1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1.1 Đặc điểm tình hình: a) Thuận lợi: Tân Ninh xã có văn hóa tốt với truyền thống hiếu học quan tâm đến việc học số bậc phụ huynh em họ Mặt khác quan tâm giúp đỡ BGH nhà trường THCS Tân Ninh quan tâm chia đồng nghiệp tạo điều kiện cho hoàn thành tương đối tốt nhiệm vụ giao Đó tảng tốt cho việc nghiên cứu đề tài thân nhằm giúp em học sinh học tốt môn Toán trường THCS b) Khó khăn: Tân Ninh xã có kinh tế không đồng đều, quan tâm đến giáo dục chưa sát quyền địa phương hầu hết bậc phụ huynh xã Mặt khác chất lượng học sinh không đồng có số học sinh sau hết cấp chuyển lên trường Dân Lập nên phong trào học em chưa tốt 1.1.2 Đặc điểm môn học: Trong trường phổ thông Toán học môn học chiếm vị trí tương đối quan trọng.Vì vậy, dạy toán dạy phương pháp tư suy luận cách có lô gíc Học Toán rèn luyện tính tư Các toán phương diện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Dạng toán tìm cực trị học sinh phổ thông tương đối khó Dạng toán phong phú đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức cách hợp lý, độc đáo Các toán tìm cực trị hay đưa vào dạy cho học sinh giỏi, đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi đề cập sách giáo khoa Dạng toán tìm cực trị loại toán gần gũi với thực tế có nhiều ứng dụng sống hàng ngày Điều chứng tỏ Toán học thực tế không tách rời Trong chương trình Toán học bậc trung học sở, học sinh thực làm quen với toán tìm cực trị từ lớp Kiến thức loại nâng cao dần lớp 8, học nhiều bậc phổ thông trung học Toán tìm cực trị đề cập nhiều loại sách tham khảo giáo viên khó khăn việc sưu tầm tuyển chọn Cũng từ mà HS không tìm thấy lối mòn cho việc giải vấn đề dẫn đến sai lầm giải dạng toán Để góp phần vào việc giải vấn đề khó khăn mạnh dạn thực sưu tầm tuyển chọn số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số phương pháp giải áp dụng cho dạng viết thành chuyên đề: "Những sai lầm học sinh cách khắc phục giải toán cực trị đại số THCS" 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Thực theo vận động “Hai không bốn nội dung” trưởng giáo dục đề nhiệm vụ ngành thân đưa hoạch định cho việc nghiên cứu đề tài ấp ủ nhằm giúp em học sinh học tốt để nâng cao chất lượng giáo dục giai đoạn 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Căn vào đặc điểm tình hình học sinh trường THCS Tân Ninh lựa chọn đối tượng nghiên cứu số học sinh lớp 9A số học sinh lớp 7A trường THCS Tân Ninh 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.4.1 Tài liệu nghiên cứu: - Những vấn đề phát triển Toán 6,7,8,9 - 2001 Bài toán sơ cấp - Kiến thức nâng cao toán 6,7,8,9 - Các toán mạng Internet 1.4.2 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu để tìm hiểu vấn đề có liên quan đến đề tài - Phương pháp nghiên cứu đối tượng học sinh để tìm giải pháp cho việc thực đề tài 1.4.3 Thời gian nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu từ tháng 09 năm 2016 đến tháng 04 năm 2017 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN: Toán học môn khoa học tự nhiên tương đối khó học sinh Đặc biệt môn Toán trường THCS có dạng toán “ Tìm cực trị” xa lạ nhiều học sinh, nên em chưa hình thành phương pháp giải tổng quát cho số dạng Việc tìm cực trị lúc làm theo hướng định mà phụ thuộc toán cho dạng nào, dạng có phương pháp giải hay chưa? Có thể có số dạng có phương pháp giải tổng