1 M U Toỏn hc cú vai trũ rt quan trng i sng v cỏc nghnh khoa hc Ngay t th k th XIII nh t tng ANH R.Bờ- cn (R.bacon) ó núi rng Ai khụng hiu bit toỏn hc thỡ khụng hiu bit bt c mt khoa hc no khỏc v cng khụng th phỏt hin s dt nỏt ca bn thõn mỡnh Toỏn hc cú vai trũ nh vy l vỡ toỏn hc Khụng ch l mt hp cỏc s kin , trỡnh by di dng cỏc nh lý , m trc ht ú l mt h thng phng phỏp , hn na ú l ngụn ng din t cỏc s kin v cỏc phng phỏp cỏc lnh vc rt khỏc ca khoa hc v hot ng thc tin Mụn toỏn cú kh nng to ln giỳp cho hc sinh phỏt trin cỏc nng lc v phm cht trớ tu Thc vy,do tớnh cht tru tng cao ca toỏn hc mụn toỏn cú th giỳp rt nhiu cho vic rốn luyn hc sinh t sỏng to,rốn luyn tớnh cn thn , suy lun logic cht ch phỏt huy tớnh sỏng to thỡ thy , cụ giỏo phi hng dn cho hc sinh gii toỏn bng nhiu cỏch Vic gii toỏn bng nhiu cỏch va giỳp rốn luyn k nng , va phỏt trin t hc toỏn Qua ú cũn tỡm cỏi hay , cỏi p tng li gii Nhng lm c iu ny khụng phi d Nú ũi hi ngi lm toỏn phi nhỡn bi toỏn theo cỏc gúc khỏc , bit dng cỏc kin thc phự hp vi tng bi toỏn Mt nhng dng toỏn hay v khú chng trỡnh ú l cỏc bi toỏn tỡm cc tr i s hay cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht (GTLN) v tỡm giỏ tr nh nht (GTNN) 1.1.Lý chn ti Cỏc bi toỏn Cc tr i s( tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ) ,cú mt vai trũ vụ cựng quan trng chng trỡnh hc v dy toỏn trng THCS , Cỏc bi toỏn dng ny thng khú v rt khú i vi hc sinh THCS , gii c hc sinh khụng nhng phi bit dng nhiu kin thc v phi dng mt cỏch hp lý , m cũn phi cú s sỏng to , cn cự , chu khú Nhiu nm gn õy cỏc k thi vo lp 10 THPT thng cú cỏc bi toỏn yờu cu tỡm giỏ tr ln nht ( GTLN) v giỏ tr nh nht ( GTNN) ca mt biu thc no ú Cỏc bi toỏn ny l mt phn ca cỏc bi toỏn cc tr i s Cỏc bi toỏn tr i s rt phong phỳ v a dng gii cỏc bi toỏn cc tr i s vi hc sinh THPT cỏc em cú nhiu phng phỏp gii m hc sinh THCS cha c tip cn Cũn vi hc sinh THCS thỡ cỏc em phi bit bin i tng ng cỏc biu thc i s , phi s dng khỏ nhiu hng ng thc t n gin n phc Phi tng hp cỏc kin thc v k nng tớnh toỏn , t sỏng to Vy lm th no hc sinh cú th nh hng c cỏch gii mt bi toỏn cc tr i s , hn th na cũn gii c bng nhiu cỏch vi cựng mt bi toỏn , t ú cỏc em cú hng thỳ , say sa vi hc toỏn L ngi trc tip ging dy toỏn trng THCS , qua trỡnh ging dy , c bit l dy hc sinh cui cp THCS v bi dng hc sinh gii , tụi luụn luụn trn tr , tỡm tũi , chn lc nhng phng phỏp hp lý dn dt , hỡnh thnh cho hc sinh mt cỏch suy ngh mi lm quen vi dng toỏn ny dn dn cỏc em cú c mt s phng phỏp gii c bn nht Trong khuụn kh ti ny tụi xin nờu mt s phng phỏp Phỏt huy trớ lc cho hc sinh lp trng THCS Nguyn Vn Tri qua cỏc bi toỏn cc tr i s 1.2 Mc ớch nghiờn cu - Nghiờn cu ti mt s phng phỏp c bn gii bi toỏn cc tr i s bc THCS giỳp giỏo viờn chỳng ta dng mt cỏch tng hp cỏc tri thc ó hc , m rng o sõu v hon thin hiu bit , t ú cú phng phỏp hng dn hc sinh gii cỏc bi toỏn cc tr i s cú hiu qu , giỳp hc sinh nm chc kin thc v dng linh hot kin thc toỏn hc c bit l kin thc v gii cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht (GTLN) v giỏ tr nh nht (GTLN) chng trỡnh THCS Nghiờn cu ti Phỏt huy trớ lc cho hc sinh lp trng THCS Nguyn Vn Tri qua cỏc bi toỏn cc tr i s nm c nhng thun li v khú khn hng dn hc sinh gii cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht , t ú xỏc nh hng nõng cao cht lng dy v hc mụn toỏn Vỡ õy l mt dng bi khú chng trỡnh THCS 1.3 i tng nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn tỡm cc tr c th l nghiờn cu cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht v tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc i s chng trỡnh toỏn THCS - Nghiờn cu cỏc ti liu cú liờn quan - Giỏo viờn dy toỏn THCS v hc sinh THCS c bit l hc sinh v 1.4 Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp nghiờn cu xõy dng c s lý thuyt c cỏc ti liu cú liờn quan - Tp toỏn tui th - Bỏo Toỏn hc v tui tr - Phng phỏp gii toỏn i s s cp - Phng phỏp iu tra kho sỏt thc t , thu thp thụng tin : - Điều tra nắm tình hình dạy giáo viên nhà trờng - iu tra mc tip thu v dng ti Phỏt huy trớ lc cho hc sinh lp trng THCS Nguyn Vn Tri qua cỏc bi toỏn cc tr i s - Cht lng ca hc sinh trc v sau thc hin ti - Phng phỏp thng kờ , x lý s liu NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM 2.1 C s lý lun : Trong chng trỡnh toỏn trung hc c s nu ch dy hc sinh kin thc n thun theo sỏch giỏo khoa thỡ ch ỏp ng c nhu cu ca hc sinh trung bỡnh hoc trung bỡnh khỏ v kt qu thu c khụng cao Trong ú nhiu hc sinh cú kh nng tip thu c nhng kin thc nõng cao cỏc chuyờn ,trong cỏc sỏch bi dng , sỏch tham kho V cỏc dng toỏn ny thng gp cỏc k thi cui cp THCS Cỏc bi dng ny l dng bi khú phỏt hin hc sinh khỏ , gii Vỡ vy bờn cnh vic truyn th nhng kin thc c bn chng trỡnh SGK cho hc sinh, ngi thy cn phi linh hot lng thờm nhng kin thc m rng hoc nõng cao, nhng bi toỏn khú hc sinh c tip cn c khai thỏc bi toỏn, v cao hn l hc sinh cú th tng quỏt bi toỏn, bi toỏn mi, qua ú rốn luyn c t logic,phỏt huy c trớ lc cho hc sinh 2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim : Qua nhiu nm ging dy v bi dng hc sinh gii cỏc cp tụi thy hc sinh hu ht l rt lỳng tỳng gp cỏc bi toỏn tỡm cc tr i s m c th l cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca mt biu thc i s , cỏc thi, bi toỏn tỡm cc tr i s thng nm cui bi thi v thụng thng gp cỏc bi toỏn ny phn ln hc sinh khụng gii c Theo tụi nguyờn nhõn ch yu l hc sinh (nht l hc sinh THCS) khụng cú s c lp suy ngh cỏc em thng tip thu kin thc mt cỏch th ng (k c kin thc SGK), nhng gii c mt bi toỏn v cc tr i s thỡ li cn phi cú mt t lụ gớc v mt s sỏng to cao m iu ú vi i b phận hc sinh cp THCS thỡ cũn hn ch Trong ú cỏc k thi t thi kho sỏt hc k , thi vo lp 10 THPT , thi hc sinh gii cỏc cp , t cp huyn , ( cp TP ) , cho n cp cao hn nh thi hc sinh gii cp tnh ca bc hc THCS, cỏc thi i hc ca bc THPT thng cú bi thi v dng ny Tụi xin dn õy mt s bi toỏn v tỡm cc tr i s cỏc k thi gn õy nht: 1. thi kho sỏt cht lng hc k I - Nm hc 2015 2016 Mụn Toỏn lp (S GD& T Thanh Húa ) Cho ba s a; b ; c tha a + b2 + c 18 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : A = 3ab + bc + ca thi kho sỏt cht lng hc k II Nm hc 2015 2016 Mụn Toỏn lp (S GD& T Thanh Húa ) Cho ba s thc dng x ; y z thay i v tha iu kin : xy + xz = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : A = yz xz xy + + x y z thi hc sinh gii cp tnh nm hc 2013 - 2014 Cho x, y l cỏc s thc dng tho x + y = 1 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B = x + y3 + xy thi hc sinh gii cp Thnh ph nm hc 2015 - 2016 Vi a, b l cỏc s thc tha ng thc (1 + a)(1 + b) = Hóy tỡm GTNN ca : P = + a + + b 2.3 Cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt A MT S KIN THC CN THIT a) Cỏc nh ngha * nh ngha giỏ tr ln nht ( GTLN) ca mt biu thc i s : Cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền |D : M c gi l GTLN ca f (x, y , ) trờn |D nu iu kin sau ng thi tha : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiu : M = Max f(x,y, ) = fmax vi (x,y, ) |D * nh ngha giỏ tr nh nht ( GTNN) ca mt biu thc i s : Cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền |D : M c gi l GTNN ca f (x, y , ) trờn |D nu iu kin sau ng thi tha : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiu : M = Min f(x,y, ) = fmin vi (x,y, ) |D b) Cỏc kin thc thng dựng * Ly tha : a) x2 x |R x2k x |R, k z - x2k Tng quỏt : [f (x)]2k x |R, k z - [f (x)]2k T ú suy : [f (x)]2k + m m x |R, k z 2k M - [f (x)] M b) x x ( x )2k x 0; k z 2k Tng quỏt : ( A ) A (A l mt biu thc ) * Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i : a) |x| x|R b) |x+y| |x| + |y| ; Du "=" xy x.y c) |x-y| |x| - |y| ; Du "=" xy x.y v |x| |y| * Bt ng thc Cụsi: ; i = 1, n : a1 + a + + a n n n a1 a .a n nN, n Du "=" xy a1 = a2 = = an *Bt ng thc Bunhiacụpxki : Vi n cp s bt k : a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta cú : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ( a12 + a 22 + + a n2 ).(b12 + b22 + + bn2 ) Du "=" xy = Const (i = 1, n ) bi Nu bi = xem nh = * Bt ng thc Bernonlly: Vi a :(1+a)n 1+na n N Du "=" xy a = B CC PHNG PHP THNG DNG GII CC BI TON CC TR I S ( TèM GTLN V GTNN ) Phng phỏp 01 : S dng phộp bin i ng nht a) Phng phỏp chung Bng cỏch nhúm , thờm , bt , tỏch cỏc hng t mt cỏch hp lý , ta bin i biu thc ó cho v tng cỏc biu thc khụng õm ( hoc khụng dng ) v nhng hng s T ú tỡm Max f(x,y, ) trờn |D ta ch : f ( x, y ) M ( x0 , y0 ) R cho f(x0,y0, ) = M tỡm Min f(x,y, ) trờn |D ta ch : f ( x, y ) m cho f(x0,y0, ) = m ( x0 , y0 ) R b) Bi minh Bi toỏn a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : A = x2 + 4x + b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : B = x + xy y + x + 10 y Gii 2 a) Ta cú : A = x + 4x + = x + 4x + + = (x + 2)2 + vỡ (x + 2)2 MinA = x + = x = Vy : MinA = x = b) Ta cú : B = x2 y2 1+ 2xy + 2x 2y 3y2 + 12y 12 +10 B = ( x2 + y2 + 2xy 2x + 2y ) 3( y2 4y + ) +10 B = ( x y 1)2 (y 2)2 + 10 Vỡ ( x y 1)2 vi mi x ; y R v (y 2)2 vi mi y R Nờn B 10 Du bng xy v ch x = ; y = Vy MaxB = 10 x = ; y = Bi toỏn 1a : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : C = (x 1)(x 4)(x 5)(x 8) + 2053 Gii Ta cú : C = (x1)(x 4)(x 5)(x 8)+2053 C = (x1) (x 8) (x 4) (x5) + 2053 C = (x 9x + 8) (x2 9x + 20) + 2053 C = {(x2 9x + 14) 6}.{(x2 9x + 14) + 6} + 2053 C = (x2 9x + 14)2 36 + 2053 C = (x2 9x + 14)2 + 2017 2017 vỡ (x2 9x + 14)2 x R x = x = Vy MinC = 2017 x = x = Bi toỏn tng quỏt : Cho a thc P = ax + bx + c(a 0) MinC = 2017 x2 9x + 14 = Tỡm giỏ tr nh nht ca P nu a > Tỡm giỏ tr ln nht ca P nu a < Gii Ta cú : P = ax + bx + c = a( x + x) + c = a x + 2.x b a 2 b b P = x + ữ + k vi k = c Do 2a 4a b b b2 + ữ+ c 2a 4a 4a b x + ữ Nờn 2a b Nu a > thỡ : a x + ữ Do ú P k 2a b b Nu a< thỡ : a x + ữ Do ú P k Vy x = thỡ P cú giỏ tr nh 2a 2a nht bng k nu a > Hoc cú giỏ tr ln nht bng k nu a < Phng phỏp 02 : S dng cỏc bt ng thc c bn Ta ó bit : T mt bt ng thc bng phộp bin i tng ng bao gi ta cng a bt ng thc c v dng bt ng thc m mt v l hng s Vỡ vy : S dng cỏc bt ng thc c bn v cỏc phộp bin i tng ng ta cú th tỡm c cc tr ca mt biu thc no ú a) Phng phỏp chung : Phng phỏp thng l s dng cỏc bt ng thc ó bit , cỏc bt ng thc nh Cụ si ( Cauchy) , Bunhiakopski ( Bunhiacovsky) , Becnuli (Bernoulli ) v mt s cỏc bt ng thc khỏc ó c chng minh tớnh ỳng n b) Bi minh Bi toỏn : Cho a ; b l hai s dng tha : a + b Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : M = a + b + ab Gii 4 1 4ab ( a + b ) 1 = 2 M = a2 + b2 + + Ta cú : a + b + 2ab 2ab 2ab a + b + 2ab ( a + b ) a + b + 2ab 4ab ( a + b ) 4ab ( 1) ab ( a + b ) (2) 4 10 T (1) v (2) M a + b + a + b = a + b 10 Vy MinM= 10 ; ( ) ( ) ( ) v ch a = b = Bi toỏn 2a : Cho a ; b l hai s dng tha : a + b , m l hng s , m m Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : N = a + b + ab Gii 4 1 2m 1 = 2 N = a2 + b2 + + Ta cú : a + b + a + b + ab ( a + b) 2ab 2ab 2ab a + b + 2ab 4ab ( a + b ) 4ab 1 4ab ( a + b ) ab ( a + b ) 2m 2m ( 2m 1) = 2ab ( a + b) ( a + b) T (1) v (2) N ( a + b) + ( 1) (2) ( 2m 1) ( a + b) Vy MinN = 4m + ; a = b = a , b, c > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : a + b + c = 1 1 P= + + + 2 a + b + c ab bc ca Bi toỏn 2b : Cho Gii Cỏch 1: p dng bt ng thc Bunhiacopxki cho hai b s : 1 1 ; ; ; ữ v 2 ab bc ca a +b +c ( ) a + b + c ;3 ab ;3 bc ;3 ca ta c : 2 P ( a + b + c ) + ( ab + ca + bc ) (1) Do ab + bc + ca ( a + b + c ) 10 10 Nờn t (1) suy : 100 P ( a + b + c ) = P Vỡ a + b +c = theo gi thit 3 P 30 Hn na vi a = b = c = thỡ P = 30 ; suy MinP = 30 t c a=b=c= 1 Cỏch : Ta s dng bt ng thc : ( a + b + c ) + + ữ vi a ; b ; c l cỏc a b c ( + + + 3) s dng iu ny d dng chng minh c Tht vy : 1 a+b+c a+b+c a+b+c + + ữ= + + = a b c a b c b a c a c b a b c a c b + + ữ+ + + ữ+ + + ữ = + + ữ+ + ữ+ + ữ a b a c b c b a a c b c a b c a c b M vi a ; b ; c l cỏc s dng thỡ + ữ ; + ữ 2; + ữ b a a c b c a b c a c b + + ữ+ + ữ+ + ữ + = Do ú ta c iu cn chng minh b a a c b c 1 1 Nờn : ( ab + bc + ca ) + + ữ + + Khi ú : ab bc ca ab + bc + ca ab bc ca 1 P + = + + + 2 2 a + b + c ab + bc + ca a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 21 P + 2 (a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) + (ab + bc + ca ) (a + b + c) = 21 30 + P = 30 Do a + b +c =1 2 (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c)2 Vỡ th MinP = 30 t c v ch a = b = c = ( a + b + c ) Sau hng dn hc sinh gii bi toỏn 2b chỳng ta cú th hng dn hc sinh bi toỏn tng t v bi toỏn tng quỏt Bi toỏn tng t : Cho n N * , n Xột n s thc dng a1 , a2 , a3 , an , v n a i =1 = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : ỏp s : Min P = P= n a i =1 + 1 i j na i a j n(n n + 2) t c v ch a1 = , i = 1; n n Bi toỏn tng quỏt : Cho n N * , n Xột n s thc dng a1 , a2 , a3 , an , v n a = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P= n i =1 1 a i =1 + i 1 1 + + + + a1a an a1a a4 an a1a an a a an Bi toỏn 2c : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc F = ( + x y + xy ) 2016 2016 xy ( x + y ) + 2016 Giải : Theo bt ng thc Bernoulli ta cú : F = ( + x y + xy ) 2016 + 2016 ( x y + xy ) F = ( + x y + xy ) 2016 2016 xy ( x + y ) + 2016 + 2016.xy ( x + y ) - 2016 xy(x+y) +2016 x=0 F 2017 F = 2017 y = x = y x=0 Vy giỏ tr nh nht ca biu thc F l 2017 v ch : y = x = y Bi toỏn 2d : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : A = x + x + + x x + Gii x + x + = x + ữ + Biu thc A luụn luụn cú ngha vi mi x vỡ : + x x + = x ữ Cỏch : Do A luụn luụn cú ngha nờn bỡnh phng hai v ta c : A2 = ( x2 + x + + x2 x + ) ( ) = x + + x + x + Do ú MinA = t c v ch x = Cỏch : p dng bt ng thc Cụ si ( Cauchy) cho hai s dng x2 + x + v x x + ta cú : A ( x + x + 1) ( x x + 1) = x + x + Suy Min A = v ch x = Cỏch : Ta s dng bt ng thc : a + b + c + d ( a + c ) + ( b + d ) Bt ng thc ny luụn ỳng Tht vy : (1) a + b2 + c + d + (a (a 2 (1 ) + b ) ( c + d ) a + b + 2ac + b + d + 2bd + b ) ( c + d ) ac + bd (2) Nu ac + bd < thỡ (2) c chng minh 2 2 2 2 Nu ac + bd > thỡ (2) tng ng vi : ( a + b ) ( c + d ) a c + b d + 2abcd a c + a d + b 2c + b d a 2c + b d + 2abcd ( ad bc ) (3) Bt ng thc (3) ỳng Vy bt ng thc (1) c chng minh Du bng xy v ch ad = bc p dng bt ng thc trờn ta c : 2 2 A = x + x + + x x + = x + ữ + + x ữ ữ ữ + ữ ữ A + = = Vy MinA=2 x = 2 Bi toỏn 2e : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: y+z + x A = ( x + y )( y + z )( z + x) z+x + y x+ y z Vi x, y, z l ba s thc dng thay i cú tng bng Gii A = ( y + z) Ta cú: ( x + y )( z + x ) x ( x + y )( z + x ) x + ( x + z) = 1+ ( x + y )( z + y ) y + ( y + x) ( z + y )( z + x ) z2 y + z yz + x x p dng bt ng thc Cụsi cho hai s dng y, z ta c: yz yz yz yz y + z yz = 1+ 1+ + 1+ + = + x x x x x x Suy ra: ( y + z ) ( x + y )( z + x ) ( y + z ) + x yz = y + z + y + z yz x x yz y+z yz yz y + z + yz = y + z + x x x ( x + y )( z + x ) y + z + yz ( y + z) x x2 ( x + y )( z + y ) x + z + xz Tng t: ( x + z ) ; ( x + y) y y2 m y + z + ( z + y )( z + x ) z y+x+ yx z Do ú: xy yz zx xy yz yz zx zx xy + + = 2( x + y + z ) + + + + + + z x y x x y y z z xy xz p dng bt ng thc Cụsi cho hai s dng z ; y ta c: zy xz xy xz xy xz xy yz + 2z + = x Tng t: + 2y ; x y z y z y z x A 2( x + y + z ) + Suy ra: A 2(x + y + z) + 2x + 2y + 2z = 4(x + y + z) = Du ng thc xy v ch khi: x = y = z = Vy GTNN ca biu thc A l , t c x = y = z = Phng phỏp 03 : Phng phỏp gii bi toỏn tỡm GTLN v GTNN ca cỏc biu thc cha du giỏ tr tuyt i a) Phng phỏp chung : gii dng ny l ta s dng cỏc bt ng thc sau : a + b a + b Du bng xy a.b a b a b Du bng xy a.b b) Bi minh Bi toỏn : a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : B = x 2016 + x 2017 b) Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : M = x x Gii Cỏch : + Xột khong x < 2016 : Thỡ B = 2016 x + 2017 x = 4033 2x (1) Do x < 2016 nờn -2x > - 4032 Do ú B > + Xột khong 2016 x 2017 : Thỡ B = x 2016 + 2017 x =1 (2 ) + Xột khong x > 2017 Thỡ B = x 2016 + x 2017 = 2x 4033 Do x > 2017 nờn : 2x > 4034 Do ú B > (3) 2016 x 2017 So sỏnh (1) ; (2) v (3) ta c Min B = v ch Cỏch : Do giỏ tr tuyt i ca mt s ln hn hoc bng s ú nờn : B = x 2016 + x 2017 = x 2016 + 2017 x x 2016 + 2017 x = x 2016 2016 x 2017 2017 x Do ú MinB = b) Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : M = x x Gii Xột biu thc : M = x x x ( x 3) = ; M M Du = xy v ch : ( x 1) ( x 3) x hoc x Khi ú MinM = -2 x V MaxM = x Bi toỏn 3a : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : N = x + x + x + x Gii N= P + Q Vi P = x + x ; Q = x + x Ta cú : P = x + x x + x ; Q = x + x x + x = x N MinN = : x hay x Bi toỏn tng quỏt : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : A = x a + x b vi a < b Gii p dng bt ng thc : x + y x + y Du bng xy v ch x y ; Ta cú : A = x a + x b = x a + b x x a + b x = b a Du bng xy v ch ( a x ) ( x b ) , hay a x b Vy A t giỏ tr nh nht bng b a x [ a; b ] 10 Phng phỏp 04 : Phng phỏp giỏ tr Trong mt s trng hp c bit , biu thc i s ó cho cú th cú mt hoc hai bin s v a c v dng tam thc bc hai thỡ ta cú th s dng kin thc v giỏ tr ca hm s gii rt hiu qu õy l mt nhng phng phỏp tỡm cc tr i s rt hay v ph bin chng trỡnh THCS v THPT a) Phng phỏp chung : Gi s ta phi tỡm cc tr ca hm s f(x) cú giỏ tr D Gi y l mt giỏ tr no ú ca f(x) vi x D iu ny cú ngha l ta phi tỡm iu kin phng trỡnh : f(x) = y cú nghim Sau ú gii iu kin phng trỡnh f(x) = y cú nghim ( x l bin , coi y l tham s ) Thng a n biu thc sau : m yM T ú Min f(x) = m vi x D Max f(x) = M ; vi x D b) Bi minh Bi toỏn : Tỡm giỏ tr nh nht v ln nht ca biu thc : A= x2 x + x2 + x + Ta s gii bi toỏn ny bng hai cỏch Gii Cỏch : Biu thc A nhn giỏ tr a v ch phng trỡnh n x sau õy cú x2 x + nghim : a = ( 1) Do x + x + , nờn x + x +1 2 ax + ax + a = x x + ( a 1) x + ( a + 1) x + ( a 1) = (2) (1) tng ng vi : Trng hp : Nu a = thỡ ( ) cú nghim x = Trng hp : Nu a ( ) cú nghim thỡ iu kin cn v l : 2 Tc l : ( a + 1) ( a 1) ( a + + 2a ) ( a + 2a + ) ( 3a 1) ( a ) a ( a 1) ( a + 1) a +1 Vi a = hoc a= thỡ nghim ca phng trỡnh (2) l : x = a = a ( ) ( ) Vi a = thỡ x = ; vi a = thỡ x = Gp c hai trng hp v ta cú : Min A = v ch x = MaxA = v ch x = Phng phỏp ny cũn gi l phng phỏp giỏ tr ca hm s x2 x + on ;3 l giỏ tr ca hm s : A = x + x +1 Cỏch : + Ta tỡm giỏ tr ln nht ca A x + x + x x 3( x + x + 1) 2( x + x + 1) ( x + 1) A= = = 3 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 Vy : MaxA = v ch x = + Tỡm giỏ tr nh nht ca A 11 2 ( x x + 1) ( x 1) 3x 3x + x2 + x + 1 A= = + A = + x + x + 3 ( x + x + 1) ( x + x + 1) 3 ( x + x + 1) Vy MinA = v ch x = Bi toỏn 4a : Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : B = Hng dn u ut + t u + ut + t u x2 x + thỡ biu thc B tr thnh : B = õy chớnh l bi toỏn t x + x +1 ta va gii xong Gii bi ny nh bi toỏn ta c : B ; Cũn vi t = thỡ B = Do ú Min B = vi x = tc l u = t Nu t : x = MaxB = vi x = tc l u = t x + y +1 Bi toỏn 4b : Tỡm giỏ tr nh nht v nh nht ca biu thc : C = x + y + Gii Cỏch : Ta thy mu thc x + y + > vi mi x ; y nờn giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc C tng ng vi giỏ tr dng v õm ca t thc Xột ba trng hp a Vi x + 2y + = thỡ C = b Vi x + 2y + > Ta cú bt ng thc : ( x + 1) + ( y + 4) + x + y + > x + y +1 x + y +1 x + y +1 T ú : C = x + y + = x + + y + + 2( x + y + 1) = ng thc xy x = ; y = lỳc ú giỏ tr ln nht ca biu thc C bng c Vi x + 2y + < ta cú bt ng thc : ( 25x C= + 49 ) + ( 25 y + 196 ) 70 (70 x) + (140 x) 70 = 70 ( x + y + 1) > T ú 25 ( x + y + 1) 25 ( x + y + ) 2 = 25 ( x + y + 1) 25 ( x + y + 1) hay 25 x + 49 + 25 y + 196 70 70 ( x + y + 1) 25 ( x + y + 1) 14 = x= y= ng thc xy v ch : ; 70 ( x + y + 1) 14 5 Lỳc ú giỏ tr nh nht ca biu thc C bng 14 14 Vy : MinC = v ch : x = ; y= 14 5 MaxC = v ch : x = ; y = 2 C Cỏch : Dựng phng phỏp giỏ tr x + y +1 Ta chuyn v xột iu kin cú nghim ca phng trỡnh : C = x + y + 12 Cx x + Cy y + 7C = (1) , ú x l n s coi y l tham s tựy ý cũn C l tham s cú iu kin Xột hai trng hp a C = x + 2y +1 = b C thỡ phng trỡnh (1) luụn luụn cú nghim x bit thc khụng õm : 4C ( Cy y + 7C 1) 4C y +8Cy 28C + 4C + (2) Ta coi bt phng trỡnh (2) l bt phng trỡnh n y Bt phng trỡnh ny xy vi mi 2 giỏ tr ca y : 16C + 4C ( 28C + 4C + 1) 28C +4C ( 28C + 4C + 1) 28C + 4C + C 14 Khi biu thc C nhn cỏc giỏ tr ny thỡ ng thc xy (2) v (1) ú : y= 1 v x = C 2D v ch y = v x = 14 Giỏ tr nh nht ca C bng v ch y = v x = 14 5 Vy : Giỏ tr ln nht ca C bng Bi toỏn 4c : Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : P= x2 + 2x + x2 + õy l dng tỡm GTLN v GTNN ca mt phõn thc m t v mu u l tam thc bc hai mt bin s Ta s gii bi ny bng cỏch Gii Cỏch : Ta so sỏnh giỏ tr ca t thc v ca mu thc bng cỏch s dng bt ng thc Bunhiacopxki 2 T : ( + x ) = ( x ) + (2 x)2 2 2 Dn n : ( x + 2.2 x ) + ( 2 ) ( x ) + ( x ) x + x ( x + 1) 2 x2 + x x2 + x Ta cú P = + t t = thỡ t Hay t x2 + x2 + Suy : P Du ng thc xy v ch : x2 2x = x + x = Gii phng trỡnh ny ta c : 2 ng vi giỏ tr ln nht ca P l x2 = ng vi giỏ tr nh nht ca P l x1 = Vy : MaxP = x = v MinP = x = 2 Cỏch : Ta chuyn v xột cc tr ca phõn thc m t l nh thc bc nht ri so sỏnh giỏ tr ca t v mu x2 + 2x + 2x + 2x + = 1+ t Z = 2 x +1 x +1 x2 + Thỡ P = + Z vỡ x + > vi mi x nờn Giỏ tr ln nht