NGirr.ThS Lấ HONH PHề GII CC CH ấ CN B N \ 1 1 BI DNG HC SINH GII CDC NH XUT BN I HQC QUC GIA H NI NH XUT BN I HC QUếC GIA H NI 16 H n g C h u i - Hai B T r ng - H Ni iờn thoai: Biờn tõp-Ch bn: (04è 39714896: Hnh chớnh: (04) 39714899: Tno biờn tp: (04) 39715011 Fax: (04)39714899 * * C h u tr ỏ c h n h im x u t bn: Giỏm dc - Tng biờn tp: TS PHM TH TRM Biờn tp: NGC LM Sa bi: NH SCH HNG N C h bn: NGUYN KHI MINH T rinh by bỡa: v TH THA i tỏc liờn kt xut bn: N h sỏch HNG N SCH LIấN KấT CC CH CN BN HèNH HC 12 Mó s: 1L- 155H2014 In 2.000 cun, kh 17 X 24cm ti Cụng ty c phn Vn húa Vn Lang Giy phộp xut bn s: 463-2014/CXB/09-99 HQGHN, ngy 14/03/2014 Quyt nh xut bn s: 153LK-TN/Q-NXB HQGHN In xong v np lu chiu quý II nm 2014 n ú ^ c a iự Nhm mc ớch giỳp cỏc bn hc sinh lp 10, lp 11, lp 12 nm vng kin thc cn bn v mụn Toỏn t lỳc vo THPT cho n chun b thi Tt nghip, tuyn sinh Cao ng, i hc, tỏc gi ó biờn son b sỏch PHNG PHP GII gm cun: - CC CH CN BN I s 10 - CC CH CN BN HèNH HC 10 - CC CH CN BN I s - GII TCH 11 - CC CH CN BN HèNH HC 11 - CC CH CN BN GII TCH 12 - CC CH CN BN HèNH HC 12 T nn Toỏn cn bn ny, cỏc bn cú th nõng cao dn dn, b sung v m rng kin thc v phng phỏp gii Toỏn, rốn luyn k nng lm bi v tng bc gii ỳng, gii gn cỏc bi tp, cỏc bi toỏn kim tra, thi c Cun CC CH CN BN HèNH HC 12 ny cú 15 ch vi ni dung l phõn dng Toỏn, túm tt kin thc v phng phỏp gii, cỏc chỳ ý; phn tip theo l cỏc bi toỏn chn lc cn bn minh vi nhiu dng loi v mc ; phn cui l bi cú hng dn hay ỏp s Dự ó c gng kim tra quỏ trỡnh biờn son song khụng trỏnh nhng sai sút m tỏc gi cha thy ht, mong ún nhn cỏc gúp ý ca quý bn c, hc sinh ln in sau hon thin hn Tỏc gi Lấ HONH PHề o CH I KHi e DIN Vố PHẫP DI HèNH DNG TON KHI A DIN //iii/i da din v da din - Hỡnh a din gm mt s hu hn a giỏc phng ớho hai iu kin: (!) da giỏc hỏt kỡ hoc khụng cú diờm chung, hoc cú mt inh chung, hoc c mt cnh chung (2) Moi cnh cua mt a giỏc lự cnh chung ca ỳng hai a giỏc - Hỡnh da din chia khụng gian lm hai phn: phn bờn v phn bờn moi Hỡnh a din cựng V(/è phn hờn cựa nú gi l a din - Mi a din cú thờ phõn chia dc thnh nhng t din Mi a giỏc cua hỡnh H c gi l mt mt cựa khoi a din Cỏc ỡnh, cỏc cnh cua mi mt cn gi l nh, cnh ca a din Cỏc im nam hỡnh H cũn gi l diộm ca da din Khi chúp v lng tr - Khi a din c gi l chúp, chúp ct nu nú c gii hn bi mt hỡnh chúp, hỡnh chúp ct Tng t cho chúp n-giỏc, chúp ct ngiỏc chúp u t din, - Khi da din dc gi l lng tr nu nú c gii hn hi mt hỡnh lng tr tng t cho hp, hp ch nht, lp phng - Phõn chia v lp ghộp cỳc a din: Mi chúp v lng tr luụn cú ih phỏn chia c thnh nhng t din bng nhiu cỏch khỏc Chỳ : 1) Dc sy5 O-le cua a din li: i vi mi a din li H, ta kớ hiu D lự