PHẦN I MỞ ĐẦU: I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong q trình giảng dạy nói chung việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh thi vào lớp 10 nói riêng việc định hướng, liên kết, mở rộng lật ngược toán vấn đề quan trọng, khơng giúp cho học sinh nắm bắt kiến thức dạng toán vững vàng, kĩ mà cịn nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố tốn để từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho em học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng lật ngược tốn khác nhau, tìm mối liên hệ chung chúng giúp cho học sinh hứng thú phát triển lực tự học cách khoa học học Toán Trong vận dụng kiến thức vào giải toán, đa số học sinh THCS biết vận dụng trực tiếp lí thuyết, hay tốn có sẵn cách giải Khi gặp tốn u cầu phải có kiến thức tổng hợp vận dụng linh hoạt lí thuyết để đưa cách giải học sinh thường gặp phải khó khăn Một toán thế, vận dụng kì thi đặc biệt thi vào lớp 10 THPT toán mối liên hệ hàm số y = ax + b y = ax2 sách giáo khoa lại không cung cấp phương pháp giải cụ thể Nhìn chung, phần đa số học sinh có khả tư tưởng tượng chưa tốt vất vả giải tốn, khơng định hướng cách giải trình bày khơng chặt chẽ, rõ ràng dẫn đến điểm Khi tìm hiểu việc học giải toán em học sinh THCS theo dõi đề thi vào lớp 10 THPT năm gần đây, tơi nhận thấy loại tốn mối liên hệ hàm số y = ax + b y = ax2 thường đề cập tới Vì tốn mà học sinh cần phải nắm vững để chuẩn bị tốt cho kì thi, đặc biệt thi vào lớp 10 THPT Qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh thấy đa số học sinh khơng biết tổng hợp kiến thức lí thuyết để làm mà chí có khác lời văn nội dung lại hồn giống với tốn cũ Đặc biệt toán đảo toán tổng quát học sinh thường khơng có kỹ nhận Chính vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận toán cũ, toán đảo, toán tổng quát…đồng thời góp phần vào việc đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực bồi dưỡng lực học Toán cho học sinh, rèn luyện khả sáng tạo học Tốn cho học sinh muốn góp phần vào công tác bồi dưỡng học sinh thi vào 10 trường THCS Quảng Tâm nói riêng học sinh tồn Thành phố nói chung Tơi xin trình bày đề tài: “Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải toán liên hệ hàm số y = ax + b y = ax2 ” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Cung cấp kiến thức phương pháp tự học cho học sinh học mơn Tốn - Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh Khơi dậy tính sáng tạo giải toán học sinh - Phát triển lực tự học, biết liên kết mở rộng tốn từ giúp em hình thành phương pháp giải - Giúp học sinh hứng thú học tập đặc biệt bồi dưỡng cho học sinh thi vào 10 III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Tại học sinh học xong kiến thức sách giáo khoa em lại áp dụng kiến thức học vào giải Toán hàm số Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động lực tự tổng hợp kiến thức học sinh IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tôi dùng phương pháp thu thập thông tin kết thi vào 10 THPT năm, thống kê số điểm tỉ lệ điểm năm để tìm nguyên nhân đưa giải pháp PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ: Đặc điểm lứa tuổi THCS muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động đồng thời phát triển lực tự học học sinh trình lâu dài, kiên nhẫn phải có phương pháp Tính tích cực, tự giác, chủ động lực tự học học sinh thể số mặt sau đây: -Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng dập khn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh - Phải có óc hồi nghi, ln đặt câu hỏi sao? Do đâu? Như nào? Liệu có trường hợp khơng? Các trường hợp khác kết luận có khơng? Và phải biết tổng hợp toán liên quan - Tính chủ động học sinh cịn thể chỗ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề biết Trong chương trình mơn Tốn lớp THCS, kiến thức hàm số phần học quan trọng, phần mà đề thi học kì tuyển sinh vào lớp 10 thường Đó tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Đa số học sinh giải tập đơn giản riêng rẽ Cụ thể như: Phần hàm số y = ax + b vẽ đồ thị, lập phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối hai đường