PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình Hình học 12, tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian tốn hay khơng q khó Để làm tốt tốn địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ đường thẳng, mặt phẳng Là dạng tốn ln có mặt đề thi tốt nghiệp THPT thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt dạng tốn cần thiết Do q trình dạy học địi hỏi đội ngũ thầy giáo phải tích cực học tập, khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn, đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, bồi dưỡng khả tự học, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho học sinh Trong trình giảng dạy tơi thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng việc giải tốn hình học tọa độ nói chung, có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, ngun nhân chủ yếu học hình học toạ độ, học sinh “giải hình học đại số” mà khơng để ý đến tính chất hình học Các phương pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp tốn trọng tìm cách giải cho riêng tốn mà khơng có cách nhìn tổng qt Chính dẫn đến tình trạng em bị lúng túng trước câu hỏi câu hỏi xoay quanh vấn đề: Viết phương trình đường thẳng khơng gian Với vai trị giáo viên dạy Tốn qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi thầy đồng nghiệp với mong muốn tìm hướng giải đơn giản cho toán, làm cho học sinh nhớ kiến thức sở để sáng tạo Tơi xin trình bày số kinh nghiệm việc giải tốn Viết phương trình đường thẳng khơng gian là: "GIÚP HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN" Với ý tưởng trên, tơi phân dạng tập viết phương trình đường thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản, dễ nhớ bước giúp học sinh hình thành tư tự học, tự giải vấn đề Ngoài ra, giúp cho em làm tốt thi tốt nghiệp thi vào trường Cao đẳng Đại học 1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài với mong muốn giúp học sinh: + Khắc phục yếu điểm nêu trên, từ đạt kết cao giải tốn nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung + Tìm phương pháp tối ưu để giải toán, nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc nhận dạng phương pháp giải tốn thích hợp Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em Đối tượng nghiên cứu - Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng phương pháp giảng dạy toán - Học sinh lớp 12A1, 12A2 Trường THPT Tô Hiến Thành - TP Thanh Hóa năm học: 2015 - 2016 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tập, sách tài liệu tham khảo đề thi - Phương pháp điều tra thực tiễn : Dự giờ, quan sát việc dạy học phần tập - Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Phương pháp thống kê PHẦN 2: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Kiến thức bản: Trong chương trình Sách giáo khoa Hình Học Lp 12 Chun thỡ phơng trình ca ng thng khơng gian có hai dạng là: Phương trình tham s v phng trỡnh chớnh tc ể viết phơng trình ca ng thng khụng gian cần phải xác định hai yếu tố: + Một điểm mà ng thng qua + Mét vÐc t¬ phương đường thẳng Khi đó, đường thẳng ∆ qua ®iĨm M ( x ; y0 ; z ) nhËn vÐc t¬ u = ( a; b; c ) làm véc tơ ch phng thỡ: x = x0 + at  Phương trình tham số đường thẳng ∆ có dạng:  y = y + bt (t tham số)  z = z + ct  Phương trình tắc đường thẳng ∆ có dạng : x − x0 y − y0 z − z0 ( a.b.c ≠ 0) = = a b c Kiến thức có liên quan: Phương trình tổng quát ( α ) có dạng: ( ) Ax + By + Cz + D = a + b + c ≠ Nếu (α ) có phương trình: Ax + By + Cz + D = véc tơ pháp tuyến (α ) n( A; B; C ) Nếu (α ) qua điểm M ( x ; y0 ; z ) nhận n( A; B; C ) véc tơ pháp tuyến phương trình (α ) : A( x − x0 ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = Nếu (α ) chứa hay song song với giá hai vectơ không phương a = ( a1 ; a ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) véc tơ pháp tuyến (α ) : [ ] n = a; b = ( a b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a b1 ) Cho A( x A ; y A ; z A ) điểm B( x B ; y B ; z B ) uuu r - Vectơ AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) x + x y + yB z A + zB ; ) - Toạ độ trung điểm I AB là: I = ( A B ; A 2 Chú ý: Trªn sở kiến thức hình học không gian lớp 11, có cách xác định ng thng nh sau: - Có ng thng qua hai ®iĨm phân biệt cho trước - Cã mét vµ chØ mét đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng Ngoài nhiều cách xác định ng thng khác 2.2 Thc trng ca trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Như để viết phương trình đường thẳng khơng gian (cụ thể phương trình tham số phương trình tắc) ta cần phải xác định hai đại lượng: +) Điểm mà đường thẳng qua +) Véctơ phương đường thẳng Nhưng trường hợp, ta tìm cách dễ dàng hai đại lượng nói trên, nhiều vấn đề khác toán học Bài toán viết phương trình đường thẳng chủ yếu có hai dạng: tường minh không tường minh Dạng tường minh: - Các đại lượng để giải tốn đề cho sẵn, dạng toán chủ yếu để học sinh củng cố công thức - Dạng tường minh theo là: Viết phương trình tham số (hoặc tắc) đường thẳng biết: 1) Đường thẳng qua hai điểm 2) Đường thẳng qua điểm có véctơ phương Dạng không tường minh: - Các đại lượng để giải tốn đề khơng cho sẵn mà ẩn số điều kiện định - Dạng tốn địi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư logíc tốn học, vận dụng linh hoạt điều kiện có đề Trong đề tài tơi xin bàn dạng tốn khơng tường minh, dạng toán chủ yếu xuất đề thi tốt nghiệp đại học Tùy thuộc vào u cầu tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, tơi chia thành hai toán để học sinh dễ nhận dạng: Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian biết điểm mà đường thẳng qua + Ở toán này: đề cho biết điểm qua, không cho trực tiếp phương đường thẳng + Yêu cầu phải xác định phương đường thẳng dựa vào điều kiện toán Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn số điều kiện cho trước + Ở toán này: đề không cho trực tiếp điểm qua phương đường thẳng, + Yêu cầu phải xác định đại lượng dựa vào điều kiện tốn Chú ý: Trong tốn viết phương trình đường thẳng không gian đặc biệt ý đến điều kiện xác định đường thẳng không gian là: - Cã mét vµ chØ mét đường thẳng ®i qua hai ®iĨm phân biệt cho trước - Cã mét vµ chØ mét đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng Từ đó, tơi hướng cho học sinh giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian theo hai cách sau: Cách 1: Tìm hai điểm mà đường thẳng qua Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Một vấn đề đặt là: Phương trình dạng tổng qt đường thẳng khơng trình bày sách giáo khoa, học sinh để dạng tổng qt có chấp nhận hay khơng? khơng chấp nhận làm nào? Cách khắc phục khơng có khó khăn, ta hướng dẫn học sinh chuyển dạng tham số thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x − y + z − = ( β ) = x + y + z − = Ta đặt ẩn làm tham số  x − y − + 2t = 3 x − + 3t =  x = − t ⇒ ⇒ 2 x + y + t = 2 x + y + t =  y = −2 + t Đặt: z = + t ⇒  x = 1− t  Vậy ta có phương trình dạng tham số ∆:  y = −2 + t z = 1+ t  ( t ∈ R) Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x − y + z − = ( β ) = x + y + z − = x − y = x = ⇔ 2 x + y =  y = −2 +) Với z = ta có:  ( I ) ⇒ ∆ qua M ( 1; −2;1) +) Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng nên có véctơ phương tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng đó: uur uur uur u∆ =  nα , nβ  = ( −3;3;3 )  x = − 3t  Vậy ∆ có phương trình dạng tham số:  y = −2 + 3t  z = + 3t  ( t ∈ R) Ngoài trường hợp cụ thể, với mối quan hệ toán cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tịi cách giải Các giải pháp thực để giải vấn đề Trên sở kiến thức hình học giải tích trình bày sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức đường thẳng không gian lớp 11 Tôi xin trình bày nội dung đề tài hai dạng toán mà phương pháp giải rút từ hai phương pháp nêu a Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng không gian biết điểm mà đường thẳng qua +) Điểm qua cho đề +) Phương đường thẳng xác định thông qua đại lượng, mối quan hệ tốn Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua điểm x −1 y − z +1 x + y − z +1 = = A ( −2;1;3) cắt hai đường thẳng ∆1 : ∆2 : = = −1 −1 Phân tích tốn: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : A ( −2;1;3) ur +) Đường thẳng ∆1 qua điểm M ( 1; 2; −1) có véctơ phương u1 ( 1; −1;1) uu r +) Đường thẳng ∆ qua điểm N ( −2;3; −1) có véctơ phương u2 ( −1; 2;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng ∆1 ∆ 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 P +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ Q Vậy đường thẳng ∆ đường thẳng PQ Giải: Gọi P giao điểm ∆ ∆1 , ta có P ∈ ∆1 ⇒ P ( + t; − t; −1 + t ) Gọi Q giao điểm ∆ ∆ , ta có Q ∈ ∆ ⇒ Q ( −2 − t ';3 + 2t '; −1 + t ' ) Ta có: uuu r uuu r QA ( t '; −2 − 2t '; − t ' ) , PA ( −3 − t ; −1 + t; − t ) Mặt khác ba điểm P, A, Q thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng  t ' = 15 t ' = −3k − tk t '+ 3k + tk =  uuu r uuu r    QA = k PA ⇔ −2 − 2t ' = −k + tk ⇔ 2t '− k + tk = −2 ⇔ k = 15 4 − t ' = 4k − tk t '+ 4k − tk =    26  tk = − 15  Với t ' = uuu r  34 58  ta có: QA  ; − ; ÷ 15  15 15 15  • A r ⇒ Đường thẳng ∆ có véc tơ phương: u ( 1; −17; 29 ) ⇒ phương trình ∆ : ∆1 P Q x + y −1 z − = = −17 29 ∆2 Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 nên xác định mặt phẳng ( α ) +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ nên xác định mặt phẳng ( β ) Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Giải: Gọi ( α ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt ∆ ∆1 uuuu r ur Khi ( α ) có hai véc tơ phương là: AM ( 3;1; −4 ) u1 ( 1; −1;1) uur uuuu r ur suy véc tơ pháp tuyến ( α ) : nα =  AM ; u1  = ( −3; −7; −4 ) Gọi ( β ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt ∆ ∆ Khi uuur uu r ( β ) có hai véc tơ phương AN ( 0; 2; −4 ) u2 ( −1; 2;1) uur uuur uu r ⇒ véc tơ pháp tuyến ( β ) : nβ =  AN ; u2  = ( 10; 4; ) r uur uur ⇒ véc tơ phương ∆ là: u =  nα ; nβ  = ( 2; −34;58 )  x = −2 + t  ⇒ phương trình ∆ :  y = − 17t  z = + 29t  Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua  x = − 2t x −1 y + z −  = = A ( 1; 2;3) đồng thời vng góc với d1 cắt d2 biết d1 :  y = + 4t , d : −1 z = − t  Phân tích toán: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : A ( 1; 2;3) ur d M 6;1; u ( ) +) Đường thẳng qua điểm có véctơ phương ( −2; 4; −1) uu r +) Đường thẳng d qua điểm N ( 1; −2;3) có véctơ phương u2 ( 2;1; −1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt d , đường thẳng ∆ vng góc với d1 (có thể cắt khơng cắt) 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ mối quan hệ ta có hai hướng giải sau (khơng thể dựa vào điều kiện ∆ cắt d1 mối quan hệ không chắn xảy ra) Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d P uuur ur uuu r ur +) Đường thẳng ∆ vng góc với d1 nên AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = Suy đường thẳng ∆ đường thẳng PA Giải: Gọi giao đường thẳng ∆ với d P ta có P ∈ d ⇒ P ( + 2t ; −2 + t ;3 − t ) uuu r ⇒ AP ( 2t; t − 4; −t ) uuur ur uuur ur Mặt khác ∆ ⊥ d1 ⇒ AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = ⇔ −4t + 4t − 16 + t = ⇔ t = 16 uuu r Ta có: AP ( 32;12; −16 ) ⇒ phương trình ∆ : x −1 y − z − = = −4 Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d nên xác định mặt phẳng ( α ) +) Đường thẳng ∆ vng góc với d1 nên xác định mặt phẳng ( β ) qua A vng góc với d1 Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Giải: Gọi (α ) mặt phẳng xác định ∆ d uur uuu r uu r ⇒ ( α ) có véc tơ pháp tuyến là: nα =  NA, u2  = ( −4;0; −8) ⇒ phương trình ( α ) : x + z − = ur Gọi ( β ) mặt phẳng qua A vng góc với d1 nên nhận u1 ( −2; 4; −1) véctơ pháp tuyến ⇒ phương trình ( β ) : x − y + z + = r uur uur Vì ∆ giao ( α ) ( β ) nên có véc tơ phương: u =  nα , nβ  = ( 8;3; −4 )  x = + 8t  ⇒ Phương trình đường thẳng ∆ :  y = + 3t  z = − 4t  ( t ∈ R) Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 3; −2; −1) vng góc cắt đường thẳng x = 3+ t  d :  y = − 5t  z = −1 + 2t  Phân tích tốn: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : A ( 3; −2; −1) r +) Đường thẳng d qua điểm M ( 3; 4; −1) có véctơ phương u ( 1; −5; ) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt d Đường thẳng ∆ vng góc với d 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d P ⇒ P ∈ d ⇒ P (3 + t ;4 − 5t;−1 + 2t ) uuur ur uuu r ur +) Đường thẳng ∆ vuông góc với d nên AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = Suy đường thẳng ∆ đường thẳng PA Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d nên xác định mặt phẳng ( α ) +) Đường thẳng ∆ vng góc với d nên xác định mặt phẳng ( β ) qua A vng góc với d Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) uuuu r Giải: Ta có: AM ( 0;6;0 ) , gọi ( α ) mặt phẳng qua A chứa d uur uuuu r r ⇒ ( α ) có véc tơ pháp tuyến : nα =  AM , u  = ( 12;0; −6 ) Gọi ( β ) mặt phẳng qua A vng góc với d uur r ⇒ ( β ) có véc tơ pháp tuyến : nβ = u ( 1; −5; ) ur uur uur Vậy đường thẳng cần tìm có phương: u1 =  nα ; nβ  = ( −30; −30; −60 ) Phương trình đường thẳng ∆ : x − y + z +1 = = 1 Nhận xét: Qua ví dụ cho thấy, tốn khơng phải có cách giải mà trường hợp cụ thể, học sinh định hướng cho nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm tốn b Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn số điều kiện cho trước + Điểm mà đường thẳng qua + Phương đường thẳng Đều xác định thông qua đại lượng cho trước mối quan hệ hình học Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ biết vng góc với mặt phẳng (P) : x + y − z − = cắt hai đường thẳng x = − t  chéo ∆1 :  y = + t ∆ :  z = − 2t   x = + 3t '   y =1− t ' z = t '  Phân tích toán: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến nP ( 1;1; −1) ur +) Đường thẳng ∆1 qua M ( −1;1; −2 ) có phương u1 ( 2;3;1) ur +) Đường thẳng ∆ qua M ( 2;1;0 ) có phương u1 ( 3; −1;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊥ ( P ) Đường thẳng ∆ cắt ∆1 ∆ 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua Giải: Gọi M, N giao điểm đường thẳng ∆ với hai đường thẳng ∆1 ∆ Ta có: +) M ∈ ∆1 ⇒ M ( − t ;3 + t ;1 − 2t ) +) N ∈ ∆ ⇒ N ( + 3t ';1 − t '; t ') uuuu r +) MN ( 3t '+ t ; −2 − t '− t ; −1 + t '+ 2t ) Theo giả thiết ∆ ⊥ ( P ) nên: ∆ ∆1 •M • N ∆2 P 10 3t '+ t = k 3t '+ t − k = t ' = −2 uuuu r uur    MN = k nP ⇔ −2 − t '− t = k ⇔ t '+ t + k = −2 ⇔ t = −1 + t '+ 2t = − k t '+ 2t + k =  k = −3    uuuu r Do đó: M ( −1;6; −5) N (−4;3;−2 ⇒ MN ( −3; −3;3) ⇒ Đường thẳng ∆ có phương trình : x +1 y − z + = = 1 −1 Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Giải: Gọi ( α ) mặt phẳng