so dinh, c l so cnh, M l so mt ca H thỡ c c s jH ) = - c - M = 2) inh lng tr u: hỡnh lng tr ng (cú cnh bờn VU( ng gúc vi mt ỏy) v cú ỏy l a giỏc u 3) Hỡnh chúp u: ỏy l a giỏc u v cỏc cnh bờn bng Bi toỏn 1: Chng minh rng nu a din cú cỏc mt l tam giỏc thỡ s mt phi l s chn Hóy ch nhng a din nh th vúi s mt bng 4, 6, 8,10 Gii Gi s cnh ca a din l c, s mt l M Vỡ mi mt cú ba cnh v mi cnh li chung cho hai mt nờn 3M = 2C Suy M l s chn Sau õy l mt s a din s cỏc mt tam giỏc l 4, 6, 8, 10 nht ba cnh v l nh chung ca ớt nht ba mt Gii Ta dựng phn chng Neu xut phỏt t mt nh no ú ch cú hai cnh, thỡ mi cnh nh th l cnh ca chi mt a giỏc, trỏi vi iu kin nh ngha ca hỡnh a din Vy mi nh phi l nh chung ca ớt nht l ba cnh, v vỡ vy nú cng phi l nh chung ca ba mt Bi toỏn 3: Chng minh rng nu a din cú mi nh l nh chung ca ba cnh thỡ s nh phi l s chn Gii Gi s a din cú c cnh v cú nh Vỡ mi nh l nh chung ca ba cnh v mi cnh cú hai nh nờn = 2C Vy phi l s chn Bi toỏn 4: Chng minh rng nu a din cú cỏc mt l tam giỏc v mi nh l nh chung ca ba cnh thỡ ú l t din Gii Gi A l mt nh ca a din Theo gi thit, nh A l nh chung cho ba cnh, ta gi ba cnh ú l AB, AC, AD Cnh AB phi l cnh chung ca hai mt tam giỏc, ú l hai mt ABC v ADB (vỡ qua nh A ch cú cnh) 1'ng t, ta.cú cỏc mt tam giỏc ACD v BCD Vy a din ú chớnh l t din ABCD Bi toỏn 5: Chng minh rng, s gúc ca tt c cỏc mt gp ụi s cnh ca da din Suy s gúc chn Gii Gi s gúc l G v s cnh ca a din lc Trong mi mt l a giỏc thỡ s gúc bng s cnh, m s cnh c tớnh ln nờn G = 2C, ú G chn Bi toỏn 6: Chng minh khụng tn ti a din cú mt s l mt v mi mt li cú mt s l cnh Gii Gi s tn ti a din cú s mt l M l v mi mt cha s l cnh Ci, i = 1, , M ' Ta cú s gúc ca a din: G = C| + C + + C]VI ^ G l: vụ lý Vy khụng tn ti a din tho bi Bi toỏn : 1lóy phõn chia mt t din thnli ba t din bi hai mt phang Gii Cho t din ABCD Ly im M v N phõn bit nm gia c v D Bng hai mt phng (ABM) v (ABN), ta chia p t din ó cho thnh ba t din: ABCN, ABNM va ABMD Bi toỏn 8: Hóy phõn chia mt t din thnli bn t din bi hai mt phng Gii A Cho t din ABCD Ly dim M nm gia A v B, im N nm gia c v D Bng hai mt phng (MCD) v (NAB), ta Mi chia t din ó cho thnh bn t din: BAMCN, AMND, BMCN v, BMND Bi toỏn 9: Hóy phõn chia mt hp thnh nm t din Gii Cú th phn chia kh hp ABCD.A'B'C'D' thnh nm t din sau õy: ABDA', C BD C, B'AC'B, D'A'C'D v, BDA'C DNG TON PHẫP DI HèNH Phộp di hỡnh - Mi phộp hin hỡnh F khụng gian c gi l phộp di hỡnh nu nú ho ton khong cỏch gia hai diờm ht k: nu F bin hai im bt kỡ M, N ln lt thnh hai diờm M \ N' thỡ M'N' MN Phộp di hnh bin ng thng thnh ng thng, mt phng thnh mt phng Hp thnh cựa nhng phộp di hỡnh l phộp di hỡnh Cỏc phộp di hỡnh dc bit - Phộp ng nht: Phộp di hnh hin dim M ht k thnh chnh nú - Phộp tnh tin: Phộp tnh tin theo vect M thnh diờm M ' cho MM ' = V l phộp hin hỡnh hin mi im V - Phộp i xng qua ng thng (phộp i xng trc): Cho ng thng d phộp oi xng qua dng thng d l phộp hin hỡnh hin mi im thuc d thnh chớnh n v hin moi diờm M khụng thuc d thnh im M cho mt phng (M, d), d l ũmg trung trc cựa on thng MM' - Phộp oi xng qua mt diờm (phộp di xng tõm): Cho im (), phộp i xng qua diờm () l phộp hin hỡnh hin mi im M thnh im M ' cho OM OM ' , hay () l trung diờm ca MM' - Phộp i xng qua mt phang (P) l phộp hin hỡnh hin mi im thuc (P) thnh chnh n v hin mi diờm M khụng thuc (P) thnh im M' cho (P) l mt phng trung trc ca on thng MM' Hai hỡnh bng - Hai hỡnh a din gi l hng nu cú mt phộp di hỡnh hin hỡnh nv thnh hỡnh Di vi cỏc a din li: Neu phộp di hỡnh F hin cỏc inh ca a din li H thnh cỏc ỡnh cua a din li H' thỡ F hin H thnh H' Dnh lý: Hai hỡnh t din ABCD v A 'B'C'D' bng nu chỳng cú cỏc cnh tng ng hng nhau, ngha l AB = A'B', BC - B 'C , CD = C 'D , DA - D 'A\ AC = A C, BD = B'D' Bi toỏn 1: Cho hai im phõn bit A, B v phộp di hỡnh f bin A thnh A, bin B thnh B Chng minh rng f bin mi im M nm trờn ng thng AB thnh diờm M Gii Ta cú f(A) = A r(B) = B (ji s im M Ihuc dng ihng AB v f(M) = M' Khi ú M' thuc ng thng AB v AM = AM', iM BM' Suy M' trựng M, tc l f bin M thnh chớnh nú Vy 1'bin mi dim M nm trờn dng thng AB thnh chớnh im M Fi toỏn 2: Cho tam giỏc ABC v pliộp di hỡnh f bin tam giỏc ABC thnh chớnh nú, tc l f(A) = A, f(B) = B, f(C) ^ c Chng minh rng f bin mi im M ca mp(ABC) thnh chớnh nú, tc l l'(M) = M,Gii Vỡ f(A) = A, f(B) = B v f(C) = c nụn ớ'bin mp(ABC) thnh mp(ABC) Bi vy nu M thuc mp(ABC) v '(M) = M' thỡ M' thuc mp(ABC) v AM = AM', BM = BM CM = CM' Ncu M v M phõn bit thỡ ba im A B c thuc ũng thng trung trc ca don thng MM' trờn mp(ABC), trỏi vi gi thit ABC l tam giỏc Vy f(M) = M li toỏn 3: Cho t din ABCD Chng t rang phộp di hỡnh bin mi diờm A, B, c, D thnh chớnh nú phai l phộp dng nht Gii Giỏ s phộp di hỡnh f bin cỏc dim A, B, c, D thnh chớnh cỏc icm ú, tc l f(A) = f(B) = B f(C) = c, f(D) = D Ta chng minh rng f bin im M bt kỡ thnh M Tht vy gi s M' ~ f(M) v M' khỏc vi M Khi ú vỡ phộp di hỡnh khụng lm thay ụi khoỏng cỏch gia hai diờm nờn AM = AM' BM = BM', CM = CM', DM = DM', suy bn im A, B, c, D nm trờn mt phng trung trc ca on MM', iu dú trỏi vi gi thit ABCD l hnh t din Vy M' trựng vi M v dú f l phộp dng nht Bi toỏn 4: Cho hai t din ABCD v A'B'C'D' cú cỏc cnh tng ng bng nhau; AB = A'B' BC = BC CD = CD', DA - DA', DB = D'B', AC = A'C Chng minh rng c khụng quỏ mt phộp di hỡnh bin cỏc im A, B, c, D ln lt thnh cỏc im A', B', c D' Gia s cú hai phộp di hỡnh thnh cỏc