ca Z t c t Ta cú : P = thc dng v giỏ tr nh nht ca Z t c t thc õm 13 Ta xột trng hp xy : thỡ Z = P = b Vi x + > x > thỡ giỏ tr ln nht ca P = + giỏ tr ln nht ca a Vi x + = x = Z Ta so sỏnh giỏ tr ca t thc v mu thc nh ỏp dng bt ng thc : ( x + 1) + 2 x + > T ú : Z = ( 2x + 2 ( x + 1) ) = 4( ) 4( 2x +1 2x +1 +1 ng thc ny xy : x = ) =4 2x +1 2x +1 lỳc ú gi giỏ tr ln nht ca P = + giỏ tr ln nht ca Z bng Vy giỏ tr ln nht ca P bng t c v ch x= 2 c Vi x + < x < Xột tng t nh trờn t ( ) x + = ( x + ) 2 x = 2 + > ta cú : Z ( ( ) x + 1) 2 2x +1 hay Z ng thc xy x = lỳc ú Giỏ tr nh nht ca P = + giỏ tr nh nht ca Z bng Vy giỏ tr nh nht ca P bng v ch x = Vy : MaxP = x = v MinP = x = 2 Cỏch : Chuyn v xột iu kin phng trỡnh bc hai cú nghim vi mi giỏ tr x0 ta cú giỏ tr P0 ca biu thc tha x02 + x0 + P0 = ( P0 1) x02 x0 P0 = x0 + Cú th coi x0 l nghim ca phng trỡnh : ( P0 1) x x + P0 = Trong ú P0 l tham s Ta thy P0= x = ( 1) Nu P0 thỡ iu kin phng trỡnh bc hai luụn luụn cú nghim : = P02 + P0 + ( P0 ) ( + P0 ) P0 thy rng : P0 = x0 = v P0 = , v ch x = (2) T (1) v (2) ta suy : Giỏ tr nh nht ca P bng v ch x = Giỏ tr ln nht ca P bng v ch x = 2 õy l dng bi tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca cỏc phõn thc i s m c t v mu u l cỏc a thc bc hai mt bin s 14 Phng phỏp gii dng ny thng l dựng cỏc bt ng thc ó bit nh Cauchy ; Bunhiakopxki , c bit l dựng iu kin phng trỡnh bc hai cú nghim Phng phỏp ny gii c hu ht cỏc dng bi tỡm , max ca cỏc phõn thc i s cú t v mu l cỏc tam thc bc hai i vi cỏc biu thc dng phõn thc cú c v max thỡ dựng phng phỏp ny li th rt nhiu Ta s tỡm c c v max thụng qua vic tỡm giỏ tr ca biu thc ó cho Bi toỏn 4d : Cho hai s thc x, y tha x + y2 = 2(x + y) + Tỡm giỏ tr ln nht , giỏ tr nh nht ca biu thc P = x( x 2) + y ( y 2) Gii Gi T l giỏ tr ca P Ta cú m T H sau cú nghim x + y = 2( x + y ) + (I) x( x 2) + y ( y 2) = m + t u = x( x 2) , v = y ( y 2) , ta cú u = ( x 1) , tng t v m3 u + v = (u + v)3 3uv(u + v) = uv = 3m (II) +H (I) tr thnh u + v = m u + v = m u + v = m m = (1) u, v l hai nghim phng trỡnh t mt + 3m +H (I) cú nghim H (II) cú nghim (u, v) tha u 1v v Phng trỡnh (1) cú nghim t1 , t2 tha t1 t2 4(m3 7) m m (t1 + 1) + (t2 + 1) m + (t + 1)(t + 1) m3 + m +1 3m < m 28 m 28 m m < m Do ú T = [1, 28 ] Vy minP = v maxP = 28 Bi tng t x + mx + n Tỡm giỏ tr ca m v n biu thc : A = t giỏ tr nh nht l -1 x2 + v t giỏ tr ln nht l Cho x,y l cỏc s thc tha 3x + 2xy + y2 = 11 Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc P = x2 + 2xy + 3y2 Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : F = x + y + xy + x4 + y4 + Phng phỏp 05 : S dng phng phỏp t bin ph a) Phng phỏp chung Bng cỏch t bin ph v s dng cỏc phộp bin i tng ng S dng cỏc bt ng thc c bn ta cú th chuyn biu thc ó cho v biu thc n gin hn , d xỏc nh cc tr hn 15 b) Bi minh Bi toỏn : Cho cỏc s thc dng x, y, z tha xyz = 1 1 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc Q = x + y +1 + y + z +1 + z + x +1 Gii Vi x, y, z l cỏc s dng tha xyz = t x = a3, y = b3, z = c3 abc = Khi ú ta cú: x + y +1 = a + b3 + abc = ( a + b ) ( a - ab + b ) + abc ( a + b ) ab + abc = ab(a + b + c) Tng t: y + z +1 bc(a + b + c) z + x +1 ca(a + b + c) Q= 1 abc abc abc + + + + =1 x + y +1 y + z +1 z + x +1 ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca(a + b + c) Vy GTLN ca Q = a = b = c = 1, hay x = y = z =1.Dấu = xảy x = y = z (ĐPCM) Bi toỏn 5a : Cho x, y, z, t > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x y+t y t+x t A= y+t + x + t + x + y + x+ y + Gii Cỏch Xột biu thc : 2x y + t 2y t + x 2t x+ y t x+ y x y y t t x + + + 2A = ữ+ ữ+ ữ+ + ữ+ + ữ+ + ữ 2t y x t y x t y + t 2x t + x y x + y Vi x, y , t l cỏc s dng nờn theo bt ng thc Cụ si (Cauchy) ta cú : 2x 2y t + x 2t x y y t y +t x+ y + + + ữ ; ữ ; ữ ; + ữ ; + ữ 2t y + t 2x t + x 2y x+ y y x t y 15 15 t x Khi + ữ Do ú : A ( + + ) + ( + + ) = 15 A MinA = 2 x t 2x y + t y t + x 2t x+ y x y y t t x ng thi cú : y + t = x ; t + x = y ; x + y = 2t ; y = x ; t = y ; = x t 15 x = y = t Tc l x = y = t Vy MinA = Cỏch : Trc ht ta i chng minh bt ng thc sau : Vi a ; b ; c l ba s dng thỡ : a b c + + b+c c+a a +b (1) Bt ng thc ó cho tng ng vi : a b c a+b+c a+b+c a+b+c + + + ữ+ + ữ+ + ữ + = b+c a+c a+b b+c a+c a+b 1 2( a + b + c) + + ữ b+c a+c a +b 1 ( b + c ) + ( a + c ) + ( a + b ) + + ữ (2) b+c a+c a+b 16 t : ( b + c ) = x ; ( a + c ) = y; ( a + b ) = z (Vi x ; y; z l cỏc s dng ) 1 Thỡ bt ng thc (2) tr thnh bt ng thc : ( x + y + z ) + + ữ , bt ng x y z thc ny luụn ỳng ( ta cú th d dng chng minh c ) Do ú bt ng thc (2) l bt ng thc ỳng Nờn bi toỏn (1) c chng minh p dng bi toỏn trờn tỡm GTNN ca biu thc A ta cú : x y t + + (3) Mt khỏc y+t t + x x+ y theo bt ng thc Cụ si thỡ : y+t t + x x+ y x y x + + + ữ+ + x y t y x t t y t 15 ữ+ + ữ (4) T (3) v (4) A x t y 15 x = y = t Du bng xy v ch x = y = t Vy MinA = Bi toỏn tng t : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P= a b c b+c+d c+ d +a a+b+c + + + + + ú a ; b ; c ; b+c+ d c +d +a d +a +b a b d d l cỏc s dng Phng phỏp 06 : S dng biu thc ph a) Phng phỏp chung tỡm cc tr ca mt biu thc no ú , ụi ngi ta xột cc tr ca mt biu thc khỏc cú th so sỏnh c vi nú , nu biu thc ph d tỡm cc tr hn Vớ d : tỡm cc tr ca biu thc A vi A > 0, ta cú th xột cc tr ca biu thc : , A, kA, k + A, |A| , A2 ( k l hng s ) A b) Bi minh Bi toỏn : Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : Q = x ( x + 2017 ) vi x > Gii Vỡ x > nờn suy Q > Qmax ( x + 2017 ) Min x x + 2.2017 x + 2017 ( x 2017) + 4.2017 x ( x 2017 ) = Ta cú : = = + 4.2017 P x x x Vy Q t giỏ tr nh nht bng 2017 x = 2017 Do ú : Qmax = x = 2017 4.2017 x2 + x + Q = Bi toỏn 6a : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : vi x > ( x + 1) Gii Cỏch : Vit t thc di dng ly tha ca x + ri i bin t y = x +1 17 (x Q= + x + 1) ( x + 1) + 1 3 = + = y + y = y ữ + Ta cú : x + ( x + 1) 2 4 ( x + 1) 3 Vy MinQ = y = Tc l x = Vy MinQ = x = 4 Cỏch : Ta vit Q di dng tng ca vi mt biu thc khụng õm 2 2 x + x + x + x + ( x + 1) + ( x + 1) Q= = = 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x Q= + ( x + 1) 4 Vy MinQ = x = Cỏch : Do x > nờn ta cú th vit biu thc Q di dng sau : Q= 1 = Q = 1 x x + 2x + 1 + ; x + ữ+ 2 x + x +1 x x + x +1 Vy MinQ = v ch x= Phng phỏp 07: Phng phỏp xột tng khong giỏ tr a) Phng phỏp chung Cú nhiu bi toỏn nu ta ch s dng cỏc phộp bin i tng ng , cỏc bt ng thc c bn phng phỏp i bin hay biu thc ph , thm c s dng phng phỏp giỏ tr hm s , vic tỡm cc tr gp rt nhiu khú khn cú khụng th tỡm c Nhng ta bit cỏch lm tc l xột tng khong hp lý ( cú s d oỏn ) thỡ vic tỡm c cc tr tr nờn n gin b) Bi minh m n Bi toỏn : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : E = 11 vi m ; n l cỏc s nguyờn dng Gii m Ta thy 11 cú tn cựng bng , cũn 5n cú tn cựng bng ( vỡ m N* ; n N* ) + Nu 11m > 5n thỡ biu thc E cú tn cựng bng + Nu 11m < 5n thỡ biu thc E tn cựng bng + Ta ch mt trng hp E = : vi m = ; n = thỡ E = 121 125 = Nh vy MinE = , chng hn , m = ; n = Bi toỏn 7a Cho m, n N* Tỡm GTNN ca biu thc G = |36m - 5m| Gii m n Ta cú : 36 tn cựng bng , cũn cú tn cựng bng ( vỡ m N* ; n N* ) + Nu 36m > 5n thỡ biu thc G cú tn cựng bng + Nu 36m < 5n thỡ biu thc G tn cựng bng + Xột kh nng G = : Ta cú 36m 5n = 36m = 5n ng thc ny khụng xy vỡ v trỏi chia ht cho 35 nờn chia ht cho , cũn v phi khụng chia ht cho + Xột kh nng G = : Ta cú 5n 36m = 5n chia ht cho , vụ lớ 18 + Xột kh nng G = 11 Xy kh nng ny , chng hn vi m = ; n = 2 Thỡ G = 36 = 11 Vy MinG = 11 chng hn vi m = ; n = 2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim Trong quỏ trỡnh thc hin sỏng kin kinh nghim trờn , tụi ó ỏp dng cho hc sinh lp 9A2 l mt lp chn ca trng THCS Nguyn Vn Tri TP Thanh Húa vi s hc sinh ca lp l 50 em , tụi thng xuyờn kim tra mc tip thu ca hc sinh v chia lp thnh hai nhúm : + Nhúm : L nhúm hc sinh khụng ỏp dng ti + Nhúm : L nhúm hc sinh tụi ó ỏp dng ti Sau ỏp dng ti ny tụi tin hnh kim tra vi cựng mt cho nhúm Kt qu thu c nh sau : Trung Gii Khỏ Yu bỡnh S Nhúm bi SL % SL % SL 25 0 24 25 32 36 % SL % 32 11 44 24 Nhúm ( Khụng c ỏp dng ti ) Nhúm (c ỏp dng ti ) Vic a ti sỏng kin kinh nghim ny ỏp dng vo hng dn cho hc sinh lp gii mt s bi toỏn v tỡm cc tr i s ó cú tỏc dng rừ rt ,tụi thy hc sinh ó nm c kin thc c bn v dng vo lm bi mt cỏch ch ng , tớch cc v t kt qu cao Rốn luyn c cho hc sinh k nng gii toỏn tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht v c bit l rốn luyn cho