BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ( DÀNH CHO KHỐI KỸ THUẬT - CNTT) Giảng viên: THS ĐẶNG VĂN CƯỜNG TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhóm, Vành Trường TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhóm, Vành Trường Các khái niệm nhóm, vành trường giới thiệu phần dừng mức đủ dùng cho diễn đạt phần sau giáo trình Giả sử G tập hợp Mỗi ánh xạ o:G×G→G gọi phép toán hai (hay luật hợp thành) G Ảnh cặp phần tử (x, y) ∈ G × G ánh xạ o ký hiệu xoy, gọi tích hay hợp thành x y TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhóm, Vành Trường Các khái niệm nhóm, vành trường giới thiệu phần dừng mức đủ dùng cho diễn đạt phần sau giáo trình Giả sử G tập hợp Mỗi ánh xạ o:G×G→G gọi phép toán hai (hay luật hợp thành) G Ảnh cặp phần tử (x, y) ∈ G × G ánh xạ o ký hiệu xoy, gọi tích hay hợp thành x y TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1 Một nhóm tập hợp khác rỗng G trang bị phép toán hai o thoả mãn điều kiện sau: (G1 ) Phép toán có tính kết hợp (xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G (G2 ) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, với tính chất xoe = eox = x, ∀x ∈ G (G3 ) Với x ∈ G, tồn phần tử x ∈ G, gọi nghịch đảo x, cho xox = x ox = e TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1 Một nhóm tập hợp khác rỗng G trang bị phép toán hai o thoả mãn điều kiện sau: (G1 ) Phép toán có tính kết hợp (xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G (G2 ) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, với tính chất xoe = eox = x, ∀x ∈ G (G3 ) Với x ∈ G, tồn phần tử x ∈ G, gọi nghịch đảo x, cho xox = x ox = e Nhận xét: Phần tử trung lập Thật vậy, e e TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân phần tử trung lập nhóm G e = eoe = e Với x ∈ G, phần tử x mục (G3 ) Thật vậy, x1 x2 phần tử nghịch đảo x x1 = x1 oe = x1 o(xox2 ) = (x1 ox)ox2 = eox2 = x2 Trong nhóm có luật giản ước, tức xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân phần tử trung lập nhóm G e = eoe = e Với x ∈ G, phần tử x mục (G3 ) Thật vậy, x1 x2 phần tử nghịch đảo x x1 = x1 oe = x1 o(xox2 ) = (x1 ox)ox2 = eox2 = x2 Trong nhóm có luật giản ước, tức xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y Thật vậy, để có luật giản ước, cần nhân hai vế đẳng thức xoy = xoz với nghịch đảo x x từ bên trái nhân hai vế đẳng thức xoz = yoz với nghịch đảo z z từ bên phải TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Nếu phép toán o có tính giao hoán, tức xoy = yox, ∀x, y ∈ G, G gọi nhóm giao hoán (nhóm abel) Theo thói quen, luật hợp thành o nhóm abel thường ký hiệu theo lối cộng “ + ” Hợp thành cặp phần tử (x, y) ký hiệu theo lối cộng x + y gọi tổng x y Phần tử trung lập gọi phần tử không, ký hiệu nghịch đảo x gọi phần tử đối x, ký hiệu (−x) Trường hợp tổng quát, phép toán o nhóm thường ký hiệu theo lối nhân “.”, Hợp thành cặp phần tử (x, y) ký hiệu x.y hay đơn giản xy, gọi tích x y Phần tử trung lập nhóm thường gọi phần tử đơn vị Phần tử nghịch đảo x ký hiệu x−1 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải toán mà không vào chứng minh chi tiết 382 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải toán mà không vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương q không gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: 382 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải toán mà không vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương q không gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; 382 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải toán mà không vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương q không gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải toán mà không vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương q không gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải toán mà không vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương q không gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số quán tính q Hỏi q có xác định dương hay không? 383 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số quán tính q Hỏi q có xác định dương hay không? Giải: Sử dụng thuật toán Lagrange ta có: q(x, y, z) = 2[x2 + 2x(2x + z) + (2x + z)2 ] − 2(2x + z)2 + 9y + 12yz + 9z = 2(x + 2y + z)2 + y + 4yz + 7z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 4yz + 4z ) + 3z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 2z)2 + 3z 383 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số quán tính q Hỏi q có xác định dương hay không? Giải: Sử dụng thuật toán Lagrange ta có: q(x, y, z) = 2[x2 + 2x(2x + z) + (2x + z)2 ] − 2(2x + z)2 + 9y + 12yz + 9z = 2(x + 2y + z)2 + y + 4yz + 7z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 4yz + 4z ) + 3z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 2z)2 + 3z 383 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Xét phép đổi biến       x = x + 2y + z, x = x     y = y + 2z, ⇔ y =       z = z = z, − 2y + 3z , y − 2z , Lúc q có dạng tắc: q(x , y , z ) = 2x + y + 3z 384 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí z Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Xét phép đổi biến       x = x + 2y + z, x = x     y = y + 2z, ⇔ y =       z = z = z, − 2y + 3z , y − 2z , z Lúc q có dạng tắc: q(x , y , z ) = 2x + y + 3z Lại đổi biến:  √   X = 2x   Y =    Z = y    x = ,   , ⇔ y =    z = z, 384 √1 x TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí − 2Y + y − √ 3Z, √2 Z, √1 Z Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Ta có dạng chuẩn tắc q q(X, Y, Z) = X + Y + Z Như q có số dương quán tính s = 3, số âm quán tính t = Do q xác định dương 385 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Ta có dạng chuẩn tắc q q(X, Y, Z) = X + Y + Z Như q có số dương quán tính s = 3, số âm quán tính t = Do q xác định dương Example 4.2 Dùng tiêu chuẩn Sylvester kiểm tra tính xác định dương dạng toàn phương q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Giải: Ma trận q sở tắc       A = 4    385 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Các định thức A D1 = > 0, D2 = > 0, D3 = > Vậy q xác định dương 386 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân THE END 387 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí ... R gọi giao hoán phép nhân có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R Vành R gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị, tức có phần tử ∈ R cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R Example 1.3 Các tập hợp số Z, Q vành giao hoán... R gọi giao hoán phép nhân có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R Vành R gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị, tức có phần tử ∈ R cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R Example 1.3 Các tập hợp số Z, Q vành giao hoán... Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Nếu phép toán o có tính giao hoán, tức xoy = yox, ∀x, y ∈ G, G gọi nhóm giao hoán (nhóm abel) Theo thói quen, luật hợp thành o nhóm abel thường