MỤC LỤC Mở 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2.Thực trạng vấn đề 2.3 Các giải pháp để giải tổ chức thực 2.4 Kết Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2kiến nghị Trang Trang Trang Trang Trang Trang 14 Trang 15 Trang 15 Trang 15 1 MỞ ĐẦU - Lý chọn đề tài: Toán học môn khoa học coi chủ lực, trước hết Toán học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic, … chất lượng dạy học toán nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học toán nói riêng trường THCS tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Qua thực tế giảng dạy qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử không khó, nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể - Mục đích nghiên cứu: Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên Tôi chọn đề tài: “rèn luyện kĩ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp trường THCS Nga thắng” - Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Sách giáo khoa Toán 8, Sách giáo viên, Sách tập toán tập 1, Sách tham khảo nâng cao… Nhiệm vụ đề tài: “rèn luyện kĩ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp trường THCS Nga thắng” - Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp điều tra + Phương pháp thống kê + Phương pháp quan sát + Phương pháp thực hành + Phương pháp thực nghiệm + Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Trong hoạt động giáo dục đòi hỏi học sinh cần phải tự học; tự nghiên cứu cao.Tức đích cần phải biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như học sinh phát huy lực sáng tạo; tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để học sinh đạt điều môn toán (cụ thể môn đại số lớp 8) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tòi toán liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức em học sinh 2.2.Thực trạng vấn đề: *Điều tra thực trạng trước nghiên cứu Tìm hiểu qua học sinh đồng nghiệp, pháp số nguyên nhân sau: - Do học sinh chưa khai thác hết đề cách triệt để,toàn diện - Chưa nắm chất số toán - Chưa chịu khó tìm tòi, sáng tạo làm - Đặc biệt em chưa phát qua kiến thức biết vận dụng lúc chỗ Từ nguyên nhân trên, thiết nghĩ: Để phát huy khả tư học sinh, người thầy phải giúp em nhìn nhận số vấn đề góc độ khác Đặc biệt từ điều biết, hình thức diễn tả khác nhau, chọn hình thức phù hợp với trình độ học sinh, yêu cầu học sinh giải tập từ khai thác tri thức tìm tình áp dụng cụ thể việc giải tập tương ứng, nội dung lại từ sách giáo khoa,vì tri thức khai thác sử dụng hiệu Điều làm sáng tỏ qua số khảo sát sau Để đánh giá khả em dạng toán trên, trước áp dụng đề tài đề toán cho 23 em học sinh lớp 8A trường THCS Nga Thắng Với tập đưa ra, học sinh giải cách độc lập tự giác, thống kê theo bảng sau: Số HS giải theo mức độ Tổng số HS Loại yếu Năm học Loại giỏi Loại Loại TB lớp -kém Chưa 8A SL % SL % SL % SL % áp dụng 2016-2017 23 0 13,1 11 47,8 39,1 Qua việc kiểm tra đánh giá thấy học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đạt hiệu Lời giải thường dài dòng, không xác, ngộ nhận 2.3 Các giải pháp tổ chức thực hiện: 2.3.1 Đề tài đưa giải pháp sau: Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử * Củng cố kiến thức cho học sinh yếu kém: - Phương pháp Đặt nhân tử chung - Phương pháp Dùng đẳng thức - Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử *Vận dụng phát triển kỹ đối vơi học sinh đại trà: - Phối hợp nhiều phương pháp - Rèn kĩ biến đổi hoàn thiện cách tình bày lời giải - Giới thiệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao) * Phát triển tư học sinh giỏi: (Giới thiệu phương pháp ) - Phương pháp tách môt hạng tử thành nhiều hạng tử - Phương pháp thêm bớt hạng tử - Phương pháp đổi biến - Phương pháp dùng hệ số bất định 2.3.2.Các phương pháp bản: a Phương pháp đặt nhân tử chung - Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 35a2b2 −21ab2 + 49a2b Giải: 35a2b2 −21ab2 + 49a2b = 7ab(5ab − 3b + 7a) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x(y – z) + 3y(z –y ) Giải: 2x(y – z) + 3y(z –y ) = 2x(y −z) – 3y(y −z) = (y – z)(2x − 3y) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: xm + xm + Giải: xm + xm + = xm ( 1+x3 ) = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) Ví dụ Chứng minh 2018n+1 – 2018n chia hết cho 2017(với n số tự nhiên) Giải: Ta có 2018n+1 – 2018n = 2018n (2018 – 1) = 2018n.2017 chia hết cho 2017 Nên 2018n+1 – 2018n chia hết cho 2017(với n số tự nhiên) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/15x2y – 25 xy2 + 40 x2y2 ; b/ 10x( x – y) – 8y( y – x) c/ 9x( x – y) – 10( y – x)2 ; d/ 12x(x+y-z) – 42xy(x+y-z) Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) x2 + xy + x x = 77; y = 22 b) a (a – b) + b( b – a) a = 53 ; b =3 Bài 3: Tìm x biết: a) x + 7x2 = ; b) (x - 1) = ( x – 1)2 Bài 4: Chứng minh rằng: a) 432 + 43.17 chia hết cho 60 ; b) 275 - 311 chia hết cho 80 b Phương pháp dùng đẳng thức −Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử −Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 25x2 – Giải: 25x2 – = (5x)2 – 22 = ( 5x– 2)(5x + 2) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 64 – 27a3b6 Giải: 64 – 27a3b6 = 43 – (3ab2)3 = (4 – 3ab2)( 16 + 12ab2 + 9a2b4) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 25x4 – 10x2y + y2 Giải: 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Ví dụ Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho Giải: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM *Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (ab − 1)2 - (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; c) x3 − 4x2 + 12x − 27 ; d) (a + b)2 – (a – b)2 e) (a + b)3 – (a – b)3 Hướng câu d;e) Đặt (a + b)= x , (a – b) = y f) a6 – b6 Hướng dẫn câu f ) a6 – b6 = ( a3 )2 – ( b3 )2 = ( a3 + b3 ) ( a3 - b3 ) = ( a + b )( a2 - ab + b2 )( a – b )( a2 + ab + b2 ) Bài 2: Tính nhanh: a) 352 - 252 ; b) 872 + 732 - 272 - 13 Bài 3: Tìm x biết: a) x3 – 4x = ; b) x2 - 10x = -25 Bài 4: Chứng minh rằng: a) 2110 – 1chia hết cho 200 ; b) 3920 + 3913 chia hết cho 40 c) 260 + 530 chia hết cho 41 ; d) 20052007 + 20072005 chia hết cho 2006 c Phương pháp nhóm nhiều hạng tử - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm - Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 3x2 + 2x – Giải: 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 2xy + y2 – 16 Giải: x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 −42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 2x – 4y2 – 4y Giải: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Ví dụ Tính nhanh giá trị đa thức: x2 – 2xy– 4z2 + y2 x = ; y =-4 ; z = 45 Giải: Ta có x2 – 2xy– 4z2 + y2 = (x2 – 2xy+ y2) – 4z2 = (x –y)2- (2z)2 =(x – y + 2z)(x – y – 2z) Thay x = 6; y = -4; z = 45 vào biểu thức ta giá trị cần tìm – 8000 *Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 – xy + x – y ; b) x2 – 2x + – 4y2 c) x4 + x3+2x2 +x +1 ; d) x4 + 2x3+2x2 +2x +1 Bài 2: Tính nhanh giá trị đa thức sau: a ) x2 – 2xy - 4z2 + y2 x =6 ; y= - ; z = 45 b) 3( a – 3)( a + ) + (a – 4)2 + 48 x = 0,5 Bài 3: Tìm x biết: 5x – 5x2 + 2x - 2x2 = d Phối hợp nhiều phương pháp − Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên − Đặt nhân tử chung − Dùng đẳng thức − Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3xy2 – 12xy + 12x Giải: 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Giải: 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9x3 + x2 – 9x Giải: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ví dụ Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 =3abc Giải : Thay a3 + b3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) a + b = - c, ta a3 + b3 + c3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) + c3 = - c3 – 3ab.