Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài: Chúng ta biết: Chương trình toán trường THCS giữ vị trí quan trọng Nó sở, tiền đề, tảng, cho chương trình toán học cấp học Ngoài môn học công cụ để học nhiều môn học tự nhiên khác Do mà trình dạy toán trường THCS khâu truyền thụ kiến thức cho học sinh khâu vô quan trọng, kiến thức vốn kiến thức khoa học phải có tồn người học toán, suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Thế thực trạng trường nói chung là: “chất lượng thực” môn toán thấp so với yêu cầu Đó điều làm cho nhà giáo nói chung giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn toán nói riêng phải băn khoăn, trăn trở Để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy đáp ứng yêu cầu giáo dục nay, thân quản lí nhà trường trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn toán trường THCS nên tự đặt cho nhiệm vụ là: “Nâng cao chất lượng học tập môn toán, thông qua việc rèn luyện phương pháp giải toán, trọng phần rèn luyện phương pháp chứng minh bất đẳng thức” cho trình giải tập lực suy nghĩ sáng tạo học sinh phát triển đa dạng phong phú Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS toán bất đẳng thức (BĐT) cách giải mẫu, không tuân theo phương pháp định nên học sinh lúng túng làm toán BĐT, học sinh phải đâu, theo hướng nào, chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9” II Mục đích nghiên cứu: Đề tài giúp cho học sinh không bỡ ngỡ gặp toán chứng minh bất đẳng thức, qua nâng cao lực phát khả tự giải vấn đề học sinh từ giúp em học tập tốt hơn, có hứng thú, say mê với môn toán nói chung bất đẳng thức nói riêng III Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp - Trường THCS An Hoạch IV Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu chương trình Sách giáo khoa nắm bắt nội dung kiến thức yêu cầu cần đạt khối lớp giải toán Tìm đọc tài liệu tham khảo, sách nâng cao, sách bồi dưỡng,… để hệ thống kiến thức có liên quan Cung cấp kiến thức, hình thành kỹ giải toán cho học sinh, qua nắm bắt lực học sinh, phát nguyên nhân chất lượng thấp, tìm phương án khắc phục Trao đổi với đồng nghiệp để rút học kinh nghiệm Kiểm tra chất lượng học sinh trước sau áp dụng đề tài vào giảng dạy, so sánh kết rút kinh nghiệm giảng dạy cho thân B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận: Bất đẳng thức mảng kiến thức khó chương trình toán phổ thông, học sinh giỏi lúng túng, chưa có phương pháp làm vận dụng bất đẳng thức để giải toán khó như: Tìm cực trị biểu thức, tìm nghiệm phương trình hay hệ phương trình…Vì vậy, Phạm Thị Thu Hương Page Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp giảng dạy việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức vào giải tập có liên quan công việc quan trọng thiếu người dạy toán Để làm điều giảng dạy giáo viên phải tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, hình thành cho em khả tư logic, tính độc lập sáng tạo Qua mà cung cấp cho học sinh số kiến thức cần thiết, kỹ năng, kỹ sảo hệ thống phương pháp làm tập bất đẳng thức, xem phương pháp suy nghĩ ban đầu, công cụ để giải tập bất đẳng thức II Thực trạng: Qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp thấy học sinh hầu hết ngại gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức Theo nguyên nhân chủ yếu để giải toán chứng minh bất đẳng thức cần tư logic sáng tạo cao mà điều đại phận học sinh hạn chế Đứng trước toán bất đẳng thức em không định hướng phải dùng để chứng minh chứng minh nào? Có nghĩa em chưa có hướng giải Vì vấn đề đặt cho gặp dạng toán bất đẳng thức ta làm nào? Đó câu trả lời không dễ dàng tất người say mê nghề trồng người Quan trọng giáo viên phải giải chí giải nhiều cách từ chọn lọc cách diễn đạt để học sinh tiếp thu hiểu cách có sáng tạo giảng giáo viên, tức thông qua toán đưa toán tổng quát, tương tự Có thể đề cách giải dạng toán để học sinh