Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM Mục Lục Trang Lời mở đầu A. Phần nội dung 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích và nhiệm vụ 3. Tóm tắt lí thuyết B. Những vấn đề cụ thể Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của một hàm số Phần III:Ứng dụng đạo ham để xét sự tồn tại nghiệm của một phương trình Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số C. Tài liệu tham khảo ⊗ Kí hiệu viết tắt: Vd1: ví dụ 1 HD: Hướng dẫn giải BBT: Bảng biến thiên KSHS: khảo sát hàm số 1 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán phổ thông hiện nay đặc biệt là chương trình toán lớp 12 “Đạo hàm ” là một phần kiến thức không thể thiếu đối với mỗi học sinh. Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm như: đònh nghóa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm vào giải toán giúp cho mỗi học sinh giải quyết bài toán đơn giản và nhanh gọn, qua đó phát triển tư duy của mình. Đối với những học sinh lớp 12 và luyện thi vào các trường đại học cần nắm vững các kiến thức về “Đạo hàm “ và vận dụng nó vào giải toán. Những năm gần đây trong mỗi đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông cũng như thi tuyển sinh vào các trường đại học lượng kiến thức về “ Phép tính đạo hàm và phép tính tích phân “ chiếm khoảng 30% số điểm của tổng điểm toàn bài thi, vì vậy việc nắm vững các “Phép tính đạo hàm và phếp tính tích phân” giúp học sinh đạt được điểm cao hơn. Hiện nay đã có rất nhiều cuốn sách viết về rèn luyện kó năng phép tính đạo hàm, ứng dụng hình học và vật lý của đạo hàm, các bài toán thực tế có sử dụng đạo hàm….Chính vì những lý do thực tiễn đó mà người viết SKKN đã trình bày SKKN của mình như là một phương pháp giải toán sơ cấp nhằm góp một phần nhỏ vào công việc giảng dạy và học tập ở trường phổ thông. Mặc dù đã cố gắng hết sức mình nhưng với kinh nghiệm còn non yếu nên không thể tránh được những thiếu sót rất mong sự lượng thứ của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Người viết SKKN xin trân trọng lắng nghe và đón nhận những ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. 2 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM A. NỘI DUNG 1. Lí do chọn đề tài Như đã nói ở trên “phép tính đạo hàm và phép tính tích phân” là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu đối với mỗi học sinh. Thông thường học sinh chỉ học một cách máy móc và dưới áp lực của các kỳ thi nên không nên không nắm được một cách hệ thống và thấy được lợi ích to lớn của phép tính đạo hàm và phép tính tích phân vì vậy người viết SKKN cố gắng trình bày SKKN của mình sao cho học sinh nắm được cơ bản của phép tính đạo hàm và hệ thống kiến thức xuyên suốt chương trình đã học. 2. Mục đích và nhiệm vụ của SKKN Với mục đích giúp học sinh ôn lại, nắm vững kiến thức một cách hệ thống và giúp học sinh hiểu sâu rộng thêm về ứng dụng của đạo hàm đồng thời tránh trình bày lại SGK 12 hiện hành nên nội dung của cuốn SKKN được trình bày ngắn gọn và chỉ làm rõ một số ứng của “Đạo hàm” mà trong SGK hiện hành không đưa ra hoặc chỉ giới thiệu sơ qua. Cuốn SKKN cũng không trình bày chi tiết và rộng rải như một cuốn sách chuyên đề. Một số kiến thức trong sách giáo khoa không trình bày lại (Xem như học sinh đã học và phải tự xem lại). Nội dung cuốn SKKN được chia thành 4 phần : Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của một hàm số Phần III: Ứng dụng đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của một phương trình Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số Trong mỗi phần đều có bài toán tổng quát, ví dụ minh họa để học sinh nắm được phương pháp, vận dụng vào giải hệ thống các bài tập từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh tự rèn luyện kó năng giải toán và khắc sâu kiến thức. 3.Tóm tắt lý thuyết. 1. Đònh nghóa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x 0 ∈ (a;b). Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x 0 , khi số gia của biến số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 . KH: )(xy 0 ′ hay )(xf 0 ′ : y’(x o ) = x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim hay )(xf 0 ′ = 0 lim → óm Δx )f(xΔx)f(x 00 −+ 2. Đạo hàm một bên Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x o thuộc TXĐ 3 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM - Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tại x 0 , ký hiệu là )x(f 0 − ′ , được đònh nghóa là: x y 0x lim)x(f 0 ∆ ∆ ∆ − − → = ′ -Đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x 0 , được ký hiệu là )x(f 0 + ′ , được đònh nghóa là: x y 0x lim)x(f 0 ∆ ∆ →∆ = ′ + + 3. Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn: Đònh nghóa: Hàm số y= f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b), nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đo.ù Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [ ] b;a nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b. 4. Ý nghóa hình học của đạo hàm Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x 0 và (C) là đồ thò của hàm số Đònh Lý 1: Đạo hàm f ′ (x) của hàm sô f(x) tại x 0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thò (C) tại M 0 ( x 0 ,f(x 0 )). Đònh lý 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) của hàm số y= f(x) tại điểm )y,x(M 000 là: )x).(x(xfyy 000 − ′ =− 5. Các quy tắc tính đạo hàm: Đònh lý 1: Nếu u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại x thì tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và vu)vu( vu)vu( ′ − ′ = ′ − ′ + ′ = ′ + Đònh lí 2: Nếu u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm tại x thì tích của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và. vuvu)uv( ′ + ′ = ′ Đònh lý3: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x và v ≠ 0 thì thương v u cũng có đạo hàm tại x và : 2 v vuvu v u ′ − ′ = ′       6. Tính đơn điệu của hàm số Đònh lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) 1) Nếu )x(f ′ > 0 với mọi x ∈(a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó 2) Nếu )x(f ′ < 0 với mọi x∈(a;b) thì hàm số nghòch biến trên khoảng đó (dấu bằng có thể xãy ra tại một số hữu hạn điểm) 4 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM 7. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: Ta xem như các hàm số sau đều xét trên TXĐ của chúng và u = u (x) 1. (C)’ = 0. (C = const) 2. (x)’ = 1, mọi x 3. x2 1 )x( = ′ , mọi x > 0 4. (x n )’ = n.x n – 1 5. 2 x 1 )' x 1 ( −= , mọi x khác 0 6. (sinx)’ = cosx 7. (cosx)’ = - sinx 8. (tgx)’ = 2 )x(cos 1 , đk: cosx ≠ 0 9. (cotgx)’ = 2 )x(sin 1 − đk: sinx ≠ 0 10. (ln x )’ = x 1 , đk: x ≠ 0 11. (a x )’ = a x lna 12. alnx 1 )'(log x a = , a > 0 và a ≠ 1, x ≠ 0 13. u2 'u )'u( = , đk: u > 0 14. ( α u )’ = 1 u. − α α 15. 2 u 'u )' u 1 ( −= , mọi u khác 0 16. (sinu)’ = u’.cosu 17. (cosu)’ = - u’.sinu 18. (tgu)’ = 2 )u(cos 'u , đk: cosu ≠ 0 19. (cotgu)’ = 2 )u(sin 'u − đk: sinu ≠ 0 20. (ln u )’ = u 'u , đk: u ≠ 0 21. (a u )’ = u’.a u lna 22. alnu 1 )'(log u a = , u ≠ 0 8. Đạo hàm cấp cao. Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x). Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và KH: y” hay f”(x). Đònh nghóa tương tự cho đạo hàm cấp 3, 4,…. Một cách tổng quát, đạo hàm cấp n (n ≥ 2) của hàm số y = f(x), KH: y (n) hay f (n) (x), được đònh nghóa như sau: f (n) (x) = [f (n -1) (x)]’ B. NHỮNG VẤN ĐỀ CỤ THỂ PHẦN I ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 1. Bất đẳng thức mở đầu Bài toán1: Chứng minh rằng: e x – 1 ≥ x với mọi x ∈ R (1) Dấu đẳêng thứătrong (1) xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Chứng minh Xét hàm số f(x) = e x – 1 – x , trên R Ta có: f’(x) = : e x – 1 – 1 ( Rx ∈∀ ) 5 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM f’(x) = 0 ⇔ e x – 1 – 1 = 0 ⇔ x = 1 Từ tính chất của hàm số mũ suy ra f’(x) > 0 khi x > 0, f’(x) < 0 khi x < 0 Ta có BBT: x - ∞ 1 + ∞ f’(x) - 0 + f(x) + ∞ + ∞ f(1)=0 Từ BBT ta thấy f(x) > 0, Rx ∈∀ x ≠ 1 và f(x) = 0 ⇔ x = 1, nghóa là e x – 1 ≥ x với mọi x ∈ R, dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi x = 1 Bài toán được chứng minh Bài toán 2: (Bất đẳng thức Bernoulli) Với mọi số thực x > - 1 và với mọi số tự nhiên n ta luôn có (1 + x) n ≥ 1 + nx, Dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi n = 0; 1 hoặc x = 0 Chứng minh: Với n = 0; 1 ta có ngay điều cần chứng minh G/sử n ≥ 2. ta xét hàm số f(x) = (1 + x) n - 1 - nx, với - 1 < x < + ∞ Ta có: f’(x) = n[(1 + x) n – 1 – 1] => f’(x) = 0 khi x = 0 Nếu x > 0 thì 1 + x > 1, nên (1 + x) n – 1 – 1 > 0 => f’(x) > 0 Nếu x < 0 thì (1 + x) n – 1 – 1 < 0 => f’(x) < 0 BBT x -1 0 + ∞ f’(x) - 0 + f(x) + ∞ f(0) = 0 Dựa vào BBT ta có f(x) ≥ 0 với mọi -1 < x < + ∞ suy ra: (1 + x) n ≥ 1 + nx, ):1(x +∞−∈∀ . Cũng nhờ bảng biến thiên ta nhận thấy dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. e x > 1 + x, với mọi x > 0 2. ln(1 + x) < x, với mọi x > 0 3. cosx > 1 - 2 x 2 , với mọi x > 0 6 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM 4. 4 1xx 3x2x2 2 2 ≤ ++ ++ , với mọi x thuộc R 5. ln(1 + x) > x - 2 x 2 , với mọi x > 0 BÀI TẬP NÂNG CAO 1. Chứng minh rằng: 1 2 x3 tgxxsin2 222 + >+ , với mọi       ∈ 2 ;0x π 2. Chứng minh rằng, với – 1< x <1, và với mọi n nguyên dương, n >1 ta đều có : (1 + x) n + (1 - x) n < 2 n PHẦN II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ Kiến thức cần nhớ: 1. Đònh nghóa: Cho hàm số y= f(x) xác đònh trên tập D a) Số M được gọi là giá trò lớn nhất của hàm số trên tập D nếu: * ∀ x ∈ D : f(x) ≤ M * ∃ x 0 ∈ D : f( x 0 ) = M Kí hiệu: M = max D f(x) b) Số m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu: * ∀ x ∈ D : f(x) ≥ m * ∃ x 0 ∈ D : f( x 0 ) = m Kí hiệu m = min D f(x) 2. Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Bài toán: Cho hàm số y= f(x) liên tục trên (a;b). Hãy tìm );( max ba f(x) và ø );( min ba f(x). Phương pháp: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) rồi dựa vào đó để kết luận. 3. Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Bài toán: Cho y = f(x) liên tục trên [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn đó. Phương pháp giải: 1) Tìm các điểm tới hạn x i (i= 1,2 .) của f(x) trên [a;b] 2) Tính f(a), f(b), f( x i ) ( i= 1,2 .) 7 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM 3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên đó cũng là giá trò lớn nhâùt và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên [a;b] Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x - 5+ 1 x ( x > 0). Tìm min ( ; )0 ∞ f(x) và );0( max ∞ f(x) Bài giải: Với mọi x > 0 ta có: ′ y = x x 2 2 1 − => y’= 0 ⇔ x = -1(loại), x= 1 Bảng biến thiên: x 0 1 + ∞ y’ - 0 + y + ∞ -3 Dựa vào BBT ta suy ra ),0( min +∞ f(x) = -3 khi x = 1, hàm số không tồn tại GTLN Ví dụ 2: Cắt 4 góc hình vuông cạnh a, gập lên để có một hình hộp. Tìm cạnh hình hộp để có thể tích lớn nhất. Bài giải. Gọi x là cạnh của hình vuông bò cắt, điều kiện 0<x< 2 a Thể tích khối hộp là: V(x) = x(a-2x) 2 , (0 < x < 2 a ). Ta phải tìm x ) 2 ;0( a ∈ sao cho V(x) có giá trò lớn nhất. Xét hàm số V(x)= x(a-2x) 2 ,với x ) 2 ;0( a ∈ V’(x)= 12x 2 –8x +a 2 =0 ⇔ x= 2 , 6 a x a = (lọai). Lập bảng biến thiên để kết luận: maxV(x)= 27 2 3 a Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất và có diện tích lớn nhất Bài giải. Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x độ dài cạnh kia sẽ là 22 xR4 − Với 0 < x < 2R +) Chu vi của hình chữ nhật sẽ là: u = 2(x + 22 xR4 − ) 8 O x Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM Ta có: u’ =         − − 22 xR4 x 12 => u’ = 0 ⇔ 22 xR4 − = x ⇔ x = R 2 BBT x 0 1 2R u’ + 0 - u 4R 2 4R 4R Dựa vào BBT ta thấy = umax )R2;0( 4R 2 Từ đó suy ra, trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, thì hình vuông (với cạnh R 2 ) là hình có chu vi lớn nhất (bằng 4R 2 ) HD: Ta vẫn có thể giải bài toán theo cách khác là Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có 22222 xR4x.11.2u −++≤ = 4R Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 22 xR4 − ⇔ 2.x 2 = 4R 2 ⇔ x = R 2 (do x > 0) Từ đó suy ra điều cần chứng minh +) Diện tích của hình chữ nhật sẽ là: S = x. 22 xR4 − Ta có S’ = 22 2 22 xR4 x xR4 − −− = 22 22 xR4 x2R4 − − => S’ = 0 ⇔ 22 x2R4 − = 0 ⇔ x = R 2 BBT x 0 2R u’ + 0 - u 2R 2 0 0 Nhờ vào BBT ta thấy = Smax )R2;0( 2R 2 Từ đó suy ra diện tích đạt GTLN khi x = R 2 , khi đó cạnh thứ hai bằng 22 xR4 − = R 2 Do đó hình có diện tích lớn nhất là hình vuông , cạnh bằng R 2 , S = 2R 2 HD: Ta có thể áp dụng BĐT Cauchy như sau S 2 = x 2 (4R 2 – x 2 ) ≤ 2 1 (x 2 + 4R 2 – x 2 ) = 2R 2 Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x 2 = 4R 2 – x 2 ⇔ x = R 2 , (do R > 0) Từ đó suy ra đpcm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 9 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau trên tập tương ứng a. y = 2x3x 2 +− trên [-10;10] b. y = sinx – cosx trên R c. y = 2x + 1x 2 + trên (- ∞ ;+ ∞ ) d. y = x + 2 x2 − trên [- 2 ; 2 ] 2. Tìm GTNN của tổng hai số dương, biết rằng tích của chúng bằng 26 3. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích bằng 48m 2 , hãy xác đònh hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. 4. Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R để hình nón này có thể tích lớn nhất. 5. Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16cm BÀI TẬP NÂNG CAO 1. Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho x 2 + y 2 = 1. Tìm các GTLN, GTNN của biểu thức P = x. y1 + + y. x1 + 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sinx + xsinx2cos + 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3 x -1 + 3 -x-1 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = xcosxsin 22 44 + PHẦN III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH Trong khi giải toán ta thường gặp dạng toán như: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất, tìm điều kiện của tham số để phương trình có đúng n nghiệm thoả một tính chất nào đó… Việc giải bài toán bằng những phương pháp thông thường đôi khi gặp nhiều khó khăn cho học sinh. Nếu ta ứng dụng đạo hàm để giải bài toán thì sẽ thuận lợi và đơn giản hơn nhiều. Ví dụ1: Giải phương trình: 2 x + 3 x = 5 x (1) Bài giải 10 [...]... + m 4 Cho hàm số y = Tìm tất cả những điểm mà tiệm can xiên của x+m đồ thò hàm số không đi qua khi m thay đổi 24 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ Bài toán 1: Tìm tất cả các điểm trên đồ thò của hàm số y = là những số nguyên Bài giải TXĐ: mọi x khác 1 x2 − x + 2 có toạ độ x −1 2 Hàm số được viết lại y = x + x −1 2 Để y là một số nguyên thì x −1 cũng phải là một số nguyên,... số y = 3+ x a) Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục Ox tại hai điểm thuộc khoảng (-2;2) b) Tìm m để đồ thò hàm số cắt đường thẳng d: y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc toạ độ II DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bài toán: Dùng đồ thò (C ) của hàm số y = f(x) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình F(x,m) = 0 Để giải bài toán ta làm theo các... NAM BÀI TẬP TƯƠNG TỰ x +1 1 Cho hàm số y = x −1 , có đồ thò (C ) Dùng đồthò (C ) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2x2 + (m + 1)x + 1 + m = 0 2 Cho hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 1 Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số 2 Dùng đồ thò (C ) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2x3 – 9x2 + 12x + m = 0 (*) 3 Cho hàm số y = 9 − x 2 a) Khảo sát và cẽ đồ thò (C ) của hàm số. .. 