im A', B' c , D' f| Gii v f'2dii bin cỏc im A B, c, D ln lt Ncu fi v I2 khỏc thỡ cú ớt nht mt im M cho nu Mi = fi(M) v M2 = t'2(M) thỡ M| v M2 l hai im phõn bit Khi dú vỡ f) v t'2 u l phộp di hỡnh nờn A'Mi = AM v A'M = AM vy A'M, = A'M 2, tng t B'M| = B'M 2, CM| = C M 2, D'M| = DM2, ú bn im A' B', c, D' cựng nm trờn mt phng trung trc ca on thng M M 2, trỏi vi giỏ thit A'B'C'D' l hỡnh t din Do ú vi mi dim M ta u cú f|(M) ^ 1'2(M), tc l hai phộp di hỡnh f| v ớ'2 trựng Vy cú khụng quỏ mt phộp di hỡnh bin cỏc im A, B, c, Dln lt thnh cỏc dim A', B', C', D' Bi toỏn 5: Cho hai tam giỏc bng nhu ABC v A'B'C' (AB = A'B', BC = B'C, AC = A'C) Chng minh rne cú ỳng hai phộp di hỡnh, mi phộp bin tam giỏc ABC thnh tam giỏc A'B'C Cho trc tam giỏc ABC Cú nhng phộp di hỡnh no bin tam giỏc ABC thnh chớnh nú? D Giói Trũn ũng thng a vuụng gúc vi mp(ABC) ti A ly im D khỏc A, trờn ũng thng a' vuụng gúc vi mp(A'B'C) ti A' cú hai im phõn bit Di v D cho AD, = A'D = AD 'l a cú cỏc hỡnh t din BCD, A'B'C'D, v ABC'D cú cỏc cnh tng ng bng Nu f l phộp di hỡnh bin tam giỏc ABC thnh tam giỏc A'B'C' thỡ hoc rbin D thnh D| hoc f bin D thnh D2 Vy cú ng hai phộp di hỡnh bin tam giỏc ABC thnh tam giỏc A'B'C ú l phộp di hỡnh f| bin t din ABCD thnh t din A'B'C'Di v phộp di hỡnh bin t din ABCD thnh t din A'B'C'D Dõy l trng hp riờng hai tam giỏc ABC v A'B'C' trựng Vy ta cú hai phộp di hỡnh biờn ABCD thnh chớnh nú; ú l phộp ụng nhõt v phộp ụi xng qua mp(ABC) Bi toỏn 6: Cho t din u ABCD v phộp dihỡnh f bin ABCD thnh chớnh nú, ngha l bin mi nh ca t din thnh mtnh ca t din Tỡm hp cỏc diờm M khụng gian cho M = f(M) cỏc trng hp sau õy: a) f(A) = B, f(B) - c, f(C) = A b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D c) f(A) = B, f(B) = c, f(C) = D Gii a) 'heo gi thit f(A) = B v f(B) = c, f(C) = A Do ú f(M) = M v chi MA = MB = MC Suy hp cỏc im M l trc ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC b) Theo gi thit f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D Do ú f(M) = M v ch MA = MB v MC = MD, tc l M ng thi nm trụn cỏc mt phng trung trc ca AB v CD Suy hp cỏc im M l ng thng i qua trung im ca AB v CD c) Theo gi thit f(A) - B, f(B) = C^CC) = D Do ú f(M) = M v ch MA = MB = MC = MD Suy hp cỏc im M gm mt im nht l trng tõm t din ABCD 10 72 r + + m = [m = - l l 7 Ta cú h phng trỡnh: 155 9p lp = -5 + +m=0 10 10 Vy m = -11 v p = -5 Bi toỏn 9: Chng t rng cỏc mt phng (a), (P), (y) (ụ) sau õy l cỏc mt phang cha bn mt ca mt hỡnh hp ch nht; (a): 7x + 4y - 4z + 30 = 0, (P): 36x - 51y + 12z + = (y): 7x + 4y - 4z - = 0, (): 12x - 17y + 4z - = Gii _ , , ^ i 4 -4 Mt phng (a) song song vi mt phng (y) vỡ: = 14 - Mt phng (P) song song vi mt phng () vỡ: 30 -1 12 12 VT_ 17 ^ - Mt phng (a) vuụng gúc vi mt phng (P) vỡ: 7.36 + 4(-51) + (-4) 12 = 252 - 204 - 48 = Vy bn mt phang (a), (p), (y), (ụ) l cỏc mt phng cha bn mt ca mt hỡnh hp ch nht ú: (a) // (y), (P) /7 (ụ) v (a) _L (P) èBI TP TNG HP Bi 1: Lp phng trỡnh mt phng: a) qua M (M, 2, 3), N(2, -4, 3), p (4, 5, ) b) trung trc ca on PQ vi p (2, 3, -4), Q (4,-1,0) HD S a) Kt qu x + 3y -13z + 39 =0 b) Kt qu X - 2y + 2z + =0 Bi 2: Lp phng trỡnh mt phng: a) qua hỡnh chiu ca I (3, , 9) lờn Ox, Oy,Oz b) qua M (1, 0, 5) v song song a: 2x - y + z - 27 = a) Kt qu x + 3y + 2z - 18 =0 HD-DS b) Kt qu x - y + z - = Bi 3: Lp phng trỡnh ca mt phang: a) qua K(3, -1, -5) v vuụng gúc vi mt phang: (P): 3x - 2y + 2z + = 0, (Q); 5x - 4y + 3z + = b) qua AB v song song CD vi im A (7, 9, 1), B (-2, -3, 2), c (1, 5, 5), D (-6, 2, 5) 202 IID-DS a) Kt qu 2x +y -2z -15 = b) Kt qu 3x - l y - 57z + 99 = Bi 4: Lp pliong trỡnh mt phng qua giao tuyn ca mt phng x + v - z - = 0, y + z - = v song song mt phng (Q); x + y -(-z -2 = HD-DS Ket qu khụng tn ti Bi 5: T din A (7, 9, 1), B (-2, -3, 2), c (1, 5, 5) D (-6 , 2, 5) Gi trng tõm I v tõm mt cu ngoi tip E ca t din Lp phomg trỡnh mt phng (BIE) HD-DS Kt qu 25x - y - 10z + 52 =0 Bi 6: Trong khụng gian vi h to Oxyz cho im G(1 ; 1; 1) a) Vit phcmg trỡnh mt phang (a) i qua G v vuụng gúc vúd ng thng OG b) Mt phang (a) tỡm c trờn ct cỏc trc Ox, Oy, Oz ln lt ti cỏc im A, B, c Chng minh rng AABC l tam giỏc u HD-S a) Kt quỏ x + y + z - = Bi 7: Trong khụng gian Oxyz cho ng thng d l giao tuyn ca hai mt phang (P): X + 3ky - z + = v (Q): kx - y z + = l ỡm k d vuụng gúc vi mt phang (P): X - y - 2z + = HD-S Kct qu: k =1 Bi : Hõy xỏc nh giỏ tr ca m v n cp mt phng sau: a) 2x + my + 2mz - = v x -y -z - 10 = vuụng gúc vi b) 2x + my + 3z - = v nx - y - z + = song song vi HD-S a) Ket qu m = b) Kt qu m = v n = - 203 o CH X II PHNG TRèNH NG THNG DNG TOAN u ^ i^ g _ Vecớ chi phng l 'ect chi phng cua ng thỳng lự vecớ khỳc v cú giỏ song song hoc trựng vi ng thng Mt ng thng cú vụ so vecớ chi phng cựng phng vi nờn ta c thờ chn ta t l Phng trỡnh ca dng thng: Dng thng d i qua Mo{xo,Vo.zo) vự cú vect ch phicng u (a.h.c) a~ ' h C' > - Phng trỡnh tham s: X = A'o + a t d: y = 'n + hi t e R -0 + - Phng trỡnh chớnh tc a, h c ^ 0: A - x V - >'o Z-Zn a Chỳ : ỡ ) Dụ lp phng trỡnh dng thng l tỡm u cỳc yu t xỏc nh: diờm v VTCP T cỏc quan h cho t gi thiột dờ chn dng phng trỡnh thớch hp chng hn ng thng i qua diờm A B ta chn VTCP u AB 2) Vic kh tham s, t thum sụ, cho phộp ta chuyờn dng v lp cỏc phng trỡnh 3) Dng thng giao luyn ca mt phựng ct nhau: Nờu d a n thỡ chn VTCP u n c/, n ỡ [ Ax + Bv + Cz + D = () lloc t h [A'x + B' y + C z + D'=Q a h nghim (x;y:z) tmrng ng to cựa diờm thuc giao tuyn Ta chn uớớ/ỡM /T 4) Dcrngr vuụng gúc chung ca ng thựng chộo nhau: fy /' n h ỡ ỡ I /ỡ r r Dng thng di qua M v cú VTCP u I Dcrng thng d qua M v c VTCP u 204 Cỳch I: Dng vuụng gúc chung d cú v r c p u =^ii|;Uj I.p phng trỡnh mt phng (P) cha d v d 2Tỡm giao diờm cua di v (P) thỡ d i qua A v cú VTCP u d| Cỏch 2: Gi don vuụng gúc chung l AB A e di v B e d dng tham s theo v I Tỡm I v I ' hng h diu kin: AB.u^ = B 7, = Dng vuụng g(')c chung d i qua diờm A v B li toỏn : I.p phmig trỡnh tham s v chớnh lỏc ca dng thng d; a) Qua hai diờm M(-2;5;-6) v cú V TCP i = (2;-l;4) b) Qua hai diờm y\(l; 3; 5) B(4; -2; 1) Gii a) i)ng thng d cú v r c p u = (2;-1;4) v qua M(-2;5;-6), nờn cú phng X = X(, + al x = l + 3t trỡnh tham s d: ! = >'(,+ ht hay z = -4 t + _ V - Vfớ a h y = - 5t v phng trỡnh chớnh tc: C' hay -5 -4 b) Dng thỏng d cú VTCP u = B = (3; -5; -4) v qua A (l; 3; 5) nờn cú 'x = l + 3l - , , , , , , , i x -1 y - 7.-5 trinh chớnh tc: - =: - phng trinh tham s: y = - t ; v phng _5 _4 z = - 4t Bi toỏn : Lp phng trỡnh chớnh lc ca cỏc ng thng d: x = +2t a) 3y + z - = Dng thng d qua trc tõm H ca tam giỏc ABC v vuụng gúc vi mt phang (ABC) l giao tuyn ca (a) v (P) 207 D n g thng d qua N ( 1; 3; -1 ) v c v e c t ch p h n g x = l-4 t 11 = iip I = (6; -2; 3) nụn c ú p h n g trỡnh tham sụ d: y=t z = -1 + 3t Bi toỏn : Lp phng trỡnh ng thng d i qua A (-l; ; 5) v vuụng gúc vi ng thng X = 1+ 2t x = l-t' d: y = - t ;d ':- y = + t' / = 1+ z = l-3 t' Gii ^x = l + t ớ)OTg thng d; y = - 2t cú vect ch phng l u = (2; -2; 1) z=1+ ^x = l - t ' Dỡmg thng d': y = + 1' cú vect ch phng l V = (-1; 1; -3) z = l-3 t Vi ng thng d i qua A (-l; ; 5) v vuụng gúc vi ng thng nờn cú vecl chi phong l u ' = I u V I = (5; 5; 0) hay (1; 1; 0) X = -1 + Vy ng thng cn tỡm cú phng trỡnh tham s: K ' = + z=5 Bi toỏn 7: Vit phng trỡnh tham s chớnh tc (nu cú) ca ng thng d i qua diờm C (l; ; - ) v song song vi ng thng l giao tuyn ca mt phng X + y - z + = ; 2x - y + 5z - = Gii Vcct phỏp tuyờn ca mt phng X + y - z + = l n, = (1; 1; -1), Vect phỏp tuvn cua mt phng ca mt phang 2x - y f 5z - = l n, = (2; -1; 5) Vcct chi phnu ca ng thng d cn tỡm l: _ằ -1 -1 1 ^ n = m , n, = (4; -7; -3) 9 5 \ -1 -K Do dú ng thng d cn tim cú phng trỡnh: x = l + 4t 208 = -7 = -3 ; y = -7 t z = -l-3 t Bi toỏn : Lp phng trỡnh tham s v chớnh tc ca ng thng d l giao tuyn ca hai mt phang; (P); 2x - y + z + = 0; (P'): x - z + = Gii (P), (F ) cú VTPT n = (2; -1; 1), n ' = (2; 0; -1) Gi VTCP ca giao tuyờn d l u thỡ u -L n , n ' /' - _ 2 -T = = (1;4; 2) u = n , n' -1 2 ^ \ -1 x -y + z + = Cỏc diờm