hc sinh kh nng t toỏn hc, bit khai thỏc bi toỏn, bi toỏn tng t,bi toỏn tng quỏt.To c nim say mờ, hng thỳ cho hc sinh hc toỏn Cc tr i s l mt nhng dng bi khú gii ( c bit l cỏc bi toỏn tỡm ; max ) , thm cú nhng bi rt khú vi hu ht hc sinh ph thụng Nú thng c s dng cỏc bi thi phỏt hin hc sinh khỏ v gii.Vỡ th vai trũ ca thy,cụ giỏo l vụ cựng quan trng Nng lc ca thy, cụ giỏo cựng vi s say mờ,sỏng to,chm ch ca trũ c kt hp hi hũa thỡ vic truyn th kin thc c bn cng nh cụng tỏc bi dng hc sinh gii mi t kt qu nh mong mun Sau ỏp dng ti vo ging dy thỡ hc sinh lp 9A2 ó cú th tip cn c vi cỏc bi toỏn cc tr i s m c th l cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc i s , cỏc bi kim tra cú dng bi v tỡm cc tr i s m c th l tỡm giỏ tr ln nht (GTLN) v giỏ tr nh nht ( GTNN) thỡ hu ht cỏc em ó cú hng gii, kt qu bi sau cao hn bi trc c bit hc sinh i tuyn tham gia thi HSG mụn toỏn cp tnh cỏc em ó bit khai thỏc bi toỏn, tỡm bi toỏn tng t, bi toỏn tng quỏt Nht l bit cỏch s dng cỏc bt ng thc ó bit tỡm GTLN v GTNN ca mt biu thc i s cho trc 19 KT LUN, KIN NGH : T thc t ging dy v kt qu bc u t c tụi rỳt mt s nh sau: Chỳng ta cú th xõy dng c cỏc dng bi hoc h thng cỏc bi v bt ng thc dựng bi dng hc sinh khỏ v gii.Va m bo cng c kin thc k nng c bn li va phỏt trin c úc sỏng to,linh hot, rốn luyn c phng phỏp suy ngh c lp cho hc sinh - Khuyn khớch hc sinh tỡm nhiu li gii khỏc (nu cú th c) ca mt bi toỏn c bit l bit s dng cỏc phng phỏp gii phự hp cho tng dng bi giỳp cho vic tỡm li gii bi toỏn tr nờn d dng Bit chuyn t phng phỏp ny sang phng phỏp khỏc, t thao tỏc trớ tu ny sang thao tỏc trớ tu khỏc - Rốn luyn k nng thc hnh dng, mun khỏ v gii toỏn cn phi cú cỏc k nng cn thit nh: cn thn, chu ỏo v chm ch Cú suy ngh c lp, bit t hc, ch ng tip thu kin thc - Phi to c cho hc sinh s hng thỳ, say sa hc toỏn, khụng hc theo kiu i phú thi c -Tp cho hc sinh bit tng quỏt húa, khỏi quỏt húa, bit v gii cỏc bi toỏn tng t T ú hỡnh thnh n np, thúi quen dt nghiờn cu khoa hc -Dy toỏn l hng dn hc sinh bit cỏch hc v gii toỏn , giỳp hc sinh nõng cao kh nng t lụgic, tỡm tũi, sỏng to Mun th ngi dy phi khụng ngng hc hi, nõng cao trỡnh chuyờn mụn nghip v.Tớch cc i mi phng phỏp dy hc Thy, cụ giỏo phi bit la chn phng phỏp dy hc phự hp vi tng i tng hc sinh, t chc cho hc sinh hc tớch cc , ch ng tip thu kiến thc Bit tng hp, khai thỏc, phỏt trin t nhng bi toỏn n gin nht Cựng vi vic i mi chng trỡnh giỏo dc ph thụng nhm o to nhng ngi nng ng , sỏng to,ỏp ng yờu cu ca thi i mi, mi thy cụ giỏo phi nm vng chun kin thc k nng, tớch cc i mi phng phỏp dy hc, i mi phng phỏp kim tra ỏnh giỏ, t chc hng dn hc sinh ch ng vic lnh hi kin thc Trờn õy l mt s kinh nghim c tụi rỳt quỏ trỡnh ging dy v phỏt huy trớ lc cho hc sinh lp thụng qua cỏc bi toỏn tỡm cc tr i s m c th l cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca cỏc biu thc i s Trong quỏ trỡnh thc hin khụng th trỏnh nhng thiu sút v hn ch Vỡ vy, rt mong c s gúp ý chõn thnh ca cỏc ng nghip cú kinh nghim ti nghiờn cu ca tụi t kt qu tt hn gúp phn nõng cao cht lng dy v hc XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Húa, ngy 10 thỏng nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Lờ Th Khng 20 TI LIU THAM KHO i s s cp Ca nhúm tỏc gi : Nguyn c ng Lờ Hon Húa Vừ Khỏc Thng Lờ Quang Tun - Nguyn Vn Vnh Nh xut bn i hc Quc gia H Ni Tp Toỏn Tui th Bỏo Toỏn hc v tui tr 3.Toỏn Bi dng i s lp , Tỏc gi V Hu Bỡnh Tụn Thõn Nh xut bn giỏo dc 4.Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn lp , Tỏc gi V Dng Thy - Nguyn Ngc m Nh xut bn giỏo dc Cỏc bi toỏn chn lc 45 nm Tp Toỏn hc v Tui tr 21 ... toỏn, bi toỏn mi, qua ú rốn luyn c t logic,phỏt huy c trớ lc cho hc sinh 2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim : Qua nhiu nm ging dy v bi dng hc sinh gii cỏc cp tụi thy hc sinh hu ht l rt... 4) (x5) + 2053 C = (x 9x + 8) (x2 9x + 20) + 2053 C = {(x2 9x + 14) 6}.{(x2 9x + 14) + 6} + 2053 C = (x2 9x + 14)2 36 + 2053 C = (x2 9x + 14)2 + 2017 2017 vỡ (x2 9x + 14)2 x R x = x =... cho hc sinh - Khuyn khớch hc sinh tỡm nhiu li gii khỏc (nu cú th c) ca mt bi toỏn c bit l bit s dng cỏc phng phỏp gii phự hp cho tng dng bi giỳp cho vic tỡm li gii bi toỏn tr nờn d dng Bit chuyn