Chuyên đề 6 Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian §1. Tọa Độ Trong Không Gian Bài tập 6.1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→ a (5; 7; 2) , −→ b (3; 0; 4) và −→ c (−6; 1; −1). a) Hãy tìm các vectơ sau: −→ m = 3 −→ a −2 −→ b + −→ c ; −→ n = 5 −→ a + 6 −→ b + 4 −→ c ; −→ p = 1 2 −→ a − 1 3 −→ b + 1 6 −→ c . b) Tính: | −→ a |;    −→ b    ;    −→ a − −→ b    ; −→ a . −→ b ;  −→ a , −→ b  . c) Tìm −→ x sao cho −→ a + 3 −→ b − 2 −→ x = −→ 0 . d) Tìm u, v để vectơ −→ y (1; u; v) cùng phương với vectơ −→ a + 2 −→ b . Lời giải. a) −→ m = (15 −6 − 6; 21 − 0 + 1; 6 −8 − 1) = (3; 22 − 3). −→ n = (25 + 18 − 24; 35 + 0 + 4; 10 + 24 − 4) = (19; 39; 30). −→ p =  5 2 − 1 − 1; 7 2 − 0 + 1 6 ; 1 − 4 3 − 1 6  =  1 2 ; 11 3 ; − 1 2  . b) | −→ a | = √ 25 + 49 + 4 = √ 78;    −→ b    = √ 9 + 0 + 16 = 5. −→ a − −→ b = (2; 7; −2) ⇒    −→ a − −→ b    = √ 4 + 49 + 4 = √ 57. −→ a . −→ b = 15 + 0 + 8 = 23;  −→ a , −→ b  =      7 2 0 4     ;     2 5 4 3     ;     5 7 3 0      = (28; −14; −21). c) a + 3  b −2x =  0 ⇔ −→ x = 1 2 −→ a + 3 2 −→ b =  7; 7 2 ; 7  . d) Ta có: a + 2  b = (11; 7; 10) ⇒  −→ u ,a + 2  b  = (10u −7v; 11v − 10; 7 − 11u). Do đó −→ u và −→ a + 2 −→ b cùng phương ⇔  −→ u ,a + 2  b  = −→ 0 ⇔    10u −7v = 0 11v − 10 = 0 7 −11u = 0 ⇔      u = 7 11 v = 8 11 . Vậy u = 7 11 , v = 8 11 . Bài tập 6.2. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→ a (1; 0; −2) , −→ b (1; 2; −1) và −→ c (0; 3; −2). a) Tìm vectơ −→ u biết 2 −→ a + −→ b − 3 −→ c − 2 −→ u = −→ 0 . b) Tính    −→ a + −→ b + −→ c    . c) Tìm −→ a  −→ b − 2 −→ c  ;  −→ a , −→ b  . d) Tìm vectơ −→ u biết −→ u ⊥ −→ a ; −→ u ⊥ −→ b và | −→ u | = √ 21. Lời giải. a) 2a +  b −3c −2u =  0 ⇔ −→ u = −→ a + 1 2 −→ b − 3 2 −→ c =  3 2 ; − 7 2 ; 1 2  . b) a +  b + c = (2; 5; −5) ⇒    a +  b + c    = √ 4 + 25 + 25 = 3 √ 6. c)  b −2c = (1; −4; 3) ⇒ −→ a   b −2c  = 1 + 0 − 6 = −5;  −→ a , −→ b  = (4; −1; 2). d) Ta có −→ u ⊥ −→ a và −→ u ⊥ −→ b nên −→ u = k  −→ a , −→ b  = (4k; −k; 2k). Mặt khác | −→ u | = √ 21 ⇔ 21k 2 = 21 ⇔ k = ±1. Vậy −→ u = (4; −1; 2) hoặc −→ u = (−4; 1; −2). 1 Bài tập 6.3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; −2) , B (2; 1; −1) , C (1; −2; 2). a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. b) Tính chu vi tam giác ABC. c) Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành. d) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. Lời giải. a) Ta có: −−→ AB = (1; 1; 1) , −→ AC = (0; −2; 4) ⇒  −−→ AB, −→ AC  = (6; −4; −2) = −→ 0 . Suy ra −−→ AB, −→ AC không cùng phương. Vậy A, B, C không thẳng hàng. b) Ta có: AB = √ 3, AC = √ 20, −−→ BC = (−1; −3; 3) ⇒ BC = √ 19. Vậy chu vi tam giác ABC là √ 3 + √ 20 + √ 19. c) Gọi D(x; y; z) ta có: −−→ AD = (x − 1; y; z + 2). Khi đó ABCD là hình bình hành ⇔ −−→ AD = −−→ BC ⇔    x −1 = −1 y = −3 z + 2 = 3 ⇔    x = 0 y = −3 z = 1 . Vậy D(0; −3; 1). d) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G  4 3 ; − 1 3 ; − 1 3  . Bài tập 6.4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (−1; −2; 3) , B (0; 3; 1) , C (4; 2; 2). a) Tính −−→ AB. −→ AC. b) Tính cos  BAC. c) Tính  −−→ AB, −→ AC  . Lời giải. a) Ta có: −−→ AB = (1; 5; −2) , −→ AC = (5; 4; −1) ⇒ −−→ AB. −→ AC = 5 + 20 + 2 = 27. b) Ta có: cos  BAC = cos  −−→ AB, −→ AC  = −−→ AB. −→ AC    −−→ AB    .    −→ AC    = 27 √ 30. √ 42 = 3 √ 140 . c) Ta có:  −−→ AB, −→ AC  = (3; −9; −21). Bài tập 6.5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; 3) , B (2; 2; 4) , C (0; 3; −2). a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải. a) Ta có −−→ AB = (1; 2; 1) , −→ AC = (−1; 3; −5) ⇒ −−→ AB. −→ AC = −1 + 6 −5 = 0 ⇒ ∆ABC vuông tại A. b) Gọi I trung điểm BC ⇒ I  1; 5 2 ; 1  ⇒ −→ IB =  1; − 1 2 ; 2  ⇒ IB = √ 21 2 . Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có tâm I  1; 5 2 ; 1  và bán kính R = IB = √ 21 2 . c) Ta có AB = √ 6, AC = √ 35 ⇒ S ∆ABC = 1 2 AB.AC = 210 2 . Bài tập 6.6. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 3) , B (−1; 3; 2) , Giải: S I A D O H C B c om K 47 Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a AC, BD vuông góc với trung điểm O đường chéo Ta có tam giác ABO vuông O AO = a 3; BO = a, ABD = 60o hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC ) (SBD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên giao tuyến chúng SO ⊥ ( ABCD ) Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH ⊥ AB a ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK ) Gọi I hình chiếu 2 O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng 1 a = + ⇒ SO = Diện tích (S AB) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao ⇒ 2 2 OI OK SO a đáy S ABCD = 4S∆ ABO = 2.O A.OB = 3a2 ; đường cao hình chóp SO = a3 Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD = S ABCD SO = 3 ns in h2 DH = a 3; OK //DH OK = DH = Tu ye Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh cm , cạnh S A = SB = SC = cm Tam giác SBD có diện tích cm2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: D A VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = 11 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD 11( cm3 ) Tu ye ns in h2 47 c om Bài 1.4 Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy ( ABC ) góc 600 Tam giác ABC vuông B, ACB = 300 G trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a Giải: Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM dễ thấy NP khoảng cách hai đường thẳng S A CD suy NP = a Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a 6.SH ⇐⇒ AB = 2a Trong tam giác S AM ta có S A = AM + SM ⇐⇒ 2.SH = Vậy VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = a a a = 3 4SH + 2a2 ⇐⇒ SH = a 3 Bài 1.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, BC = 2a Cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy, S A = a Gọi H hình chiếu A SB Tính thể tích khối chóp H.ACD theo a côsin góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD ) Giải: c om S K H D A 47 E C B Kẻ HE //S A (E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ ( ABCD ) BH Tu ye ns in h2 Trong tam giác SAB có AB2 = BH.SB ⇒ BHS 47 h2 ns in ye Tu c om Ta có AH +BH = 4a2 = AB2 ⇒ AH ⊥BH , kết hợp với AH vuông góc với SH ta AH ⊥ (SHB) Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh ta AH ⊥ (SHB) suy AH ⊥ HK ⇒ HK đoạn vuông góc chung AC SB suy HK = a 1 = + ⇒ SH = 2a 2 HK SH HB2 4 a3 Ta có VS.ABCD = SH.S ABCD = SH.4.SO AB = SH O A.BH = 3 3 Trong tam giác vuông SHB ta có - Khối lăng trụ Tu ye ns in h2 47 c om Bài 2.1 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có đáy tam giác cạnh 2a, điểm A cách ba điểm A, B, C Cạnh bên A A tạo với mặt phẳng đáy góc α Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 3a3 Giải: 47 h2 ns in ye Tu c om B1 A1 H Tu ye ns in h2 47 C1 c om Bài 2.4 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu vuông góc H đỉnh A mặt phẳng ( A B1 C1 ) thuộc đường thẳng B1 C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 tính khoảng cách hai đường thẳng A A B1 C1 theo a Giải: a a , AO = AM = 3 a2 a a2 ⇒ HM.BC = ⇒ HM = , Theo S BCH = 8 a2 a2 a AH = AM − HM = − = 16 A O HM Do hai tam giác A AO M AH đồng dạng nên = AO AH AO.HM a a a suy A O = = = AH 3a 1aa a3 a= Thể tích khối lăng trụ: V = A O.S ABC = A O.AM.BC = 23 12 c om Do tam giác ABC cạnh a nên AM = - Khối tròn xoay Tu ye ns in h2 47 Bài 3.1 Cho hình trụ có bán kính đáy a đường cao a a) M N hai điểm lưu động hai đáy cho góc MN đáy α Tính khoảng cách từ trục đến MN b) Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ tam giác ngọai tiếp hình trụ Giải: 47 h2 ns in ye Tu c om TUY ỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH C ẨM NANG CHO M ÙA THI (ÔN THI THPT QUỐC GIA) T UY ỂN CHỌN 50 B ÀI TOÁN GI ẢI BẤT PH ƯƠNG TR ÌNH - ÔN THI THPT QU ỐC GIA Trang 1 Bài 1: Giải bất phương trình 2 2 1 2 3 4 . x x x x + − ≥ − − Hướng dẫn - Điều kiện: 2 2 0 0 1 3 41 1 0 0 . 3 41 3 41 8 2 3 4 0 8 8 x x x x x x x ≥  ≤ ≤  − +  − ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤   − − − + ≤ ≤   − − ≥   - Bất phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 1 2 (1 ) 2 3 4 x x x x x x + − + − ≥ − − 2 2 3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0 x x x x x x ⇔ + − − + + − ≥ 2 2 2 2 5 34 1 9 3 2 1 0 9 10 1 0 1 1 1 3 5 34 . 9 x x x x x x x x x x x x x  − + ≥  + + +  ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − − −  − − ≤   - Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5 34 3 41 . 9 8 x − + − + ≤ ≤ Bài 2: Giải bất phương trình )(,01102492321 22 Rxxxxxx ∈≥−+−+−+− Hướng dẫn: Điều kiện: 1 ≥ x - Bất phương trình đã cho tương đương với 0410249423211 22 ≥++−+−−+−− xxxxx [ ] )1(03)13( 223 6 11 1 )2( 03)13()2( 223 )63(2 11 2 0)269)(2)(223(2)11( 2 2 2 ≥       −−+ +− + +− −⇔ ≥−−−+ +− − + +− − ⇔ ≥−−−−−+−−⇔ x xx x xx x x x x xxxxx - Dễ thấy ( ) 1,013)11.3(313 223 6 11 1 2 2 ≥∀>=−−>−−+ +− + +− xx xx - Hơn nữa (1) .202 ≥ ⇔ ≥ − ⇔ xx Kết hợp điều kiện thu được .2 ≥ x Bài 3: Giải bất phương trình sau: ( ) ( ) 2 2 2 1 log log 2 log 6 x x x + + + > − Hướng dẫn: ĐK: 0 6 x < < . ( ) ( ) 2 2 2 2 log 2 4 log 6 x x x ⇔ + > − ( ) 2 2 2 2 4 6 16 36 0 x x x x x ⇔ + > − ⇔ + − > Vậy: 18 x < − hay 2 x < So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 6 x < < . Bài 4: Giải bất phương trình )(,1 4 2 2 7119229 23 23 Rx x x x xxxx ∈> −++ −−++− Hướng dẫn: Điều kiện    ≠−++ ≥ 0422 1 23 xxx x - Nhận xét 1,014221422 23 ≥∀>=−++≥−++ xxxx . - Bất phương trình đã cho tương đương với 0217248114227119229 232323 >−+−+−−⇔−++>−−−+− xxxxxxxxxxx T UY ỂN CHỌN 50 B ÀI TOÁN GI ẢI BẤT PH ƯƠNG TR ÌNH - ÔN THI THPT QU ỐC GIA Trang 2 )1(01)12(2 11 1 )2(0)188)(2( 11 2 22 >       −−+ +− −⇔>+−−+ +− − ⇔ x x xxxx x x - Rõ ràng 1,011)12(21)12(2 11 1 22 ≥∀>=−−>−−+ +− xx x nên (1) 202 > ⇔ > − ⇔ xx Bài 5: Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 5 5 1 5 log 4 1 log 7 2 1 log 3 2 x x x + − − ≤ + + Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 7 4 2 x − < < ( ) ( ) ( ) 5 5 5 log 4 1 log 3 2 1 log 7 2 x x x ⇔ + + + ≤ + − ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 5 5 2 log 4 1 3 2 log 5 7 2 4 1 3 2 5 7 2 12 21 33 0 33 1 12 x x x x x x x x x ⇔ + + ≤ − ⇔ + + ≤ − ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Giao với điều kiện, ta được: 1 1 4 x − < ≤ . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 1 4 x − < ≤ Bài 6: Giải bất phương trình )(221452)1( 22 Rxxxxxxx ∈+++≥+−− Hướng dẫn: Điều kiện: .Rx ∈ Khi đó : 0)5212(2)522)(1( 222 ≤+−−+++−++⇔ xxxxxxx 0 5212 547)52)(1(252214 )1( 0) 5212 )13(2 522)(1( 0 5212 )13)(1(2 )522)(1( 0 5212 )5244(2 )522)(1( 22 22222 22 2 22 2 22 22 2 ≤         +−++ +−++−+++−++ +⇔ ≤ +−++ − ++−++⇔ ≤ +−++ −+ ++−++⇔ ≤ +−++ −+−+ ++−++⇔ xxx xxxxxxxx x xxx xx xxx xxx xxx xxx xxx xxxx xxx - Do >++−=+− 16)2(547 222 xxxx 0 nên (2) )1;(101 − −∞ ∈ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ + ⇔ xxx Bài 7: Giải bất phương trình : ( ) 2 2 x 1 x 5 x x 1 − + + > + Hướng dẫn: x 1 + ≤ : loại ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 1 1 1 x 1: x 5 x 5 x x 5 x x 1 x 1 x 1 5 1 5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5 x 1 x 5 x 5 x x 2 4 15x 40x 20 0 − + + > + > ⇔ + > + ⇔ + − > − − − ⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > + − + +  >  ⇔ ⇔ >   − + >  T UY ỂN CHỌN 50 B ÀI TOÁN GI ẢI BẤT PH ƯƠNG TR ÌNH - ÔN THI THPT QU ỐC GIA Trang 3 Bài 8: Giải bất phương trình: ( ) 2 2 5 4 1 ( 2 4) x x x x x+ < + + − (x ∈ R). Hướng dẫn: ( ) 2 2 5 4 1 ( 2 4) x x x x x+ < + + − (*) - ĐK: x(x 2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔ 1 5 0 1 5 x x  − − ≤ ≤  ≥ − +   - (*) ⇔ 2 2 4 ( 2 4) 5 4 x x x x x + − > + − ⇔ 2 2 4 ( 2 4) ( 2 4) 3 x x x x x x + − > + − + (**) TH 1: 1 5 x ≥ − + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ 2 2 2 4 2 4 4 3 x x x x x x + − + − > + Đặt 2 2 4 , 0 x x t t x + − = ≥ , ta có bpt: 2 4 3 0 t t − + TUY ỂN CHỌN 50 B ÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH MIN - MAX C ẨM NANG CHO M ÙA THI (ÔN THI THPT QUỐC GIA) TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 1 Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 x y z + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của: x y y z z x P xy z yz x zx y + + + = + + + + + Hướng dẫn Ta có 1 1 + + = ⇒ + = − x y z x y z , ta có: 1 1 1 (1 )(1 ) + − − = = + + − − − − x y z z xy z xy x y x y 1 1 1 (1 )(1 ) + − − = = + + − − − − y z x x yz x yz y z y z 1 1 1 (1 )(1 ) + − − = = + + − − − − z x y y zx y zx x z x z Khi đó + + + = + + + + + x y y z z x P xy z yz x zx y = 1 (1 )(1 ) − − − z x y + 1 (1 )(1 ) − − − x y z + 1 (1 )(1 ) − − − y x z 3 1 1 1 3 . . 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) − − − ≥ = − − − − − − z x y x y y z x z . Vậy 3 = MinP đạt được khi 1 3 = = = x y z Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng với 1 a ∀ ≥ ta luôn có : 1 1 1 . x y z x y z x y z a a a a a a + + ≥ + + Hướng dẫn * Với a = 1 ta thấy BĐT đúng . * Ta xét khi a > 1. Hàm số y = 1 1 t t y a a   = =     nghịch biến với t R ∀ ∈ , khi a > 1. Khi đó ta có Ta có : 1 1 ( )( ) 0, x y x y a a − − ≤ , . x y R ∀ ∈ Suy ra x y y x x y x y a a a a + ≤ + (1) Chứng minh tương tự y z y z y z z y a a a a + ≤ + (2) z x z x z x x z a a a a + ≤ + (3) Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2( ) x y z x y z x y z y z z x x y a a a a a a + + + + + ≤ + + (4) Cộng 2 vế của (4) với biểu thức x y z x y z a a a + + ta được 1 1 1 3( ) ( )( ) x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z a a a a a a a a a + + + + + + + + ≤ + + = + + + + TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 2 Suy ra 1 1 1 . x y z x y z x y z a a a a a a + + ≥ + + ( do x + y + z = 3 ) Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm) Bài 3: Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 3. ab bc ca + + = Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) a b c b c a c a b abc + + ≤ + + + + + + Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 2 3 3 3 ( ) 1 ab bc ca abc abc = + + ≥ ⇒ ≤ . Suy ra: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 (1). 1 ( ) 3 a b c abc a b c a ab bc ca a a b c a + + ≥ + + = + + = ⇒ ≤ + + Tương tự ta có: 2 2 1 1 1 1 (2), (3). 1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c ≤ ≤ + + + + Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3 ab bc ca a b c b c a c a b c b c abc abc + + + + ≤ + + = = + + + + + + □ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1, 3 1, ( , , 0). abc ab bc ca a b c a b c = + + = ⇒ = = = > Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 0,0,221221 >>+−<<−− zyx và 1 − = + + z y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 )(8 1 )( 1 )( 1 zyzxyx P +− + + + + = . Hướng dẫn Ta có 222222 )1(8 1 )1( 1 )1( 1 )1(8 1 )1( 1 )1( 1 xzyxyz P +− + + + + = −−− + −− + −− = T a sẽ chứng minh yzzy + ≥ + + + 1 1 )1( 1 )1( 1 22 Thật vậy: 222 22 )]1)(1[(])1()1)[(1( 1 1 )1( 1 )1( 1 yzyzyz yzzy ++≥++++⇔ + ≥ + + + . 222 )1()222)(1( yzzyyzyzyz +++≥+++++⇔ 22 2 )()1)((2)1( )1(2))(1()1(2)1)((2 yzzyyzzy yzzyzyzyyzzyyz ++++++≥ ++−++++++⇔ 04)()1(242))(1( 22222 ≥−−−+−+++−+⇔ yzzyyzzyyzzyzy 0)1()( 22 ≥−+−⇔ yzzyyz (hiển nhiên đúng). Dấu “=” xảy ra khi 1 = = zy . Ta lại có yz zy ≥ + 2 4 )1( 4 )1( 2 22 2 xxzy yz + = −− =       + ≤⇒ TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 3 Do đó 2 2 22 )1(4 4 4 )1( 1 1 1 1 )1( 1 )1( 1 x x yzzy ++ = + + ≥ + ≥ + + + 22 )1(8 1 )1(4 4 +− + ++ ≥⇒ xx P Do 221221 +−<<−− x nên )8;0[)1( 2 ∈+x . Đặt )8;0[)1( 2 ∈⇒+= txt và P t t − + + ≥ 8 1 4 4 Xét t t tf − + + = 8 1 4 4 )( với )8;0[ ∈ t . 22 2 22 )8()4( 240723 )8( 1 )4( 4 )(' tt tt tt tf −+ −+− = − + + −= 20;402407230)(' 2 ==⇔=−+−⇔= tttttf (loại) Bảng biến thiên t 0 4 8 f’(t) - 0 + f(t) 8 9 ∞ + 4 3 Do đó 4 3 )( ≥≥ tfP và 4 3 =P khi    == −= ⇔     200 CÂU BÀI TRẮC NGHIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1) Mặt cong có phương trình : đúng: A tập gồm điểm B mặt cong mặt cầu C tập hợp trống D mặt cầu Lựa chọn phương án 2) Cho mặt cầu : : : , mặt phẳng: ; Gọi , tương ứng bán kính đường tròn thiết diện mặt cầu với mặt phẳng Lựa chọn phương án A B D C 3) Mặt cầu Lựa chọn phương án đúng: có phương trình : A tiếp xúc với mặt phẳng B tiếp xúc với mặt phẳng: C tiếp xúc với mặt phẳng không tiếp xúc với mặt phẳng không tiếp xúc với mặt phẳng D tiếp xúc với mặt phẳng 4) Mặt cong có phương trình đúng: không tiếp xúc với mặt phẳng Lựa chọn phương án A tập hợp gồm điểm B tâp hợp trống C mặt cầu D mặt cong mặt cầu 5) Mặt cầu A C : ; : tiếp xúc cắt 6) Cho mặt cầu : ; mặt phẳng : Lựa chọn phương án đúng: : B cắt D cắt mặt phẳng: : : : ; ; : ; : ; Lựa chọn : phương án đúng: A tiếp xúc không tiếp xúc B tiếp xúc tất C tiếp xúc D tiếp xúc , , không tiếp xúc không tiếp xúc 7) Cho mặt cầu : r bán kính hình tròn giao tuyến A B C D , và mặt phẳng : Lựa chọn phương án đúng: Gọi 7) Cho mặt cầu: hai mặt phẳng : ; : Gọi , tương ứng bán kính đường tròn thiết diện mặt cầu với hai mặt phẳng Lựa chọn phương án đúng: A B C D 8) Cho hai mặt cầu: : chọn phương án đúng: ; : Lựa A B cắt C tiếp xúc D nằm 8) Cho mặt cầu : ; : mặt phẳng : ; : Gọi bán kính đường tròn thiết diện với , bán kính đường tròn thiết diện với Lựa chọn phương án A B C D 9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) đường thẳng song song với đường thẳng sau ? A AD B BD C AC D SC 10) Trong không gian, cho hai mặt phẳng phân biệt ( ) ( ).Có vị trí tương đối ( ) ( ) ? A B C D 11) Trong mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề A Nếu ( ) // ( ) a B Nếu a // b a ( ) a // ( ) ( ), b ( ) ( ) // ( ) C Nếu a // ( ) b // ( ) a // b D Nếu ( ) // ( ) a ( ), b ( ) a // b 12) Cho giả thiết sau Giả thiết kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) ? A a ( )= B a // b b // ( ) C a // ( ) ( ) // ( ) D a // b b ( ) 13) Cho hai đường thẳng a b chéo Có mặt phẳng chứa a song song với b ? A B Vô số C Không có mặt phẳng D 14) Cho tứ diện ABCD Điểm M thuộc đoạn AC Mặt phẳng ( ) qua M song song với AB AD Thiết diện ( ) với tứ diện ABCD là: A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình tam giác D Hình vuông 15) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề ? A Hai đường thẳng điểm chung chéo B Hai đường thẳng phân biệt không song song