(-c) + c3 = 3abc Vậy đẳng thức chứng minh *Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ) a4 + 2a3 + a2 ; b ) 5x2 - 10xy + 5y2 - 20z4 c ) 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 ; d)a2 - b2 - 2a + 2b e ) ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 Hướng dẫn giải câu e) ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 = [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3 = [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z ) = 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 ) = 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 ) = 3( x + y )( y + z )( x + z ) Bài 2: Tìm x biết: a) 5x(x – 1) = x -1 ; b) 2(x + 5) = x2 + 5x Bài 3: Chứng minh biểu thức n3 (n2 - 7)2 – 36n chia hết cho với số nguyên n e Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử e.1)Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) *Cách (tách hạng tử bậc bx): Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci với b = + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn - Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) - Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) - Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) *Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) - Làm xuất hiệu hai bình phương : f(x)= 3x2 + 8x + = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) - Tách thành số hạng nhóm : f(x) =3x2 + 8x + = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) Hoặc f(x) =3x + 8x + =12x2 – 9x2 +8x + = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = 4x(3x+2) – (3x-2)(3x+2) =(3x+2)(4x-3x+2) = (x + 2)(3x + 2) *Cách (tách hạng tử tự c) - Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x)=3x2 + 8x + = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2- 4) + 8(x+2) =3(x+2)(x-2) +8(x+2) =(x+2)(3x-6+8) = (x + 2)(3x + 2) *Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) =3x2 + 8x + =3x2 + 12x – 4x +12 - = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) =3x2 + 8x + = x2 + 2x2 + 4x + 4x +4 = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = (x+2)2 +2x (x +2) = (x + 2)(3x + 2) Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 −4x − thành nhân tử Hướng dẫn Ta thấy 4x2 − 4x = (2x)2 − 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức Lời giải f(x) = 4x2 − 4x −3 = 4x2 −4x +1 − = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử Lời giải Cách : f(x) = 9x2 + 12x – = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = 9x2 + 12x – = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) *Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2- 6x + ; b) 9x2+6x-8 c) x2 –x – ; d) 4x2 – 4x - e.2) Đối với đa thức bậc từ trở lên Trước hết, ta ý đến định lí quan trọng sau : Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc tách số hạng f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải ước hệ số tự Thật vậy, giả sử đa thức anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + + a1x + a0 ví i an, an−1, , a1,a0 nguyên, có nghiệm nguyên x = a Thế thì: anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + + a1x + a0 = (x − a)(bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + + b1x + b0 ) , bn−1, bn−2, , b1, b0 số nguyên Hạng tử bậc thấp vế phải – ab0, hạng tử bậc thấp vế trái a Do – ab0 = a0, suy a ước a0 Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4, ta thấy f(–2) = (–2) + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách sau Cách : f(x) = x3 + x2 + = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = x3 + x2 + = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = x3 + x2 + = x3 + 4x2 + 4x– 3x2 - 6x+ 2x + = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = x3 + x2 + = x3 – x2 + 2x2+ 2x – 2x + =(x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Từ định lí trên, ta có hệ sau : Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có nhân tử x – Chẳng hạn, đa thức f(x) = x – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích sau : f(x) = x3 – 5x2 + 8x – = x3 – x2 – 4x2 + 8x – = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + Chẳng hạn, đa thức f(x) = x – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích sau : f(x) = x3 – 5x2 + 3x + = x3 – 6x2 + x2 - 6x + 9x + = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 f (1) Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác a− f (−1) số nguyên a+ Chứng minh Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có nhân tử x – a Do f(x) có dạng : f(x) = (x – a).q(x) (1) Thay x = vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1) f (1) Do f(1) ≠ nên a ≠ 1, suy q(1) = − Vì hệ số f(x) nguyên nên a− f (1) hệ số q(x) nguyên Do đó, q(1) số nguyên Vậy số a− nguyên 10 f (−1) số nguyên a+ Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 −13x2 + 9x −18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x) −18 −18 −18 −18 Dễ thấy , , , không số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± −3− ±6 − ±9 − ±18− 18 không nghiệm f(x) Chỉ –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau : f(x) = 4x3 −13x2 + 9x −18 f(x) = 4x3 − 12x2 − x2 + 3x + 6x − 18 = 4x2(x − 3) − x(x − 3) + 6(x − 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) Hệ Nếu f(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + + a1x + a0 p ( ví i an, an−1, , a1,a0 số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = , p, q ∈ q Z (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an Chứng minh p Ta thấy f(x) có nghiệm x = nên có nhân tử (qx – p) Vì hệ số q f(x) nguyên nên f(x) có dạng: f(x) = (qx – p) (bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + + b1x + b0) Đồng hai vế ta qb n–1 = an , –pb0 = ao Từ suy p ước a 0, q ước dương an (đpcm) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x3 −7x2 + 17x −5 thành nhân tử Hướng dẫn Các ước –5 ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy số không nghiệm f(x) Như f(x) nghiệm nguyên Xét số ± , ± , ta 3 thấy nghiệm đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau : f(x) = 3x3 −7x2 + 17x −5 = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) e.3)Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 − 5xy + 2y2 ; b) x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y) Hướng dẫn a)Phân tích đa thức tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c Thay x = –1 vào (1) chứng minh tương tự ta có 11 Ta tách hạng tử thứ : 2x2 − 5xy + 2y2 = (2x2 − 4xy) −(xy − 2y2) = 2x(x −2y) −y(x − 2y) = (x −2y)(2x −y) b)Nhận xét z −x = −(y −z) − (x −y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức: x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y) = x2(y − z) −y2(y −z) − y2(x − y) + z2(x − y) = (y −z)(x2 − y2) −(x − y)(y2 −z2) = (y −z)(x −y)(x + y) − (x −y)(y −z)(y + z) = (x −y)(y −z)(x −z) Chú ý : 1) Ở câu b) ta tách y −z = − (x −y) − (z −x) (hoặc z − x= − (y −z) − (x −y)) 2) Đa thức câu b) đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức *Bài tập áp dụng: Bài tập1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 −x2 – ; b) x3 − 5x2 + 8x– c) 4x3 − 13x2 + 9x– 18 ; d) 3x3 −7x2 + 17x– Bài tập2: Giải phương trình: x3 − 4x2 - 9x + 36 =0 f Phương pháp thêm bớt hạng tử f.1)Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) Ví dụ Phân tích đa thức x4 + 64 thành nhân tử Lời giải x4 + 64 =( x2)2 + 82 + 2.x2.8 – 16x2 = ( x2 + 8)2- (4x)2 =( x2 + 8+4x)( x2 + - 4x) = ( x2+4x +8)(x2 - 4x+8) 12 f.2)Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ Phân tích đa thức x5 + x − thành nhân tử Lời giải Cách x5 + x −1 = x5 −x4 + x3 + x4 −x3 + x2 − x2 + x − = x3(x2 −x + 1) −x2(x2 − x + 1) − (x2 − x + 1) = (x2 − x + 1)(x3 −x2 −1) Cách Thêm bớt x2 : x5 + x −1 = x5 + x2 − x2 + x − = x2(x3 + 1) − (x2 − x + 1) = x2 (x + 1) (x2 − x + 1) - (x2 − x + 1) = (x2 −x + 1)[x2(x + 1) −1] = (x2 − x + 1)(x3 −x2 −1) Ví dụ Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử Lời giải x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x −1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 − x4 – x2 − x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử x2 + x + Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x4 + x2 + (Tách x2 thành 2x2 – x2 b) x5 + x4 + (Thêm x3 bớt x3) c) x4 + (thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 4x2 ) d) 64a2 + b4 (ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 16a2b2) g Phương pháp đổi biến Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128= x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức cho có dạng : (y − 12)(y + 12) + 128 = y2 − 16 = (y + 4)(y −4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + Lời giải A = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + = x4 + 6x3 −2x2 + 9x2 − 6x + 13 = x4 + (6x3 −2x2) + (9x2 −6x + 1) = x4 + 2x2(3x −1) + (3x −1)2 = (x2 + 3x − 1)2 *Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x2 + 2x) (x2 + 2x + 4) + b) (x2 + 4x + 8)2 +3x(x2 + 4x + 8)2 +2x2 c) (a + b + c )3- 4(a3 + b3+ c3 ) – 12abc (gợi ý đặt a + b = m ; a - b = m) h) Phương pháp hệ số bất định Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 − 6x3 + 12x2 −14x − Lời giải Thử với x= ± 1; ± không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm nguyên nghiệm hữu tỷ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + Đồng hệ số ta : a + c = -6 ac + b + d =12 ad + bc = -14 bd = Xét bd= với b, d ∈ Z, b ∈ {± 1, ± 3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành: a + c = -6 ac = a + 3c =-14 ⇒ 2c = −14 −(−6) = −8 Do c = −4, a = −2 Vậy x4 − 6x3 + 12x2 −14x + = (x2 −2x + 3)(x2 − 4x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 −3x3 + 6x2 − 5x + Lời giải Dễ thấy sau phân tích A có dạng (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 3) (x2 + ax -1)(x2 + bx – 3) Trường hợp hai hạng tử bậc hai tam thức - x x2 ta cần đổi dấu hai tam thức Xét trường hợp A = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 3) x4 − 3x3 + 6x2 −5x + = x4 + (a+b)x3 + (ab +4)x2 + (3a + )x + Hai đa thức đồng với nên ta có : a + b=-3 (1) ab + = (2) 3a + b = -5 (3) Từ suy a = -1; b = -2 Vậy A = (x2 - x + 1)(x2 - 2x + 3) Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.(Dùng phương pháp hệ số bất định): a) A = 3x4 + 11x3 - 7x2 - 2x + ; b) b) B = x4 − 6x3 + 11x2 −6x + ; c) C = x4 – x3 +2x2 −11x -5 ; 14 2.4) Kết quả: Sau triển khai đề tài trình bồi dưỡng học sinh lớp trường thấy so với trước triển khai đề tài học sinh có số tiến sau: - Học sinh biết sử dụng phương pháp tìm phân tích đa thức thành nhân tử (đặc biệt phương pháp bản).Và dần tiếp cận với phương pháp nâng cao mà triển khai - Học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cách nhanh hơn, xác định hướng làm lựa chọn cách trình bày đơn giản Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, sau nhiều năm dạy toán 8, thân nhận thấy: Khi dạy học sinh làm tập phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng Học sinh phân biệt nhận dạng toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử từ giải hầu hết tập phần này, xóa cảm giác khó phức tạp ban đầu quy tắc tổng quát Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác học sinh thấy dạng toán thật phong phú không đơn điệu Điều giúp cho học sinh hứng thú học môn toán * Kết cụ thể: Với tập đưa ra, học sinh giải cách độc lập tự giác, thống kê theo bảng sau: Năm học 2016-2017 Tổng số HS Đã lớp áp dụng 8a đề tài 23 Số HS giải theo mức độ Loại yếu Loại giỏi Loại Loại TB -kém SL % SL % SL % SL % 8,7 21,7 13 56,5 13,1 Phần “rèn luyện kĩ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp trường THCS Nga thắng” lớp nội dung quan trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt có ứng dụng nhiều Do vậy, trước hết cần cho học sinh nắm thật vững nhận xét dấu hiệu nhận dạng đề để lựa chọn phương pháp cách nhanh đặc biệt khả quan sát, nhận xét vấn đề khó, suy luận logic phán đoán… cần thiết phương pháp hay sử dụng giải dạng toán rút gọn, quy đồng Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần liên hệ kiến thức biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) không thiết phải giải nhiều tập Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải cách lập luận trình bày học sinh 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Trên kinh nghiệm “rèn luyện kĩ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp trường THCS Nga Thắng ” mà áp dụng giảng dạy thực tế trường THCS Nga Thắng trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi nghĩ với vấn đề, chuyên đề toán học dạy theo dạng, sâu dạng tìm hướng tư duy, hướng giải phát triển toán Sau tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng tìm cách giải cách phù hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề.Và xin chắn toán học niềm say mê với tất học sinh.Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm mang lại nhiều hiệu việc giải toán có liên quan giải toán thuộc dạng Phần đông em có hứng thú làm tập tập có phương pháp giải vận dụng phương pháp giải loại toán khác Đối với học sinh đại trà việc học em vấn đề xung quanh SGK nhận dìu dắt tận tình cụ thể giáo viên việc học em đỡ vất vã có hứng thú Đây dạng toán cần quan tâm đa dạng phong phú đề cập đến kiến thức trường phổ thông có tính tổng hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức lúc để giải vấn đề.Với cách hướng dẫn học sinh làm nâng cao kiến thức cho em mà hình thức cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh Tôi đồng nghiệp thu kết sau: + Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập yêu thích môn toán + Học sinh tránh sai sót bản, biết lựa chọn lời giải ngắn gọn có kĩ vận dụng thành thạo phát huy tính tích cực học sinh + Học sinh có nhìn tổng quát dạng toán học tự hình thành cho phương pháp Tuy nhiên để đạt kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần xây dựng cho học sinh từ kiến thức cũ đến kiến thức từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp, tạo cho học sinh cách tiếp cận toán phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Người thầy cần phát huy trọng tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh từ em có nhìn nhận bao quát, toàn diện định hướng giải toán đắn Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường 3.2.Kiến nghị: Để thực đề tài ngày có hiệu xin mạnh dạn nêu số đề xuất, kiến nghị sau: *Đối với nhà trường: -Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dưỡng giáo viên -Tiếp tục đạo, kiểm tra, đánh giá việc thực chuyên đề tổ chuyên môn 16 -Thường xuyên giao lưu liên trường để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp Có thể nói với cách làm đây, chuẩn bị tạo tình huống, dẫn dắt học sinh học tập cách tự học Thông qua phát huy tính tích cực chủ động học sinh Tuy nhiên để làm điều phải tốn không thời gian cho việc chuẩn bị nội dung phương pháp giảng dạy Nhưng theo phương pháp giúp chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao phải làm Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy phần “rèn luyện kĩ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp trường THCS Nga thắng ” lớp Trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán giáo viên THCS nhiều trăn trở thân muốn đóng góp kinh nghiệm nhỏ Mặc dù đề tài đạt số kết định, song không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để đề tài thêm phong phú có hiệu hơn, năm học tới bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết cao hơn Nga Thắng,ngày 10 tháng năm 2017 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Người thực Dương Thị Hoa 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 123456- Sách giáo khoa sách tập Toán Nhà xuất giáo dục Nâng cao phát triển Toán Tác giả: Vũ Hữu Bình Tuyển tập đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất giáo dục Tuyển tập tập chí Toán tuổi thơ số Nhà Xuất giáo dục Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Tác giả: Bùi Văn Tuyên Các loại tài liệu khác 18 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CỦA HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS NGA THẮNG Người thực hiện: Dương Thị Hoa Chức vụ : Giáo Viên Đơn vị công tác : Trường THCS Nga Thắng SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA, NĂM 2017 19 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Dương Thị Hoa Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nga Thắng Cấp đánh Kết Năm học TT giá xếp đánh giá đánh gia Tên đề tài SKKN loại xếp loại xếp loại (Phòng, A, B Sở, C Tỉnh .) Một số phương pháp giải phương trình bậc cao Phòng C 2008-2009 Rèn luyện kỹ giải toán chia Phòng B 2010-2011 hết Rèn luyện kĩ giải toán tìm chữ Phòng A 2012-2013 số tận lũy thừa Rèn luyện kĩ giải toán tìm chữ Tỉnh C 2012-2013 số tận lũy thừa 20 ... kinh nghiệm rèn luyện kĩ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp trường THCS Nga Thắng ” mà áp dụng giảng dạy thực tế trường THCS Nga Thắng trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi... học sinh làm tập phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng Học sinh phân biệt nhận dạng toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử. .. % 8, 7 21,7 13 56,5 13,1 Phần rèn luyện kĩ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp trường THCS Nga thắng lớp nội dung quan trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học