TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CHU THỊ HẰNG ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa Vật lý thầy, cô giáo khoa giúp đỡ năm học tai Khoa Vật lý tạo điều kiện cho làm khóa luận Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT” hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình, chu đáo cô giáo PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN, thầy cô Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trong trình nghiên cứu, thân sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì vậy, mong ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Chu Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em qua trình học tập nghiên cứu, bên cạnh em nhận quan tâm tạo điều kiện thầy cô giáo Khoa Vật lý, đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu có ghi phần Tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết đề tài “ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT” trùng lặp với đề tài Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm ! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Chu Thị Hằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Khái niệm liên kết 1.1.1 Số bậc tự – Liên kết 1.1.2 Dịch chuyển dịch chuyển ảo 1.2 Tọa độ suy rộng 11 1.3 Liên kết lí tưởng 13 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC 19 2.1 Phương trình tổng quát động lực học 19 2.2 Phương trình tổng quát động lực học viết hệ tọa độ suy rộng 19 2.3 Nguyên lý D’ Alambert 25 CHƢƠNG 3: ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT 26 3.1 Áp dụng phương trình tổng quát động lực học để giải số tập học lý thuyết 26 3.2 Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải số tập 38 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý lý thuyết môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lý, thuyết vật lý hiểu biết tổng quát lĩnh vực, phạm vi vật lý định Bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học nhà vật lý lý thuyết đề hệ thống quy tắc, định luật nguyên lý vật lý dùng làm sở để giải thích tượng, kiện vật lý để tạo khả tìm hiểu, khám phá định luật, quy luật Cơ học lý thuyết phận vật lý lý thuyết, nghiên cứu cân chuyển động vật thể tác dụng lực Thực tế số lớn lực đại lượng biến đổi phụ thuộc vào nhiều tham số Quy luật chuyển động vật thể phụ thuộc vào hình dáng, kích thước, khối lượng vật … lực tác dụng lên Động lực học phần học nghiên cứu quy luật chuyển động vật thể tác dụng lực Trong phần động lực học ta sử dụng phương trình tổng quát để tìm định luật, phương trình mới,… giúp người đọc có thêm kiến thức việc giaỉ tập Việc vận dụng phương trình tổng quát để giải tập lý thuyết yếu tố quan trọng người đọc Nó giúp người đọc hiểu sâu lý thuyết, tính chất, chất vật tượng; phát triển khả tư duy, sáng tạo học tập Với lý em định lựa chọn nghiên cứu đề tài “Áp dụng phương trình tổng quát động lực học để giải số tập lý thuyết” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phương