Khi gặp tập nhiều HS thực khai triển đẳng thức thực phép tính thơng thường khơng đưa đến kết HS bế tắc trình biến đổi Vì GV cần định hướng cho HS biến đổi vế trái cách phân tích thành nhân tử đưa vế phải: ( x + y + z) − x − y − z = ( x + y ) + z  − x − y − z 3 = x + y + xy ( x + y ) + z + 3z ( x + y ) ( x + y + z ) − x − y − z = ( x + y ) ( xy + xz + yz + z ) = 3( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Vậy ( x + y + z ) − x3 − y − z = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Ví dụ 24: Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: 15 2a 2b + 2b c + 2a c − a − b − c > Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên a +b +c > 0; a + b - c > 0; a +c - b > 0; c + b - a > 0; Nên toán ta cần hướng dẫn HS tìm cách phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử để sử dụng giả thiết cho Ta có: 2a 2b + 2b c + 2a 2c − a − b − c = 4a c − ( a + b + c − 2a 2b + 2a c − 2b c ) = 4a c − ( a − b + c ) 2 = b − ( a − c )  ( a + c ) − b     = ( b − a + c) ( b + a − c) ( a + c − b) ( a + c + b) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b – a+c > 0; b+a – c > 0; a + c – b > 0; a + c + b > Do ( b − a + c ) ( b + a − c ) ( a + c − b ) ( a + c + b ) > Vậy 2a 2b + 2b 2c + 2a 2c − a − b − c > Nhận xét : Trong ví dụ vấn đề quan trọng phân tích đa thức vế trái thành nhân tử sau sử dụng kết bất đẳng thức tam giác để kết luận Dạng 7: Tìm cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức cho trước Ví dụ 25: Tìm cặp số x y cho x – y = xy – Khi gặp dạng toán nhiều HS dùng cách thử cặp số xem cặp số thỏa mãn Làm khơng có sở khoa học, khơng tìm triệt để cặp số, thời gian Cần định hướng cho HS phân tích sau: Ta có: x – y = xy – ⇔ x – y – xy + = ⇔ (1 – y) (x + 1) = 1 − y = y =1 ⇔ ⇔ x +1 =  x = −1 Vậy cặp số cần tìm là: x = -1; y , y =1; x Ví dụ 26: Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: a) x + y = xy b) xy - x + 2(y - 1) = 13 Hướng dẫn HS làm tương tự ví dụ a) Ta có : x + y = xy ⇔ xy - x - y = ⇔ (y - 1)(x - 1) = Do x, y ∈ Z; mà = 1.1 = (-1).(-1) nên ta có:  y − =  y =    x − = ⇔  x =   y − = −1   y =     x − = −1   x = 16 Vậy cặp số nguyên (x;y) cần tìm (0 ; 0) (2 ; 2) b) Ta có: xy - x + 2(y - 1) = 13 ⇔ (y - 1)(x + 2) = 13 Do x, y ∈ Z; vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = (-1).(-13) = (-13).(-1) nên ta lần x + =  x + = 13  x + = −13  x + = −1     y − = 13  y −1 =  y − = −1  y − = −13  x = −1  x = 11  x = −15  x = −3 Hay      y = 14 y = y =  y = −12 lượt có:  Vậy cặp số ngun (x;y) cần tìm (11; 2) ; (-1; 14); (-15; 0) ; (-3; -12) Ví dụ 27: Tìm nghiệm tự nhiên ( x; y ) phương trình: (x + y + 28 ) = 17( x + y + 14 y + 49) Đây tốn khó HS; biết sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào để phân tích tốn trở nên đơn giản Vì GV nên định hướng cho HS chuyển hạng tử sang vế phân tích thành nhân tử; sau dựa vào điều kiện tốn suy luận tìm kết Ta có: ( x + y + 28) = 17( x + y + 14 y + 49) ⇔ ( x + 4( y + 7) ) = 17  x + ( y + 7)  2 2 4 2 ⇔ 16 x − x ( y + 7) + ( y + 7) = ⇔ (4 x − y − 7) = ⇔ (4 x − y − 7) = ⇔ ( x + y ) ( x − y ) = (*) Vì x; y số tự nhiên nên x + y > , x + y > x − y 2 x + y = x = ⇔ Do đó, từ (*) suy ra:  (thỏa mãn) 2 x − y = y = Vậy nghiệm tự nhiên (x; y) phương trình cho là: (2;3) Với dạng toán GV nên hướng dẫn HS làm sau: + Phân tích vế đẳng thức thành tích hai thừa số, vế lại số nguyên n + Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số tất cách + Xét tất trường hợp xảy từ tìm cặp số nguyên (x; y) Như kĩ việc giải tốn dạng phân tích biểu thức cho thành nhân tử Hiệu 17 Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên, tơi thấy có hiệu hữu hiệu cho việc học tập giải toán học sinh Các em học tập hứng thú hơn, tự giác hơn, tích cực phát biểu ý kiến xây dựng nhiều hơn, đặc biệt khả phân tích dự đoán tốt nhiều so với trước Rất nhiều học sinh chủ động tìm tịi định hướng phương pháp làm chưa có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt Đối với học sinh đại trà: + Các em nắm PP phân tích đa thức thành nhân tử + Biết phân dạng tốn ứng dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải + Chủ động lựa chọn cách giải biết trình bày làm Đối với học sinh khá, giỏi em linh hoạt vận dụng thành thạo phương pháp hợp lí cho toán cụ thể Giải toán nhanh gọn xác, có lời giải hay Kết cụ thể sau thực sáng kiến kinh nghiệm trên: Chưa biết khai thác Lớp Có đường lối Sĩ số Biết ứng dụng giải SL % 22 61.1 SL % SL % 8A 36 11,1 10 27.8 Kết thi HSG cấp huyện năm học 2015-2016 Có HS tham gia thi HSG mơn Tốn cấp huyện, kết đạt: giải ba III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Muốn đạt hiệu cao công tác dạy học, thân người Thầy cần phải có tinh thần trách nhiệm cao, gần gũi, sát với học sinh, phải có đầu tư thời gian, tự học tự nghiên cứu để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Ln phải có cải tiến phương pháp giảng dạy, tích 18 cực sử dụng cơng nghệ thơng tin q trình dạy học Đặc biệt ln phải tạo học thoải mái tâm lí cho em Tìm hiểu phát điểm yếu, vướng mắc, tồn học sinh, từ có kế hoạch, biện pháp giúp học sinh tiến Vì lẽ với giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để từ đưa tập phù hợp giúp học sinh chủ động làm tập đó, người thầy phải tìm tịi nhiều phương pháp giải tốn, có nhiều tập hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa cho học sinh làm, phát cách giải khác cách giải hay, rèn luyện tính tự giác học tốn, có kĩ phát cách giải toán nhanh, gây hứng thú học tập cho học sinh, tạo nên lịng say mê u thích học tốn Trong viết đưa kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Hy vọng tài liệu hữu ích để bạn đồng nghiệp tham khảo trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót, mong tổ chun mơn đồng nghiệp góp ý chân thành để tơi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ trình giảng dạy nâng cao chất lượng Nông Cống, ngày 20 tháng năm 2017 XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN Phạm Hồng Bằng 19 ... đẳng thức cho trước, … Vì tơi đưa số kinh nghiệm ? ?Hướng dẫn vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp Trường THCS Công Liêm? ??... phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp Trường THCS Công Liêm" Với hy vọng đem lại niềm vui, hứng thú, đam mê học tập cho em, từ... việc hướng dẫn học sinh biết vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải dạng tập - Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp trường THCS Công Liêm Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp