SỞ SỞ GIÁO GIÁO DỤC DỤC VÀ VÀ ĐÀO ĐÀO TẠO TẠO THANH THANH HOÁ HOÁ TRƯỜNG TRƯỜNG THPT THPT NÔNG NÔNG CỐNG CỐNG 22 SÁNG SÁNG KIẾN KIẾN KINH KINH NGHIỆM NGHIỆM MỘT SỐ THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAYTAY CASIO MỘT SỐ THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM ĐỂ ĐỊNHĐỂ HƯỚNG GIẢI CÁCGIẢI BÀICÁC TOÁN HỆ CASIO ĐỊNH NHANH HƯỚNG CÁCH NHANH CÁCH BÀI PHƯƠNG TRÌNH TRONG KÌ THI QUỐCQUỐC GIA GIA TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG KÌTHPT THI THPT Người Ngườithực thựchiện: hiện: Lê LêThị ThịPhương Phương Chức Chứcvụ: vụ: Giáo Giáoviên viên SKKN SKKNthuộc thuộcmôn: môn: Toán Toán THANH HOÁ NĂM 2016 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài .3 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu .3 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề Một số thủ thuật Casio hỗ trợ giải hệ phương trình Định hướng lời giải hệ phương trình nhờ thủ thuật Casio 11 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 17 Hiệu hoạt động giáo dục 17 Hiệu thân 17 Hiệu đồng nghiệp nhà trường 17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 Kết luận 17 Kiến nghị 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hệ phương trình chuyên đề quan trọng hệ thống kiến thức chương trình môn Toán THPT nói chung chương trình môn Toán lớp 10 nói riêng Trước hầu hết đề thi đại học, cao đẳng có câu Hệ phương trình Từ năm 2015 đến nay, Hệ phương trình ba câu phân loại học sinh giỏi đề thi THPT Quốc Gia Trong trình giảng dạy, nhận thấy học sinh ngại học chuyên đề hệ phương trình em cho có nhiều phương pháp giải hệ phương trình khó định hướng xác phương pháp giải cho Để giải tốt toán hệ phương trình học sinh cần nắm vững kiến thức phương pháp giải hệ phương trình mà phải có đầu óc phân tích nhạy bén để định hướng phương pháp giải Chính mà đa số học sinh học yếu chuyên đề này, phần giáo viên gặp không khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức Hiện nay, máy tính cầm tay Casio trở nên vô quen thuộc hữu dụng học sinh phổ thông giải toán Trong SGK hành lồng ghép nhiều thực hành giới thiệu cách sử dụng máy tính cầm tay Casio Với tư tưởng dạy học sinh không dạy kiến thức cho em mà cần phải dạy khả vận dụng, khả kết nối môn khoa học, kinh nghiệm giảng dạy cá nhân đưa số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio nhằm hỗ trợ định hướng nhanh chóng xác lời giải cho toán hệ phương trình Hy vọng tài liệu nhỏ tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng dạy học Mục đích nghiên cứu Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia, với em học sinh sử dụng kết môn Toán để xét tuyển đại học, cạnh tranh chủ yếu diễn ba câu phân loại Một ba câu thường rơi vào chủ đề Hệ phương trình với trọng số điểm Tôi viết tài liệu: “Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio để định hướng nhanh cách giải toán hệ phương trình kì thi THPT Quốc Gia” nhằm mục đích cung cấp thêm cho em học sinh tài liệu tham khảo hữu ích, vũ khí đắc lực, kim nam mang tính chất định hướng để rút ngắn đường tìm lời giải hệ phương trình Ngoài ra, tác giả viết tài liệu mong chờ tài liệu hay bạn bè, đồng nghiệp đón nhận, đánh giá cao, sử dụng làm tài liệu trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài thủ thuật máy tính cầm tay Casio giúp định hướng nhanh lời giải hệ phương trình Phương pháp nghiên cứu Bằng cách sưu tầm tài liệu, nghiên cứu phân loại chúng, kết hợp với kiến thức kinh nghiệm thân trao đổi với bạn bè, đồng nghiệp hệ thống hóa nên tài liệu “Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio để định hướng nhanh cách giải toán hệ phương trình kì thi THPT Quốc Gia” NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm kiến thức hệ phương trình Để tránh dài dòng không nhắc lại phương pháp giải hệ phương trình Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi làm tập toán nói chung, tập Hệ phương trình nói riêng, học sinh thường tự tìm tòi, vận dụng kết phần lý thuyết để giải quyết, ưu điểm phát huy tính chủ động, sáng tạo, rèn luyện tư Tuy nhiên, nhiều học sinh nhận định chưa tốt dẫn đến việc phương hướng, nhiều thời gian, sử dụng giả thiết không triệt để lời giải dài dòng, phức tạp Khó khăn định hướng lời giải hệ phương trình phải nhận định mối liên hệ đơn giản ẩn Đa số học sinh cảm thấy khó khăn tìm mối liên hệ từ ngại học học chuyên đề Hệ phương trình Là giáo viên yêu nghề, thương trò, thực trạng làm cho trăn trở, hao tâm tốn sức không Sau thời gian tìm tòi, nghiên cứu tài liệu, trao đổi với bạn bè, đồng nghiệp mối bận tâm hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm: “Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio để định hướng nhanh cách giải toán hệ phương trình kì thi THPT Quốc Gia” Sẽ có người cho việc sử dụng máy tính làm hỏng tư học trò Tuy nhiên để giải hệ phương trình cần thành thục thủ thuật Casio xong mà cần kết hợp với vốn kiến thức toán học tương đối tốt Kĩ thuật Casio giải pháp nhằm định hướng nhanh lời giải để tìm phương pháp ngắn gọn, nhắm đến tối ưu hóa trình giải toán Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề Một số thủ thuật Casio hỗ trợ giải hệ phương trình Chuẩn bị: Máy tính Casio fx-570ES PLUS, fx-570VN PLUS Thủ thuật rút gọn biểu thức ẩn (thủ thuật 1) Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = 2x − − ( − x + 3x − 1) Ý tưởng: Làm để rút gọn nhanh chóng, xác biểu thức mà không tốn thời gian cầm bút nháp? Ta xét biểu thức x = 1000 Dựa vào chữ số hàng đơn vị, hàng nghìn, hàng triệu, hàng tỉ, … ta tìm hệ số tự do, hệ số x, hệ số x , … Ví dụ xét: f ( x ) =ax + bx + cx + d f ( 1000 ) = a00b00c00d ≈ 109 a Suy f ( 1000 ) a≈ 109 Làm để tính nhanh giá trị biểu thức x = 1000 Ta dùng phím CALC, cho x = 1000 ấn “=” máy hiển thị kết biểu thức x = 1000 Để hiểu rõ ta xem cách làm ví dụ trên: Thực hiện: Bước 1: Nhập biểu thức vào máy Bước 2: Tính giá trị f ( 1000 ) cách bấm lần lượt: “CALC” “1000” “=” Máy hiển thị: −9.9410992 × 1011 Vậy f ( 1000 ) = −9.9410992 × 1011 ≈ −1012 = − x Bước 3: Tính giá trị f ( 1000 ) + x cách quay lại hình nhập biểu thức f ( X ) + X Bấm tiếp: “CALC” “1000” “=” Máy hiển thị: 5989007998 Vậy f ( 1000 ) + x = 5989007998 ≈ 6.109 = 6x Hoàn toàn tương tự ta tính được: f ( 1000 ) + x − 6x = −10992002 ≈ −11.106 = −11x f ( 1000 ) + x − 6x + 11x = 7998 ≈ 8.103 = 8x f ( 1000 ) + x − 6x + 11x − 8x = −2 Vậy f ( x ) = − x + 6x − 11x + x − Đáp số: A = 2x − − ( − x + 3x − 1) = − x + 6x − 11x + x − Thủ thuật tìm nghiệm phương trình (thủ thuật 2) 2x − + x − 3x+1 = (Đề thi đại học khối D năm 2006) Ý tưởng : Thông thường với dạng toán ta bình phương đặt ẩn để đưa phương trình bậc Ở ta làm theo hướng bình phương hai vế: 1  Điều kiện xác định: x ∈  ; +∞  2  Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x − + x − 3x+1 = ⇒ 2x − − ( − x + 3x − 1) = ⇔ − x + 6x − 11x + x − = ( 1) (theo ví dụ 1) Câu hỏi đặt để tìm nghiệm phương trình này? Câu trả lời ta dùng phím SOLVE để tìm nghiệm, số trường hợp phím SOLVE cho ta nghiệm toán Vậy với toán có nhiều nghiệm sao? Làm để biết toán có nghiệm nhất? Thực : Bước 1: Nhập biểu thức vào máy Bước 2: Tìm nghiệm phương trình ( 1) cách bấm tiếp: “SHIFT” “SOLVE” “0” “=” Kết quả: x = 0.5857864376 1 Ta nhập = 10 = -10 = = − = nhập = 10 10 Nếu nhập = kết x = Nếu nhập 10 = kết là: x = 3,414213562 (đây nghiệm khác phương trình) Nếu nhập -10 = kết x = 0.5857864376 (giống nghiệm nhập =) Ở hay 10 hay -10 giá trị khởi tạo để máy dò nghiệm xung quanh giá trị Kết : Phương trình ( 1) có nghiệm là: x = 0.5857864376 ; x = ; x = 3,414213562 Từ thay vào phương trình ban đầu loại nghiệm x = 3,414213562 Thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử (thủ thuật 3) Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = − x + 6x − 11x + x − Ý tưởng: Ở ví dụ ta dò nghiệm phương trình − x + 6x − 11x + x − = x = 1, ta suy đoán phân tích đa thức A thành nhân tử mà có nhân tử ( x − 1) Thực hiện: − x + 6x − 11x + x − Ta dùng thủ thuật để rút gọn biểu thức f ( x ) = x −1 Bước 1: Nhập biểu thức Bước 2: Tính f ( 1000 ) : “CALC” “1000” “=” kết −995005998 ≈ −109 = − x3 Bước 3: Tính f ( 1000 ) + x : bấm phím mũi tên sang trái nhập tiếp + x3 vào để − x + 6x − 11x + x − + x Bấm “CALC” “1000” “=” hình hiển thị x −1 kết quả: 4994002 ≈ 5.10 = 5x Tương tự ta tính được: f ( 1000 ) + x − 5x = −5998 ≈ −6.103 = −6x f ( 1000 ) + x3 − 5x + 6x = Vậy ta phân tích được: − x + 6x − 11x + x − f ( x) = = − x3 + 5x − 6x + x −1 Phương trình f ( x ) = phương trình bậc nên ta thực sau để giải: bấm “MODE” “5” “4” Nhập a = −1 ; b = ; c = −6 ; d = x1 = 3,414213562 ; x = ; x3 = 0.5857864376 Vậy f ( x ) phân tích thành nhân tử mà có nhân tử ( x − 1) f ( x ) − x3 + 5x − 6x + = Dùng thủ thuật để rút gọn : g ( x ) = x −1 x −1 Ta g ( x ) = − x + 4x − Từ kết ta có: A = ( − x + 4x − ) ( x − 1) 2 Kết quả: A = ( − x + 4x − ) ( x − 1) Thủ thuật chia biểu thức biến có chứa (thủ thuật 4) Trường hợp biểu thức có Ví dụ 4: Thực phép chia sau: f ( x ) = ( ) 2x − + x − 3x+1 (x+ ) 2x − − ( Phân tích: f ( x ) = ax + b + c 2x − f ( x ) = ax + b + ( cx + d ) 2x − ) Xác định có thức: 2x − Chọn x cho 2x − không nguyên Chọn x = , x = Nhập biểu thức “CALC” với x = kết quả: − Tiếp tục “CALC” với x = kết quả: − Nhận thấy hệ số −1 ( ) f ( x ) = ax + b + c 2x − với c = −1 Quay lại biểu thức, để tìm a ta sửa biểu thức thành    2x − + x − 3x+1 + 2x − ÷: x “CALC” với x thật to: x = 1000 kết  x + 2x − − ÷   Vậy a = 2x − + x − 3x+1 + 2x − − x Quay lại biểu thức, sửa biểu thức thành x + 2x − − ( ) ( “CALC” với x tùy ý: x = kết Vậy b = Kết f ( x ) = x − 2x − ( ) ) Trường hợp biểu thức có nhiều Ví dụ 5: Thực phép chia sau: 7x + + x + − x − − x − f ( x) = x +1 − x −1 +1 Phân tích: Tìm x cho x + không nguyên x − nguyên Ta chọn x = , x = Nhập biểu thức “CALC” với x = kết là: + 3 Tiếp tục “CALC” với x = kết là: −1 + Vậy hệ số x + thương Tìm x cho x + nguyên x − không nguyên Ta chọn x = , x =8 Quay lại biểu thức, sửa thành f ( x ) − x + “CALC” với x = kết là: − 2 Tiếp tục “CALC” với x = kết là: − Vậy hệ số x − thương −2 Quay lại biểu thức, sửa thành f ( x ) − x + + x − CALC với x thật lớn: x = 10000 kết là: Vậy thương phép chia là: x + − x − + Kết quả: f ( x ) = 7x + + x + − x − − x − = x +1 − x −1 + x +1 − x −1 +1 Thủ thuật phân tích phương trình vô tỷ ẩn thành nhân tử (thủ thuật 5) Trường hợp phương trình có Quay trở lại Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x − + x − 3x+1 = (Đề thi đại học khối D năm 2006) Phân tích:  x≥  2 x − ≥  3+ ⇔ Điều kiện :  ⇔ ≤x≤ 2  x − 3x + ≤ 3 − ≤ x ≤ +  2 Nhập trực tiếp phương trình giải “SHIFT” “SOLVE” thu nghiệm x = Trong trường hợp ta mong muốn giải phương trình 2x − + x − 3x+1 = cách phân tích thành nhân tử Giả sử 2x − + x − 3x+1 = a1 x + b1 + c1 2x − a2 x + b2 + c2 2x − ( ( ) )( ( ) ) Vậy nhân tử có dạng chung ax + b + c 2x − hay ax + c 2x − = −b Ý tưởng chọn giá trị c nguyên, dùng TABLE dò a nguyên cho b nguyên Tuy nhiên dùng cách ta mong muốn phải có nghiệm xấu (không nguyên) Nhưng giải trực tiếp phương trình SHIFT SOLVE lại không thu nghiệm xấu Ta thử tìm nghiệm ngoại lai cách đổi dấu trước căn: giải phương trình − 2x − + x − 3x+1 = Ra nghiệm xấu 3.414213562 , lưu nghiệm A Thực : Trước hết chọn c = nhập vào MODE TABLE biểu thức f ( X ) = XA + 2A − (X để dò, A biến chứa nghiệm giải được) Khoảng chạy khuyên dùng [ −14;14] với Step = Nhận f ( −1) = −1 đẹp Suy a = −1 ; b = Vậy xuất nhân tử ( ) − x + 2x − + ? Nên nhớ ta vừa đổi dấu trước nên nhân tử ta phải ( ) ( ) là: − x − 2x − + = − x + 2x − − Sử dụng kết Ví dụ thủ thuật ta thu kết là: 2x − + x − 3x+1 = x + 2x − − x − 2x-1 Kết quả: ( ( )( )( 2x − + x − 3x+1 = x + 2x − − x − 2x-1 ) ) Trường hợp phương trình có nhiều Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử 7x + + x + − x − − x − Phân tích: Điều kiện: x ≥ Nhập biểu thức SHIFT SOLVE với x = 10 kết 3.398111694 Lưu nghiệm vào A Tiếp tục giải với giá trị khởi tạo khác cho ta nghiệm A Tìm thêm nghiệm ngoại lai cách đổi dấu trước x + , x − không đổi dấu trước x − , ta có phương trình 7x + − x + + x − − x − = Nhập biểu thức SHIFT SOLVE với x = 10 kết 1.046332751 Lưu nghiệm vào B Tiếp tục giải với giá trị khởi tạo khác cho ta nghiệm B 40 32 20 + Nhận thấy A + B = ; AB = A > B Từ tìm A = Suy 9 1+ 2+ x + = , x −1 = Suy tiếp x + − x − + = 3 Vậy xuất nhân tử là: ( ) x +1 − x −1 +1 7x + + x + − x − − x − Thực phép chia f ( x ) = Từ kết x +1 − x −1 +1 ví dụ ta kết quả: 7x + + x + − x − − x − = ( )( ) x + − x −1 + x +1 − x −1 + Thủ thuật phân tích biểu thức hai ẩn thành nhân tử (thủ thuật 6) Ví dụ 7: Phân tích thành nhân tử biểu thức 2x − x y + x + y − 2xy − y Ý tưởng: Đa phần biểu thức hai ẩn có dạng phương trình bậc 2, bậc theo ẩn x y phân tích thành nhân tử nhờ tính giải phương trình bậc 2, bậc MODE EQN Thực hiện: Gán y = 1000 cách bấm “1000” “SHIFT” “STO” “ALPHA” “Y” Vào tính giải phương trình bậc cách MODE EQN Lần lượt nhập hệ số phương trình bậc 3: a = , b = − ( y − 1) , c = −2 y , d = y − y Coi ta giải phương trình bậc 3: x3 − 999 x − 2000 x + 999000 = Máy trả 999 999 y − ; x2 = 31,6227766 ; x3 = −31,6227766 Vì = nghiệm: x1 = 2 nên ta 2x − y + nhân tử toán Thực phép chia đa thức ẩn cách dùng giới hạn: 2x − x y + x + y − 2xy − y f ( x) = 2x − y + Nhận thấy f ( x ) tam thức bậc hai nên f ( x ) = ax + bx + c với: f ( x) f ( x ) − x2 a = lim = 1; b = lim = 0; c = f ( x ) − x − 0.x = − y x →+∞ x x→+∞ x 2x − x y + x + y − 2xy − y f x = = x2 − y Vậy ta ( ) 2x − y + 2 2 Kết luận: 2x − x y + x + y − 2xy − y = ( 2x − y + 1) ( x − y ) Ta làm cách khác sau: Nhập biểu thức vào máy Bấm “SHIFT” “SOLVE” Màn hình máy hiện: Y? (tức máy hỏi ta muốn giải phương trình vừa nhập với Y bao nhiêu) Đến có hai hướng nhập Y Hướng thứ nhập “100” “=” (tức cho Y = 100 ) Màn hình máy hiện: Solve for X Các bạn bấm “=” Khi bấm = hình máy hiện: X = 10 L − R = (có nghĩa Y = 100 máy tính X = 10 với sai số 0) Ta dự đoán Y = X Vậy phân tích phương trình (2) xuất nhân tử x − y ? Hướng thứ hai nhập giá trị Y 0, 1, 2, 3, 4, 5, … để máy tính giá trị x để lập bảng giá trị từ mối quan hệ x y Dùng phím mũi tên sang trái sang phải để quay trở lại phương trình vừa nhập Máy hỏi Y? ta nhập = Máy hỏi Slove for X ta bấm = X = Máy hỏi Y? ta nhập = Máy hỏi Slove for X ta bấm = X = Máy hỏi Y? ta nhập = Máy hỏi Slove for X ta bấm = X = 0.5 Và ta có bảng: Y X 0 0.5 1.5 10 Vậy ta dự đoán Y = X + Ta thử phân tích nhé: ( ) ⇔ 2x ( x − y ) − y ( x − y ) + ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( 2x − y + 1) = Kết hoàn toàn mong đợi! Hướng giải thứ hai có lâu hướng giúp ta dự đoán nhân tử dễ dàng Thủ thuật nhẩm nghiệm hệ phương trình hai ẩn (thủ thuật 7)  xy + x + = y ( 1) Ví dụ 8: Nhẩm nghiệm hệ  2  x y + xy + = 13 y ( ) Phân tích: Thật cách nhẩm nghiệm dựa vào phương pháp Từ phương trình rút ẩn theo ẩn lại vào phương trình thứ hai đưa phương trình ẩn tìm nghiệm dễ dàng y −1 Thực hiện: ( 1) ⇔ x = y = −1 không thỏa mãn hệ y +1 Thế vào phương trình hai ta được:  y −1  y −1 y  + y + − 13 y = ÷  ÷  y +1   y +1  ⇔ y ( y − 1) + y ( y + 1) ( y − 1) + ( y + 1) ( − 13 y ) = 2 Dùng thủ thuật đưa : 36 y − 33 y − y + y + =  y =1⇒ x =1 Nhập biểu thức vào máy dùng SHIFT SOLVE nghiệm:  y = ⇒ x = 3  Định hướng lời giải hệ phương trình nhờ thủ thuật Casio Hệ phương trình đa thức hệ số nguyên  xy + x − = ( 1) Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:  2 2x − x y + x + y − 2xy − y = ( ) (Đại học khối D năm 2012) Ý tưởng Ta dùng thủ thuật để nhẩm nghiệm hệ tìm mối quan hệ x, y từ phương trình (1) rút y theo x x theo y vào phương trình (2) phương trình (2) trở nên cồng kềnh, phức tạp Vậy ta quay sang xem xét phân tích phương trình (2) thành nhân tử nhờ thủ thuật Ở ví dụ thủ thuật ta phân tích phương trình (2) thành nhân tử Vậy ta có lời giải cho toán: Lời giải 11 ( ) ⇔ 2x ( x − y ) − y ( x − y ) + ( x − y ) =  y = x2 ⇔ ( x − y ) ( 2x − y + 1) = ⇔   y = 2x +  y = x2  y = 2x + Kết hợp với (1), ta hệ:    xy + x − =  xy + x − =  x2 + x − =  x + x − = ⇔   y = x  y = 2x +   −1 − −1 + x = x = x = ⇔ 2   y =1 y = − y =    −1 −   −1 +  ; − ÷,  ; 5÷ Vậy nghiệm hệ ( 1;1) ,  2     2 16x + 4xy + y = 12 ( 1) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:  8x + 4xy − 28x − y = −18 ( ) (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 – TP Hồ Chí Minh năm 2014) Ý tưởng: Từ phương trình tìm mối liên hệ x y khó Vậy lấy PT ( 1) + kPT ( ) phân tích thành nhân tử Làm cách tìm k? Nhận thấy hệ dạng: a1 x + b1 y + c1 xy + d1x + e y + f1 =  2 a x + b y + c xy + d x + e y + f =  2 2 2 Nên k nghiệm phương trình cde + 4abf = ae + bd + fc với a = a1 + ka2 ; b = b1 + kb2 ; …; f = f1 + kf ; (cái bạn tự chứng minh được) Thực hiện: Áp dụng công thức để tìm k ta có: ( 16 + 8k ) ( −12 + 18k ) + 140 ( + 4k ) k = 25 ( 16 + 8k ) k + 784k + ( + 4k ) ( −12 + 18k ) Dễ dàng dùng thủ thuật tìm nghiệm k = Vậy: PT ( 1) + PT ( ) ⇔ 32x + 12xy − 56x − 10 y + y + 24 = Dùng thủ thuật ta có nhân tử là: ( 4x + y − ) ( 8x + y − ) Lời giải: PT ( 1) + PT ( ) ⇔ 32x + 12xy − 56x − 10 y + y + 24 =  y = − 4x ( 3) ⇔ ( 4x + y − ) ( 8x + y − ) = ⇔   y = − 8x ( ) 12 Thế ( 3) vào ( 1) dùng thủ thuật để rút gọn ta được: 16x − 16x + = (vô nghiệm) Thế ( ) vào ( 1) dùng thủ thuật để rút gọn ta được: 48x − 72x + 24 =  x = ⇒ y = −2 ⇒ x = ⇒ y =  1  Vậy nghiệm hệ là: ( 1; −2 )  ;2 ÷ 2  14x − 21 y + 22x − 39 y = Ví dụ 11 Giải hệ phương trình:  2 35x + 28 y + 111x − 10 y = Ý tưởng: Nhận thấy hệ dạng: a1 x + b1 y + c1 xy + d1 x + e y =  2 a2 x + b2 y + c2 xy + d x + e y = Nẻn ta có lời giải sau: Lời giải Với x = thay vào hệ thấy hệ có nghiệm ( 0;0 ) 14 x − 21t x + 22 x − 39tx = Với x ≠ đặt x = ty ta có hệ ⇔  2 35 x + 28t x + 111x − 10tx = 39t − 22  x =  14 − 21t 10t − 111 39t − 22 ⇒  ⇔ = 2 ⇔ 186t − 421t + 175t + 112 = 35 + 28t 14 − 21t  x = 10t − 111  35 + 28t ⇔ t = − ⇒ x = −3 ⇒ y = (Thay vào hệ phương trình thấy thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm ( 0;0 ) ( −3;1)  x3 − 3x − 9x + 22 = y + y − y  Ví dụ 12 Giải hệ phương trình:  2 x + y − x + y =  (Đại học khối A năm 2012) Ý tưởng Dùng máy tính, từ phương trình ta tìm mối quan hệ x = y + Vậy phân tích phương trình thành nhân tử: ( x − y − ) ( x + y + xy − x + y − 11) = Tuy nhiên phương trình có tương đồng hai vế, vế chứa biến x, vế chứa biến y Vậy ta dùng phương pháp hàm 13 số để giải cách biến đổi dạng: f ( x ) = f ( y + ) ; dạng f ( x − 1) = f ( y + 1) ; dạng: f ( x − ) = f ( y ) Vậy giải theo hai cách Ở trình bày cách thứ hai Lời giải: Hệ cho tương đương với ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) ( 1)  2  1  1 ( 2)  x − ÷ +  y + ÷ = 2      1 1 Từ ( ) , suy −1 ≤ x − ≤ ; −1 ≤ y + ≤ ⇔ − ≤ x − ≤ ; − ≤ y + ≤ 2 2 2  3 Xét hàm số f ( t ) = t − 12t  − ;  , ta có f ′ ( t ) = 3t − 12 < , suy f ( t )  2 nghịch biến Do ( 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x + ( 3) 2 1  3  Thay vào ( ) ta  x − ÷ +  y + ÷ = ⇔ 4x − 8x+3=0 ⇔ x = ; x = 2 2  2  1 3  3 Thay vào ( 3) , ta nghiệm hệ  ; − ÷  − ; ÷ 2 2  2  y + 2xy − y + 2x − y − = Ví dụ 13 Giải hệ phương trình:  2 y + 2xy − y + = Ý tưởng: Rõ ràng từ phương trình ta không phân tích thành nhân tử Vậy ta dùng thủ thuật nhẩm nghiệm hệ ( 2;1) 1+  1−  ;2 − ÷  ;2 + ÷      1+  ;2 − ÷ Phương trình đường thẳng qua hai điểm    1−  ;2 +  ÷ y = − 2x   Ta cần tìm k để PT ( 1) + kPT ( ) = phân tích thành nhân tử Nhận thấy: PT ( 1) y + 2xy − y + 2x − y − k= = PT ( ) y + 2xy − y + Thế y = − 2x vào ta k = −2 Khi : PT ( 1) − PT ( ) = ⇔ ( 2x + y − 3) ( y − 1) = 2 Lời giải: Ta có: PT ( 1) − PT ( ) = ⇔ ( 2x + y − 3) ( y − 1) = 14 y =1 ( 3) ⇔ ( 4)  x = - y Thay ( 3) vào PT ( ) ta x = Thay ( ) vào PT ( ) ta được:  1− y = 2+ ⇒ x = 2 y2 + ( − y ) y − y + = ⇔ y2 − y + = ⇔   1+  y = − ⇒x =  1−  1+  ;2 + ÷  ;2 − ÷ Vậy hệ có nghiệm ( 2;1)      Hệ phương trình vô tỉ  x 12 − y + y ( 12 − x ) = 12  Ví dụ 14 Giải hệ phương trình:   x3 − 8x − = y − (Đề khối A, A1 năm 2014) Ý tưởng: Từ PT2 rút y theo x để nhẩm nghiệm theo thủ thuật 7, nhiên nghiệm 2 ≤ y ≤ 12 xấu Do điều kiện toán  nên ta tìm mối liên hệ x, x ≤ 12  y cách nhập số Y lớn Dùng thủ thuật ta lập bảng: y 10 x 3,162 2,828 2,645 2,449 2,236 1,732 1,414 x 10 2 Ta nhận mối quan hệ x + y = 12 , hay x = 12 − y Thay vào PT1, ta 12 − y 12 − y + ( 12 − x ) ( 12 − x ) = 12 Nhìn vào ta thấy có cân 2 xứng y 12 − x Sự cân xứng thường có mặt phương pháp hàm số đánh giá bất đẳng thức Có hai độc lập nên việc dùng phương pháp hàm số khó thực Do ta dùng phương pháp đánh giá Do sau đánh giá, ta phải thu y = 12 − x x = 12 − y , ta áp dụng BĐT TBC – TBN riêng biệt cho số x ;12 − y y;12 − x , chúng có sẵn bên vế trái VT = x 12 − y + y ( 12 − x ) = x ( 12 − y ) + y ( 12 − x ) x + ( 12 − y ) y + ( 12 − x ) ≤ + = 12 = VP 2 15 Dấu = xảy ⇔ y = 12 − x Lời giải 2 ≤ y ≤ 12 Điều kiện:   x ≤ 12 Xét PT ( 1) ta có: VT = x 12 − y + y ( 12 − x ) = x ( 12 − y ) + y ( 12 − x ) x + ( 12 − y ) y + ( 12 − x ) ≤ + = 12 = VP 2 Dấu = xảy ⇔ y = 12 − x Thay vào PT ( ) : x − 8x − = 10 − x  ( x + 3)  ⇔ ( x − 3)  x + 3x + + ÷ = ( 3) + 10 − x   ( x + 3) > Do x ≥ nên x + 3x + + + 10 − x Do ( 3) ⇔ x = Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ ( 3;3) ( − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Ví dụ 15 Giải phương trình:  2 y − 3x + y + = x − y − 4x − y − (Đại học khối B năm 2014) y ≥  Ý tưởng: Điều kiện:  x ≥ y 4x ≥ y +  Nhập phương trình vào máy, nhập y = 100 ; x = 150 ta thu x = 101 Dự đoán x = y + Vì hệ có x − y nên mối quan hệ x − y = y ≥  ( *) Lời giải: Điều kiện:  x ≥ y 4x ≥ y +  Ta có PT1 ⇔ ( − y ) ( ) ( ) x − y − + ( x − y − 1) − y =  1  ⇔ ( − y ) ( x − y − 1)  + = (3)  x − y +1 1+ y ÷ ÷   1 y =1 + > nên (3) ⇔  Do x − y +1 1+ y  y = x −1 Với y = , PT2 trở thành − 3x = ⇔ x = 16 Với y = x − , điều kiện ( *) trở thành ≤ x ≤ PT2 trở thành ( ) 2x − x − = − x ⇔ ( x − x − 1) + x − − − x =   ⇔ ( x − x − 1)  + = ⇔ x − x − = ⇔ x = ± Đối chiếu  x −1+ − x   điều kiện ( *) kết hợp trường hợp trên, ta nghiệm ( x; y ) hệ cho  + −1 +  ; ( 3;1)  ÷ 2   Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Hiệu hoạt động giáo dục Tôi đem tài liệu ứng dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 A3 năm học 2015 – 2016 thu hoạch kết khả quan Cụ thể đa số em học sinh (70%) giải hệ hữu tỉ phân tích thành nhân tử, khoảng 15% em học sinh tự tin trước hầu hết loại hệ Vâng, kết đáng mừng cho lớp không chuyên Dù thời đại mà công nghệ ưa chuộng việc sử dụng máy tính vào giải toán em học sinh hưởng ứng nhiệt tình Hiệu thân Mang lại chất lượng giáo dục tốt điều mong muốn tất nhà giáo Với thành tựu tài liệu hoàn toàn tự tin giảng dạy chuyên đề hệ phương trình cho học trò biết cung cấp cho em công cụ lao động vô hữu ích giúp em gặt hái vinh quang Hiệu đồng nghiệp nhà trường Đây phương pháp không khó, giáo viên thực áp dụng cho đa số học sinh Tôi mong tài liệu mang đến cho bạn đồng nghiệp kiến thức hữu ích, phương pháp giảng dạy giảng dạy hệ phương trình KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Trên giải pháp mà đúc rút trình giảng dạy nghiên cứu khoa học thân Tuy cách làm tài liệu phương pháp giải hệ phương trình xem kim nam mang tính chất định hướng cách làm, đặc biệt mạnh cho phương pháp phân tích thành tích hỗ trợ nhiều cho phương pháp khác phương pháp thế, phương pháp cộng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp 17 hàm số phương pháp giải hệ bất đẳng thức đề thi ngày hướng đến tư duy, suy luận cao tìm cách hạn chế việc bấm máy Một số người cho sử dụng máy tính vẻ đẹp toán học hệ phương trình Tuy nhiên, qua ví dụ tài liệu thấy vẻ đẹp nguyên khiết Máy tính casio công cụ để chinh phục, khám phá vẻ đẹp tiềm ẩn mà Kiến nghị Để chất lượng giáo dục tốt trước hết nhà giáo phải có kiến thức uyên thâm Vì đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy giáo viên trường, huyện, tỉnh theo chuyên đề Mời chuyên gia, giáo sư tập huấn, giảng dạy chuyên đề có tủ sách lưu lại tài liệu bồi dưỡng chuyên đề Đề nghị nhà trường nâng cao đầu sách tham khảo thư viện để giáo viên có điều kiện nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Đặc biệt thư viện nên lưu giữ lại sáng kiến kinh nghiệm năm giáo viên trường để tiện cho việc tham khảo Trên đề tài “Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio để định hướng nhanh cách giải toán hệ phương trình kì thi THPT Quốc Gia” cá nhân Kính mong bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đánh giá góp ý kiến lại cho để đề tài ngày hoàn thiện Trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Phương 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, NXBGD Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), Đại số 10 bản, NXBGD http://www.facebook.com/thuthuatcasio bạn Bùi Thế Việt http://www.casiomen.com 19 ... Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio để định hướng nhanh cách giải toán hệ phương trình kì thi THPT Quốc Gia Sẽ có người cho việc sử dụng máy tính làm hỏng tư học trò Tuy nhiên để. .. với bạn bè, đồng nghiệp hệ thống hóa nên tài liệu Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio để định hướng nhanh cách giải toán hệ phương trình kì thi THPT Quốc Gia NỘI DUNG SÁNG KIẾN... với trọng số điểm Tôi viết tài liệu: Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio để định hướng nhanh cách giải toán hệ phương trình kì thi THPT Quốc Gia nhằm mục đích cung cấp thêm cho em