nhận dạng toán khác giúp học sinh nhìn toán nhiều khía cạnh khác Giải toán nhiều cách từ chọn lời giải đẹp Và phương pháp chứng minh bất đẳng thức vừa ngắn gọn vừa dễ hiểu vừa rút ngắn thời gian làm bài, vừa cho ta lời giải đẹp dùng BĐT phụ Việc dùng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức việc rèn luyện say mê tìm tòi sáng tạo giúp em quen dần với việc dùng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức việc cần thiết với tất thầy cô trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, học sinh thi vào lớp 10 THPT thi vào lớp 10 THPT chuyên III Các giải pháp Phần I: Các kiến thức cần lưu ý Định nghĩa: A ≥ B ⇔A −B ≥0  A < B ⇔A −B B⇔ B< A A > B B > C ⇔ A > C A > B ⇒ A+C > B +C A > B C > D ⇒ A + C > B + D A > B C < D ⇒ A − C > B − D  A.C > B.C Với C >0 +A> B⇒  A.C < B.C Với C < + A > B ≥ C > D ≥ ⇒ AC > BD + A > B > ⇒ An > B n , ∀n ∈ N * Phạm Thị Thu Hương Page Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp + A > B ⇒ A2 n +1 > B n +1 2n 2n + A > B ⇒A >B + A > m > n > ⇒ Am > An + < A < m > n > ⇒ Am < An + A > B A.B > ⇒ 1 > A B Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối: + A ≥ 0, ∀A (Dấu “=” xảy A = 0) + A < a ⇔ −a < A < a A > a A < a + A > a ⇔ + A + B ≤ A + B (Dấu “=” xảy AB ≥ ) + A− B ≥ A − B Phần II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp 1: Dùng định nghĩa a Kiến thức: + Để chứng minh A ≥ B ta chứng minh A − B ≥ + Lưu ý bất đẳng thức A2 ≥ 0, ∀A b Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b, c > CM rằng: a +b +abc ≥ ab( a +b +c ) Giải: Để chứng minh a + b + abc ≥ ab(a + b + c ) (1) 3 Ta chứng minh hiệu: (a + b + abc) − ab( a + b + c) ≥ ⇔ a + b3 + abc − a 2b − ab − abc ≥ ⇔ (a − a 2b) − (ab − b3 ) ≥ ⇔ a ( a − b) − b ( a − b ) ≥ ⇔ (a − b)(a − b ) ≥ ⇔ (a − b)(a − b)(a + b) ≥ (2) ⇔ ( a − b) (a + b) ≥  a, b > ⇒ a + b > Vì  Nên bất đẳng thức (2) ⇒ ( a − b ) ≥  a + b + abc ≥ ab (a + b + c ) Vậy (1) chứng minh Dấu “=” xảy a − b = ⇔ a = b a2 + a +1 Ví dụ 2: Chứng minh : ≤ ∀a ∈ R a2 + a + a +1 ≤ ∀a ∈ R ta chứng minh hiệu: Giải: Để chứng minh cho a +1 Phạm Thị Thu Hương Page Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp a +a +1 3a +3 −2 a −2 a −2 − ≥ ⇔ ≥0 a +1 2( a +1) a −2a +1 (a −1) ⇔ ≥ ⇔ ≥ (*) 2( a +1) 2(a +1) a + a +1 ≤ CM Vì bất đẳng thức(*) nên bất đẳng thức a +1 ⇔ − = Dấu “=” xảy a a=1 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a a + b + c + d + ≥ a + b + c + d b a + b + c + ≥ 2a( ab − a + c + 1) Giải: a Chứng minh cho a + b + c + d + ≥ a + b + c + d (1) 2 2 Ta chứng minh hiệu: a + b + c + d + − (a + b + c + d ) ≥ ⇔ a + b2 + c + d + − a − b − c − d ≥ 1 1 ⇔ ( a − ) + (b − ) + ( c − ) + ( d − ) ≥ 2 2 (2) Vì bất đẳng thức (2) ⇒ bất đẳng thức (1) (Điều phải chứng minh) 1 1 Dấu “=” xảy a = ; b = ; c = ; d = ; a = b = c = d = 2 2 4 2 b Để chứng minh cho a + b + c + ≥ 2a (ab − a + c + 1) ≥ Ta chứng minh hiệu: (a + b + c + 1) − 2a(ab − a + c + 1) ≥ ⇔ a + b + c + − 2a 2b + 2a − 2ac − 2a ≥ ⇔ (a − 2a 2b + b ) + (c − 2ac + a ) + (a − 2a + 1) ≥ ⇔ (a − b ) + (c − a ) + (a − 1) ≥ (2) 2 2 ⇒ 2b < a + Vì (a − b ) ≥ 0; (c − a ) ≥ 0; (a − 1) ≥ ⇒ BĐT (2) ⇒ BĐT (1) a = b  Dấu “=” xảy : a = c ⇔ a = b = c = (Ta có điều phải chứng minh) a =  Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho < a < b + c < a + b < c Chứng minh b < a Giải: Ta có: b < c ⇔ 2b < b + c (1) Theo giả thiết ta lại có: b + c < a + (2) Theo tính chất bất đẳng thức từ (1) (2) 2b < a + (3) Ta lại có < a ⇔ a + < 2a (4) Từ (3) (4) ⇒ 2b < 2a ⇔ b < a (Ta có điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho < a < b < c < d < Chứng minh rằng: (1 − a )(1 − b)(1 − c )(1 − d ) > − a − b − c − d Giải: Ta có: (1 −a )(1 −b) =1 −a −b +ab Vì: a, b > ⇒ab > ⇒(1 − a )(1 −b) >1 − a −b Phạm Thị Thu Hương Page Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Do: < c ⇒(1 − a )(1 −b)(1 −c) > (1 − a −b)(1 −c) =1 − a −b − c + ac +bc Mà a, b, c > ⇒ ac + bc > Do đó: (1 − a )(1 − b)(1 − c) > − a − b − c Ta lại có: < d < nên − d > ⇒ (1 − a)(1 − b)(1 − c)(1 − d ) > (1 − a − b − c)(1 − d ) = − a − b − c − d + ad + bd + cd Mà b, c, d > ⇒ ad + bd + cd > Do : (1 −a)(1 −b)(1 −c)(1 −d ) >1 −a −b −c −d (Ta có điều phải CM) Ví dụ 3: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a b c d 1< + + + c + d + a a +b +c + d d d > d + a +b a +b +c + d (*) (5) (6) (7) (8) Cộng bất đẳng thức chiều (5), (6), (7),(8) vế với vế ta được: a b c d a +b +c + d + + + = > (**) a +b +c b +c + d c + d + a d + a +b a +b +c + d Từ bất đẳng thức (*) bất đẳng thức (**) ta có: a b c d 1< + + + < (Ta có điều phải chứng minh) a +b +c b +c + d c + d + a d + a +b Phương pháp 3: Biến đổi tương đương Để chứng minh A ≥ B phép biến đổi tương đương ta đưa việc chứng minh C ≥ D việc chứng minh đơn giản Ví dụ 1: Chứng minh với số a;b ta có: Phạm Thị Thu Hương Page Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp a a + 5b + 2a − 4ab − 6b + > b a + 2b − 2ab + 2a − 4b + ≥ Giải: a Ta có: a + 5b + 2a − 4ab − 6b + > ⇔ (a − 4ab + 4b ) + (b − 2b + 1) + (2a − 4b) + > (1) ⇔ (a − 2b) + (b − 1) + 2( a − 2b) + > ⇔  (a − 2b) + 2(a − 2b) + 1 + (b − 1) + > ⇔ (a − 2b + 1) + (b − 1) + > (2) 2 Vì (a − 2b + 1) ≥ 0;(b − 1) ≥ ⇒ Bất đẳng thức (2) Vậy bất đẳng thức a + 5b + 2a − 4ab − 6b + > (1) chứng minh b Ta có a + 2b − 2ab + 2a − 4b + ≥ (1) ⇔ (a − 2ab + b ) + (b − 2b + 1) + (2a − 2b) + ≥ ⇔ (a − b) + (b − 1) + 2( a − b) + ≥ ⇔ (a − b) + 2( a − b) + 1 + (b − 1) ≥ ⇔ (a − b + 1) + (b − 1)2 ≥ (2) Vì ( a − b + 1) ≥ 0;(b − 1) ≥ nên bất đẳng thức (2) Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh b − = ⇔a =0; b =1 Dấu “=” xảy khi:  a − b + =  Ví dụ 2: Chứng minh với x ∈ R ta có: Giải: Ta có: ⇔ 10 + x − x 0, ∀x - Nếu ∆ = f(x) dấu với a Nghĩa a f ( x ) > 0, ∀x ≠ −b 2a - Nếu ∆ > thì: + f(x) dấu với a.( tức a f ( x ) > ) x ∉ [ x1 , x2 ] + f(x) khác dấu với a.( tức a f ( x ) < ) x1 < x < x2 b Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: a f ( x, y ) = x + y − xy + x − y + > 0; ∀x, y b f ( x, y ) = x + y − xy + x − y + > 0; ∀x, y Giải: a Ta có: f ( x, y ) = x + y − xy + x − y + > ⇔ f ( x, y) = x + 2(1 − y) x + y − y + > a = > ⇔ 2 ∆ = (1 − y ) − (5 y − y + 3) < Mà ∆ = (1 − y ) − (5 y − y + 3) = −( y − 1) − < (vì ( y − 1)2 ≥ ) Phạm Thị Thu Hương Page Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Do f(x) > ⇒ f(x,y) > (ta có điều phải chứng minh) b, Ta có f ( x, y ) = x + y − xy + x − y + > ⇔ f ( x) = x − 2( y −1) + (2 y − y + 3) > Vì f(x) có: ∆ = ( y −1)2 − (2 y − y + 3) = −( y −1) −1 < (vì ( y −1) ≥ ) Do f(x) dấu với hệ số x2 a = > tức f(x) > ⇒ f(x,y) > (Ta có điều phải chứng minh) x + y + z =  xy + yz + zx = Ví dụ 2: Cho x,y,z thỏa mãn:  x + y + z = y + z = 5− x ⇒ Giải: Từ giả thiết ta có:   xy + yz + zx =  yz = − x (5 − x) Theo Vi-et y,z nghiệm phương trình bậc hai: t − (5 − x)t + − x(5 − x) = (1) Vì phương trình (1) có nghiệm nên (1) ⇔ ∆ ≥ Chứng minh ≤ x, y, z ≤ ⇔ ∆ = (5 − x) − [ − x(5 − x) ] ≥ ⇔ 25 −10 x + x − 32 + 20 − x ≥ ⇔ −3 x + 10 x − ≥ ⇔1 ≤ x ≤ Tương tự ta chứng minh ≤ y, x ≤ (ta có điều phải chứng minh) Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp toán học a Lưu ý: Khi bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào số nguyên n (hoặc phụ thuộc vào số nguyên dương n) ta phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Để chứng minh bất đẳng thức với n > n0 ta thực bước sau: *) Kiểm tra bất đẳng thức với n = n0 *) Giả sử bất đẳng thức với n = k (thay n = k vào bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức gọi giả thiết quy nạp) *) Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k +1 vào bất đẳng thức cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) *) Kết luận bất đẳng thức với n > b Một số ví dụ: Ví dụ 1: CM rằng: P(n) = 2n − 1 < (1) 2n 3n + 1 3 Với ∀n ∈ N , n > 1 Giải: + Khi n = ta có: P (2) = = < (đúng) + Giả sử bất đẳng thức (1) với n = k , k ∈ N , k > ta có: 2k − 1 P (k ) = < (2) 2k 3k + Phạm Thị Thu Hương Page Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp + Giả sử bất đẳng thức (1) với n = k +1 Nghĩa ta cần chứng minh rằng: 2k + 1 P (k + 1) = < (3) 2(k + 1) 3( k + 1) + Nhân vế (2) với 2k + ta được: 2(k +1) 2k +1 2k +1 2k +1 P ( k ) < ⇔ P (k +1) < 2( k +1) 2( k +1) 3k +1 (2k + 2) 3k +1 (4)   2k + (2k + 1) Nhưng:  = < ÷ (2k + 1)2 (3k + 4) + k 3k +  (2k + 2) 3k +  ⇒ 2k +1 < = (2k + 2) 3k +1 3k + 3( k +1) +1 (5) 3(k + 1) + Do bất đẳng thức (3) Vậy bất đẳng thức (1) với ∀n ∈ N n > 1 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: + + + + < − (1) với ∀n ∈ N , n > n n 1 1 Giải: + Với n = ta có : + = + = < − = (đúng) 4 2 + Giả sử bất đẳng thức (1) với n = k , k ∈ N , k > Từ (4), (5) ta có: P (k + 1) < 1 1 + + + + < − (2) 12 2 32 k2 k + Ta chứng minh bất đăng thức (1) với n = k + Nghĩa ta chứng minh 1 1 + + + + < − (3) 12 22 32 ( k + 1) k +1 Cộng vế bất đẳng thức (2) với ta được: (k + 1) 1 1 1 + + + + + < 2− + 2 k (k + 1) k (k + 1) Ta có: 1 1 1 1 + + + + + < − + < − 12 22 32 k (k + 1) k (k + 1) (k + 1) 1 1 1 1 ⇔ + + + + + < + < 2 k (k + 1) k + ( k + 1) k ⇔ (4) 1 + < k + (k + 1) k k +1+1 ⇔ < (k + 1) k ⇔ ⇔ k (k + 1) < (k + 1) ⇔ k + 2k < k + 2k + Điều ⇒ Bất đẳng thức (4) Phạm Thị Thu Hương Page 10 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp ⇒ Bất đẳng thức (3) chứng minh 1 1 + + + < − với ∀n ∈ N , n > 2 n n Phương pháp 7: Chứng minh phản chứng a Kiến thức cần lưu ý: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức A > B Ta giả sử A ≤ B kết hợp với giả thiết qua phép biến đổi tương đương dẫn đến điều vô lý Điều vô lý điều trái với giả thiết, điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh A > B b Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho a + b3 = Chứng minh a + b ≥ Giải: Giả sử a + b > ⇒ ( a + b)3 > Vậy bất đẳng thức + ⇒ a + b3 + 3ab(a + b) > ⇒ + 3ab( a + b) > (vì a3 + b3 = 2) ⇒ 3ab( a3 + b) > ⇒ ab( a + b) > = a + b3 Chia vế cho số dương a + b ta được: ab > a − ab + b ⇒ > a − ab + b − ab = (a − b) Mà (a – b)2 < vô lý Do điều giả sử a + b > sai Vậy a + b ≥ Ví dụ 2: Cho x,y,z xyz = Chứng minh rằng: 1 Nếu x + y + z > + + Thì có ba số lớn x y z Giải: Ta có: ( x − 1)( y − 1)( z − 1) = ( xy − x − y + 1)( z − 1) = xyz − xy − xz − yz + x + y + z − = x + y + z − ( xy + xz + yz ) (vì xyz = 1) 1 = x+ y+ z−( + + ) x y z Theo giả thiết thì: x + y +z > 1 + + x y z 1 + + >0 x y z ⇒ ( x − 1)( y − 1)( z − 1) > (*) +) Giả sử số: (x – 1), (y – 1), (z – 1) dương thì: x,y,z > ⇒ xyz > Điều trái với giải thiết xyz = +) Nếu số: ( x − 1), ( y − 1), ( z − 1) dương thì: −( x − 1)( y − 1)( z − 1) < (Điều vô lý trái với (*)) Vậy có số x,y,z > Ví dụ 3: Cho < a, b, c < Chứng minh ba bất đẳng thức sau: Nên Phạm Thị Thu Hương x+ y+z > Page 11 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 1 b(1 − c) > c(1 − a) > (1) ; (2) ; (3) 4 Không đồng thời Giải: Giả sử bất đẳng thức (1)(2)(3) Nhân bất đẳng thức chiều theo vế ta được: 1 1 abc(1 − b)(1 − c)(1 − a ) > = (4) 4 64 1 2 Ta có a (1 − a ) = a − a = − (a − ) ≤ (5) 4 a (1 − b) > Tương tự ta có: 1 −(b − ) ≤ 4 (6) 1 − (c− ) ≤ 4 (7) b(1 −b) = c(1 − c) = Nhân vế với vế bất đẳng thức chiều (5), (6), (7) Ta được: 1 1 abc(1 − a )(1 − b)(1 − c ) ≤ = (8) 4 64 Ta thấy bất đẳng thức (8) mâu thuẫn với bất đẳng thức (4) Mà bất đẳng thức (8) Do bất đẳng thức (4) sai Vậy: Điều giả sử ba bất đẳng thức (1)(2)(3) sai ba bất đẳng thức có bất đẳng thức sai Phương pháp 8: Phương pháp đánh giá đại diện Ví dụ 1: Chứng minh với a, b, c > thì: 1 1 + 3 + < 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Giải: Ta có a + b3 = (a + b)(a − ab + b ) ≥ (a + b)(2 b− 2a ) ⇒ a + b3 ≥ (a + b)ab ⇒ a + b3 + abc ≥ (a + b)ab + abc 1 ⇒ 3 ≤ = a + b + abc (a + b)ab + abc ab(a + b + c ) c ⇒ 3 ≤ (1) a + b + abc abc (a + b + c) Tương tự ta có: b + a + abc 3 ≤ a abc (a +b + c ) (2) b (3) c + a + abc abc (a + b + c ) Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều (1)(2)(3) ta được: 3 ≤ 1 a +b +c + + < 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc (a + b + c ) ⇔ 1 1 + + < (đpcm) a + b3 + abc b + c + abc c + a + abc abc Phạm Thị Thu Hương Page 12 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c chu vi: p = a + b + c Chứng minh : 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) p −a p −b p − c a b c Dấu “=” Bất đẳng thức xảy lúc tam giác ABC có đặc điểm gì? a+b+c b+c−a −a = Giải: Ta có: p − a = (vì b + c > a) 2 a +b−c a +c −b >0 > ; p−c = Tương tự ta có: p − b = 2 1 Ta chứng minh toán phụ: + ≥ (*) x y x+ y Ta có bất đẳng thức (1) ⇔ y ( x + y ) + x( x + y ) ≥ xy ⇔ xy + y + xy + x − xy ≥ xy ⇔ x − xy + y ≥ ⇔ ( x − y ) ≥ (luôn đúng) Do đó: Áp dụng BĐT: Ta có: 1 + ≥ x y x +y 1 + ≥ x y x+y cho cặp số: p − a, p − b; p − b, p − c p − c, p − a 1 4 + ≥ = = p − a p − b p − a + p − b p − (a + b ) c Tương tự ta có: (đúng) (1) 1 + ≥ p −b p −c a (2) 1 + ≥ p −c p − a b (3) Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều (1),(2),(3) ta được: 2( 1 1 1 + + ) ≥ 4( + + ) p − a p −b p −c c a b Do 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) (ta có điều phải chứng minh) p − a p −b p − c a b c Dấu “=” xảy dấu “=” BĐT (1)(2)(3) đồng thời xảy Nghĩa :  p − a = p −b   p −b = p −c p −c = p −a  ⇔ p − a = p −b = p −c ⇔a =b = c ⇔ ∆ABC tam giác Phương pháp 9: Phương pháp hình học a Kiến thức cần lưu ý: ∆ABC có số đo cạnh c Là a, b, c hình vẽ bên c Phạm Thị Thu Hương A b Page 13 B C Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp b−c ≤ a ≤b+c Ta có: a − c ≤ b ≤ a + c a a −b ≤ c ≤ a +b S= ˆ S = bc sinA p ( p − a )( p − b)( p − c ) ; P = a +b +c b Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b, c số đo cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca ) (*) Giải: Vì a, b, c số đo cạnh ∆ nên áp dụng BĐT tam giác ta có: a < ab + ac 0 < a < b +c   0 < b < a +c ⇒b < bc + ab 0 < c < a +b c < ca +bc   Cộng vế với vế BĐT chiều ta có a + b + c < 2(ab + bc + ac ) (1) Ta lại có: (a − b) ≥ ⇔ a − 2ab + b ≥ ⇔ a + b ≥ 2ab (2) Tương tự ta có: b +c ≥ 2bc (3) ; a + c ≥ 2ac (4) Cộng vê với vế bất đẳng thức chiều (2)(3)(4) ta được: 2( a + b + c ) ≥ 2ab + 2bc + ac (5) ⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ac 2 Từ BĐT (1) (5) ta có: ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca ) (đpcm) Ví dụ 2: Cho x, y, z >0 xyz(x+y+z) = Chứng minh rằng: ( x + y )( y + z ) ≥ Giải: Đặt x = p – a ; y = p – b ; z = p – c Ta có: x + y + z = p − a + p − b + p − c = p −a + 14+2b 3c = p 2p ∆ABC có: Ta có: BC = y + z ; AC = x + z ; AB = x + y 1 ⇔ S ∆ABC = AB.BC sin B ≤ AB.BC (vì sin B ≤ ) 2 1 ⇔ S ∆ABC ≤ AB.BC = ( x + y )( y + z ) (1) 2 Mặt khác ta có: ( S∆ABC ) = p( p − a)( p − b)( p − c) = ( x + y + z ) xyz = ⇒ S ∆ABC = (2) Thay (2) vào (1) ta được: ≤ ( x + y )( y + z ) ⇔ ( x + y )( y + z ) ≥ điều phải chứng minh Phần III: Ứng dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị: Ví dụ 1: Tìm cực trị của: y = − x + + x (1) Giải: Ta có điều kiện: x ≤ Phạm Thị Thu Hương Page 14 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Vì y ≥ y = ( 1− x + 1+ x ) = + − x2 ⇔ ≤ y2 ≤ ⇔ 2≤ y≤2 ⇒ Max y = x = ; Min y = x = ±1 xy z − + xz y − + yz x − Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn của: f ( x, y, z ) = xyz xy z − + xz y − + yz x − = xyz Theo bất đẳng thức Cosi ta có: Giải: Ta có f ( x, y, z ) = z z −1 ⇒ ≤ z y −1 y (y −2).2 ≤ ⇒ ≤ y 2 ( z −1).1 ≤ (x −3).3 ≤ x x −1 ⇒ ≤ x z −1 + z y−2 x−3 + y z (1) (2) (3) Cộng bất đẳng thức chiều (1), (2), (3) vế theo vế ta được: f ( x, y , z ) ≤ 1 + + 2 2 ⇔ f ( x, y, z ) ≤ 1 (1 + + ) 2 (4) Dấu “=” bất đẳng thức (4) xảy khi: z −1 =1 z =   y − = ⇔ y = x − = x =   z = 1  + Vậy Max f ( x, y , z ) = (1 + y = 3) x =  Ví dụ 3: Cho x, y, z tùy ý thỏa mãn: xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ A = x + y + z Giải: Từ giả thiết: xy + yz + zx = áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 12 = ( xy + yz + zx) ≤ ( x + y + z )( x + y + z ) (1) ⇔ ≤ ( x + y + z )2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với số: Ta có: ( x + y + z ) ≤ (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) Phạm Thị Thu Hương 1;1;1  2 x ; y ; z (2) Page 15 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Từ (1) (2) ta có: ≤ 3( x + y + z ) ⇒ x + y + z ≥ y z x = =  x x 1 y ⇒ Min A =  ⇔x = y = z ⇒x2 = ⇒x = ± 2 3 x = y = z  1 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn A = (1 − x) (1 − x)3 với x ≤ Giải: Sử dụng BĐT Cosi: xét số không âm: −x −x + x + x + x ; ; ; ; 2 3 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 2 5 1 − x  1 + x    1 − x − x − x − x − x  + + + +  ÷ ÷ ≤ ÷  ÷ 3      5   ⇔ (1 − x ) +(1 + x)3    −2 x +3 x  ≤ ÷  + ÷ 22.32  5   5 A   1 − x +1 − x  ⇔ 2 ≤ ÷  = ÷ 5    25 3456 ⇔ A ≤ 2.32 = 3125 3456 −x +x Max A = = 3125 ⇔ 3(1 − x ) = 2(1 + x) ⇔ x = 3456 Vậy Max A = x = 3125 x y z = =  1 y x x ⇒ Min A = ⇔ x = y = z ⇒ x = ⇒ x = ± khi:  2 3 x = y = z  1 1 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x100 − 10 x10 + = (1) 100 10 Giải: Ta có x −10 x +9 = x100 + = 10 x10 100 { Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 10 số : x ,1, ,1 so Ta có: x100 }9 +1, ,1 ≥10 x100 ,1, ,1 { 10 ⇔ x100 +9 ≥ x10 ⇔ x100 + ≥10 x10 10 (2) Vậy nghiệm (1) BĐT (2) xảy dấu “=” ⇔ x100 = ⇔ x = ±1 Ví dụ 2: Giải phương trình − x + + x + − x = Phạm Thị Thu Hương Page 16 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Giải: Điều kiện: x ≤ Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 4 −x =4 (1 +x )(1 −x ) +≤ − x = 1(1 + x) + ≤ (1) −x + +x + −x =3 −x + +x (2) 1+ 1+ x (3) + −x −x =4 1(1 −x) ≤ (4) Cộng vế theo vế bất đẳng thức chiều (2), (3), (4) ta được: Hay −x + + x + −x ≤1 + + x + −x VT ≤ + + x + x ≤ + + (1 + x ) + (1 − x) + 2 ⇒VT : − x + + x + − x ≤ Như thỏa mãn dấu “=” xảy khi: 1 + x = − x   + x =1  ⇔x =  − x =1 1 =1 + x  1 =1 − x  Vậy nghiệm phương trình (1) x = x y = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  3 x + y = (1) (1) (1) (2) (2) x y =9 Giải: Giả sử x0 ; y0 nghiệm hệ ta có:  3 x + y = Từ (1) (2) ⇒ x0 > y0 > Theo bất đẳng thức Côsi ta có: Kết hợp (1) (2) (3) ta có: x0 + x0 + x0 + x0 ≥ x03 y0 ≥4 ⇔ ≥ (3) (4) Vì (4) không đúng, nên điều giả sử x0 y0 nghiệm hệ phương trình sai Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm (1)  x − y + x + y −1 =  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:   2 x + y = (2) Giải: Ta có phương trình (2) ⇔ y = − x Thế y = − x vào phương trình(1) ta có: x − + x + − x − = ⇔ x −1 + x = (3) Ta xét khả năng: x < 0, ≤ x < , x ≤ Phạm Thị Thu Hương Page 17 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp a Trường hợp x < ta có: (3) ⇔ −3 x +1 − x = ⇔x =− (thỏa mãn) ⇒ y = 5 b Trường hợp ≤ x < ta có: (3) ⇔ −3 x +1 + x = ⇔ x = −2 (loại) c Trường hợp : x ≤ ta có: (3) ⇔3 x −1 + x = ⇔x = (thỏa mãn) ⇒ y=− −2   −3  , ÷ ( x, y ) =  , ÷  5 5   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) =  Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 1 + + =2 x y z Giải: Giả sử x ≥ y ≥ z > ta có: 1 + + ≤ ⇒ z ≤ mà z nguyên nên z = x y z z 1 1 Thay z = vào phương trình (1) ta : + +1 = ⇔ + =1 (2) x y x y 1  y =1 Vì x ≥ y > ta có: = + ≤ ⇒ y ≤ Mà y nguyên dương nên  x y y y = 2= 1 +1 ⇒ = (không thỏa mãn đ/k x > loại) x x 1 + Nếu y = ta : = + ⇔ x = x Vậy nghiệm phương trình (1) là: (2; 2; 1); (2; 1; 2) (2; 2; 1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = xyz (1) Giải: Ta nhận thấy phương trình (1) đối ứng với x, y, z Do ta giả sử: ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ xy ≤ + Nếu x=y=z phương trình (1) 3z = z + Nếu y = ta = ⇒ z = ⇒ z = ± ∉ z (loại) Suy x ≤ y < z ⇒ xy < mà x,y nguyên dương Do xy=2 xy = - Với xy = ⇒ x = y = ⇒ z = - Với xy = ⇒ x = y = ⇒ z không tồn Vậy nghiệm nguyên dương pt (1) (1;2;3) hoác vị Ví dụ 3: Tìm cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: x + x = y (*) Giải: + Với x < 0, y < phương trình (*)không có nghĩa + Với x > 0, y > ta có x + x = y ⇒ x + x = y ⇒ x = y − x > Đặt x = k ( k ∈ z; k > x nguyên dương) Ta có: k +k = k (k +1) < k (k +1) = y Phạm Thị Thu Hương Page 18 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Nhưng k < k (k +1) < (k +1) ⇒k < y < k +1 Mà k k + số nguyên dương liên tiếp không tồn số nguyên duơng Nên cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình (*) Vậy phương trình (*) có nghiệm nguyên x = 0, y = IV Hiệu áp dụng SKKN: Quả thật chuyên đề bất đẳng thức xuyên suốt chương trình môn Toán bậc học: từ THCS đến THPT Đại học Trong khuôn khổ đề tài: “Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9” Tôi trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức Trong phương pháp đưa kiến thức cần sử dụng ví dụ vận dụng cách phù hợp với trình độ học sinh, tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đưa ứng dụng bất đẳng thức việc tìm cực trị, giải phương trình, giải hệ phương trình giải phương trình nghiệm nguyên…nhằm giúp học sinh có kiến thức bất đẳng thức để học chứng minh bất đẳng thức Thực tế giảng dạy cho thấy: sau truyền đạt kỹ chuyên đề này, học sinh có hệ thống phương pháp giải toán bất đẳng thức, em hiểu kĩ, hiểu sâu linh hoạt nhiều gặp toán bất đẳng thức toán cần vận dụng bất đẳng thức để giải, chẳng hạn: Các em biết tự phân tích toán để đưa phương pháp học để giải ngắn gọn, dễ hiểu, nghĩa chọn phương án tốt nhất, lời giải tối ưu cho toán; có cách trình bày giải rõ ràng, mạch lạc; tránh số sai lầm thường gặp giải toán bất đẳng thức Kết cụ thể qua năm thực đề tài: Năm học 2014 - 2015, dạy Toán áp dụng chuyên đề cho lớp dạy so sánh kết với năm học 2013 - 2014 dạy SGK ôn tập cho học sinh (2 lớp có chất lượng kiểm tra khảo sát đầu năm tương đương nhau), sau cho lớp làm đề kiểm tra để khảo sát chất lượng kết thu là: Năm học Giỏi Khá TB Yếu 2013-2014 5% 21% 39% 35% 2014-2015 22% 38% 35% 5% C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I Kết luận: Để hoàn thành tốt nhiệm vụ người thầy đáp ứng nhu cầu ngày cao học sinh đòi hỏi người thầy phải không ngừng học hỏi, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ thực tâm huyết với nghề nghiệp Trong trình giảng dạy, người thầy phải đúc rút kinh nghiệm cho thân, linh hoạt sáng tạo để tìm cách giúp học sinh có khả tổng hợp kiến thức hình thành phương pháp giảng dạy cho loại toán cụ thể, từ phát hiện, bồi dưỡng cho học sinh có khiếu môn, rèn luyện cho học sinh khả tư sáng tạo…làm cho em yêu thích môn Muốn tập đưa phải bao gồm dễ để củng cố kiến thức bản, đến khó để phát tư duy, trước gợi ý cho sau Các phương pháp giải cung cấp cho học sinh phải dễ hiểu, dễ vận dụng, phù hợp với khả học sinh, sở kiến thức mà học sinh tự học, tự giải vấn đề đặt tự khám phá, Phạm Thị Thu Hương Page 19 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp lĩnh hội kiến thức Hơn với toán việc tìm phương pháp giải hợp lý, cần thay đổi kiện toán, đặc biệt hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa…để đưa học sinh đến tình cần giải II Đề xuất: Phòng Giáo dục Đào tạo cần tổ chức Hội thảo cho giáo viên học tập áp dụng sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ Trên kinh nghiệm thân rút từ thực tiễn giảng dạy Có thể bộc lộ khiếm khuyết cách trình bày diễn đạt, mong đóng góp, bổ sung đồng nghiệp để có giải pháp hoàn thiện hiệu công tác giảng dạy đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ An Hoạch, ngày 20 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực Phạm Thị Thu Hương Phạm Thị Thu Hương Page 20 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp MỤC LỤC A MỞ ĐẦU .1 B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận: II Thực trạng: Qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp thấy học sinh hầu hết ngại gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức Theo nguyên nhân chủ yếu để giải toán chứng minh bất đẳng thức cần tư logic sáng tạo cao mà điều đại phận học sinh hạn chế Đứng trước toán bất đẳng thức em không định hướng phải dùng để chứng minh chứng minh nào? Có nghĩa em chưa có hướng giải Vì vấn đề đặt cho gặp dạng toán bất đẳng thức ta làm nào? Đó câu trả lời không dễ dàng tất người say mê nghề trồng người Quan trọng giáo viên phải giải chí giải nhiều cách từ chọn lọc cách diễn đạt để học sinh tiếp thu hiểu cách có sáng tạo giảng giáo viên, tức thông qua toán đưa toán tổng quát, tương tự Có thể đề cách giải dạng toán để học sinh nhận dạng toán khác giúp học sinh nhìn toán nhiều khía cạnh khác Giải toán nhiều cách từ chọn lời giải đẹp Và phương pháp chứng minh bất đẳng thức vừa ngắn gọn vừa dễ hiểu vừa rút ngắn thời gian làm bài, vừa cho ta lời giải đẹp dùng BĐT phụ Việc dùng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức việc rèn luyện say mê tìm tòi sáng tạo giúp em quen dần với việc dùng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức việc cần thiết với tất thầy cô trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, học sinh thi vào lớp 10 THPT thi vào lớp 10 THPT chuyên III Các giải pháp .2 Phần I: Các kiến thức cần lưu ý Định nghĩa: .2 Tính chất: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối: Phần II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức .3 Phương pháp 1: Dùng định nghĩa Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bất đẳng thức .4 Phương pháp 3: Biến đổi tương đương Phương pháp 4: Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc a Một số bất đẳng thức hay dùng: b Một số ví dụ: Phạm Thị Thu Hương Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Phương pháp 5: Phương pháp tam thức bậc hai .8 a Kiến thức cần lưu ý: .8 b Một số ví dụ: Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp toán học .9 a Lưu ý: Khi bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào số nguyên n (hoặc phụ thuộc vào số nguyên dương n) ta phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Để chứng minh bất đẳng thức với ta thực bước sau: .9 b Một số ví dụ: Phương pháp 7: Chứng minh phản chứng 11 a Kiến thức cần lưu ý: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức A > B Ta giả sử kết hợp với giả thiết qua phép biến đổi tương đương dẫn đến điều vô lý Điều vô lý điều trái với giả thiết, điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh A > B 11 b Một số ví dụ: 11 Phương pháp 8: Phương pháp đánh giá đại diện .12 Phương pháp 9: Phương pháp hình học 13 a Kiến thức cần lưu ý: 13 b Một số ví dụ: 14 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị: .14 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình: 16 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên: 18 IV Hiệu áp dụng SKKN: 19 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT .19 I Kết luận: 19 II Đề xuất: 20 MỤC LỤC 21 Phạm Thị Thu Hương .. .Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp giảng dạy việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức vào giải tập có liên quan công việc quan trọng... Bất đẳng thức (4) Phạm Thị Thu Hương Page 10 Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp ⇒ Bất đẳng thức (3) chứng minh 1 1 + + + < − với ∀n ∈ N , n > 2 n n Phương pháp 7: Chứng minh. .. Thu Hương Page Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 2 ⇔ ( x − y ) −  ≥   (**) Vì bất đẳng thức (**) nên BĐT (*) chứng minh Ví dụ 4: Cho ab ≥1 Hãy chứng minh Giải: Ta có: