MỤC LỤC Nội dung Phần I Phần mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phần II Nội dung đề tài Cơ sở lý luận Thực trạng cửa vấn đề trước áp dụng SKKN Các toán đặc trưng Dạng Các toán khai thác các tính chất liên quan tới các điểm các đường đặc biệt tam giác Dạng Các toán khai thác các mối liên hệ các yếu tố hình học nhờ vào giả thiết toán Hiệu áp dụng Phần III: Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo -1- Trang 2 3 4 5 13 20 21 23 PHẦN I: MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ vận dụng để giải số vấn đề xảy thực tế Vì vậy việc dạy học môn Toán dạy cho học sinh có lực trí tuệ, lực từ giúp học sinh học tập tiếp thu các kiến thức khoa học biết cách vận dụng vào sống Dạy học môn Toán người thầy không dạy cho học sinh kiến thức toán học ( công thức, định lý, định đề , tiên đề …) mà người thầy phải dạy cho học sinh có lực, trí tuệ để giải vấn đề được nêu học tập sau Trong năm gần khoa học ngày phát triển, người cần phải nắm bắt kiến thức đại Do việc đổi mới phương pháp dạy học vấn đề cấp thiết để học sinh nắm bắt được các kiến thức khoa học có khả vận dụng vào thực tiễn góp phần vào việc xây dựng bảo vệ tổ quốc Với phương pháp dạy học đại việc truyền thụ, cung cấp kiến thức, kỹ cần thiết cho học sinh, thầy giáo cần phải quan tâm đến việc rèn luyện kỹ suy luận logic, biết tổng hợp, khái quát hóa các kiến thức học cách hệ thống để học sinh có khả vận dụng các kiến thức học để tự giải vấn đề cách động sáng tạo Trong trương trình toán học sơ cấp THPT phương pháp tọa độ mặt phẳng dạng toán quen thuộc gần gũi với đối tượng học sinh Rất nhiều các toán khác từ toán cổ thực tế đến toán phức tạp các môn học khác cần áp dụng tính chất toán tọa độ Đặc biệt các kỳ thi tuyển sinh ĐHCĐ trước (nay thi THPT Quốc gia), các kỳ thi HSG tỉnh HSG quốc gia các tập phương pháp tọa độ mặt phẳng chủ đề hay khiến đại phận học sinh cảm thấy bế tắc quá trình định hướng tìm lời giải Trên thực tế có rất nhiều các tài liệu tham khảo các giảng phương pháp tọa độ các nhà toán học lớn, các chuyên gia Tuy nhiên các sách với các phương pháp chứng minh độc đáo các tác giả gần xa lạ với rất nhiều học sinh đặc biệt các học sinh ở vùng nông thôn điều kiện tiếp xúc với tài liệu khó khăn việc nắm bắt được các nội dung trình bày các tài liệu dường hoàn toàn bế tắc Các lời giải các toán tọa độ mặt phẳng các tài liệu nêu đối với đại phận học sinh mang tính gượng ép thiếu tự nhiên mặt suy luận Nhiều tính chất phức tạp hình học phẳng được đưa vào áp dụng lời giải khiến giải thiếu tính tự nhiên khó hiểu với đại phận học sinh Trong qua nghiên cứu dạng toán mấy năm gần ở các kỳ thi tuyển sinh nhận thấy các kiến thức hình học cần sử dụng để giải toán khá đơn giản Phần lớn giả thiết các toán gợi ý cho ta mối liên hệ các tính chất hình vẽ -2- toán Trên sở việc giải các toán trở nên tương đối nhẹ nhàng với đại phận học sinh Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT giảng dạy ở số lớp ôn thi đại học, ôn thi THPT Quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy nhiều học sinh chưa có phương pháp giải lớp toán này, lúng túng nhầm lẫn quá trình làm Học sinh vận dụng kiến thức học để giải vấn đề lý sau: quên kiến thức học, chưa hiểu yêu cầu toán, rèn luyện nên dẫn đến khả phân tích, tổng hợp các dạng yếu, không nhận dạng được loại toán MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Với lý nêu chọn đề tài: “Định hướng tư phân tích toán thông qua số tập hình học tọa độ mặt phẳng, nhằm nâng cao hiệu học tập chuyên đề phương pháp tọa độ mặt phẳng cho học sinh lớp 10 – Trường THPT Quảng Xương 4” với mong muốn dần hình thành cho học sinh tư thuật toán quá trình tìm lời giải cho các toán hình giải tích mặt phẳng, để học sinh tham khảo vận dụng quá trình học tập Bên cạnh thông qua ví dụ việc phân tích lời giải các tập nêu đề tài nhằm giúp học sinh hình thành tư thuật toán quá trình tiếp cận với các toán các dạng tập hình giải tích mặt phẳng các mối liên hệ hình học các yếu tố giải tích có liên quan ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Đề tài tập trung nghiên cứu các dạng tập liên quan đến phương trình đường thẳng đường tròn hệ trục tọa độ Oxy Các toán có sử dụng các kiến thức hình học ở bậc THCS số dạng hình có tính chất đặc biệt mà học sinh quen biết PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Trong quá trình nghiên cứu để hình thành đề tài, chủ yếu sử dụng các phương pháp sau Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm giảng dạy Thực hành thông qua các tiết dạy ôn thi đại học ôn tập học sinh giỏi môn Toán nhà trường -3- PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÝ LUẬN: Đề tài nghiên cứu thành nhiều mảng nhỏ, đề cập đến toán thuộc chủ đề khác thuộc phân môn Hình học Vì đặc thù sáng kiến tập trung vào nghiên cứu phương pháp xử lý toán tọa độ mặt phẳng nên vấn đề lí thuyết tổng quát đề tài nêu dạng sơ lược 1.1 Một số kiến thức công thức sử dụng SKKN: a Phương trình đường thẳng: r  x = x + at (t ∈ ¡ ) y = y + bt  + Đường thẳng d qua M (x ; y0 ) có vtcp u(a;b) : (d) :  r + Đường thẳng d qua M (x ; y0 ) có vtpt n(A; B) : (d) : A(x − x ) + B(y − y ) = b Phương trình đường tròn: + Đường tròn tâm I(a; b) bán kính R: (x − a)2 + (y − b) = R c Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho d : Ax + By + C = M (x ; y0 ) : d(M ;d) = d Góc hai đường thẳng: | Ax + By0 + C | A + B2 · Cho d : Ax + By + C = 0;d ' : A 'x + B' y + C' = : cos(d,d ') = | AA '+ BB' | A + B A '2 + B'2 1.2 Các ý thường gặp: + Điều kiện để hai đường thẳng song song vuông góc + Các công thức trung điểm, trọng tâm + Dạng tọa độ điểm thuộc đường thẳng + Một số kiến thức hình học THCS có liên quan 1.3 Một số nguyên tắc toán: a Các hướng nhận định ban đầu: + Bài toán liên quan đến tọa độ điểm + Từ giả thiết lập phương trình đường thẳng nào, xác định được tọa độ điểm liên quan + Có thể sử dụng tính chất hình học b Vận dụng nhận định tìm lời giải: + Xác định tọa độ các điểm, viết phương trình các đường từ giả thiết + Lấy điểm thuộc đường thẳng đưa toán khai thác các yếu tố giải tích + Phát các tính chất hình học có liên quan toán c Nguyên tắc thực hiện: + Vẽ hình xác nhằm phát các mối liên hệ toán: Các đường thẳng song song, vuông góc, các đoạn thẳng nhau, tỉ lệ -4- + Gán điểm theo dạng tọa độ đưa toán dạng giải tích THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN: Hiện rất nhiều học sinh lúng túng việc giải các toán phương pháp tọa độ mặt phẳng, đặc biệt các toán cần khai thác tính chất hình học đòi hỏi sự tư linh hoạt Thực trạng có nhiều lý có mâu thuẫn xảy phần kiến thức tập các dạng tập sách giáo khoa thường xuyên xuất các kỳ thi điển đề thi đại học tất các năm Theo thống kê 70% học sinh trường THPT Quảng Xương tham gia kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 các kỳ thi thử các nhà trường tổ chức không giải được dạng toán Bên cạnh với dạng tập đòi hỏi học sinh phải tư duy, phân tích, nhìn nhận toán dưới nhiều góc độ khác nhau, biết vận dụng nhiều kiến thức liên quan Do vậy học sinh nắm được các kiến thức được trình bày dưới hy vọng học sinh giải được các lớp toán nhỏ các toán tọa độ mặt phẳng CÁC DẠNG TOÁN ĐẶC TRƯNG NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHÂN TÍCH CHO HỌC SINH: Dạng Các toán khai thác tính chất liên quan đến điểm đường đặc biệt tam giác Trong nội dung phần phân tích tìm đường hướng cho lớp các toán thể các mối quan hệ hình học các yếu tố tam giác Đó các mối quan hệ điểm, cạnh, góc tam giác, các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt tam giác Trên sở giả thiết toán, xác định được mối liên quan các yếu tố từ vận dụng cách thích hợp các tính chất hình học tìm yêu cầu toán Trước vào các dạng toán cụ thể phân tích cách nhìn nhận vấn đề cách thức tư qua hai toán Trên sở phân tích cách nhìn nhận toán đường suy luận để đến lời giải thích hợp, nhằm giúp bạn đọc hình dung phương pháp chung để tiếp cận các dạng toán hình học tọa độ mặt phẳng Chúng ta xét toán đơn giản sau: Bài toán 1.1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC , biết A(1; 3) hai đường đường trung tuyến có phương trình d1 : x − 2y + = 0; d : y − = Phân tích toán: + Trên sở giả thiết ta xác định được tọa độ trọng tâm tam giác ABC + Khi xảy các tình huống: - Dùng công thức trọng tâm? - Xác định được tọa độ các điểm có liên quan -5- - Dựa vào hình vẽ tính chất liên quan đến đường trung tuyến tìm được tọa độ số điểm có liên quan, lập được phương trình số đường liên quan từ xác định yêu cầu toán + Sử dụng các tính chất hình học tìm các mối liên hệ các đại lượng toán: Điểm tìm được? Đường thẳng xác định phương trình? Mối liên quan điểm đường thẳng với yêu cầu toán? Với các cách tiếp cận ta đến số cách giải sau: Cách 1: ( Phương pháp giải tích hóa) + Thấy A ∉ d1, A ∉ d2 Giả sử d1 qua B, d2 qua C  x − 2y + = ⇒ G ( 1, 1) y −1 = Tính được tọa độ trọng tâm G nghiệm hệ  + Vì B ∈ d1 nên B(2b-1 ;b) , Vì C ∈ d2 nên C(c ;1) xA + xB + xC   x G = + Từ gỉa thiết G tâm tam giác ABC suy   y = y A + y B + yC  G Tính được b = -1, c = Suy B(-3, -1) ; C(5, 1) Nhận xét: + Đây cách làm đơn giản nhất đối với học sinh mang ý nghĩa mặt giải tích + Từ kiện toán cho biết được dạng tọa độ các điểm thuộc đường thẳng Sử dụng mối liên hệ giả thiết ( G trọng tâm tam giác) ta giải được yêu cầu + Chú ý: Một điểm mặt phẳng Oxy được xác định bởi hai tọa độ Cần tìm điểm cần xác định được hai hệ thức liên quan đến hai tọa độ tương ứng điểm Cách 2: ( Sử dụng mối quan hệ hình học) Cách 2.1: + Ta tìm được điểm G(1;1) + Gọi M trung điểm BC Từ đẳng thức: uuuu r uuur AM = AG ta có M(1;0) + Lập phương trình đường thẳng qua M song song với d1 ∆1 : x − 2y − =  x − 2y − = ⇒ I(3;1) y − =  Từ tìm được tọa độ I = d ∩ ∆1 :  Do I trung điểm GC nên có C(5;1) + Lập phương trình đường thẳng qua M song song với d ∆ : y = -6-  x − 2y + = ⇒ I(−1;0) y = Từ tìm được tọa độ J = d1 ∩ ∆ :  Do J trung điểm BG nên có B(−3; −1) Bên cạnh cách dựng ta số cách làm sau: Cách 2.1: + Tìm được tọa độ điểm G + Xác định được tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua G + Lập phương trình các đường thẳng ∆1; ∆ qua A’ lần lượt song song với d1;d + Do tứ giác BGCA’ hình bình hành nên tìm được B = d1 ∩ ∆ ;C = d ∩ ∆1 Cách 2.2: + Tìm được tọa độ điểm G từ tính được tọa độ trung điểm K AG + Lập phương trình các đường thẳng ∆1; ∆ qua K lần lượt song song với d1;d + Dễ dàng chứng minh được ∆1; ∆ qua trung điểm các cạnh AB AC + Tìm được P = d ∩ ∆1;Q = d1 ∩ ∆ + Dùng công thức trung điểm tìm được tọa độ các điểm B, C Nhận xét: + Ba cách giải nhờ vào việc áp dụng ý nghĩa hình học nêu thực chất có chất giống nhau: + Trên sở việc xác định được tọa độ điểm G ta tìm được tọa độ các điểm đặc biệt có liên quan: Điểm M trung điểm BC, điểm A’ đối xứng với A qua G điểm K trung điểm AG + Sau xác định được tọa độ điểm nêu ta lập được các đường thẳng liên quan qua điểm đồng thời song song vuông góc với các đường thẳng cho đề + Kết hợp với việc vẽ hình xác ta dễ dàng phán đoán tìm được các tính chất có liên quan để sử dụng phép toán thích hợp Bài toán 1.2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3) Các đường  3 tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(3;2), K  2; ÷ Viết  2 phương trình đường thẳng BC Phân tích toán: -7- + Bài toán cho ta biết tọa độ đỉnh với tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp + Trên sở đề ta phân tích số đặc điểm sau: - Có thể so sánh khoảng cách từ K đến BC khoảng cách từ I đến BC - Có thể dùng hệ thức Ơ le để xác định bán kính tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Có thể sử dụng hình học để lập phương trình cạnh BC thông qua tương giao hai đường tròn xác định Trên sở các nhận định ta có các phương pháp giải toán này: Cách 1: ( Sử dụng mối liên hệ tính chất đường phân giác hình chiếu, định lý hàm sin) + Vì I tâm đường tròn nội tiếp nên AI phân giác góc BAC Gọi AI cắt đường tròn tại D KD ⊥ BC + Phương trình AD − x + y + = + Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác (x − 2)2 + (y − )2 = 25 + Tọa độ D nghiệm hệ − x + y + =  x = ⇔ D(4;3) (loai)   25 ⇔  1 −1 x = ⇔ D( ; ) (x − 2) + (y − ) =  2 uuur + Đường thẳng BC có VTPT DK( ;2) nên có phương trình 3x + 4y + c = · · + Gọi E,F hình chiếu I AB BC gọi BAD = a ⇒ BKD = 2a + Ta có d = d(I;BC) = IE = IF = AIsin a ⇒ d = AI sin a = − cos 2a (1) Và d(K;BC) = BKcos 2a = AKcos 2a ⇒ cos 2a = d(K; BC) thay vào (1) ta được  c = −12  17 + c  12 + c 2 d = − d(K;BC) ⇔  ⇔ c = −20 ÷ = 1− 5    c = −24 ( Trường hợp C=-20 C=-24 loại A, D nằm phía với BC) Với c = −12 phương trình BC 3x + 4y − 12 = Cách 2: ( Sử dụng hệ thức Ơ le tam giác) Hệ thức Ơ le: IK = R − 2Rr R, r lần lượt bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Trong toán ta nhận thấy độ dài IK R các đại lượng xác định được Do ta tính được r Dựa vào tính chất r = d(I, BC) từ ta xác định được phương trình cạnh BC -8- Về chất cách làm tương tự cách làm ví dụ sở biết được tính chất hình học liên quan đến đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp ta dễ dàng tìm hướng toán Với lời giải cách trình bày cho ta kết tương tự cách Cách 3: ( Sử dụng yếu tố phát từ việc quan sát đặc điểm giả thiết toán) Nhờ phân tích ta nhận thấy toán liên quan đến điểm đặc biệt nêu ở Bên cạnh ta nhận thấy DB=DC=DI Do B, C thuộc đường tròn tâm D bán kính DI Vậy đường thẳng BC giao đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn bán kính DI Do ta có lời giải: Ta thấy từ giả thiết cho ta các mối liên hệ: + Lập được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: (x − 2)2 + (y − )2 = 25 + Phương trình AD − x + y + = + Tìm được điểm D giao phân giác góc A đường tròn − x + y + =  x = ⇔ D(4;3) (loai)  ngoại tiếp:  25 ⇔  1 −1 (x − 2) + (y − ) = x = ⇔ D( ; )   2 2 + Phương trình đường tròn tâm D bán kính DI : (x − ) + (y+ ) = 25 + Phương trình đường thẳng qua BC : 25  (x − 2) + (y − ) = ⇒ 3x + 4y − 12 =  1 25 2 (x − ) + (y + ) =  2 Bài toán 1.3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H thuộc đường thẳng (d): 3x − y − = Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phương trình: x + y − x − 5y + = , trung điểm BC M(3;2) Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC Phân tích toán: + Xác định được tọa độ trực tâm H + Trên sở tính chất hình học liên quan đến các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB qua các cạnh BC, CA, AB ( Cùng bán kính, tâm đối xứng qua trung điểm BC) + Bài toán cho biết trung điểm M AB liên quan đến đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB + Vì H nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC điểm N đối xứnguuvới HuurquauuM ur u uu r nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ta có: NB = AH = OO ' Cùng với giả thiết OM vuông góc với AB ta tìm được lời giải cho toán -9- Lời giải: + Phương trình đường tròn (HBC) viết lại là: (x − )2 + (y − ) = Toạ độ điểm H(2;2) + Lấy B(x,y) thuộc (HBC) Gọi N điểm đối xứng H qua M, có N(2;4) + Gọi O, O’ lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC HBC uuur uuur Dễ dàng chứng minh được NB = OO' nên có: O( − x; 13 − y) + Do OM vuông góc với BM nên: uuuu r uuuu r 13 23 OM.BM = ⇔ x + y − x − y + = (1) 2 + Lại có B thuộc đường tròn tâm O’ nên: x + y − x − 5y + = (2)  x = 1; y = + Giải hệ (1) (2) ta có:  Với x=2; y=3 ta có B trùng M  x = 2; y = Vậy tam giác ABC có các đỉnh có toạ độ là: A(3;2), B(1;4); C(1;1) Bài toán 1.4: Trong mp chứa hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC, hai đường cao BH CK có phương trình x − y + = 2x + y − = ; biết đỉnh A nằm tia Ox tam giác ABC có diện tích bằng 12; tìm tọa độ đỉnh A, B, C Phân tích toán: + Từ kiện điểm A thuộc tia Ox cho phép ta gán tọa độ điểm A(a;0) với điều kiện a>0 + Trên sở mối quan hệ vuông góc ta lập được phương trình các đường thẳng AB AC ( Các đường thẳng phụ thuộc vào tọa độ điểm A) + Từ ta tìm được tọa độ các điểm B, C theo biến a + Áp dụng công thức diện tích ta xác định được a từ suy được các điểm B, C Lời giải : + Vì A thuộc tia Ox ⇒ A(a; 0), a > + Đường thẳng AB qua A, vuông góc với CK nên có pt: x − 2y − a = + Đường thẳng AC qua A, vuông góc với BH nên có pt: x + y − a =  x − 2y − a =  x = −a − ⇔ => x − y + =  y = −a − + Tọa độ B nghiệm hệ:  B( −a − 2; −a − ) 2x + y − =  x = −a + ⇔ => x + y − a =  y = 2a − C( −a + 4;2a − ) + Tọa độ C nghiệm hệ:  - 10 - + Do S∆ABC = 12 ⇔ AC.d(B, AC) = 12  a − a − = −4 a = −2 (loai) ⇔ 9(a − a − 2) = 144 ⇔  ⇔  a − a − = a = 2 + Vậy A(3; 0), B(-5; -4), C(1; 2) Bài toán 1.5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có   3 đỉnh A ( 2;6 ) , chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A điểm D  2; − ÷ tâm    đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm I  − ;1÷ Viết phương trình đường   thẳng chứa cạnh BC Phân tích toán: + Từ kiện toán ta lập phương trình đường thẳng AD đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Trên sở hình vẽ kết hợp với giả thiết toán ta thấy rằng tìm thêm giao điểm E AD đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Do cần phải tìm mối liên hệ điểm I, A, E Theo tính chất phân giác có E trung điểm cung BC nên IE ⊥ BC Vậy toán giải Lời giải : + Gọi E giao điểm thứ hai AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có phương trình đường thẳng AD: x − = + Do E thuộc đường thẳng AD nên E(2; t) Mặt khác I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên: 2 1 1   IA = IE ⇔ ( t − 1) +  −2 − ÷ =  + ÷ + 52 ⇔ ( t − 1) = 52 ⇔ t = 6; t = −4 2 2   Do đo ta được E ( 2; − ) + Do AD phân giác nên E điểm cung BC suy IE vuông uu r ( 1; −2 ) vectơ pháp tuyến 3  + Do pt BC là: BC :1 ( x − ) −  y + ÷ = ⇔ x − 2y − = 2  + Vậy BC :x − 2y − = góc với BC hay BC nhận EI = − Bài toán 1.6: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1;1),C(7;1) nội tiếp đường tròn tâm I(4;2) Xác định tọa độ điểm B, biết trực tâm H tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x − y = Phân tích toán: - 11 - + Bài toán cho ta biết tâm đường tròn ngoại tiếp tọa, dạng độ trực tâm tọa độ hai đỉnh A,C + Do đặc thù toán ta nghĩ đến hệ thức leur mối liên hệ ba uuur Ơ u điểm I, G, H: HG = 2GI + Dựa vào công thức trọng tâm ta tìm được tọa độ điểm B theo toa độ H + Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp ta tìm được mối liên hệ: IA=IB + Từ có sở cho phép ta xác định được tọa độ điểm B Lời giải : uuur uur + Theo hệ thức đường thẳng Ơle có: HG = 2GI + Vì điểm H thuộc đường thẳng y=x nên ta có H(t; t) G( + Do G trọng tâm tam giác ABC nên có B(t; t + 2) 8+ t 4+ t ; ) 3 t = t = 2 2 + Mặt khác IB = IA ⇔ IB = IA ⇔ (t − 4) + t = 10 ⇔  + Do B(1;3) B(3;5) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;3) trung điểm AB; biết H(1;5);K(5;9) lần lượt chân đường cao kẻ từ C B tam giác Tìm tọa độ các đỉnh tam giác biết điểm B có hoành độ dương Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K(0; 2) , trung điểm cạnh AB M(3; 1) 11 19 ) chân các 10 Bài 3: Trong hệ Oxy cho tam giác ABC Biết D(4; );E( ; đường cao kẻ từ A B tam giác Biết N(3;3) trung điểm cạnh AB trung điểm M BC thuộc đường thẳng d : x − 3y − = , hoành độ điểm M lớn Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC,C(−3;0), đường thẳng qua chân đường cao kẻ từ B A tam giác có phương trình 7x+y+5=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,biết M(4;1) thuộc đường tròn Bài 5: Cho ∆ABC có trọng tâm G(1;1), đỉnh A ∈ d : 2x − y + = , đỉnh B C thuộc đường thẳng x+2y−1=0 Tìm A,B,C, biết S∆ABC = Dạng Các toán khai thác mối liên hệ yếu tố hình học nhờ vào giả thiết toán Trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học cao đẳng năm gần các toán Hình giải tích mặt phẳng đề tài được quan tâm - 12 - nhiều nhất Một phần các toán thuộc dạng rất đa dạng phương pháp, phong phú cách làm Điều khiến cho rất nhiều học sinh lúng túng gặp phải các toán dạng Mấu chốt vấn đề đặt đứng trước các toán thuộc dạng học sinh phải xác định được điểm thắt toán Trên sở giả thiết cần phân tích tìm được các tính chất có liên quan để tìm được hướng thích hợp Vậy đứng trước toán dạng cần phải làm gì? phải sử dụng kiến thức nào? Thông qua số ví dụ dưới hi vọng các em dần tìm được hướng cho các toán dạng Bài toán 2.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 2 Gọi M,N trung điểm BC,CD Biết tam giác AMN vuông M(0;1), AN có phương trình: 2x + y − = Tìm tọa độ điểm A, B, C, D biết A có hoành độ lớn Phân tích toán: + Các kiện có liên quan bài: Biết diện tích hình chữ nhật, tọa độ điểm M phương trình đường thẳng AN + Từ kiện toán ta nhận thấy: Có thể xác định khoảng cách từ M đến AN + Bên cạnh đề cho giả thiết điểm A có hoành độ lớn Dữ kiện cho phép ta nghĩ tới việc tham số tọa độ điểm A với A(a;4 − 2a) + Mặt khác toán cho ta biết diện tích hình chữ nhật sở ta tính diện tích tam giác AND, CMN, ABM Từ dễ dàng tính diện tích tam giác AMN + Với kiện tam giác AMN vuông, độ dài đường cao hạ từ M tam giác AMN biết biết ta tính độ dài AN AM, từ xác định tọa độ điểm A Bài toán giải Lời giải 1: + Khoảng cách từ M đến AN: MH = 3 + Do lấy A(a;4 − 2a); N(n;4 − 2n) ta có các yếu tố liên quan   2 AN = (n − a) = là:  uuuur uuuur2 ⇔  AM.MN = 3an − 2(a + n) + =   + Lại có: SAMN = SABCD − SAMB − SADN − SMNC = SABCD = Giải hệ hai ẩn a, n với lưu ý: a>1 ta tìm được tọa độ A, N Từ toán được giải Tuy nhiên lời giải ta nhận thấy khó khăn phải xác định tọa độ A, N dưới dạng tham số Ta phân tích toán dưới dạng phát thêm các tính chất hình học liên quan - 13 - Nhận thấy đặt MA = x;MN = y(x, y > 0) ta thiết lập được mối liên hệ dựa vào các tính chất tam giác vuông AMN: Định lý Pitago công thức AM + MN = AN  đường cao:  1 Từ tính được độ dài AM tìm được tọa + =   AM MN MH độ điểm A Cách làm cho phép ta sử dụng giả thiết liên quan đến điểm A Lời giải 2: + Dễ dàng tính được: MH = ; AN = 2 x =    y =  x + y =   2 ⇔ + Đặt MA = x;MN = y(x, y > 0) có hệ:  1   + =1   x =  x y   y =  Từ việc tìm được x ta dễ dàng xác định được tọa độ điểm A Bài toán được giải Bài toán 2.2: Cho hình vuông ABCD Điểm E(2;3) thuộc đoạn thẳng BD Các điểm H(-2;3) K(2;4) hình chiếu vuông góc điểm E AB, AD Xác định tọa độ đỉnh hình vuông biết điểm D có hoành độ lớn Phân tích toán: + Từ giả thiết toán ta dễ dàng lập phương trình đường thẳng chứa AB AD, từ xác định tọa độ điểm A Vấn đề lại cần phải xác định đọ dài cạch hình vuông tính chất liên quan đến điểm E, H, K + Nhận thấy giả thiết toán liên quan đến hoành độ điểm D mà điểm D thuộc đường thẳng AD Qua tính chất hình vuông ta thấy tam giác KDE vuông cân mà độ dài KE xác định Do từ đẳng thức KE = KD ta dễ dàng tìm tọa độ điểm D Bài toán giải Lời giải : + Phương trình đường thẳng AB: x + = ; AD: y − = + Vậy A(-2;4) Lấy D thuộc AD nên D(d; 4) + Lại có tam giác KED vuông cân đỉnh K nên KD=KE d = Do có: ⇒ ( d − ) =  d = 1(L) + Với d=3 nên D(3;4) Do phương trình BD: x − y + = - 14 - Vậy B = BD ∩ AB ⇒ B(−2; −1) ; C(3; −1) Bài toán 2.3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Đường thẳng AC có phương trình là: 3x − y − = 0  Gọi H trung điểm BC, D hình chiếu vuông góc H AC M trung điểm HD Đường thẳng BD qua điểm E(8;−5) phương trình đường thẳng AM là: 11x − 7y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Phân tích toán: + Từ giả thiết ta xác định tọa độ điểm A Vấn đề đặt cần tìm mối liên hệ xung quanh đường thẳng BD BD chứa điểm E có tọa độ xác định theo giả thiết toán + Phán đoán theo hình vẽ ta nhận thấy AM BD vuông góc với Sử dụng công cụ hình phẳng ta chứng minh điều Trên sở ta giải toán Lời giải : 3x − y − = ⇒ A(3;4) 11x − 7y − = + Ta có tọa độ A thỏa:  + Lại có : uuuu r uuur uuur uuur 2AM.BD = AH + AD uuur uuur uuur uuur = HD AD − HD + AD ( ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur ) ( BH + HD ) = AH.BH + AD.HD + AHHD + AD.HC uuur uuur ( HD + DC ) = DC.DA − HD = (Bài toán hoàn toàn chứng minh hình học phẳng túy nhờ việc lấy thêm trung điểm N DC Khi M trực tâm tam giác AHN, AM vuông góc với HN hay AM vuông góc với BD) 7 4 + Do AM ⊥ BD Vậy phương trình BD: 7x + 11y − = nên D  ; − ÷ 5 5 −2   +Đường thẳng HD có phương trình: x + 3y + = 0 nên M  ; ÷ ⇒ H(−1;0) 5  Từ ta có phương trình đường thẳng BC: x + y + = Vậy B(−3;2);C(1; −2) Bài toán 2.4: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A Gọi M điêm thuộc cạnh AC cho AB=3AM Đường tròn tâm I(1;-1) đường kính CM cắt BM D Biết đường thẳng BC qua điểm N( ;0) , phương trình đường thẳng CD x − 3y − = điểm C có hoành độ dương Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Phân tích toán: - 15 - + Ta thấy từ giả thiết góc ABM hoàn toàn xác định Lại có giả thiết toán cho dạng đặc điểm tọa độ điểm C nên ta tìm mối liên quan đến đại lượng có chứa C + Từ giả thiết toán thấy tứ giác nội tiếp ABCD nên tìm mối quan hệ góc bằng + Sử dụng công thức góc ta xác định tọa độ điểm C Vấn đề lại tương đối đơn giản Lời giải : + Tứ giác ABCD nội tiếp nên AB · · · · ABM = ACD ⇒ cos ABM = cos ACD = = BM 10 + Gọi C(3c + 6;c) có: c = −1 |10c + 16 | = ⇔ 5c + 16c + 11 = ⇔   c = − 11 (L) 10c + 32c + 26  + Với c = −1 ⇒ C(3; −1) + Phương trình đường thẳng BC: 3x + 5y − = + Điểm M(−1; −1) nên có BM: 3x + y + = Vậy B(-2:2) + Lại có: ( AC ) : y + 1;(AB) : x + = nên A(-2;-1) Bài toán 2.5: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 45 ,đáy lớn CD nằm đường thẳng x − 3y − = Biết hai đường chéo AC, BD vuông góc với I(2;3) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương Phân tích toán: + Giả thiết cho hình thang cân biết diện tích cạnh đáy CD Giao điểm hai đường chéo có tọa độ có tính chất vuông góc + Bài toán cho ta tọa độ điểm I phương trình đường thẳng CD, từ ta xác định phương trình đường thẳng qua I vuông góc với CD Dễ nhận thấy rằng đường thẳng qua trung điểm M, N AB CD + Từ tìm tọa độ điểm M Do thấy có tam giác IBC nội tiếp đường tròn bán kính IM có phương trình xác định Từ ta tìm tọa độ C, D giao điểm DC đường tròn Khai thác công thức diện tích từ tìm tọa độ điểm C lập phương trình BC Lời giải : - 16 - + Gọi M , N lần lượt trung điểm CD AB Do hai đường chéo vuông góc tại I nên có: IN = IA = IB;IM = IC = ID + Lại có IM ⊥ CD nên IM = d(I;CD) = 10 ⇒ CD = 10 + Phương trình đường thẳng MN qua I vuông góc CD: 3x + y − =  x − 3y − = x = ⇔⇔  ⇒ M(3;0) 3x + y − = y = + Tọa độ M thỏa:  + Hai điểm C, D thuộc đường tròn tâm M bán kính MI: (x − 3)2 + y = 10 x =   x − 3y − =   y = ⇒ C(6;1);D(0; −1) ⇔ + Tọa độ điểm C, D thỏa:  2 x = (x − 3) + y = 10    y = −1 + Diện tích hình thang: S= MN(AB + CD) 45 = (IN + 10) = 2 nên 10 uur uu r uuu r ID IM = = ⇒ DI = 2IB ⇒ B(3;5) ⇒ BC = (3; −4) đường thẳng BC + IB IN có phương trình: 4x + 3y − 27 = IN = Bài toán 2.6: Cho tam giác ABC có A(2;3), phân giác góc A (d): xy+1=0 Tâm đường tròn ngoại tiếp I(6;6) Diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC.Viết phương trình đường thẳng BC Phân tích toán: + Từ kiện giả thiết toán cho ta xác định phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Biết phương trình đường phân giác đường tròn ngoại tiếp tam giác ta tìm tọa độ điểm D Nhận thấy điểm D điểm cung BC ta nhận thấy ID vuông góc với BC + Vấn đề lại liên quan đến tỷ số diện tích tam giác ABC tam giác IBC Nhận thấy rằng hai tam giác ABC tam giác IBC chung đáy BC tỷ số diện tích hai tam giác tỷ số hai đường cao tỷ số khoảng cách hai điểm A I so với BC Đây mấu chốt toán Lời giải: + Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: (C) : (x − 6) + (y − 6) = 25 (x − 6) + (y − 6) = 25  x = 2; y = 3(L) ⇔ + Tọa độ điểm D nghiệm hệ:   x = 9; y = 10 x − y + = - 17 - + Phương trình đường thẳng BC dạng: 3x + 4y + c = d(A;BC) =3 d(I, BC) | 42 + c | | c + 18 | + Có: d(I, BC) = ; d(A;BC) = có: 5 | c + 18 | | 42 + c | = ⇔ c = 30 5 Vậy phương trình đường thẳng BC là: 3x + 4y + 30 = + Lại có S(ABC) = 3S(IBC) ⇔ BÀI TẬP ÁP DỤNG: Loại 1: Các toán hình bình hành: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có D(−6;−6) Đường trung trực DC có phương trình d1 : 2x + 3y + 17 = phân giác góc BAC có phương trình 5x+y−3=0 Xác định tọa độ các