quát, có có phương pháp giải cho riêng Tuy nhiên học sinh làm toán cực trị đại số thường hay bị ngộ nhận thiếu xót trình giải mà dẫn đến sai lầm đáng tiếc Đó điều mà thân giáo viên dạy dạng toán không không lo âu cho học sinh Tóm lại để tìm cực trị cách hợp lý cần phải nhận dạng nắm số phương pháp giải thường gặp, đương nhiên trình giải cần đến linh hoạt thông minh tìm cách giải hợp lý cho toán giao 2.2 THỰC TRẠNG: Trước thí nghiệm đề tài thân có tìm hiểu trao đổi với đồng nghiệp để tìm hướng giải hợp lý cho đề tài Ngoài cho đối tượng học sinh chọn thử làm kiểm tra có liên quan chủ yếu đến đề tài chọn thu kết sau: Số kiểm tra: 25 Số thu được: 25 - Lớp đối chứng: Giỏi Khá SL % SL 0 - Lớp áp dụng: Giỏi SL % Khá SL % TB SL % TB SL % 20 Yếu SL 14 % 24 Yếu SL 13 % 56 Kém SL % 20 % 52 Kém SL % 16 2.3 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN a- Khái niệm: Cho hàm số F(x) xác định miền D a1) M gọi giá trị lớn F(x) miền D hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn a F(x) ≤ M với ∀ x ∈ D b ∃ x0 ∈ D cho F(x0) = M, kí hiệu M = MaxF(x) với x ∈ D a2) m gọi giá trị nhỏ F(x) miền D hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn a F(x) ≥ m với ∀ x ∈ D b ∃ x0 ∈ D cho F(x0) = m, kí hiệu m = MinF(x) với x ∈ D b- Các kiến thức thường dùng: b1) [ f (x) ] 2n ≥ ∀ x ∈ R, n ∈ Z ⇒ [ f (x) ] 2n + M ≥ M - [ f (x) ] 2n + M ≤ M b2) a) x ≥ b) x + y ≤ x + y dấu “ = “ xảy x y dấu c) x − y ≥ x - y dấu”=” xảy x y dấu(với x ≥ y ) b3) Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức CôSi (chỉ áp dụng với số không âm) a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an với a1 , a2 , , an số không âm n Hệ quả: 1) x > 0, y > xy = k2 ( không đổi), x + y nhỏ ⇔ x = y 2) x > 0, y > x + y = k2 ( không đổi), xy lớn ⇔ x = y b4) Bất đẳng thức Bunhiacopxki a) ( ax + by) ≤ ( a2 + b2 )( x2 + y2 ) Dấu “ = “ xảy x y = a b b) ( ax + by + cz )2 ≤ ( a2 + b2 + c2 )( x2 + y2 + z2 ) Dấu “ = “ xảy x y z = = a b c * Tổng quát: ( a1 x1 + a2 x2 + + an xn)2 ≤ ( a12+ a22 + + an2)(x12+ x22 + + xn2 ) x1 x2 xn Dấu “=” xảy a = a = = a n 2.4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN 2.4.1 Phương pháp bất đẳng thức Giả sử cho hàm số f(x) xác định miền D a f(x) ≤ M f(x) ≥ m b Chỉ x = x0 thuộc D cho dấu đẳng thức xảy 2.4.2 Phương pháp miền giá trị hàm số Giả sử tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f (x) x ∈ D Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số xét miền cho Có nghĩa hệ phương trình sau có nghiệm: f(x) = y0 x∈D Tuỳ dạng hệ phương trình mà ta có điều kiện thích hợp Trong nhiều trường hợp điều kiện (sau rút gọn) đưa dạng m ≤ y0 ≤ M Vì y0 giá trị f(x) nên ta có: Min f(x) = m Max f(x) = M x∈D x∈D Tóm lại: Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cần chứng minh bất đẳng thức f(x) ≥ m f(x) ≤ m mà phải tìm tồn biến để xác định dấu bất đẳng thức Nếu biểu thức cho tổng nhiều biểu thức đại số chẳng hạn: A = B + C + D + Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ B, C, D phải chứng minh B đạt giá trị lớn nhất, nhỏ C, D đạt giá trị lớn nhất, nhỏ với giá trị biến ngược lại Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất biểu thức có ta thay điều kiện để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ điều kiện tương đương biểu thức khác đạt giá trị lớn nhất, nhỏ ngược lại Chẳng hạn: AMax(A > 0) ⇔ A BMax(B > 0) ⇔ B2max 2.5 NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP - Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − 2016 + 2017 − x [3] Giải Áp dụng bất đẳng thức: x + y ≤ x + y Dấu “=” xảy x, y dấu x y Suy ra: A = x − 2016 + 2017 − x ≥ x − 2016 + 2017 − x = MinA = (x - 2016)(2017 - x) ≥ ⇔ 2016 ≤ x ≤ 2017 Vậy minA = 2016 ≤ x ≤ 2017 - Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đa thức bậc hai Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức B = x2 – 10x + 26 [3] Giải Do B thoả mãn đẳng thức Nên phương trình x2 – 10x + 26 – B = có nghiệm Hay ∆’ = 100 – 4(26 – B) = 4B – ≥ ⇔ B ≥ Dấu “=” xảy ∆’ = ⇔ x = Do minB = x = - Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đa thức bậc cao Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ C = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + Giải 2 Ta thấy C = x – 6x + 9x + x – 6x + C = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 [2] x − 3x = ⇒ C ≥ 0, Dấu “=” xảy  ⇔x = x − = Vậy minC = x = - Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức Ví dụ: Tìm giá trị lớn phân thức D = Giải 12 12 4x + 4x + [1] 12 Ta thấy D = 4x + 4x + = ( 2x + 1) +3 Do (2x + 1)2 ≥ ⇒ (2x + 1)2 + ≥ ⇒D ≤ Dấu “=” xảy 2x + = ⇔ x = - Vậy maxD =4 x = - 2 - Dạng 5: Tìm cực trị biểu thức có chứa thức Ví dụ: Tìm giá trị lớn biểu thức E = x − + 12 − x [1] Giải Trước hết điều kiện xác định E ≤ x ≤ 12 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki ta có: E2 = (1 x − + 12 − x ) ≤ (12 + 12 )(x − + 12 − x) E2 ≤ 2.8 E2 ≤ 16 Do E > Nên E ≤ Dấu “=” xảy x − = 12 − x ⇔ x – = 12 – x ⇔ x = Thoả mãn điều kiện xác định Vậy maxE = x = - Dạng 6: Giá trị lớn nhất, nhỏ có điều kiện Ví dụ: Cho x, y ∈ R x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x + y [1] Giải Thật ∀x, y ∈ R ta có (x + y)2 + (x – y)2 = 2(x2 + y2) Theo giả thiết có x2 + y2 = ⇒ (x + y)2 + (x – y)2 = Do (x – y)2 ≥ x+y ≤2 ⇒ (x + y)2 ≤ ⇔ −2≤ x+y≤ ⇔ Dấu “=” xảy (x – y)2 = ⇔ x = y x2 + y2 = ⇔x = y = ± Vậy: max(x + y) = ⇔ x = y = min(x + y) = -2 ⇔ x = y = -1 - Dạng 7: Các toán tổng hợp Ví dụ 1: Giải phương trình x − + − x = x − 6x + 13 [1] Giải 2 Ta có VP = x – 6x + 13 = x – 6x + + = (x – 3)2 + ≥ Dấu xảy x = VT = x − + − x Điều kiện ≤ x ≤ Theo bất đẳng thức Bunhia côpxki VT2 = x − + − x ≤ 2(x – + – x) VT2 ≤ 16 Do VT > Nên VT ≤ Dấu “=” xảy x − = − x hay x = Vậy để VT = VP x = Do x = nghiệm phương trình cho ( ) Ví dụ 2: Cho x, y, z số dương có tổng không đổi Tìm x, y, z cho xy + yz + zx lớn [2] Giải Ta nhận thấy có (x – y) + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ ( x − y ) ≥ 0  ( ) y − z ≥ Vì Dấu xảy x = y = z   ( z − x ) ≥  Suy ra: 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2xy + 2yz + 2zx ⇒ x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx ⇒ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ≥ 3xy + 3yz + 3zx (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) Đặt x + y + z = a Ta có: a2 ≥ 3(xy + yz + zx) a ⇔ xy + yz + zx ≤ a a Do max(xy + yz+ xz) = ⇔x = y = z = 3 2.6 NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP 2.6.1 HS thường nhầm dấu giải phương trình bất phương trình (đặc biệt chiều bất đẳng thức) để tìm điều kiện ẩn theo yêu cầu dạng toán Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 3x + 3x − [4] Giải Áp dụng a + b ≤ a + b ta có B = 3x + 3x − ≥ 3x + − 3x ≥ 3x + − 3x = - Khả 1: Dấu “=” xảy ⇔ 3x(7 - 3x ) ≥ TH1: 3x ≥ - 3x ≥ ⇔ x ≥ x ≤ TH2: 3x ≤ - 3x ≤ ⇔ x ≤ x ≥ 7 - Khả 2: Bmin = ⇔ 3x(3x - ) ≥ 7 ⇔ x ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x ≥ x ≥ ⇔ x ≥ x ≤ x ≤ 3 Vậy: Bmin = ⇔ x ≥ x ≤ * Sai lầm cách giải chỗ nào, thật đơn giản - Khả 1: Đó chữ “hoặc” trình giải bất phương trình Đúng chữ “và” Khi kết là: Bmin = ⇔ ≤ x ≤ - Khả 2: Đó 3x(3x - ) ≥ mà 3x(7 - 3x ) ≥ Khi kết là: Bmin = ⇔ ≤ x ≤ Tóm lại: Sai lầm thường gặp dạng toán vận dụng sai kiến thức giá trị tuyệt đối Vì dạy dạng toán giáo viên cần hình thành cho học sinh nắm kiến thức giá trị tuyệt đối Ngoài cần nắm kiến thức khác có liên quan 2.6.2 Học sinh quan tâm đến điều kiện dấu xảy bất đẳng thức giải toán cực trị Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ B = x6 + 7x4 + 15x2+ [2] Giải Ta có: B = x + 7x + 15 x + = (x6 + 6x4 + 9x2) + (x4 + 6x2 + 9) = x2(x2 + 3)2 + (x2 + 3)2 = (x2 + 3)2(x2 + 1) ≥ Do B ≥ Dấu “=” xảy ⇔ (x2 + 1) = (x2 + 3)2 = Vậy Bmin = ⇔ (x2 + 1) = (x2 + 3)2 = * Sai lầm toán P = (x2 + 3)2(x2 + 1) ≥ Điều vô lí, x2 + ≥ (x2 + 3)2 ≥ Do P ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy Pmin = ⇔ x = Tóm lại: Khi giải dạng toán cần để ý đến điều kiện toán Đặc biệt sử dụng số bất đẳng thức ta phải hiểu chất Đó điều để hướng dẫn học sinh giải dạng toán Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: D = 9x + − 6x + + 6x + 9x [1] Giải 2 Ta thấy: 9x + - 6x = (3x - 1) ≥ với x ∈ R + 6x + 9x2 = (3x + 1)2 ≥ với x ∈ R Vậy D = (3x − 1) + (3x + 1) = 3x − + 3x + ≥ − 3x + x + = Dấu “=” xảy ⇔ (3x - 1)(3x + 1) ≥ ⇔ x ≥ Vậy MinD = ⇔ x ≥ 1 x ≤ - 3 1 x ≤ - 3 * Sai lầm HS toán HS làm tắt bước 3x − + 3x + = − 3x + 3x + nên dẫn đến việc tìm điều kiện biến sai Như vậy, kết phải là: Vậy MinD = ⇔ - 1 ≤ x ≤ 3 2.6.3 Học sinh thường quên điều kiện toán số toán cực trị có điều kiện x2 + 4x + Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ C = với x∈ R [1] x + 2x + Giải Gọi C0 giá trị tuỳ ý biểu thức C, ta có x2 + 4x + C0 = x + 2x + (1) Ta có: (1) ⇔ x2 + 4x + = C0x2 + 2C0 x + 3C0 ⇔ (C0 - )x2 + 2(C0 - )x + 3(C0 - 1) = (2) Phương trình (2) có nghiệm nếu: ∆' ≥ tức ∆' = - 2C20 + 2C0 +1 ≥ ⇔ − ≤ C0 ≤ + 2 Vậy: 1+ 1+ maxC0 = hay maxC = 2 1− 1− minC0 = hay minC = 2 * Sai lầm: Tuy toán có kết trình làm học sinh thường hay quên điều kiện để phân thức có nghĩa để biến đổi tương đương biểu thức, toán mẫu thức x + 2x + dương với x Hơn trình giải học sinh không xét hai trường hợp để điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Đó trường hợp C0 = trường hợp C0 ≠ Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ A = x4 - 8x2 + 18 với x nguyên dương Giải Ta có: A = x - 8x + 18 = x4 - 8x2 + 16 + = (x2 - 4)2 + ≥ Vì (x2 - 4)2 ≥ Do A ≥ Dấu “=” xảy ⇔ (x2 - 4)2 = ⇔ x = - x = Vậy Amin = ⇔ x = - x = * Sai lầm toán gì: Đó là: (x2 - 4)2 = ⇔ x = - x = Từ học sinh kết luận cụ thể cho toán sai để ý đến điều kiện x ta thấy ngay: Vì x nguyên dương nên (x2 - 4)2 = ⇔ x = Vậy A = x2 - 8x + 18 ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy Amin = ⇔ x = Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn (nếu có) biểu thức : a D= với a tham số khác [2] − x + x − 12 Giải a a a Ta có: D = = − = − ( x − 3) + − x + x − 12 x − x + 12 a Ta thấy: (x- 3)2 ≥ ⇔ (x- 3)2 + ≥ nên D ≥ - a Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy Dmin = - ⇔ x = Bài toán giá trị lớn * Sai lầm học sinh trường hợp gì: Đó việc học sinh không để ý đến dấu a nên dẫn đến dấu biểu thức thay đổi bất đẳng thức đổi chiều Vậy phải làm nào, ta cần xét a > a < a a Nếu a > ⇒ D ≥ - Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy Dmin = - ⇔ x = 3 a a Nếu a < ⇒ D ≤ - Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy Dmax = - ⇔ x = 3 Tóm lại: Đây dạng toán mà học sinh dễ gặp phải sai lầm, dạy dạng toán yêu cầu giáo viên phải hình thành cho học sinh bước quan trọng để giải Đặc biệt phải lưu ý cho học sinh dấu biểu thức phân số kiến thức việc xét dấu phương trình bậc hai,… Ví dụ 7: Tìm nghiệm dương phương trình: (1 + x − x2 −1 ) 2005 ( ) 2005 + 1+ x + x2 −1 Giải ⇔ ≥ ≥ ĐKXĐ: x – x x ≤ - Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: = 2006 [5] 10 (1 + x − x − 1) + (1 + x + x − 1) ⇔ (1 + x − x − ) + (1 + x + x − ) ⇔ (1 + x − x − ) + (1 + x + x − ) 2005 2005 2 2005 2005 2 ( ≥ + x − x − 2005 2005 ) (1 + x + 2005 x2 −1 ) 2005 ≥ (2 x + 2) 2005 ≥ 2006 Vì x ≥ 1, nên 2x + ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm là: x = * Sai lầm thiếu xót trường hợp gì: Thực chất, giải học sinh không để ý đến điều kiện toán x > 0, nên đưa ĐKXĐ chưa Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức côsi, học sinh không để ý đến điều kiện để sử dụng bất đẳng thức Cụ thể cần giải sau: ĐKXĐ: x − ≥ ⇔ x ≥ Khi ta thấy:  x > + x - x − > + x + x − > với x ≥ Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: (1 + x − x − 1) + (1 + x + x − 1) ⇔ (1 + x − x − ) + (1 + x + x − ) 2005 2005 2005 2 ( ≥ + x − x − 2005 ) (1 + x + 2005 x2 −1 ) 2005 ≥ (2 x + 2) 2005 Dấu “=” xảy ⇔ x = (1) Khi ta có: (1 + x − x2 −1 ) 2005 ( ) ( ) + 1+ x + x2 −1 2005 ≥ 2006 Vì x ≥ 1, nên 2x + ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = (2) 2005 2005 Từ (1) (2) ta có: + x − x − + 1+ x + x2 −1 ≥ 2006 Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm là: x = 2.6.4 Học sinh tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức A đánh giá biểu thức A ≤ B biểu thức B chứa biến Đặc biệt học sinh cộng bất đẳng thức không ý đến điều kiện dấu xảy đồng thời bất đẳng thức Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M = 4x2 + 5x3 + 8x + với x ≥ [2] Giải Ta có: M = (4x + 8x + ) + 5x = 4(x + 2x + 1) + 5x3 = 4(x + 1)2 + 5x3 ≥ 5x3 ≥ Vì x ≥ Vậy giá trị nhỏ biểu thức là: Mmin = ⇔ x = * Sai lầm thiếu xót trọng trường hợp gì: ta để ý đến việc điều kiện dấu ” =” xảy không đồng thời bất đẳng thức 4(x + 1) ≥ x ≥ Vì ta theo đường Cụ thể toán ta cần biến đổi đến: M = 4(x + 1)2 + 5x3 Khi x ≥ nên M ≥ 4.12 + 5.0 = Vậy Mmin = ⇔ x = * Tóm lại: Trên số dạng toán tìm cực trị đại số sai lầm mà học sinh thường gặp phải giải Do giảng dạy dạng toán ( ) 11 cần phải hình thành đường mòn cách giải lưu ý cho học sinh lỗi thường gặp Có kết tốt *Kết đạt Sau áp dụng đề tài vào đối tượng học sinh trường THCS Tân Ninh nhận thấy em hoàn thành tương đối tốt theo mong muốn dạng toán Cụ thể, sau áp dụng đến cuối đợt cho em thi thử với dạng đề sau: Câu 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 10y b) B = x2 + 6y2 + 14z2 - 8yz + 6xz - 4xy Câu 2: Cho x, y, z số thực thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = xy + yz + zx x2 − x +1 Câu 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = x − 2x + Câu 4: Giải phương trình: x − 12 x + 16 + y − y + 13 = Câu 5: Giải phương trình: x + y + z + = x − + y − + z − Chất