trình tổng quát động lực học - Áp dụng phương trình tổng quát động lực học để giải số tập lý thuyết Đối tƣợng nghiên cứu - Nghiên cứu hệ có chịu liên kết - Các phương trình tổng quát viết cho hệ có chịu liên kết - Áp dụng phương trình tổng quát để giải số toán hệ có chịu liên kết Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình tổng quát động lực học áp dụng vào số tập học lý thuyết Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý lý thuyết - Phương pháp học - Phương phán giải tích Bố cục đề tài Chƣơng 1: Các khái niệm 1.1 1.2 1.3 Khái niệm liên kết Tọa độ suy rộng Liên kết lý tưởng Chƣơng 2: Phƣơng trình tổng quát động lực học 2.1 Phương trình tổng quát động lực học 2.2 Phương trình tổng quát động lực học viết hệ tọa độ suy rộng 2.3 Nguyên lý D’ Alambert Chƣơng 3: Áp dụng phƣơng trình tổng quát động lực học để giải số tập học lý thuyết 3.1 Áp dụng phương trình tổng quát động lực học để giải số tập học lý thuyết 3.2 Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải số tập CHƢƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Khái niệm liên kết 1.1.1 Số bậc tự – Liên kết Ta xét hệ gồm N chất điểm chuyển động hệ quy chiếu quán tính Vị trí chất điểm không gian xác định bán kính véctơ ⃗ hay ba tọa độ Đềcác Để xác định vị trí hệ ta cần xác định N bán kính véctơ ⃗ , hay 3N tọa độ Đề- Số thông số độc lập cần thiết để xác định cách đơn giá vị trí hệ gọi số bậc tự Cơ hệ gọi hệ tự chất điểm tạo thành hệ chiếm vị trí không gian có vận tốc Nói khác đi, hệ tự vị trí vận tốc chất điểm hệ không bị hạn chế điều kiện Số bậc tự hệ tự hệ gồm N chất điểm 3N Cơ hệ gồm Mặt trời hành tinh ví dụ hệ tự Trong thực tế ta thường gặp hệ không tự do, nghĩa hệ mà vị trí vận tốc chất điểm tạo thành bị hạn chế điều kiện Những điều kiện hạn chế vị trí vận tốc chất điểm hệ không gian gọi liên kết Những điều kiện không phụ thuộc vào lực tác dụng lên hệ điều kiện đầu chuyển động Ví dụ: Cơ hệ gồm hai chất điểm có độ dài nối với hệ không tự Sáu tọa độ Đề-các xác định vị trí hai chất điểm phải thỏa mãn điều kiện: Do tọa độ Đề-các thông số độc lập chúng có mối liên hệ với phương trình (1.1) Chỉ có tọa độ Đề-các độc lập Vậy hệ gồm hai chất điểm mà khoảng cách chúng không thay đổi có bậc tự Nếu hệ gồm ba chất điểm không nằm đường thẳng khoảng cách chất điểm Đề-các không đổi tọa độ xác định vị trí ba chất điểm phải thỏa mãn ba điều kiện: { Chín tọa độ Đề-các liên hệ với ba phương trình (1.2) nên có tọa độ Đề-các độc lập Số bậc tự hệ gồm ba chất điểm không nằm đường thẳng mà khoảng cách chất điểm không thay đổi Vị trí vật rắn không gian xac định ba điểm không nằm đường thẳng Ba điểm có bậc tự Vì vật rắn chuyển động không gian có bậc tự Ta xét trường hợp đặc biệt vật rắn cầu lăn không trượt mặt phẳng nằm ngang (hình 1) Chọn gốc tọa độ điểm nằm mặt phẳng, trục Oz vuông góc với mặt phẳng hướng từ lên trên, trí khối tâm cầu đồng chất, vị hai điểm vật rắn Chín tọa độ Đề-các xác định vị trí ba điểm phương trình (1.2) phương trình: phải thỏa mãn ba Bài 4: Hãy tìm trọng lượng hai tải trọng giữ cân nhờ tải trọng P mặt phẳng nghiêng góc nằm ngang: biết tải trọng so với Phuong buộc vào hai đầu dây cáp, dây đặt trục nằm ngang lồng vào ròng từ tải trọng P luồn qua ròng rọc rọc động mang tải trọng P, sau luồn qua ròng rọc ròng rọc và cuối buộc vào tải trọng nằm trục Bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc dây cáp Bài giảng Chọn chiều dương chiều dịch chuyển Các lực tác dụng lên vật hình 𝑂 vẽ: ⃗ ⃗𝑇 𝑇 + ⃗ ⃗ phản lực liên kết +⃗ ⃗ 𝛿𝑟 ⃗ lực liên kết 𝛼 Các lực chủ động tác dụng lên hệ trọng lực ⃗ Gọi ⃗ 𝑂 ⃗ 𝑇 𝑂 𝑃⃗ 𝑃⃗ ⃗ hay ⃗ lực chủ động tác dụng 𝑃⃗ lên hệ Hình 13 Để hệ thong cân : ∑ ⃗ ⃗ ⃗ Mặt khác ta có: 32 𝛽 Chọn chiều dương chiều dịch chuyển ảo Từ (1) ta có: ( ( ) ( ) ) Để phương trình (*) thỏa mãn : { { Bài 5: Chất điểm có khối lượng m chuyển động mặt phẳng nhẵn cố định Mặt phẳng hợp với phườn nằm ngang góc Hãy tìm quy luật chuyển động chất điểm phản lực liên kết mặt phẳng, biết ̇ ̇ Bài giảng Chọn hệ trục tọa độ (hình 14) z y Oz hướng thẳng đứng lên trên, Oy nằm mặt phẳng chuyển động Do vật chuyển động xuống dưới, tác dụng thành phần N ⃗𝑧 𝑁 nên x giảm z giảm 𝑛⃗ Để dảm bảo cho chất điểm nằm mặt phẳng chuyển động ta phải có phương trình liên kết 𝑃⃗ α O x Hình 14 33 m ⃗𝑥 𝑁 P Do đó, ta được: (1) Phương trình định luật II Niu-tơn: ⃗ ⃗⃗ ⃗ (*) Chiếu (*) lên trục tọa độ ta được: ̈ (2) (3) (4) ̈ { ̈ Từ (1), ta có: ̈ ̈ (5) thay (5) vào (4): (6) ̈ thay (6) vào (2), ta có: ( ) (7) Thay (7) vào (2), ta được: ̈ ̈ 34 ̈ ̇ ̇ Từ điều kiện ban đầu ̇ ̇ Từ (3) suy ra: ̈ ̇ (8) Mà t = thì: ̇ ̇ (9) Từ (8) (9), suy ra: ̇ Từ phương trình (1): ̇ ( ̇ Vậy phương trình chuyển động có dạng: 35 ) ̇ ̇ ̇ { Các phản lực liên kết trục là: { Bài 6: Chất điểm có khối lượng m chuyển động đường giao hình cầu nhẵn cố định bán kính u mặt phẳng nằm ngang nhẵn chuyển động theo phương thẳng đứng với quy luật Hãy tìm quy luật chuyển động chất điểm phản lực liên kết ̇ biết ̇ , thông số hệ tọa độ trụ) Bài giảng z 𝑅⃗ Chọn hệ trục tọa độ (hình 15) ADĐL II Niu-tơn, ta có: Phương trình liên kết chất điểm: 𝑅⃗ (2) { (3) Chiếu (1) lên trục hệ tọa độ trụ: 𝑃⃗ x Hình 15 36 y { ̈ ̇ (4) (5) ̇ (6) { Xét hệ trụ có: , (7) thay (7) vào (3), ta có: Mà lại có: Từ (5), ta có: ̇ ̇ ̇ ̇ (8) Tại thời điểm ban đầu: ̇ Vậy quy luật chuyển động chất điểm là: { ̇ 37 Ta có: ̇ ̈ (9) thay (9) vào (4), ta được: ̇ ( ̇ ( ) ) có ̇ ̈ (10) thay (10) vào (6), ta được: Vậy phản lực liên kết là: { ̇ ( ) 3.2 Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải số tập Bài 1: Sử dụng phương trình trình tổng quát học (phương trình Lagrange – D’Alembert) dẫn định lý biến thiên động chất điểm Bài giảng Ta có phương trình tổng quát học: 38 ⃗⃗ ) ∑( Thay dịch chuyển ảo (1) thành dịch chuyển thực ⃗⃗ ) ∑( (2) ∑ ∑ ⃗⃗ ta có: ∑ ⃗⃗ ∑ ∑ ∑ ∑ ta có: ⃗⃗ ∑ ( Do 39 ) ⃗⃗ ∑ Đặt ∑ (∑ ) ∑ ∑ ⃗⃗ (3) Mặt khác ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (∑ Đặt ∑ ∑ 40 ∑ ) (∑ ) ∑ (4) Thay (3) vào (4) ta có: Phương trình (5) định lý biến thiên động hệ chất điểm Bài 2: Các vật nặng A B nối với sợi dây không giãn vắt qua ròng rọc D Khi vật nặng A có trọng lượng rọc D có trọng lượng có trọng lượng hạ xuống dưới, ròng quay xung quanh trục cố định nó, vật nặng B nâng lên dọc theo mặt phẳng nghiêng với phương ngang góc Hãy xác định gia tốc vật A B phương trình Lagrange – D’Alembert, biết hệ số ma sát trượt vật B vào mặt phẳng nghiêng f, ròng rọc D xem đĩa tròn đồng chất Bỏ qua khối lượng dây ma sát Bài giảng Các lực tác dụng vào A B hình vẽ Vì dây không giãn nên vật A, B chuyển động với gia tốc: ⃗ 𝑇 Khi vât A dịch chuyển dịch chuyển ảo ⃗ 𝑇 𝐵 Chọn chiều chuyển động hình vẽ lên vật B 𝐷 𝐴 𝛼 𝑃⃗ 𝑃⃗ Hình 16 41 thực dịch chuyển ảo xuống dưới, ròng rọc D quay góc với: R bán kính ròng rọc Áp dụng phương trình tổng quát học: ∑( ( ) với ⃗⃗ ) ( ) mômen quay ròng rọc D I mômen quán tính ròng rọc, Vì ròng rọc coi đĩa tròn đồng chất nên: gia tốc góc: Từ (1) ta có: ( ( ) ) ( ) ( ) 42 Vậy gia tốc vật A B là: Bài 3: Hãy xác định hàm Lagrange chất điểm chuyển động tự hệ tọa độ Đề-các, trụ cầu Bài giảng Vì chất điểm chuyển động tự nên ta tương tác Do hàm Lagrange chất điểm chuyển động tự là: - Trong tọa độ Đề-các: ̇ Mà ̇ { ̇ ̇ ̇ ̇ - Trong hệ tọa độ trụ: 43 ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ { Mà ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ - Trong hệ tọa độ cầu ̇ ̇ { Mà ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ 44 KẾT LUẬN Với đề tài “ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT” hoàn thành việc nghiên cứu vấn đề sau: - Lý thuyết khái niệm bản, phương trình tổng quát động lực học nguyên lý D’ Alambert - Vận dụng phương pháp để giải số tập tổng hợp phần giúp củng cố sâu sắc cho phần lý thuyết nắm vững phương pháp giải tập học lý thuyết Do vậy, đề tài bổ sung thêm vào kho tài liệu tham khảo cho bạn học sinh, sinh viên trình tìm hiểu phương trình tổng động lực học nguyên lý D’ Alambert Hà Nội, tháng 2017 Sinh viên Chu Thị Hằng 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Mình 1997 Cơ học lý thuyết – NXB ĐHQG Hà Nội 324 trang Nguyễn Hữu Mình 1996 Bài tập vật lý lý thuyết tập NXB ĐHQG Hà Nội 288 trang Nguyễn Hoàng Phương 1997 Vật lý lý thuyết, học – NXB ĐH & THCN Hà Nội 424 trang Nguyễn Đình Dũng 2004 Cơ học lý thuyết NXB ĐHQG Hà Nội Galubêva Cơ lý thuyêt tập 1, 2, (Đặng Quy Khang dịch) NXB KHKT 46 ... CHƢƠNG 3: ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT 26 3.1 Áp dụng phương trình tổng quát động lực học để giải số tập học lý thuyết ... PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT 3.1 Áp dụng phƣơng trình tổng quát động lực học để giải số tập học lý thuyết Bài 1: Chất điểm có khối lượng m chuyển động. .. trình tổng quát động lực học để giải số tập học lý thuyết 3.1 Áp dụng phương trình tổng quát động lực học để giải số tập học lý thuyết 3.2 Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải số tập CHƢƠNG