thẳng Phần hàm số y = ax2 vẽ đồ thị hàm số, xác định hệ số a, xác định điểm thuộc đồ thị hàm số Đối với toán liên hệ hàm số y = ax + b y = ax học sinh THCS coi dạng tốn khó, chứa đựng kiến thức tổng hợp, đồng thời hàm chứa nhiều dạng tập hay Trong kì thi vào lớp 10 THPT kiến thức hàm số ln đóng vai trị quan trọng điểm số Song, học sinh lại hay điểm phần dễ nhầm lẫn khơng phân dạng toán để giải Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề nêu cách giải chung chưa phân dạng phương pháp giải cụ thể chưa tìm mối liên hệ chung dạng tập gây nhiều khó khăn việc giải tốn học sinh Vì việc nghiên cứu “Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải toán liên hệ hàm số y = ax + b y = ax ” thiết thực, nhằm giúp học sinh nắm vững nội dung xác định phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn, đặc biệt chất lượng tuyển sinh vào lớp 10 trường THCS II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Qua nhiều năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 tham khảo học hỏi đồng nghiệp nhà trường nhận rằng: - Học sinh học yếu mơn Tốn kiến thức cịn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư trình học tập - Học sinh làm tập dập khn, máy móc để từ làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Các em củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân khơng phát huy hết - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Nhiều học sinh hài lịng với lời giải mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác phát triển tốn, sáng tạo tốn nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán các luyện tập, tự chọn - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ toán với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, quan trọng nâng cao tư cho em làm cho em có hứng thú học Toán Đứng trước thực trạng trên, địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp có hiệu Và q trình giảng dạy Tốn 9, đứng trước toán liên hệ hàm số y = ax + b y = ax đa số học sinh nhiều lung túng mắc phải sai lầm Qua kinh nghiệm năm trực tiếp làm công tác giảng dạy nhận thấy học sinh mắc sai lầm nguyên nhân sau đây: Một là: Kiến thức hàm số học sinh hạn chế nên tiếp thu chậm, lúng túng từ khơng nắm kiến thức, kĩ Hai là: Đa số học sinh chưa có định hướng chung phương pháp giải, vận dụng khái niệm, tính chất để hình thành cách giải tốn Ba là: Học sinh khơng phân loại dạng toán nên làm toán thường bị lệch đề Bốn là: Đọc đề không kĩ, khả phân tích đề, tổng hợp đề cịn yếu, lượng thơng tin cần thiết để giải tốn cịn hạn chế Năm là: Chưa có thói quen định hướng cách giải cách khoa học trước giải toán Sáu là: Trình bày cẩu thả khơng theo phương pháp cụ thể Từ nguyên nhân số liệu thống kê khảo sát qua năm giảng dạy cho học sinh theo dõi thu kết cụ thể: Kết khảo sát chưa áp dụng đề tài lớp ôn thi vào lớp 10 THPT sau học mối liên hệ hàm số y = ax + b y = ax2 năm học 2012 – 2013: Điểm kiểm tra Lớp Sĩ số 0- b) (d) (P) tiếp xúc với phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = c) (d) (P) không giao phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ ∆ < + Chứng minh (d) (P) cắt; tiếp xúc; không cắt với giá trị tham số: Phương pháp: Ta phải chứng tỏ phương trình a'x2 = ax + b có: ∆ > với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức ∆ dạng: ∆ = ( A ± B) + m với m > đường thẳng cắt parabol ∆ = với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức ∆ dạng: ∆ = ( A ± B) đường thẳng cắt parabol ∆ đường thẳng khơng cắt parabol Phân dạng tốn phương pháp giải Dạng 1: Bài toán xác định toạ độ giao điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = f(x) parabol (P): y = g(x).Tìm tọa độ giao điểm chúng Trước yêu cầu toán đa số học sinh thường nghĩ tới việc vẽ đồ thị hai hàm số cho, sau xác định tọa độ giao điểm Với cách giải trên, học sinh gặp khó khăn vẽ đồ thị hàm số, dẫn đến vẽ khơng xác xác định giao điểm sai Khi giáo viên hướng dẫn học sinh xác định tọa độ giao điểm hai hàm số phép tính a Phương pháp giải Hoành độ giao điểm đường thẳng (d): y = f(x) parabol (P): y = g(x) (nếu có) nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (*) Giải phương trình (*) ta tìm hồnh độ giao điểm, thay vào phương trình đường thẳng (d): y = f(x) parabol (P): y = g(x) ta tìm tung độ từ suy tọa độ giao điểm Với phương pháp ta giải tốn tìm hồnh độ giao điểm ta giải xong phương trình (*) Ở giáo viên cần giải thích để học sinh hiểu tọa độ giao điểm cần xác định hoành độ tung độ b Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hàm số: (d) y = x + (P): y = 2x2 Tìm tọa độ giao điểm chúng Giải: Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) y = x + parabol (P): y = 2x2 nghiệm phương trình: 2x2 = x + ⇔ 2x2 - x – = (*) Giải phương trình (*) ta x =1 x= − Thay x = thay vào y = x + ta có y = suy A (1; 2) 1 1 thay vào y = x + ta có y = suy B( − ; ) 2 2 1 Vậy hai đồ thị hàm số cắt hai điểm A(1; 2) B( − ; ) 2 Thay x = − Nếu đề u cầu tìm hồnh độ giao điểm giải phương trình (*) ta x =1 x= − Như với toán mấu chốt vấn đề ta xác định phương trình hồnh độ giao điểm Ví dụ 2: Chứng tỏ Parabol (P) y = - 4x2 tiếp xúc với đường thẳng (d) : y = 4mx + m2 m thay đổi Giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P) = - 4x với đường thẳng (d) : y = 4mx + m2 nghiệm phương trình: - 4x2 = 4mx + m2 ⇔ 4x2 + 4mx + m2 = ∆ = b2 - 4ac = (4m)2 - 4.4.m2 = 16m2 - 16m2 =0∀m Phương trình có nghiệm kép Do Parabol (P) ln tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 4mx + m2 m thay đổi x2 Ví dụ 3: Cho parabol y = đường thẳng y = mx + n 1) Xác định hệ số m, n để đường thẳng qua điểm A(- 1; -2) tiếp xúc với parabol 2) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng parabol với giá trị m, n tìm câu Giải: 1) Đường thẳng y = mx + n qua điểm qua điểm A(- 1; -2) nên: f(x) = x2 suy n = m - Phương trình đường thẳng có dạng y = mx + (m-2) Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol phương trình: x2 = mx + (m-2) (1)có nghiệm kép Biến đổi (1) ta x2 - 4mx - 4(m-2) = (2) Điều kiện để (1) (cũng có nghĩa (2)) có nghiệm kép là: ∆ ' = 4m2 + 4m - = ⇔ m2 + m - = ⇔ (m+2)(m1) = ⇔ m = - m = Vậy hệ số m, n cần tìm m = - 2, n = - 2) Với m = -2, phương trình đường thẳng y = -2x - Phương trình (2) trở thành x2 + 8x + 16 = 0, nghiệm kép x = - Tọa độ tiếp điểm (-4; 4) Với m = 1, phương trình đường thẳng y = x - Phương trình (2) trở thành x2 - 4x +4 = 0, nghiệm kép x = 2.Tọa độ tiếp điểm (2; 1) Ví dụ 4: Cho Parabol (P) y = x2 cắt đường thẳng (D): y = 2(m+1)x - m2 - Tim m để: a) (D) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (D) tiếp xúc với (P) c) (D) khơng cắt (P) Giải: Hồnh độ giao điểm Parabol (P) y = x với đường thẳng (D) y = 2(m+1)x - m2 - nghiệm phương trình: x2 = 2(m+1)x - m2 - ⇔ x2 - 2(m+1)x + m2 + = (1) ∆ ' = b'2 - ac = [(m + 1)]2 – (m2 + 9) = m2 + 2m +1 – m2 – = 2m – a) (D) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' > ⇔ 2m – > ⇔ 2m > ⇔m > Vậy với m > (D) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (D) tiếp xúc với (P) ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆' = ⇔ 2m – = ⇔ 2m = ⇔ m=4 Vậy với m = D tiếp xúc với (P) c) (D) khơng cắt (P) ⇔ phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ ∆' < ⇔ 2m – < ⇔ 2m < ⇔m < Vậy với m < (D) khơng cắt (P) c Bài tập vận dụng Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số: y = x2 y = - x + Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số Bài 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) đường thẳng (d): y = x + a) Vẽ ( P ) ( d ) hệ toạ độ Oxy b) Bằng phép tính tìm toạ độ giao điểm ( P ) ( d ) Dạng 2: Bài tốn tìm điều kiện Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = f(x) parabol (P): y = g(x) Tìm điều kiện để : a (d) (P) khơng có điểm chung b (d) tiếp xúc (P) c (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Muốn tìm giao điểm đường thẳng (d): y = f(x) parabol (P): y = g(x) ta cần biết hoành độ điểm chung, sở ta xây dựng phương pháp giải: a Phương pháp giải Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (I) - Nếu đường thẳng (d) parabol (P) khơng có điểm chung phương trình (I) vơ nghiệm tương đương với ∆ < - Nếu đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) phương trình (I) có nghiệm kép tương đương với ∆ = - Nếu đường thẳng (d) cắt parabol (P) phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt tương đương với ∆ > b Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x + m (m tham số) parabol (P): y = - x Tìm điều kiện m để: a (d) (P) khơng có điểm chung b (d) tiếp xúc với (P) c (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: - x = 2x + m ⇔ x2 + 4x + 2m = (1) a (d) (P) khơng có điểm chung phương trình (1) vơ nghiệm tức là: ∆′ < ⇔ – 2m < ⇔ m > Vậy với m > đường thẳng (d) parabol (P) khơng có điểm chung b (d) (P) tiếp xúc chi phương trình (1) có nghiệm kép tức là: ⇔ – 2m = ⇔ m = ∆′ = Vậy với m = đường thẳng (d) parabol (P) tiếp xúc c (d) (P) cắt hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tức là: ∆′ > ⇔ – 2m > ⇔ m < Vậy với m < đường thẳng (d) parabol (P) cắt hai điểm phân biệt Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2mx - (m tham số) parabol (P): y = x2 Tìm điều kiện m để: a (D) (P) khơng có điểm chung b (D) tiếp xúc (P) c (D) cắt (P) hai điểm phân biệt Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 = 2mx - ⇔ x2 - 2mx + = (2) a (d) (P) khơng có điểm chung phương trình (2) vơ nghiệm tức là: ∆′ < ⇔ m2 – < ⇔ - < m < Vậy với - < m < đường thẳng (d) parabol (P) khơng có điểm chung b (d) (P) tiếp xúc phương trình (2) có nghiệm kép tức là: ∆′ = ⇔ m2 – = ⇔ m = m = -2 Vậy với m = m = -2 đường thẳng (d) parabol (P) tiếp xúc c (d) (P) cắt hai điểm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt tức là: ∆′ > ⇔ m2 – > ⇔ m > m < - Vậy với m > m < - đường thẳng (d) parabol (P) cắt hai điểm phân biệt Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2ax + Parabol (P): y = - 2x2 Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = Trong toán ta thấy xuất biểu thức đối xứng sử dụng cách giải vận dụng định lí Viét ta giải tốn cách dễ dàng Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: - 2x2 = 2ax + ⇔ 2x2 + 2ax + = (*) (d) (P) cắt hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt tức là: ∆′ > ⇔ a2 – > ⇔ a > a < - Với điều kiện phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2  x1 + x2 = −a  Áp dụng định lí Viét ta có :   x1.x = Theo đề bài: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 +4(x1 + x2) = (2) Thay (1) vào (2) ta có: a2 – 4a – = ⇔ a = + a = 2- Đối chiếu điều kiện a = + thỏa mãn yêu cầu toán c Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = 2x + m (m tham số) Tìm điều kiện m để: a (d) (P) khơng có điểm chung b (d) tiếp xúc (P) c (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (2- m)x+m2 +1 (m tham số) Tìm điều kiện m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho xA2 + xB2 = Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = − x2 đường thẳng (d): y = kx- k - Tìm điều kiện m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = mx – (m tham số) parabol (P) : y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x1 − x2 = Dạng 3: Bài toán chứng minh a Phương pháp giải: 10 Vẫn sử dụng phương pháp hoành độ giao điểm (d) (P) ta giải tốn chứng minh vị trí tương đối đường thẳng (d): y = f(x) parabol (P): y = g(x) b Ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = - 4x2 đường thẳng (d): y = 4mx + m2 (m tham số) Khi m thay đổi chứng minh parabol (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: - 4x2 = 4mx + m2 ⇔ 4x2 + 4mx + m2 = (*) Ta có: ∆′ = (2m)2 – 4m2 ∆′ = với m Do ∆′ = với m phương trình (*) có nghiệm kép Vậy parabol (P): y = - 4x tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 m thay đổi Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + (m tham số) Chứng minh parabol (P) đường thẳng (d) ln có điểm chung m thay đổi Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 = 2(m – 1)x – 2m + ⇔ x2 - 2(m – 1)x +2m - = (*) Ta có: ∆′ = [-(m- 1)]2 – (2m - 3) ∆′ = m2 – 4m + ∆′ = (m- 2)2 ≥ với m Do ∆′ ≥ với m phương trình (*) ln có nghiệm.Vậy parabol (P): y = x ln có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + m thay đổi Bài tốn chứng minh cịn mở rộng đến tính chất, vị trí giao điểm mặt phẳng