thuục giao tuyờn d cú toa ụ tho hờ: < [2 x -z + = Cho X = thỡ y = , z = Do ú d qua M(0; ; 3), cú VTCP u = (1; 4; 2) nờn cú phng trỡnh tham s v X = t , X chớnh tc l: = -1 + t z = + 2t 209 lng t thỡ hỡnh chiu ng thng d lờn mp(Oxy) cú phng trỡnh tham s: = + 3/ X < = -1 + 5/ z=0 X = + 3? lỡnh chiu ng thng d:lờn mp(Oxz) cú phng trỡnh tham s: z = + 2/ Bi toỏn 10: Cho ng thng d: X = ~ + l y= + v mt phng (P); X - 3y + z - 11 = z=t Vit phng trỡnh ng thng i qua gc to o, ct dv song song vi mp(P) Gi (P') l mt phng i qua gc to phng trỡnh: X - 3y + z = Gii o v song song vi mp(P) thỡ (P') cú (3 35^ 35 Giao diờm I ca ng thng d v mp(P') cú toa ụ I ;8 ; , vi t = ^ V3 ) ng thng i qua o v I l ng thng cn tỡm qua o v cú VTCP: 3ế = (3 ;2 ;3 )l = - ^ = 37 24 35 Bi toỏn 11: Vit phng trỡnh tham s ca ng thng vuụng gúc chung ca ũng thng X = + / (d,): y = + 2/ v (d2): z = 8-/ - x _ _y-l _ z - ' -2 Gii Dng thng (d2): -x _ ^ -1 _ ^ cú phng trỡnh tham s l 'x = - l t ' MI = (-1; 1; 2) Dng thỏng A di qua M(0; 1; 1) nhn MI = (-1; 1; 2) lm VTCP nờn cú z- i phng trỡnh A: 213 DNG TON V| TR TNG DI CA NG THANG V N I PHNG V trớ tng i ca ng thng: Dng thng d qua A(XA,yA.z,i) v cú vecl ch phng u =(a,h,c) ng thng d' qua B(xB,yiỡ,ZB) v c vect chỡ phng C v trớ tng i: -C h ộ o nhau: [ u , V - Cl nhau: [ M, AB = v a: h: c ^a': h': c' V V = (a',b',c') ] AB - Trựng nhau: a: b: c = a': h': c' = (xb - X a): (yB -y^i)-' (zb -z,) -S o n g song: a: b: c = a : h': c' ^ ( xb - X a): (yB -yA): (z b - za) V trớ tng i ca ng thng v I mt phng: ng thng d qua A v cú vect ch phng u Mt phng (P) qua Mo v cú vect phỏp tuyn n Cú v trớ tng i: - Ct nhau: li n - Song song: u n = v A (P) - ng thng thuc mt phng: u n = v A e (P) Chỳ ý: ng thng d i qua Mo(xo,yo,zo) v c vect chỡ phng u ==(a,h,c), a' ^ X = Xq + at Phng trỡnh tham s: d: y = yQ+ht, e R z - Zq + ct Phng trỡnh chớnh tc a, b, c ^ 0: - ^ a ^ h c Bi toỏn 1: Xỏc nh v trớ tng i gia cỏc cp ng thng: a) - = y - = - ^ v d': b) d : - = 214 y -2 x -3 _ y + _ z + -2 Z - , J , x -7 y-6 z -5 = - v d : = = -3 Gii a) ng thng d i qua im M(1; 7; 3) v cú vect ch phcmg u = (2; 1; 4) ng thng d' i qa im M'(3; -1; -2) v cú vect ch phcmg u ' = (6 ; -2; 1) Ta cú: ^ ' = (2; -8 ; -5 );[u , u '] = (9; 22;-10) ^ ế n ờn [ , '] đ Vy hai ng thng d v d' chộo ' = -108^0 b) ng thng d qua im M (l; 2; 3) v cú vect ch phng u = (9; ; 3); ng thng d' qua im M'(7; ; 5) v cú vect chi phng u ' = (6 ; 4; 2) c ú : : = : 4: Do ú d v d' song song hoc trựng Mt khỏc M M ' = (6 ; 4; 2) = u ' Vy hai ng thng d v d' trựng Bi toỏn 2: Xột v trớ tng i ca cỏc cp ng thng x -1 y + z - , ,, x - y+1 z+2 d : = = a) d : - - = = ^ v d': X - _ y Z + , , , x -7 y~2 z b) d : ~ v d : = = -8 -6 12 Gii a ) d q a M ( ;- ;3 ) v c ú VTCP u = (2; 1;4) d 'q u a M '(6 ;-l;-2 )v c ú V T C P u ' = (3;2; 1) T a c ú i, u'] = (-7; 10; 1), M M '= (5; 4;-5) nờn [ u , u ' M M ' = -35 + 40 - Vỡ [ u , u 'j 0, ú d v d' ng phng nờn ng thng ct b) d qua M(2; 0; -1) v cú VTCP u - (4; -6 ; - ) d qua M'(7; 2; 0) v cú VTCP u ' = (-6 ; 9; 12) - a cú u ' = - u nờn d, d' hoc song song hoc trựng Hn na M M ' = (5; 2; 1) khụng cựng phng vi u , u ' nờn ng thng song song Bi toỏn 3: Trong khụng gian vi h to Oxyz cho ng thng: x = - 2t d ,: y = + t , d, : z=t x-1 _ y _ z-2 -z J Chng minh ng thng chộo 215 Gii ng thng di qua Mi(2; -2; 0) v cú VTCP U| = (-2; 1; 1) ũng thng d qua M 2( l ; 0; 2) v cú VTCP u, = (-2; 3; 1) Ta cú [ u , , U2 ] = (-2; 0; -4), M |M , = (-1; -2; 2) nờn [ u , , u, ] M 1M = + - = -6 ớ>ớ^0 Vy ng thng chộo X = Bi toỏn 4: Cho hai ng thng d : t y 3-4 v d' l giao tuyn ca hai mt z = -3 -3 / phng: (a): X + y - z = 0, (a'): 2x - y + 2z = Chng minh hai ng thng song song Gii ũng thng d i qua im M(0; -3; -3) v cú vect ch phorng u = (1 ;-4; -3) ng thng d' cú vect ch phng u ' = (1; -4; -3) Do ú, d v d' cú cựng vect ch phng nờn hai ng thng d v d hoc song song hoc trựng Ngoi vỡ im M(0; -3; -3) khụng nm trờn d' nờn hai ng thng song song Bi toỏn 5: Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng cú phng trỡnh: , x-1 y+2 z -5 , , x -7 y -2 Z -1 ' - ' 3 - a) Chng t rng hai ng thng ó cho cựng nm mt mt phang b) Vit phng trỡnh mt phang ú Gii a) d| qua M i(l; -2; 5) v cú VTCP U| = (2; -3; 4) d qua M2(7; 2; 1) v cú VTCP T a c ú iq , = (3; 2; -2) = (-2; 16; 13); M M,='(6; 4;-4) nờn [^, ^].M ,M - ( - ) + + 13(-4) = Vy hai ng thng cựng nm mt phng b) Mt phng (P) cha ng thng nờn cú VTPT n = [i I, U2 ] == (-2; 16; 2) Mt phang (p) i qua Mi nờn cú phng trỡnh: -2(x- 1)+ 16(y + 2)+ 13(z-5) = h a y x - 16y- 13z + 31 =0 216 ... ĐỂ CĂN BẢN ĐẠI số 10 - CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 10 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN ĐẠI số - GIẢI TÍCH 11 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 11 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN GIẢI TÍCH 12 - CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC... HỌC 12 Từ Toán này, bạn nâng cao dần dần, bổ sung mở rộng kiến thức phương pháp giải Toán, rèn luyện kỹ làm bước giải đúng, giải gọn tập, toán kiểm tra, thi cử Cuốn CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12. .. bài: NHÀ SÁCH HỔNG ÂN C hế bản: NGUYỄN KHỞI MINH T rinh bày bìa: v õ THỊ THỪA Đối tác liên kết xuất bản: N hà sách HỒNG ÂN SÁCH LIÊN KÊT CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12 Mã số: 1L- 155ĐH2014 In