chứa ∆1 vng góc với (P) uur uur ur Theo ta có véc tơ pháp tuyến ( α ) là: nα =  nP , u1  = ( 4; −3;1) ⇒ ( α ) có phương trình x − y + z + = ∆ Gọi ( β ) mặt phẳng chứa ∆ vuông góc với (P) Theo ta có véc tơ pháp tuyến ( β ) là: ∆1 ∆2 uur uur uu r nβ =  nP , u2  = ( 0; −4; −4 ) ⇒ ( β ) có phương trình y + z − = P β α Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Đặt z = t ⇒ x = − − t; y =1 − t  x = − − t  ⇒ Đường thẳng ∆ có phương trình:  y = − t z = t   ( t ∈ R) Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y − z + = đường thẳng d : x − y −1 z − = = Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm (P), cắt vng góc với d Phân tích tốn: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến nP ( 1;3; −5 ) uu r +) Đường thẳng d qua M ( 2;1;7 ) có phương ud ( 1; 2;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊂ ( P ) Đường thẳng ∆ cắt d d ⊥ ∆ 11 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua Giải: Gọi M ( x; y; z ) điểm thuộc đường thẳng ∆ Vì đường thẳng ∆ cắt d nằm mặt phẳng (P) nên qua giao điểm d (P) Tọa độ giao điểm nghiệm hệ:  x + y − 5z + =  x = 14  x + y − 5z + =    ⇔  y = 25 ⇒ ∆ qua điểm M ( 14; 25;19 )  x − y −1 z − ⇔  y = 2x − = =  z = x +  z = 19   uuuu r Gọi N ( x; y; z ) điểm thuộc đường thẳng ∆ Ta có: MN ( x − 14; y − 25; z − 19 ) uuuu r uur  MN ⊂ ( P )  MN n p = ( x − 14 ) + ( y − 25 ) − ( z − 19 ) = ⇔ Do  MN ⊥ d ⇔  uuuur uur  ( x − 14 ) + ( y − 25 ) + ( z − 19 ) =  MN ud =  x + y − 5z + =  x = 181 − 13 z ⇔ ⇔  x + y + z − 83 =  y = −89 + z  x = 181 − 13t  Đặt z = t ⇒ phương trình tham số đường thẳng: ⇔  y = −89 + 6t z = t  ( t ∈ R) Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Gợi ý: Trong cách đường thẳng ∆ giao tuyến mặt phẳng (α) với mặt phẳng (P) (α) chứa d vng góc với (P) x = + 4t  Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: y = 3+ 2t nằm z = −3+ t  P : − x + y + 2z + = ( ) mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P) cách d khoảng 14 Phân tích tốn: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến nP ( −1;1; ) r +) Đường thẳng d qua M (2;3;−3) có véc tơ phương u ( 4; 2;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊂ ( P ) Đường thẳng ∆ / /d 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: Xác định điểm mà đường thẳng qua r Giải: Đường thẳng ∆ có phương u ( 4; 2;1) với d Gọi A ( x0 ; y0 ; z0 ) hình chiếu M đường thẳng ∆ suy ra: 12 ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) = 14  AM = 14  AM = 14   uuuu rr   AM ⊥ d ⇔  AM u = ⇔ 4 ( x0 − ) + ( y0 − ) + ( z0 + ) = A∈ P A∈ P − x + y + z + = ( ) ( ) 0    ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) = 14  ⇔ 4 x0 + y0 + z0 − 11 = Đặt z0 = 11 − 2t ta có hệ : − x + y + z + = 0  ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14 ( x0 − ) + ( y0 − ) + ( 14 − 2t ) = 14   ⇔ 4 x0 + y0 − 2t = ⇔  y0 = −2 x0 + t − x + y + 22 − 4t + = −3 x − 3t + 27 = 0   ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14 ( − t ) + ( 3t − 21) + ( 14 − 2t ) = 14   ⇔  y0 = −18 + 3t ⇔  y0 = −18 + 3t x = − t x = − t    t =  14t − 196t + 672 =  t =   ⇔  y0 = −18 + 3t ⇔  y0 = −18 + 3t x = − t x = − t     x0 =  x −1 y − z + = = + Với t = ⇒  y0 = ⇒ A ( 1;6; −5 ) ⇒ ∆ có phương trình:  z = −5   x0 = x − y z +1  = = + Với t = ⇒  y0 = ⇒ A ( 3;0; −1) ⇒ ∆ có phương trình:  z = −1  x −1 y − z + x − y z +1 = = = = Vậy ∆ có hai phương trình: 4 Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Giải: Đường thẳng ∆ giao mặt phẳng (P) với mặt phẳng (α) vng góc với (P) cách d khoảng 14 uur uu r uur Mặt phẳng (α) có véctơ pháp tuyến: nα = ud ; nP  = ( 3; −9;6 ) nên phương trình có dạng: x − y + z + d = Mà d ( d , ( α ) ) = 14 ⇔ d ( M , ( α ) ) = 14 ⇔  d = −1 = 14 ⇔ d − 13 = 14 ⇔  1+ +  d = 27 2−9−6+ d + Với d = −1 ⇒ ( α ) : x − y + z − = 13 Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (P) với mặt phẳng (α) y = x = x − 3y + 2z − 1=   ⇒ x + 2z − 1= ⇒  y = ⇒ ∆ có phương trình:  −x + y + 2z + = −x + 2z + = z = −1    x = + 4t  2t y =  z = −1 + t  + Với d = 27 ⇒ ( α ) : x − y + z + 27 = Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (P) với mặt phẳng (α) y = x = x − 3y + 2z + 27 =   ⇒  x + 2z + = ⇒ y = ⇒ ∆ có phương trình:  −x + y + 2z + =  −x + 2z + 11= z = −5    x = + 4t   y = + 2t  z = −5 + t   x = + 4t  x = + 4t   Vậy có hai đường thẳng cần tìm:  y = 2t  y = + 2t  z = −1 + t  z = −5 + t   Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình hình chiếu vng góc x = 1+ t  ∆ đường thẳng d: y = mặt phẳng ( α ) : x + y − z = z = 1+ t  Phân tích tốn: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +) Mặt phẳng (α) có véctơ pháp tuyến nα ( 2;3; −1) ur +) Đường thẳng d qua A ( 1;1;1) có véc tơ phương u1 ( 1; 0;1) 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua +) Nếu d cắt (α) N N điểm qua ∆, lấy điểm M d khơng thuộc (α), xác định hình chiếu M’ M trên(α) Ta có hai điểm qua ∆ +) Nếu d khơng cắt (α) lấy hai điểm phân biệt M, N d, xác định hình chiếu M’, N’ M N (α) Ta có hai điểm qua ∆ Giải: Để xét tương giao d (α), ta xét hệ: x = 1+ t x = 1+ t x = 1+ t x = −3 y =   y =  y =  ⇔ ⇔ ⇔ ( I ) : zy == 11+ t z = 1+ t   z = 1+ t z = −3  2x + 3y − z =  2 + 2t + 3− 1− t =  t = −4 2( 1+ t) + 3− ( 1+ t) =  14 Vậy d giao với (α) N ( −3;1; −3) ⇒ đường thẳng ∆ qua điểm N Gọi d’ đường thẳng qua A vng góc với (α), nhận véctơ pháp tuyến (α) phương ⇒ d ' phương trình:  x = + 2t1   y = + 3t1 z = 1− t  ( t1 ∈ R ) Hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) giao điểm đường thẳng d’ với mặt phẳng (α) Có tọa độ nghiệm hệ:  x = + 2t1  x = + 2t1   y = + 3t x = , y = ,z =  y = + 3t     7 ⇔ ⇔   z = − t1  z = − t1 t = −  2 x + y − z =  ( + 2t1 ) + ( + 3t1 ) − ( − t1 ) =  3 9 ⇒ M '  ; ; ÷ Đường thẳng ∆ đường thẳng NM’ qua N ( −3;1; −3) 7 7 x = −3+ 4t2 uuuuu r  24 30   ( t2 ∈ R ) có phương NM '  ; − ; ÷ nên có phương trình: y = 1− t2 7   z = −3+ 5t  Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Giải: Gọi ( β ) mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng(α) uur uur ur Theo mp ( β ) qua A ( 1;1;1) có véctơ pháp tuyến: nβ =  nα ; u1  = ( 3; −3; −3) ⇒ phương trình ( β ) : x − y − z + = Hình chiếu vng góc cần tìm giao x − y − z +1 = (α) ( β ) thỏa mãn hệ:  Đặt z = + t , ta có: 2 x + y − z = 1   y = − t x − y − t = 2 x − y − 2t = ⇒ ⇒  2 x + y − − t = 2 x + y − − t =  x = + t  5 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:   x = + 4t   y = −t   z = + 5t   15 Bài tập tự luyện Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng  x = −4 − t  d:  y = −1 + 8t mặt phẳng ( P) : 3x + y + z − =  z = −3t  Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  x = −1 + 2t  x y −1 z + = d1: = d2:  y = + t (t ∈ R) Viết phương trình đường thẳng −1 z =  d vng góc với mặt phẳng ( P) : x + y − z = cắt hai đường thẳng d1 d2 ( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007) Bài 3: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A( 2;3;3) , vng góc với  x = −3  x +1 y + z + = = đường thẳng d1: cắt đường thẳng d2:  y = − t (t ∈ R) 1 z = − t  Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng d1: x−2 y +2 z −3 x −1 y −1 z +1 = = = = , d2: Viết phương trình đường −1 −1 thẳng d qua A vng góc với d1 cắt d2 (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2006) Đáp số 34   x = − 13 + 13 t  167 40  − t Bài 1:  y = − 13 13  z = t    x−2 y −3 z −3 = = Bài 3: −5 Bài 2: x − y z +1 = = −4 Bài 4: x −1 y − z − = = −3 −5 16 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm a Đánh giá định tính Tơi áp dụng đề tài vào tiết dạy lớp, qua trình thực nghiệm quan sát tơi thấy: lớp đối chứng học sinh ngại em giải tốn kiểu Cịn dạy cho lớp thực nghiệm, học sinh khơng cịn ngại mà hứng thú Các em giải tốt toán giáo viên yêu cầu, số em bước đầu sáng tạo cách giải khác cho thơng qua gợi ý giáo viên ví dụ 3, ví dụ 4, ví dụ 6, Điều rút cho giáo viên đứng lớp giảng dạy, chịu khó đọc tài tiệu tham khảo kết hợp với sáng tạo phương pháp giảng dạy Sẽ mang lại cho học sinh nhiều tiết dạy hiệu hơn, làm cho học sinh hiểu rõ vấn đề giúp em hứng thú học mơn tốn, hình tọa độ không gian Chúng ta cụ thể tốt, nên quy toán dạng Từ giúp học sinh có cách nhìn khái quát tổng hợp tìm phương pháp chung để giải toán b Đánh giá định lượng Kết làm lớp đối chứng lớp thực nghiệm qua kiểm tra sau: Điểm 10 Tổng kiểm tra Lớp Đối chứng (12A2) Thựcnghiệm ( 12A1) Loại Lớp Đối chứng (12A2) Thực nghiệm ( 12A1) 5 5 6 8 0 36 39 Yếu TB Khá Giỏi Tổng học sinh 50 15 42 49 33 36 39 Căn vào kết việc giúp em khai thác tìm cách giải cho tốn nói có kết tốt 17 PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy thấy kết thu ngồi dự kiến tơi Khi chưa có phương pháp có 20% học sinh nháp có 610% học sinh lớp có làm theo cách lúng túng khơng tự tin Sau áp dụng hầu hết bắt tay vào làm theo hai cách học cách Các em làm xong nhanh có nhiều học sinh làm tự tin với kết làm Đề tài giúp cho học sinh số công cụ hiệu để giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian Đề tài cung cấp không nhỏ dạng tập viết phương trình đường thẳng khơng gian gợi ý cho học sinh khả sáng tạo cách giải khác mở rộng tốn dạng tổng qt Khơng với mà nhận thấy áp dụng đề tài giúp cho em có tự tin việc tiếp cận với tốn khó từ rèn luyện thêm cho em tư mơn tốn 3.2 Kiến nghị Tơi viết đề tài để trao đổi với quý thầy dạy mơn tốn phần viết phương trình đường thẳng khơng gian phần có SGK hay sách tập lại có khơng đề thi đại học, mong góp ý bổ sung thêm cách làm hay tốn cho dạng này.Vì kiến thức thời gian nhiều hạn chế nên tài liệu thiếu sót, tơi xin chân thành đón nhận góp ý q thầy để đề tài có chất lượng tốt Hàng năm sáng kiến có chất lượng đề nghị sở nên phổ biến rộng rãi để giáo viên học hỏi áp dụng vào thực tế Cuối xin trân trọng cảm ơn ý kiến đóng góp bổ ích thầy cô tổ chuyên môn 18 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày13 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Nguyễn Thị Thu Huyền 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Năm xuất TT Tên tác giả Tên tài liệu tham khảo Nhà xuất Nguyễn Văn Dũng – Nguyễn Tất Thu 18 chủ đề Hình Học 12 ĐHQG Hà Nội Phan Huy Khải Bài tập Hình Học 12 GDVN 2011 Trần Văn Hạo SGK Hình Học 12 GDVN 2008 2011 Các đề thi tốt nghiệp THPT trường đại học năm gần 20 ... tài giúp cho học sinh số công cụ hiệu để giải tốn viết phương trình đường thẳng không gian Đề tài cung cấp khơng nhỏ dạng tập viết phương trình đường thẳng khơng gian cịn gợi ý cho học sinh. .. hệ: Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng ∆1 ∆ 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng qua +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 P +) Đường thẳng. .. thẳng khơng gian, tơi chia thành hai tốn để học sinh dễ nhận dạng: Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng không gian biết điểm mà đường thẳng qua + Ở toán này: đề cho biết điểm qua, không cho