sau: Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 3x2 đường thẳng (d): y = 5x- Chứng minh parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm nằm phía trục tung Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: 3x2 = 5x – ⇔ 3x2 - 5x +2 = (*) Ta có: a + b + c = +(-5) +2 = c a Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2 = = Ta nhận thấy x1 x2 dương nên hoành độ giao điểm dương Do giao điểm chúng nằm phía trục tung 11 c Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng (d): y = 2x- 2014 Chứng minh parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm nằm hai phía trục tung Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 điểm D(0;1) a Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm D(0;1) có hệ số góc k b Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt G H với k c Gọi hoành độ hai điểm G H x1 x2.Chứng minh rằng: x1.x2 = -1, từ suy tam giác GOH tam giác vng Ở tốn điểm chung để giải dựa vào phương trình hồnh độ giao điểm Từ phương trình hồnh độ giao điểm học sinh xác định rõ yêu cầu tốn để có cách giải hợp lí Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến parabol đường thẳng Vẫn sử dụng phương trình hồnh độ giao điểm khai thác điều kiện đường thẳng tiếp xúc với parabol ta lập phương trình tiếp tuyến a Phương pháp giải Bài tốn : Lập phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k tiếp xúc với parabol (P): y = f(x) Giải: Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = kx + b Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: f(x) = kx + b (1) Vì (d) tiếp xúc với (P) nên (1) có nghiệm kép.Từ điều kiện này, ta tìm b Suy phương trình đường thẳng (d) b Ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ): y = 2x tiếp xúc với (P) Giải: Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b Vì (d) // ( ∆ ) nên a = Suy phương trình đường thẳng (d): y = 2x + b Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 = 2x + b ⇔ x2 – 2x – b = Do (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình (1) có nghiệm kép tức là: ∆′ = ⇔1+b=0 ⇔ b = -1 Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 2x - Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A( xA , x B ) tiếp xúc với parabol (P): y = f(x) Giải: Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b Hồnh độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: f(x) = ax + b (2) 12 Vì (d) tiếp xúc với (P) nên (2) có nghiệm kép.Từ điều kiện ta tìm hệ thức a b (3) Mặt khác (d) qua A( xA , x B ) ta có: yA = axA + b (4) Kết hợp (3) (4) ta tìm a b từ suy phương trình đường thẳng (d) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x Lập phương trình đường thẳng(d) qua điểm A( 1,0) tiếp xúc với (P) Giải: Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b Hồnh độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 = ax + b ⇔ x2 – ax – b = (2) Do (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình (2) có nghiệm kép tức là: ∆ = ⇔ a2 + 4b = (3) (d) qua A(1,0) nên ta có a + b = (4) a + b = Kết hợp (2) (3) ta có hệ phương trình:  (4) (3)  a + 4b = Từ (4) suy ra: b = - a thay vào (3) ta có: a2 – 4a = ⇔ a = a = Với a = ⇒ b = Phương trình đường thẳng (d) là: y = Với a = ⇒ b = - Phương trình đường thẳng (d) là: y = 4x - c Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số (P): y=x hai điểm A(0;1) ; B(1;3) a Viết phương trình đường thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) cho b Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) c Viết phương trình đường thẳng (d1)vng góc với AB tiếp xúc với (P) Bài Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 điểm A(-1;2) Bài Cho (P) y=x2 lập phương trình đường thẳng qua A(1;0) tiếp xúc với (P) Bi Cho (P) y = x đờng thẳng (d) y=a.x+b Xác định a b để đờng thẳng (d) qua điểm A(-1;0) tiếp xúc víi (P) 13 IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Sau hai năm áp dụng đề tài “Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải toán liên hệ hàm số y = ax + b y = ax ,cho học sinh lớp ôn thi vào lớp 10 THPT kết nâng lên Cụ thể: Năm học 2013 – 2014 Điểm kiểm tra Lớp Sĩ số 9A 32 9B 30 Năm học 2014 – 2015 0-