BÀI tập CHUYÊN đề PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử

4 885 5
BÀI tập CHUYÊN đề PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I Kiến thức cần nhớ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp dùng đẳng thức Vận dụng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích nhân tử luỹ thừa đa thức đơn giản Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Dùng tính chất giao hoán, kết hợp phép cộng đa thức, ta kếp hợp hạng tử đa thức thành nhóm thích hợp dùng phương pháp khác phân tích nhân tử theo nhóm phân tích chung nhóm Phương pháp tách Ta tách hạng tử đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phương pháp khác để phân tích Ví dụ: Phương pháp thêm bớt hạng tử Ta thêm bớt hạng tử đa thức để làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phương pháp khác để phân tích Ví dụ: Phương pháp đặt biến phụ Trong số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp Ví dụ: Phân tích thành nhân tử Đặt ta có Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa Phương pháp áp dụng cho đa thức đa thức có dạng Khi phân tích đa thức có dạng biểu thức sau phân tíchnhân tử Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp hệ số bất định: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 3x3 – 7x2 + 17x – 5; b 2x4 – 19x3 + 2002x2 – 9779x + 11670; 2 c 2x – 7xy + 6y + 9x – 13y – Giải a Nếu đa thức 3x3 – 7x2 + 17x – phân tích thành nhân tử phải có dạng (ax + b)(cx2 + dx + e) = acx3 +(ad + bc)x2 + (ae +bd)x + be Đồng đa thức với đa thức 3x3 – 7x2 + 17x – 5, ta có: ac = 3; ad + bc = -7; ae + bd = 17; be = -5 Từ ac = = 3.1 =1.3 = -1.(-3) = -3 (-1) Ta xét a = c = 1, thay vào hệ thức lại tìm b = -1, e = 5, d = Từ ta có phân tích: 3x3 – 7x2 + 17x – = (3x-1)(x2 – 2x + 5) b Nếu đa thức phân tích thành nhân tử có dạng sau: ( ) (2x2 + ax+ b) x2 + cx + d = 2x4 + ( a + 2c) x3 + ( 2d + ac + b) x2 + ( bc + ad) x + bd Đồng với đa thức 2x – 19x + 2002x – 9779x + 11670, ta có: a + 2c = -19; 2d + ac + b = 2002; bc + ad = -9779; bd = 11670 Từ bd = 11670 = 30.389 = 389.30 = 1945.6= 6.1945 = 1167.10 = 10.1167 = 2334.5=… Thử số trường hợp, ta có b = 1945, d = 6; a = -9; c = -5 Và có phân tích sau: 2x4 – 19x3 + 2002x2 – 9779x + 11670 = (2x2 – 9x + 1945)(x2 -5x + 6) Chú ý: với ý (b), phân tích theo hướng nhẩm hai nghiệm đa thức c Nếu đa thức phân tích thành nhân tử có dạng: ax + by + c mx + ny + d = max2 + na + mb xy + nby2 + ad + mc x + bd + nc y + cd Đồng với ( )( ) ( ) ( ) ( ) đa thức 2x – 7xy + 6y + 9x – 13y – 5, ta có: ma = 2; na + mb = -7; nb = 6; ad + mc = 9; bd + nc = -13 cd = -5 Từ hệ thức cd = -5 => c = -1; d = 5; a = 2; b = -3; m = 1; n= -2 Do ta có phân tích sau: 2x2 – 7xy + 6y2 + 9x – 13y – = (2x – 3y - 1)(x – 2y + 5) Chú ý : coi đa thức đa thức bậc hai với ẩn x, tính biệt thức delta theo y tìm nghiệm x theo y, sau tiến hành phân tích thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải biết vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp phối hợp cách hợp lí Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a (ax + by)2 – (ay + bx)2; d (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) – 6; g b (a2 + b2 - 5)2 – 4(ab + 2)2; c x2 – x – 12; e ; f x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1; h i Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc; d a3 + b3 + c3 – 3abc; b a(a + 2b)3 – b(b + 2a)3; c x3 – 7x + 6; e (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3; f (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 ; Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a x4 + 64 ; b x4 + x2 + ; d x7 + x5 + ; e x8 + 98x4 + ; c x5 + x + ; f x8 + 14x4 + Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ( x + x + 1) − ( x + 1) − ( x + x ) ; b x8 + x + x + x + ; d x − x + 11x − ; e x8 + x − x + x − x − 100 + 10 x(x + x) + ( x − 1) ; f x − x + 17 x − ; g ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) + ; 2 c (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) – 80 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a - c); d x12 + x6 + 1; e x16 + x8 + 1; b a5 – a + 1; f x8 + 7x4 + 16; h x4n + x2n + ( n số tự nhiên) i x4n + 4x2n + 16 ; l x5 – x4 – ; n x10 + x5 + m x7 + x2 + ; c x9 + x8 + x7 – x3 + 1; g x40 + 2x20 + 9; k x4n + 5x2n + ( n ∈ N ) Bài a Cho (x + y + z)(xy + yz + zx) = xyz Chứng minh : x 2017 + y 2017 + z 2017 = ( x + y + z ) 2017 ; b chứng minh x + y + z chia hết cho A = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) − xyz chia hết cho (HD: chứng minh rằng: ( x + y + z ) ( xy + yz + xz ) − xyz = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ) Bài a Cho a + b3 + c = 3abc Chứng minh rằng: a + b + c = a = b = c b Cho a + b + c + d = 4abc a, b, c, d > Chứng minh a = b = c = d c Chứng minh với số nguyên x, y ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) + y số phương d Cho T = ( t − 1) ( t − 3) ( t − ) ( t − ) + , Chứng minh T số phương với t ∈ Z e Chứng minh tổng tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp với 16 số phương f Tìm số nguyên a, b, c cho ( x + a ) ( x − ) − = ( x + b ) ( x + c ) Bài a Tìm điều kiện a m để M = ( x − a ) ( x − 2a ) ( x − 3a ) ( x − 4a ) + m phân tích thành nhân tử Đa thức M = ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − ) + có phân tích thành nhân tử không? b Tìm điều kiện a, b, n số hữu tỉ cho N = ( x + a ) ( x + b ) ( x + a + n ) ( x + b + n ) + k 1) phân tích thành nhân tử; 2) Trở thành bình phương ( ) 2 3 Bài a Tìm x, biết x + 3ax + a − bc x + a + b + c − 3abc = b Tìm ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn: x + y + 3xyz = z = ( x + y ) c Cho a,b, c số thực khác cho a 3b + b3c + c 3a = 3a 2b c Hãy tính giá trị cảu biểu thức:  a  b  c  M =  + ÷1 + ÷ + ÷  b  c  a  Bài 10 Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Hãy tính A = Bài 11 Tìm x, biết: yz zx xy + + x2 y2 z x +1 + x + + x + = Bài 12 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 4x4 + 1; b 4x4 + y4; c x4 + 324; d 4x4 -32x2 + ; e x6 + 27 ; f x8 + x4 + Bài 13 Phân tích thành nhân tử : a x6 + x4 + x2y2 + y4 – y6 ; c x3 + 3xy + y3 – ; d 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; e x4 – 8x + 63 f (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2 g Tìm số hữu tỉ a, b, c cho phân tích đa thức x3 + ax2 + bx + c thành nhân tử (x + a)(x + b)(x + c) Bài 14 a Sô tự nhiên n nhận giá trị, biết phân tích đa thức x2 + x – n thành nhân tử ta (x - a)(x + b) với a, b số tự nhiên 1< n < 100 b Cho A = a2 + b2 + c2 với a, b hai số tự nhiên liên tiếp, c = ab Chứng minh nhiên lẻ A số tự Bài 15 Chứng minh số (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số nguyên dương n Bài 16 Chứng minh với số nguyên a thì: a a2 - a chia hết cho 2; b a3 – a chia hết cho 3; d a7 – a chia hết cho 7; e a11 – a chia hết cho 11 c a5 – a chia hết cho TỔNG QUÁT: Ta có định lý fermat nhỏ: với số nguyên tố p, ta có ap – a chia hết cho p Bài 17 a Chứng minh n số tự nhiên chẵn 16n – chia hết cho 15 17 b Chứng minh tồn bội số 2017 có dạng: 20182018…2018 Bài 18 Chứng minh với số nguyên n, ta có: a n3 + 3n2 2n chia hết cho 6; b (n2 + n - 1)2 – chia hết cho 24 Bài 19 Chứng minh rằng: a n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với số chẵn n; b n4 – 10n2 + chia hết cho 384 với số lẻ n c n6 + n4 – 2n2 chia hết cho 72 với số nguyên n d 32n – chia hết cho 72 với số nguyên dương n Bài 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ( x + y + z) a ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) d x + y − x5 − y5 ; ) +( z − x ) −( y + z ) ) ( b a + b + c − a + b − c − b + c − a − c + a − b ; c b − c + c − a + a − b e x2 + y2 ( − x3 − y3 − z3 ; 2 (Đề thi vô địch toán lớp 8, vòng I, Belarutsia 1957) Bài 21 (Đề thi vào chuyên Toán Miền Bắc, 1979) Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 − a4 − b4 − c4 a Phân tích A thành nhân tử; A > b Chứng minh a, b, c ba cạnh tam giác Bài 22 Phân tích thành nhân tử: A = 3abc + a2 ( a − b − c) + b2 ( b − a − c) + c2 ( c − a − b) − c ( b − c) ( a − c) Bài 23 Chứng minh với số dương a, b, c, ta có: a2 ( −a + b + c) + b2 ( − b + a + c) + c2 ( −c + a + b) ≤ 3abc (thi vô địch Toán Úc năm 1971.) Bài 24 Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng: ( ) ( ) ( ) a( b + c) b2 − c2 + b( c + a) c2 − a2 + c( a + b) a2 − b2 Bài 25 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a a b a − b − c b c − b + a c c − a ( ) ( ) b 2bc b + 2c + 2ca c − 2a − 2ab a + 2b − 7abc ; c ab( b − a) − bc( b − c) − ac( c − a) ( ) ( ) ( ) d 3bc 3b − c − 3ac 3c − a − 3ab 3a + b + 28abc ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 e a b + c + b a + c + c a + b + 2abc Bài 26 a Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 – 3; * Là hợp số; * Bằng 2013 b Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức n4 – n3 – 6n2 + 7n – 21 số nguyên tố ( ) c Tìm số tự nhiên n để n2 − + 36 số nguyên tố ... 2y + 5) Chú ý : coi đa thức đa thức bậc hai với ẩn x, tính biệt thức delta theo y tìm nghiệm x theo y, sau tiến hành phân tích thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải biết vận dụng... z)3 + (z - x)3 ; Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a x4 + 64 ; b x4 + x2 + ; d x7 + x5 + ; e x8 + 98x4 + ; c x5 + x + ; f x8 + 14x4 + Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ( x + x +... 1971.) Bài 24 Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng: ( ) ( ) ( ) a( b + c) b2 − c2 + b( c + a) c2 − a2 + c( a + b) a2 − b2 Bài 25 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Ngày đăng: 10/10/2017, 23:50

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan