SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 QUA CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực hiện: Chức vụ: SKKN môn: Trịnh Thị Thu Huyền Giáo viên Tốn học THANH HĨA NĂM 2016 MỤC LỤC Mục lục trang 1- Mở đầu trang 2- Nội dung .…………………………… trang 2.1 - Cơ sở lý luận ………………………………… trang 2.2 - Thực trạng vấn đề .……………………… trang 2.3- Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề … trang 2.4 - Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……… trang 17 3- Kết luận, kiến nghị………………………… trang 17 Tài liệu tham khảo……………………………………… trang 19 1–MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT phần hình học khơng gian phần kiến thức khó nhiều học sinh.Hơn cấu trúc đề thi trung học phổ thơng quốc gia câu hình học khơng gian bắt buộc thường có ý tính thể tích khối đa diện khoảng cách Để làm tốn hình khơng gian địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức bản, vận dụng tổng hợp kiến thức hình khơng gian hình học phẳng kết, hợp thao tác cụ thể để dựng hình, tính tốn Có nhiều tốn cần vận dụng bước theo lý thuyết ta đến kết quả, có nhiều tốn để dựng hình theo lý thuyết khó khăn dựng tính tốn q phức tạp Khi buộc học sinh phải tìm đường khác để giải quyết.Cụ thể vấn đề tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách số toán học sinh tỏ lúng túng việc xác định đường cao đa diện diện tích đáy xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng Học sinh buộc phải tính thể tích xác định khoảng cách thơng qua thể tích khối đa diện khác tính thể tích cách dễ dàng Qua tập học sinh tự hình thành cho tư tốn học, thói quen đào sâu suy nghĩ, ln tìm tịi, phát cách mẻ để giải cơng việc Lâu q trình dạy tơi đồng nghiệp khác có dạy học sinh toán loại dạy xen kẽ không trọng đến nên học sinh khơng quan tâm nhiều đến hiệu nó.Trước tình hình với q trình giảng dạy nghiên cứu, tơi thử giải tốn tính thể tích khối đa diện phương pháp tỉ số thể tích thấy có hiệu cho lời giải ngắn gọn nhiều; học sinh cần kiến thức hình học khơng gian lớp 11 làm Với suy nghĩ nhằm giúp em tìm tịi, phát tạo hứng thú q trình học mơn Tốn góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, trang bị đầy đủ kiến thức hình học khơng gian, tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển tư cho học sinh lớp 12 qua toán ứng dụng tỉ số thể tích hình học khơng gian” 1.2.Mục đích nghiên cứu : Đề tài góp phần trang bị đầy đủ kiến thức hình học khơng gian đồng thời phát triển tư cho học sinh : tư sáng tạo, tư phân tích, tổng hợp, tư trừ tượng, thói quen đặt câu hỏi ngược giải vấn đề, nhìn nhận vấn đề nhiều góc cạnh từ tìm phương án nhanh gọn để giải hiệu Những yếu tố cần thiết đường thành công học sinh tương lai 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần tính thể tích khối đa diện khoảng cách chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trên sở lý thuyết sách giáo khoa, trước toán tính thể tích khối đa diện khoảng cách hình học khơng gian tơi hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi cho tốn tính theo cách làm thơng thường khơng, làm cách giải có q khăn khơng.Từ học sinh tự tìm đường khác để giải tốn sở yếu tố giải đơn giản.Thơng qua hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi mở vấn đề đến cách giải học, sinh tự tìm cách làm tốn kiến thức trang bị Để học sinh tiếp cận vấn đề chia dạng thành dạng, hệ thống ví dụ từ dễ đến khó, trước giải ví dụ có câu hỏi gợi mở phân tích để hướng học sinh tới suy nghĩ tìm giải quyết.Sau ví dụ có lời giải tập tham khảo để học sinh tự luyện tập – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Để thực đề tài cần dựa kiến thức sau: Bài toán 1: (Bài sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác điểm S CMR: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Giải: Gọi H H’ hình chiếu vng góc A A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ thuộc hai mp (AA’H’H) (SBC) nên chúng thẳng hàng Xét ∆ SAH ta có A A' VS A ' B ' C ' VS ABC B' B H H' SA ' A ' H ' = (*) SA AH Do : (1) S C' C A ' H '.S ∆SB ' C ' · ' SC ' A ' H ' SB '.SC '.sin B = = (**) · AH SB SC sin BSC AH S ∆SBC Từ (*) (**) ta đpcm Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’ ≡ B C’ ≡ C ta VS A ' B ' C ' SA ' = VS ABC SA (1’) Ta lại có VS ABC = VS A ' BC + VA ' ABC SA ' VS ABC + VA ' ABC SA SA ' A ' A = 1− = SA SA VA ' ABC A ' A = Vậy: VS ABC SA (1') ⇒ VS ABC = ⇒ VA ' ABC VS ABC (2) *Nhận xét: 1, Ta chứng minh cơng thức (1’) cơng thức tính thể tích : Gọi H, H’ hình chiếu vng góc hình chiếu vng góc của S ’ A1 lên mp(ABC) Khi A,H,H thẳng hàng SH // A1 H Do 3 mà VSABC = SH S ABC ; V A ABC = A ' H S ABC Từ ta có : ' A' H ' A' A = SH SA VA ' ABC A ' A = VS ABC SA 2, Công thức (1) dùng cho hình chóp tam giác.Các khối chóp khác muốn sử dụng cơng thức phải phân chia thành khối chóp tam giác Tổng qt hố cơng thức (2) ta có tốn sau đây: Bài tốn 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy đa giác lồi A 1A2…An ( n ≥ 3) , đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ khơng trùng với A1 Khi ta có VA1 ' A1 A2 An VS A1 A2 An = A1 ' A1 SA1 (2’) Chứng minh (2’) theo cách tương tự (bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành khối chóp tam giác áp dụng công thức (2) sử dụng cách xác định đường cao cơng thức tính thể tích hìnhchóp ) Bài tốn (Phân chia khối đa diện SGK Hình học lớp 12): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Tính tỉ số thể tích khối chóp A’.ABC khối chóp A’.BCC’B’ với thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải : Giả sử đường cao khối lăng trụ h *Theo cơng thức tình thể tích ta có : V ABC A' B 'C = ' = S ABC h ; V A' ABC = V ' S ABC h ' A ABC = Do V ABC A B C *Ta có ' ' ' V A' BCC ' B ' = 2V A' BB 'C ' = 2V B A' B 'C ' = V ABC A' B 'C ' * Một số công thức cần sử dụng: -Công thức hệ thức lượng tam giác vng,cơng thức xác định đường cao,cơng thức hình chiếu -Cơng thức xác định đường cao hình chóp thơng qua cơng thức thể tích: d ( S , ( ABC )) = 3VS ABC S ABC 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp ụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Quảng Xương trường dày truyền thống dạy học.Nhiều năm qua trường ln dẫn đầu thành tích học sinh giỏi xếp tốp đầu kỳ thi Đại học –Cao đẳng tỉnh Dưới lãnh đạo Ban giám hiệu, đội ngũ giáo viên ln trăn trở tìm tịi, đổi phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh Nhà trương khơng trọng truyền thụ tri thức mà cịn phát triển tư cho học sinh thông qua học, làm hành trang vững cho em bước vào tương lai.Tuy nhiên mơn học hình học khơng gian mơn học khó đại đa số học sinh đặc biệt học sinh trung bình yếu.Khi giải tốn hình học khơng gian,nếu tiến hành theo bước khơng tâm lý học sinh thường nản bỏ qua Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài ba lớp trực tiếp giảng dạy năm học 2015-2016 : 12T4,12T5,12C3 trường THPT Quảng Xương 1, kết sau: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải trước