9 3 Bài toán 3: 3 2 Cho hàm số y = 2 x + 3(m - 3) x + 11- 3m ( Cm ) Tìm m để hàm số có hai cực trò Gọi M 1 và M 2 là các điểm cực trò ,tìm m để các điểm M 1 , M 2 và B(0,-1) thẳng hàng Bài giải Tìm m để hàm số có 2 cực trò Ta có: y = 2 x3 + 3(m − 3) x 2 + 11 − 3m 25 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM y , = 6 x 2 + 6(m − 3) y , = 0 ⇔ 6 x 2 + 6(m − 3) = 0 (1) x = 0 (1) ⇔  x = 3 − m Hàm số có... = − Vậy có 4 điểm thoả yêu cầu bài toán là : (2;4), (0;-2), (3;4), (-1;2) Bài toán 2: 3 2 Cho hàm số y = f ( x) = x − (m + 3) x + 3x + 4 (m là tham số) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trò này Bài giải TXD: D = R Ta có: y ' = 3x 2 − 2(m + 3) x + 3 y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 2(m + 3) x + 3 = 0 (1) Hàm số có CĐ, CT ⇔ (1) có 2 nghiệm... 2m = 2 (hằng số) 2 1 x − x không phụ thuộc m => đpcm Vậy: 2 1 Bài toán 5 26 (*) Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM m 3 Cho hàn số y= f(x) = x − 2(m + 1) x ( m là tham số ) 3 a Khảo sát hàm số khi m= 1 b Tìm tất cả giá trò m sao cho hàm số có cực đại ,cực tiểu và tung độ 2 9 2 3 điểm cực đại yCD , tung độ điểm cực tiểu yCT thỏa: ( yCD − yCT ) = (4m + 4) Bài giải a) Tìm m để đồ thò hàm số có cực đại,... trình a.x2 + b.x + c = 0, có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD: Xét hàm số f(x) = ax m +2 bx m +1 cx m + + trên đoạn [0;1] m + 2 m +1 m Và áp dụng đònh lý Lagrăng trên đoạn [0;1] PHẦN IV: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Trong SGK giải tích lớp 12 đã trình bày đầy đủ các bước để khảo sát và vẽ đồ thò của bốn hàm số : 1 y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 2 y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) ax +... song song với trục Ox • Dựa vào đồ thò (C ) để kết luận số nghiệm của phương trình Ví du1ï: Cho hàm số y = x4 – 2x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số b) Dựa vào đồ thò (C ), hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 – m = 0 (*) Bài giải a) (Học sinh tự làm ) Ta có đồ thò y=m 16 Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM b) Biện luận số nghiệm: của phương trình (*) Ta có : x... thác sâu thêm về một số bài toán có liên quan đến khảo sát hàm số như: I Giao điểm của hai đường cong II Biện luận nghiệm của phương trình bằng đồ thò III Tiếp tuyến của đồ thò IV Điểm cố đònh của một họ đường cong I GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG CONG: Bài toán: Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có đồ thò là (C 1) và (C2) Hãy tìm các giao điểm của (C1) và (C2) Cách giải: * Giải phương trình hoành... số b) Biện luận theo tham số k số nghiệm của phương trình: 9 − x 2 - mx + 4m – 3 = 0 (1) 3 2 3 Cho hàm số y = x – 6x + 9x (Học viện hành chánh quốc gia-khối A) a) khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số b) Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò cảu hàm số y = x −6 x +9 x c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 3 x 3 2 −6 x 2 +9 x −3 −m =0 III TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Để viết được phương trình tiếp . 0 8. Đạo hàm cấp cao. Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x). Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của hàm số y. hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm vào giải toán giúp cho mỗi học sinh giải quyết bài toán đơn giản và nhanh