chéo C Hai đường thẳng chéo điểm chung D Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng phân biệt chéo 16) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AC, BD, AB, CD, AD, BC Bốn điểm sau không đồng phẳng ? A P, Q, R, S B M, P, R, S C M, N, P, Q D M, R, S, N 17) Cho hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng Có vị trí tương đối hai đường thẳng ? A B C D 18) Cho hai đường thẳng phân biệt a b không gian Có vị trí tương đối a b ? A B C D 19) Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, xác định nhiều mặt phẳng phân biệt từ điểm ? A B C D 20) Cho tam giác ABC Có thể xác định mặt phẳng chứa tất đỉnh tam giác ABC ? A B C D 21) Cho tam giác ABC, lấy điểm I cạnh AC kéo dài (hình 0035.1) Các mệnh đề sau mệnh đề sai ? A BI (ABC) B A (ABC) C (ABC) (BIC) D I (ABC) 22) Cho hai đường thẳng a b Điều kiện sau đủ để kết luận a b chéo ? A a b nằm hai mặt phẳng phân biệt B a b không nằm mặt phẳng C a b điểm chung D a b hai cạnh hình tứ diện 23) Các yếu tố sau xác định mặt phẳng ? A Hai đường thẳng cắt B Ba điểm C Bốn điểm D Một điểm đường thẳng 24) Cho hình vuông ABCD tam giác SAB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M điểm di động đoạn AB Qua M vẽ mặt phẳng ( ) song song với (SBC) Gọi N, P, Q giao mặt phẳng ( ) với đường thẳng CD, DS, S A Tập hợp giao điểm I đường thẳng MQ NP A Nửa đường thẳng B Đường thẳng C Tập hợp rỗng D Đoạn thẳng song song với AB 25) Cho hình vuông ABCD tam giác SAB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M điểm di động đoạn AB Qua M vẽ mặt phẳng ( ) song song với (SBC) Thiết diện tạo ( ) hình chóp S.ABCD hình ? A Hình vuông B Hình bình hành C Hình thang D Tam giác 26)_ Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hai đường thẳng phân biệt không song song Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 10 DẠNG BÀI HAY VÀ KHÓ TRONG CÁC KÌ THI THPT QUỐC GIA A Lí thuyết trọng tâm I Nhận biết chất hóa học II Ăn mòn điện hóa III Thí nghiệm hóa học IV Kiến thức liên chương vô – hữu B Bài tập trọng tâm I Este II Peptit III Amin – Amino Axit IV Tác dụng với Axit Kim loại tác dụng với axit tính oxi hóa Kim loại tác dụng với axit có tính oxi hóa mạnh V Nhiệt nhôm VI Toán dạng đồ thị W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai A Lí thuyết trọng tâm I Nhận biết chất hóa học Lý thuyết cần nắm Ion Thuốc thử Phản ứng nhận biết Dấu hiệu Cl- Cl- + AgNO3 → AgCl ↓ + NO3- ↓ trắng Br- Br- + AgNO3 → AgBr ↓ + NO3- ↓ trắng ngà I- I- + AgNO3 → AgI ↓ + NO3- ↓ vàng nhạt PO43- PO43- + 3AgNO3 → Ag3PO4 ↓ + 3NO3- ↓ vàng BaCl2 + SO42- → BaSO4↓ + 2Cl- ↓ trắng AgNO3 SO42- SO32- CO32- BaCl2 SO32- + 2HCl → 2Cl- + SO2 + H2O (1) HCl SO2 + Br2 + 2H2O→ H2SO4 + HBr (2) CO32- + 2HCl → 2Cl- + CO2 + H2O (1) HCl CO2 + Ca(OH)2 → CaCO3 ↓ + H2O (2) S2- Pb(NO3)2 Cu(NO3)2 S2- + Pb(NO3)2 → PbS ↓ + 2NO3- NO3- H2SO4, Cu, to Cu + 2NO3- + 4H+ → Cu2+ + 2NO2 + 2H2O SiO3- HCl SiO32- + HCl → Cl- + H2SiO3 ¯ (S2- + Cu(NO3)2 → CuS ↓ + 2NO3-) Bọt khí không màu làm màu dung dịch Br2 (2) Bọt khí không màu l{m đục nước vôi Kết tủa đen Khí nâu bay Kết tủa keo trắng Kết tủa keo trắng, AlO2- NH4+ AlO2- + NH4+ + H2O → Al(OH)3 ↓ + NH3 có có bọt khí thoát W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai OH- H+ Quỳ tím hoá xanh Quỳ tím phenophtalein không màu Phenolphtalein hoá hồng Quỳ tím Ho| đỏ Li+ Đỏ son Na+ Vàng K+ Hồ quang điện Tím Ca2+ Đỏ gạch Ba2+ Xanh nhạt Ca2+ CO32- Ca2+ + Na2CO3 → CaCO3 ↓ + 2Na+ Kết tủa trắng Ba2+ SO42- Ba2+ + Na2SO4 → BaSO4 ↓ + 2Na+ Kết tủa trắng K2Cr2O7 2Ba2+ + K2Cr2O7 → 2BaCrO4 ↓ + 2K+ Vàng Bọt khí không màu NH4+ NH4+ + NaOH → Na+ + NH3 + H2O NaOH Mg2+ quỳ tím ẩm Mg2+ + 2NaOH → 2Na+ + Mg(OH)2 ↓ Màu sắc NaOH thoát làm xanh Kết tủa trắng Xanh Cu2+ + NaOH → Na+ + Cu(OH)2 ↓ Cu2+ Kết tủa xanh lam Kết tủa xanh lam NH3 Cu2+ + 2NH3 + 2H2O → 2NH4+ + Cu(OH)2¯ (1) tan NH3 Cu(OH)2 + 4NH3 → Cu(NH3)4(OH)2 (2) dư tạo màu xanh đặc trưng W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Na2S NaOH Cu2+ + Na2S → CuS ↓ + 2Na+ Zn2+ + 2NaOH → Zn(OH)2¯ + 2Na+ (1) Zn(OH)2¯ + 2NaOH → Na2ZnO2 + H2O (2) Zn2+ Kết tủa m{u đen Kết tủa keo trắng (1) tan NaOH dư (2) Tạo kết tủa keo NH3 Zn2+ + 2NH3 + H2O → Zn(OH)2 ↓ + 2NH4+ (1) Zn(OH)2¯ + 4NH3 → [Zn(NH3)4](OH)2 (2) trắng (1) tan NH3 dư (tạo phức tan) NaOH Al3+ NH3 Fe2+ NaOH Fe3+ NaOH W: www.hoc247.net Al3+ + 3NaOH → Al(OH)3 ↓ + 3Na+ (1) Al(OH)3¯ + NaOH → NaAlO2 + 2H2O (2) Al3+ + 3NH3 + 3H2O → Al(OH)3¯ + 3NH4+ Fe2+ + 2NaOH → Fe(OH)2 ↓ + 2Na+ 4Fe(OH)2 + O2 + 2H2O → 4Fe(OH)3 Fe3+ + 3NaOH → Fe(OH)3 ↓ + 3Na+ F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Tạo kết tủa keo trắng (1) tan NaOH dư (2) Tạo kết tủa keo trắng Kết tủa trắng xanh hóa nâu không khí Kết tủa n}u đỏ Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài tập vận dụng Câu 1: (Chuyên Hạ Long – Lần – THPT QG 2017) Có kim loại Mg, Ba, Zn, Fe, Ag Chỉ dùng thêm dung dịch H2SO4 loãng nhận biết kim loại A Mg, Ba, Zn, Fe B Mg, Ba, Zn, Fe, Ag C Mg, Ba, Zn D Mg, Ba, Cu Nhận định: Đ}y l{ dạng toán cố định thuốc thử Gặp dạng này, ta sử dụng thuốc thử đề cho sản phẩm sinh chất đ~ nhận làm thuốc thử Hướng dẫn: - Dùng H2SO4 loãng: +) Kết tủa trắng + bọt khí : Ba +) Kết tủa bạc không tan không phản ứng: Ag +) Tan + bọt khí : Mg, Zn, Fe - Cho Ba dư v{o bình chưa nhận +) Kết tủa trắng hóa nâu không khí => Fe +) Kết tủa trắng : Mg Zn - Cho Ba dư v{o dung dịch H2SO4 => lọc kết tủa => dung ... liên quan Xác định tọa độ điểm, véc tơ cần thi t cho kết luận • Bước 4: Giải toán Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải yêu cầu toán hình không gian Chú ý công thức góc, khoảng cách, diện... ✪ Cách chọn hệ tọa độ số hình không gian ★ Tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình lập phương • Xét tam diện vuông S.ABC có S A = a 47 h2 ns in ye Tu c om Bài 6.3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A... góc với đáy hình chóp Cho AB = a, S A = a Gọi H, K hình chi u A SB, SD Chứng minh Tu ye ns in h2 47 SC Bài 6.22 Cho tam giác ABC vuông C Tìm điểm M không gian thỏa mãn M A + MB2 ≤ MC Giải: Kết