thực đề tài 12T4 48 15 2015-2016 12T5 42 11 12C3 44 Đứng trước thực trạng tên nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức SGK Song song với việc cung cấp tri thức trọng rèn rũa kỹ giải toán,phát triển tư cho học sinh để sở học sinh không học tốt phần mà làm tảng cho phần kiến thức khác 2.3.Các biện pháp tiến hành giải vấn đề Để tính thể tích khối đa diện chia khối đa diện thành khối đa diện biết cơng thức tính ( Khối lăng trụ V = B.h , Khối chóp V = B.h , Khối hộp chữ nhật V = abc , …) cộng kết lại Tuy nhiên nhiều trường hợp, việc tính thể tính khối lăng trụ khối chóp theo cơng thức lại gặp khó khăn khơng xác định đường cao hay diện tích đáy, học sinh tự đặt câu hỏi đỉnh hình đa diện cần tính có xác định khơng (tính theo tỉ lệ độ dài so với cạnh biết) chuyển việc tính thể tích khối việc tính thể tích khối biết thơng qua tỉ số thể tích hai khối Sau ta xét số dạng toán ứng dụng tỉ số thể tích, dạng tơi đưa số tốn ví dụ minh hoạ, sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi lựa chọn cách giải ngắn gọn DẠNG 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN *Mục đích dạng giúp học sinh tìm tỉ lệ thể tích khối đa diện cần tính với thể tích khối đa diện biết thể tích Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = a , đáy ABC tam giác vuông B AB = a; BC = 2a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SC, M trung điểm SB Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AMH S.ABC * Câu hỏi gợi mở: Theo giả thiết tính tỉ số SH SM khơng?Có SC SC thể áp dụng trực tiếp cơng thức (1) chưa? Giải : Tam giác ABC vuông B nên AC = AB + BC = a Tam giác SAC vuông A nên SC = SA + AC = a Tam giác SAC vng S nên ta có SH SC = SA ⇒ SH = SA a2 a = = SC a 6 SH = SC VS AMH SA SM SH 1 = = = Vậy V SA SB SC 12 S ABC Do Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) đáy ABCD hình chữ nhật AB = a ; AD = 2a ; SA = 2a Mặt phẳng (α ) qua A vng góc với SC cắt SB,SC,SD B’,C’, D’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp chia mp (α ) *Câu hỏi gợi mở: -Hai khối đa diện phân chia có phải khối chóp đa giác khơng? -Phân chia khối chóp tứ giác để áp dụng tốn tỉ lệ -Tỉ lệ đoạn thẳng chia cạn bên có xác định khơng? Giải: Ta có: AB ' ⊥ SC ; BC ⊥ AB ' (vì BC ⊥ ( SAB)) ⇒ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SB Tương tự AD ' ⊥ SC Do ABCD AC = nhật nên hình chữ Tam giác SAC tam giác vng nên AB + AD = a 2 SC = SA + AC = 3a ⇒ SC ' SC = SA ⇒ SC ' = SA 4a = SC Tam A giác SAB vuông SB = SA + AB = a ⇒ SB ' SB = SA ⇒ SB ' = nên SA 4a = SB Tam giác SAD vuông A nên SA 2a SD = SA + AD = 2a ⇒ AD SD = SA ⇒ SD = = SB Ta có VS AB 'C ' D ' = VS AB 'C ' + VS AC ' D ' 2 Mặt khác VS AC ' D ' VS ACD Vậy = ' VS AB 'C ' VS ABC = ' VS AB 'C ' SA SB ' SC ' 4 16 = = = mà VS ABC = VS ABCD ⇒ SA SB SC 45 VS ABCD 45 VS AC ' D ' SA SD ' SC ' = = = mà VS ACD = VS ABCD ⇒ SA SD SC 9 VS ABCD VS AB 'C ' D ' VS ABCD = 13 + = 45 45 Ví dụ 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp chia mp(AB’D’) Giải: Gọi O giao điểm AC BD I giao điểm SO B’D’ Khi AI cắt SC C’ Ta có S C' B' I A B O D' O' D C VS AB ' C ' SB ' SC ' SC ' = = ; VS ABC SB SC SC VS AC ' D ' SC ' SD ' SC ' = = VS ACD SC SD SC SC ' SC ' VS AB ' C ' + VS AC ' D ' = (VS ABC + VS ACD ) = VS ABCD Suy SC SC Kẻ OO’//AC’ ( O ' ∈ SC ) Do tính chất đương thẳng song song cách nên ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 Do VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD hay VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi M trung điểm CC ' ,I giao điểm B ' M BC ' Tính tỉ số thể tích tứ diện A ’ABI thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' *Câu hỏi gợi mở: -Vị trí điểm I có đặc biệt.Có thể xác định vị trí so với điểm biết khơng? -Tứ diện A’ABI đưa hình chóp tam giác với đỉnh cho phù hợp? -Mối quan hệ mặt đáy với mặt hình lăng trụ?Thiết lập mối quan hệ với thể tích tứ diện với thể tích khối chóp tính theo tỉ lệ Giải : C 'I C 'M IB = = ⇒ ' = Vì BB // CC nên ' IB BB CB ' ' Ta có 2 V A' ÂBI = V I A' ÂB = V I A' BB ' = VC A' BB ' = V B A' B 'C ' = V ABC A' B 'C ' 3 3 = V ABC A' B 'C ' V A' ABI = Vậy V ABC A' B 'C ' * Bài tập tham khảo: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC tam giác có trực tâm H cạnh a Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, BC, CA M, N, P trung điểm đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích hai khối chóp H.MNP S.ABC Từ tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS: VH MNP = VS ABC 32 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng ( α ) qua AB cắt SC, SD M N Tính SM để mặt phẳng ( α ) chia SC hình chóp thành hai phần tích ĐS: SM −1 = SC DẠNG 2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, DA = 2a DA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng DB DC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a *Câu hỏi gợi mở: Dựa vào giả thiết ta tính diện tích hình chóp D.AMN khơng? -Xác định đường cao DH hình chóp D.AMN tính diện tích tam giác AMN khó khăn khơng có sẵn yếu tố vng góc -Vì nên dùng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp D.AMN thơng qua thể tích khối chóp D.ABC Giải: 10 Ta có VDAMN DM DN = VDABC DB DC AM AN đường cao tam giác vuông DAB DAC nên ta có : D _ DM DA2 4a DM = = = 4⇒ = MB AB a DB DN = Tương tự DC 4 16 Do VD.AMN = VD.ABC = VD.ABC 5 25 Suy VA.BCMN = VD.ABC 25 a a3 = Mà VD.ABC = 2a 3a 3 Vậy VA.BCMN = 50 N _ _a _M _A a _ _C a _ a _ B _ Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có, SA ⊥ ( ABCD) , SA = 2a ; đáy ABCD ∧ hình thoi cạnh a, BAD = 120 Gọi I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD cắt SB, SC, SD M,N,P Tính thể tích hình chóp S.MNPI *Câu hỏi gợi mở: -Dựng điểm M,N,P theo giả thiết tốn sử dụng quan hệ song song -Ta dựng đường cao SH khối chóp S.AMNP khơng?(Ta dựng có MP//BD mà BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ SC ⇒ MP ⊥ SA, MP ⊥ SI ;kẻ SH ⊥ AI ⇒ SH ⊥ ( AMNI ) -Ta tính SH diện tích tứ giác AMNI khơng?(Có thể tính tốn pức tạp) -Nhận thấy điểm M,N,P,I nằm cạnh bên hình chóp xác định tỉ lệ chia đoạn thẳng đó.Vậy ta giả toán theo cách dùng tỉ lệ để đơn giản toán Giải: Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng qua A song song với BD cắt BC CD E F.Ta có IM ∩ SD = N , IF ∩ SB = N Vì N trọng tâm tam giác SCD M trọng tâm tam giác SCE nên Khi VSAMNI = VS AMI + VSANI SM SN = = SB SD 11 V SM SI 1 S AMI = = = ⇒ VS AMI = VS ABCD Mà V SB SC 3 S ABC VS ANI SN SI 1 = = = ⇒ VS ANI = VS ABCD VS ADC SD SC 3 1 2a 3 Vậy VSAMNI = VS ABCD Mặt khác VS ABCD = SA.S ABCD = 2a.a.2a sin 120 = Vậy VS AMNI = 2a 3 3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a *Câu hỏi gợi mở : -Chọn đỉnh phù hợp để xác định đường cao tứ diện ANIM (Chọn đỉnh N) -Bài tốn xác định đường cao hình chópN.AIM khơng?(Có thể d ( N , ( ABCD)) = d ( S , ( ABCD)) -Diện tích tam giác AIM khơng?(Xác định dược tam giác cạnh tính theo tỉ lệ độ dài tam giác ABM mà S ABM = S ABCD ) Tuy nhiên ta xét toán cách tính tỉ số thể tích sau: Giải: C tam giác ABD, Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm S AI AI = ⇒ = AO AC VAIMN AI AM 1 = = = nên VACDN AC AD VACDN NC = = Mặt khác VACDS SC VAIMN = Từ (1) (2) suy VACDS 12 Mà a (1) a (2) 1 a 2a a VSACD = SA.S ∆ACD = a = 3 A N I Ma D O C B Vậy VAIMN = a3 VSACD = 12 72 (đvtt) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc 12 đoạn thẳng AC cho AH = AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a *Câu hỏi gợi mở: -Dựa vào giả thiết ta tính diện tích hình chóp S.MBC khơng ? -Xác định đường cao SK hình chóp S.MBC dùng kỹ thuật xác định chân đường vng góc S lên (MBC) tính diện tích tam giác MBC khó khăn(có thể tính độ dài cạnh sử dụng cơng thức Hê-rơng ) khơng có sẵn yếu tố vng góc -Vì nên dùng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp S.MBC thơng qua thể tích khối chóp S.ABCD để có cách giải đơn giản nhiều Giải: Từ giả thiết ta tính a a 14 3a ; SH = ; CH = 4 ⇒ SC = a ⇒ SC = AC AH = Do tam giác SAC cân C nên M trung điểm SA V SM 1 S MBC = = ⇒ VS MBC = VS ABC Ta có V SA 2 S ABC 1 a a 14 a 14 VS ABC = SH S ∆ABC = = 48 Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có góc đường thẳng A ' C ∧ mặt phẳng ( ABC ) 600, AB = a ; AC = 2a BAC = 120 Gọi M trung điểm CC ' ,I giao điểm B ' M BC ' Tính thể tích tứ diện A’ABI *Câu hỏi gợi mở: Tứ diện A’ABI có xác định trục tiếp đường cao diện tíc đáy khơng? -Câu trả lời khó khăn đặc biệt hình lăng trụ -Quan sát tìm xem vị trí điểm I có đặc biệt.Có thể xác định vị trí so với điểm biết khơng? -Tứ diện A’ABI đưa hình chóp tam giác với đỉnh cho phù hợp? -Mối quan hệ mặt đáy với mặt hình lăng trụ?Thiết lập mối quan hệ với thể tích tứ diện với thể tích khối chóp tính theo tỉ lệ Giải: Hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABC) A nên ∧ ( A ' C , ( ABC ) = ( A ' C , AC ) = A ' CA = 60 Do A ' A = AC tan 60 = 2a 13 Vì ABC A ' B ' C ' hình lăng trụ đứng nên thể tích hình lăng trụ : V = A ' A.S ABC = 2a AB AC sin 120 = 3a theo Ví dụ dạng ta có : V A' ABI V ABC A' B 'C ' = 2 2a ⇒ V A' ÂBI = V ABC A'' B 'C ' = 3a = 9 * Bài tập tham khảo: · · Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có ·ABC = BAD = 900 , CAD = 1200 , AB = a, AC = 2a, AD = 3a Tính thể tích tứ diện ABCD ĐS: VABCD a3 = Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB SD Mp(AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a ĐS: VS AB ' C ' D ' 16a = 45 Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh Gọi M, P trung điểm SA SC, mp(DMP) cắt SB N Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP ĐS: VS DMNP a3 = 36 Bài 4: (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a ĐS: VABC A ' B 'C ' = 7a 3a 3 R = 12 DẠNG 3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH Việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khó khăn xác định chân đường cao Khó khăn khắc phục ta tính khoảng cách thơng qua thể tích khối đa diện, mà khoảng cách độ dài đường cao khối đa diện Sau ta xét số ví dụ minh hoạ, trước tốn học sinh tự đặt câu hỏi:” Với điều kiện tốn việc dựng chân đường vng góc điểm cho xuống mặt phẳng có thực hiên khơng? 14 Nếu khó khăn hoặ c qua phức tạp dùng cơng thức ngược thơng qua tỉ số thể thể tích khơng?Xác định khối chóp cần tính thể tích.” Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến D mp(BCD) Giải: Ta có AB2 + AC2 = BC2 ⇒ AB ⊥ AC I Do VABCD = AB AC AD = 8cm Mặt khác CD = , BD = BC = Nên ∆BCD cân B, gọi I trung điểm CD A 2 ⇒ S ∆BCD = DC.BI = − (2 2) = 34 2 3V 3.8 34 = Vậy d ( A,( BCD)) = ABCD = S ∆BCD 17 34 C B Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, AD = 2a, AB= a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB m trung điểm BC CMR tam giác SMD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SMD) Giải: Ta có VS HCD SH = VS BCD SB S ∆SAB vuông A AH đường cao nên Ta có SH SA2 2a SH = = =2⇒ = HB AB a SB Vậy 2 a a3 VS HMD = V S BMD= a = 3 Mà VS HMD = d ( H , ( SMD)).S SMD H B A D M C ∆SMD vuông M ( AM2 + MD2 = AD2), 2 S∆SCD = CD.SC = a 2.2a = a 2 nên S SMD = MD.SM = a 2 15 Vậy d ( H ( SMD)) = 3a 9a 2 = a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Giải: A' Gọi E trung điểm BB’,ta có EM//CB’ Suy B’C //(AME) nên B' d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có VC AEM MC = = VC AEB CB a 1 a a a3 ⇒ VC AEM = VEACB = = 2 2 24 3VC AEM Ta có d (C ,( AME )) = S ∆AEM H A ⇒ BH = a , ∆ABE vuông B nên E a Gọi H hình chiếu vng góc B lên AE, ta có BH ⊥ AE Hơn BM ⊥ ( ABE ) ⇒ BM ⊥ AE , nên ta AE ⊥ HM Mà AE = C' B M a 1 = + = BH AB EB a a 3 a a a 21 + = 1 a a 21 a 14 = Do S∆AEM = AE.HM = 2 3a a d (C ,( AME )) = = Vậy: a 14 24 ∆BHM vng B nên MH = Ghi chú: Có thể áp dụng cơng thức Hê – rơng để tính S ∆AEM Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC’B’) Giải: Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC) Tam giác ABC vuông A AH trung tuyến nên AH = BC = a 16 C ∆A ' AH vuông H nên ta có A ' H = A ' A − AH = a a.a a = Do VA ' ABC = a 3 2 VA ' ABC = Mặt khác VABC A ' B ' C ' Suy : VA '.BCC ' B ' B' C' A' 2a B a 2 a3 = VABC A ' B ' C ' = = a 3 C H K a A 3VA '.BCC ' B ' S BCC ' B ' Vì AB ⊥ A ' H ⇒ A ' B ' ⊥ A ' H ⇒ ∆A ' B ' H vuông A’ Suy B’H = a + 3a = 2a = BB ' ⇒ ∆BB ' H cân B’ Gọi K trung Ta có d ( A ',( BCC ' B ')) = điểm BH, ta có B ' K ⊥ BH Do B ' K = BB '2 − BK = a 14 a 14 = a 14 3a 14a = Vậy d ( A ',( BCC ' B ')) = 14 a 14 Suy S BCC ' B ' = B ' C '.BK = 2a * Bài tập tham khảo : Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: d ( A,( IBC )) = 2a 5 Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C) ĐS: d ( A,( AB ' C )) = a Bài 3: Cho tứ diện ABCD có DA vng góc với mp(ABC), ·ABC = 900 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) AD = a, AB = BC = b ĐS: d ( A,( BCD)) = ab a + b2 Bài 4: 17 Cho tứ diện ABCD, biết AB = a, M điểm miền tứ diện Tính tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện ĐS: h1 + h2 + h3 + h4 = 3VABCD =a S ∆ACB Bài 5: Cho tứ diện ABCD điểm M miền tứ diện Gọi r 1, r2, r3, r4 khoảng cách từ M đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tứ diện Gọi h1, h2, h3, h4 khoảng cách từ đỉnh A, B, C, D đến mặt đối diện tứ diện CMR: r1 r2 r3 r4 + + + =1 h1 h2 h3 h4 DẠNG 4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC (Mang tính chất tham khảo cho học sinh -giỏi) Việc tính diện tích đa giác phẳng quy việc tính diện tích tam giác theo công thức S∆ = ah , h – chiều cao a độ dài cạnh đáy Tuy nhiên nhiều trường hợp, đặc biệt việc tính diện tích đa giác phẳng khơng gian, tính trực cơng thức gặp nhiều khó khăn Khi tính diện tính đa giác thơng qua thể tích khối đa diện Sau số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính diệnAtích tam giác AMN theo a, biết ( AMN ) ⊥ ( SBC ) S Giải: Gọi K trung điểm BC I trung VS AMN SM SN = = (1) VS ABC SB SC Từ ( AMN ) ⊥ ( SBC ) AI ⊥ MN (do ∆AMN cân A ) nên AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI ⊥ SI Mặt khác, MN ⊥ SI SI ⊥ ( AMN ) SI S ∆AMN 1 SO = ⇒ S ∆AMN = S ∆ABC (O Từ (1) ⇒ SO.S ∆ABC 4 SI N điểm MN Ta có I C M A K O B trọng tâm tam giác ABC) Ta có ∆ASK cân A (vì AI vừa đường cao vừa trung tuyến) nên AK = AS = a a 15 a ⇒ SO = SA2 − OA2 = SI = SK = 18 Vậy S ∆AMN a 15 a a 10 = = 6a 16 (đvdt) * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC tam giác vng B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 ≥ a + b ) Một mặt phẳng (α ) qua A vng góc với CA’cắt lăng trụ theo thiết diện a) Xác định thiết diện b) Tính diện tích thiết diện xác định câu a) ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN = ab a + b + c 2c Bài 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = x, AC = y, AD = z, góc · · · BAC = CAD = DAB = 900 Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh rằng: 1 1 = 2+ 2+ 2 AH x y z b) Tính diện tích tam giác BCD ĐS: S∆BCD = 2 x y + y2 z + z x2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Số học sinh giải Năm học Lớp Sĩ số Trước thực đề tài Sau thực đề tài 12T4 48 15 38 2015-2016 12T5 42 11 30 12C3 44 18 Sáng kiến kinh nghiệm mở rộng khai thác tốn khó để dạy cho đối tượng học sinh thi học sinh giỏi 3– KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận : Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh mơn Tốn lớp 12T4,12T5,12C3 trường trường THPT Quảng Xương 1, nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ mà số tốn tưởng chừng khơng thể giải khơng có cơng cụ tỉ số thể tích, lại giải cách đơn giản, dễ hiểu Chính em cảm thấy hứng thú với môn học nên nhận thấy chất lượng mơn Tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, 19 góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường.Ngoài em học cách tìm tịi, khám phá tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề nhanh gọn hiệu 3.2.Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy phần hình khơng gian nên để ý đến việc hướng dẫn học sinh biết phân chia lắp ghép khối đa diện.Nhà trường trang bị thêm đồ dùng học tập đại hình học khơng gian - Đối với Sở GD Đào tạo : Có thể làm riêng phần mềm tin học hình khơng gian theo lý thuyết toán sách giáo khoa để giáo viên tỉnh sử dụng giảng dạy, giúp học sinh trực quan quan sát hình từ dạy hình khơng gian thêm sinh động,tạo hứng thú học tập cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 30 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Thị Thu Huyền 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Hình học Hình học nâng cao 12 - Chuyên đề Hình học khơng gian tác giả Trần Phương-Lê Hồng Đức - Chun đề Hình học khơng gian tác giả Phan Huy Khải - Tuyển tập đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng 2002 – 2015 – NXB Giáo Dục - Phương pháp giảng dạy mơn Tốn, tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục 21 ... tính thể tích xác định khoảng cách thơng qua thể tích khối đa diện khác tính thể tích cách dễ dàng Qua tập học sinh tự hình thành cho tư tốn học, thói quen đào sâu suy nghĩ, ln tìm tịi, phát cách... diện cho học sinh Nhà trương khơng trọng truyền thụ tri thức mà cịn phát triển tư cho học sinh thông qua học, làm hành trang vững cho em bước vào tư? ?ng lai.Tuy nhiên mơn học hình học khơng gian. .. trang bị đầy đủ kiến thức hình học khơng gian, tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Phát triển tư cho học sinh lớp 12 qua toán ứng dụng tỉ số thể tích hình học khơng gian? ?? 1.2.Mục đích nghiên