lượng làm đạt kết sau: Số kiểm tra: 25 Số thu được: 25 - Lớp áp dụng: Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 16 10 40 28 16 0 Ghi Tổng số 25 - Lớp đối chứng Giỏi Khá TB Yếu Kém Ghi SL % SL % SL % SL % SL % Tổng số 25 0 12 36 13 52 0 Nhận xét kết quả: Kết học tập 7A, 9A tốt hẳn trình học tập hướng dẫn giáo viên em chủ động tiếp thu kiến thức cách tốt nhất, em phát kiến thức, đưa phương pháp giải, đặc biệt hạn chế tối đa sai lầm hay gặp trước thông qua việc thực tế làm lớp, có hệ thống tập vận dụng nhà giúp em nắm sâu, ghi nhớ lâu hơn, hào hứng học tập, chiếm lĩnh kiến thức Mặt khác áp dụng đề tài vào bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Tân Ninh cho kết tốt, toán tìm cực trị em giải thục hạn chế nhiều sai lầm 12 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN: Qua trình làm đề tài, cảm thấy Toán học chìa khoá để mở kho tàng kiến thức nhiều môn học khác Với nội dung giới thiệu “Những sai lầm học sinh cách khắc phục giải toán cực trị đại số THCS ” công cụ cần thiết để giải toán loại tốt Mỗi loại phương pháp có ưu riêng nó, chọn phương pháp để làm đòi hỏi phải có tính linh hoạt độ nhạy bén cao khả khai thác, phân tích đặc điểm, yếu tố tạo nên toán đó, đặc biệt không cẩn thận học sinh giải toán dạng Đây khả tự có người mà phải qua trình học hỏi rèn luyện kiên trì cộng với kiến thức vững làm Mục đích chuyên đề trang bị cho học sinh kiến thức, kỹ có đào sâu nâng cao rèn luyện tư toán học cho học sinh, theo phương pháp dạy học tích cực hoá hoạt động học sinh Tuy có nhiều cố gắng song chắn đề tài nhiều vấn đề chưa đề cập đến có nhiều thiếu xót Rất mong nhận góp ý đồng chí đọc giả để chuyên đề hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 3.2 KIẾN NGHỊ: Để việc giảng dạy loại toán “Tìm cực trị” dạng toán khác, thân thấy cần thiết phải mua thêm loại tài liệu liên quan nhằm phục vụ tốt cho việc giảng dạy chất lượng nâng cao cho học sinh Ngoài nhà trường cần có quan tâm vấn đề đào tạo học sinh mũi nhọn cách tạo điều kiện cho thân giáo viên có thời gian địa điểm nhiều trình giảng dạy nâng cao việc nâng cao chất lượng đại trà Mặt khác nhà trường cấp nên đấu mối nhiều việc nâng cao chất lượng mũi nhọn cách đấu mối để tìm cấp cho đơn vị loại tài liệu liên quan số đề thi có liên quan đến môn học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) GV: Nguyễn Nho Toan 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp - Nguyễn Đức Đồng ( Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội ) Các tài liệu tham khảo mạng Internet Kiến thức nâng cao Toán - Nguyễn Ngọc Đạm ( Nhà xuất Hà Nội ) Nâng cao phát triển Toán 7,8,9 - Vũ Hữu Bình ( Nhà xuất Giáo dục Việt Nam ) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2008-2009 Triệu Sơn 14 ... thấy Toán học chìa khoá để mở kho tàng kiến thức nhiều môn học khác Với nội dung giới thiệu Những sai lầm học sinh cách khắc phục giải toán cực trị đại số THCS ” công cụ cần thiết để giải toán. .. = * Tóm lại: Trên số dạng toán tìm cực trị đại số sai lầm mà học sinh thường gặp phải giải Do giảng dạy dạng toán ( ) 11 cần phải hình thành đường mòn cách giải lưu ý cho học sinh lỗi thường gặp... khoa học tự nhiên tương đối khó học sinh Đặc biệt môn Toán trường THCS có dạng toán “ Tìm cực trị xa lạ nhiều học sinh, nên em chưa hình thành phương pháp giải tổng quát cho số dạng Việc tìm cực