đỉnh lại hình bình hành ABCD Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tam giác ABD vuông cân nội tiếp đường tròn (C) : (x − 2) + (y − 1) = Biết hình chiếu vuông góc B,D xuống đường chéo AC lần lượt  22 14   13 11  H  ; ÷, K  ; ÷ Hãy tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D hình bình hành  5 5 5 ABCD biết B,D có tung độ dương AD = Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(2;1), đường chéo BD có phương trình x+2y+1=0 Điểm M nằm đường thẳng AD cho AM=AC Đường thẳng MC có phương trình x+y–1=0 Tìm tọa độ các đỉnh lại hình bình hành ABCD Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1;0), B(2;0) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y=x Tìm toạ độ C,D Bài 5: Cho hai đường thẳng (d1): x+y-1=0, (d2): 3x-y+5=0 Lập phương trình các cạnh lại hình bình hành ABCD có cạnh nằm hai đường thẳng có tâm I(3;3) Lấy M∈AD cho AD=3AM Xác định toạ độ điểm N∈BC cho MN chia hình bình hành thành hai phần có tỉ số diện tích 2:3 Loại 2: Các toán hình chữ nhật: Bài 1: Trong mặt phăng toạ độ (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD có đường thẳng AD có phương trình: x−y+1=0, Gọi H hình chiếu vuông góc A lên 16 ; ) trung điểm P DC có toạ độ 5 BD, M trung điểm BH Giả sử M( (6;5) Tìm toạ độ A Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy chi hình chữ nhật ABCD, biết phân giác góc ABC qua trung điểm M AD, đường thẳng BM có phương trình: x−y+2=0, điểm D thuộc đường thẳng (d): x+y−9=0, điểm E(−1;2) thuộc cạnh AB điểm B có hoành độ âm Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật - 18 - Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường chéo AC:x+y−3=0 BD:x+7y−9=0 Biết đường thẳng BC qua điểm M(−7;−2) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, biết phân giác góc ABC qua trung điểm M cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình x−y+2=0, điểm D thuộc d:x+y−9=0, điểm E(−1;2) thuộc cạnh AB điểm B có hoành độ âm Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ tâm I hình chữ nhật ABCD biết phương trình các đường thẳng AD:x+y+2=0; AC:x−3y+6=0 BD qua điểm E(−6;−12) Loại 3: Các toán hình vuông: 2 Bài 1: Cho điểm I( ; );M( −4; −1); N( −2; −4) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông tâm I đồng thời M thuộc AB, N thuộc CD đỉnh B có hoành độ âm 5 2 các đường thẳng d1 : x + y − = 0;d : x + y − = Tìm tọa độ các đỉnh Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I( ; ) , hai điểm A, B lần lượt nằm hình vuông Bài 3: Cho hình vuông ABCD biết A ∈ d1 : x − 3y = , C ∈ d : 2x + y − = , B, D ∈ d3 : x − y = Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông Bài 4:Cho hình vuông ABCD tâm I, biết A(1;3) Trọng tâm các tam giác 17 ) Tìm tọa độ các đỉnh lại hình 3 ADC IDC lần lượt G1 ( ;5);G ( ; vuông Bài 5: Cho hình vuông ABCD có AB : 4x = 3y − = 0;BC : 3x − 4y + 19 = Điểm M(1;-7) thuộc đường chéo AC Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông Loại 4: Các toán hình thoi:  3 5  5 , ÷có tâm I  2, ÷ 2  2  · Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho MAN = 300 Gọi E Bài 1: Cho hình thoi ABCD với A ( 2, ) ; B  − tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Viết phương trình đường thẳng AE, biết điểm M có tung độ Bài 2: Cho hình thoi ABCD Cạnh AB có phương trình 2x−3y+2=0 cạnh CD có phương trình 2x−3y−10=0 Điểm M(5;0) thuộc BC,N(2;6) thuộc AD Viết phương trình cạnh AD BC Bài 3: Trong hệ Oxy cho hình thoi ABCD có đỉnh B(3;−3) đường chéo AC nằm đường thẳng Δ:y=2x+1 Điểm M(−2;3) nằm đường thẳng AD Tính diện tích hình thoi ABCD Bài 4: Cho hình thoi ABCD Cạnh AB có phương trình 2x−3y+2=0 cạnh CD có phương trình 2x−3y−10=0 Điểm M(5;0) thuộc BC,N(2;6) thuộc AD Viết phương trình cạnh AD BC - 19 - Bài 5: Trong hệ Oxy cho hình thoi ABCD có đỉnh B(3;−3) đường chéo AC nằm đường thẳng Δ:y=2x+1 Điểm M(−2;3) nằm đường thẳng AD Tính diện tích hình thoi ABCD Loại 5: Các toán hình thang: Bài 1: Trong mp Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A,D có AB=AD