Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Th i gian làm bài: 180 phút I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) Câu (2,0 i m) Cho hàm s mx3 3mx2 m có y th Cm a) Kh o sát v th hàm s v i m b) Ch ng minh r ng v i m i m th Cm có hai i m c c tr A B, ó tìm giá tr c a tham s m AB OA2 OB2 20 (trong ó O g c t a Câu (1,0 i m) Gi i ph ng trình Câu (1,0 i m) Gi i ph ng trình Câu (1,0 i m) Tính tích phân I sin sin x 2x ) 4sin x 2x (x x x x x ln dx x x 1 2sin x ) Câu (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABC có áy tam giác vuông cân t i C, c nh huy n b ng 3a, G tr ng tâm tam giác ABC, bi t SG cách t B n m t ph ng (SAC ) theo a Câu (1,0 i m) Cho hai s th c d Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A ng x, y th a mãn x3 x y3 y (1 x)(1 y) II PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh ch A Theo ch a 14 Tính th tích kh i chóp S.ABC kho ng ( ABC ), SB c làm m t hai ph n (ph n A ho c ph n B) ng trình Chu n Câu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a phân giác trung n qua Oxy, cho tam giác ABC có ph nh B d1 : x y 0; d : x y ng trình ng i m M 2; 15 Tìm t a nh A, B, C Câu 8.a (1,0 i m) Trong không gian Oxyz, cho m t c u (S ) : ( x 2) y ( z 1) Vi t ph ng thu c c nh AB bán kính ng tròn ngo i ti p tam giác ABC R trình m t ph ng ( ) ch a tr c Oy ti p xúc v i m t c u (S) Câu 9.a (1,0 i m) Gi i b t ph B Theo ch ng trình 10 log3 x 10 log3 x 2x ng trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng t a Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình ng th ng AB :2 x y , ph ng trình ng th ng AC : x y i m M (1; 3) n m ng th ng BC th a mãn 3MB MC Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác ABC Câu 8.b (1,0 i m) Trong không gian Oxyz, cho i m A(1; 0; 0), B (0; 1; 2), C (2; 2; 1) Tìm t a i m D không gian cách Câu 9.b (1,0 i m) Gi i ph u ba i m A, B, C cách m t ph ng (ABC) m t kho ng b ng ng trình log ( x 2) log ( x Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn x 3) t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Th y L I GI I Câu Ý a (1,0 i m) ng Vi t Hùng (0985.074.831) 10: áp án V i m , hàm s TX : x3 3x ã cho có d ng: y Gi i h n: lim ( x3 x2 ) x i m x lim x3 x ; lim ( x 3 x ) x 0,25 x lim x x S bi n thiên c a hàm s x x Ta có: y ' x x ; y ' BBT: x y’ 0 0,25 y Hàm s ng bi n m i kho ng Hàm s tc c Hàm s t c c ti u t i i m x it i i m x ;0 2; ; giá tr c c , ngh ch bi n kho ng 0; i c a hàm s y 0 ; giá tr c c ti u c a hàm s y 0,25 th : Giao i m v i tr c tung i m 0; y x 0 x Nh n xét: i m I 1; tâm th hàm s b i x ng c a 0,25 (1,0 i m) Ta có: y ' 3mx 6mx Do y ' V i x i d u qua x y x y' x 2 nên hàm s có hai i m c c tr x m ; x y m Do vai trò c a A, B nh nên ta có th gi s Ta có: OA2 OB 2 AB 20 0,25 m 0,25 A 0;3m , B 2; m m 2 16m 20 0,25 m 11m2 6m 17 V y m 1; m m 17 11 0,25 17 giá tr c n tìm 11 (1,0 i m) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 K: sin x Th y PT t ng ng v i 4sin x sin cos x 2(2sin x 1) sin x ng Vi t Hùng (0985.074.831) 8sin x 2sin x 2x (2sin x 1)(4sin x 1) 0,25 2sin x cos x sin x 4sin x x x sin x sin x 0,25 Z) k2 4sin x 2sin x sin x cos x cos x ng trình có nghi m: x k2 k2 ; x x (k k2 ; x Z) 0,25 k2 k (1,0 i m) k: x x x Khi ó ph 0.25 ng v i x x ng x2 ng trình 2( x t 2x x 2 x ta có 2t t t: t x2 x t +) V i x : Ph tt x 2 x ph t x x ng trình ã cho t +) V i x > : Ph x2 K t lu n: Ph (k 4sin x cos x V y ph k2 6 ) 2sin x ) cos x 0,25 2x x2 2x 4x 2x ) 3 (L) t 0.25 x (L) x (Tm) x2 ng trình 2x 2( x 2x ng trình tr thành 2t 2 x) t (L) t 3 t x 4( x x 52 ;x 52 4x2 8x x) ng trình có nghi m x 0.25 52 (L) 0.25 (1,0 i m) I tt x x ln dx x x x x +) V i x dt x t 2 x x ln x x x Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i dx 0.25 dx 2; x t t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) t ln tdt 22 u ln t u ' t t I t v' t v V y I ln ln (1,0 i m) +) Do ó: I 3 t2 ln t tdt 42 t2 ln t t2 0.5 0.25 S A B H G M I C Vì tam giác ABC vuông cân t i C, AB 3a G i M trung i m AC MC BG BM a SG SB K GI AC ( I AC ) AC (SGI ) BC Ta có GI Ta có 3a 2 GH a K GH GS GI SI ( H a VS ABC SI ) a GH 0.25 3a 2 MB BG 3a CA CB GH SG.S (SAC ) ABC 3a ( vtt) d (G , (SAC )) GH d ( B,( SAC )) 3d (G, ( SAC )) 3GH a 0.25 0.25 0.25 (1,0 i m) t S x M t khác ( x Ta có A xy Ta có x3 y;P y) 4( x x2 y (1 x)(1 y) Xét hàm s Ta có f '( S ) f (S ) y ) y3 S 2P P S S P S3 3S S 0.25 S3 ( S 1)3 S3 v i1 S ( S 1)3 3(S 2) ( S 1) S 3 PS 0.25 Hàm f(S) liên t c có o hàm 0.25 nên hàm f(S) ngh ch bi n 1; Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Suy f ( S ) f Th y 4 V y GTNN c a A b ng 7.a ng Vi t Hùng (0985.074.831) , t c x y 0.25 (1,0 i m) +) Tìm ct a +) Vi t c ph B(1;1) G i M’ ;0 y 0,25 i x ng v i M qua d1, ta d có M ' ng trình c nh AB : x y 0; BC : x Suy góc gi a AB BC: cos sin 5 Áp d ng nh lí hàm sin ta c AC R sin B R sin AC a a t a 4t +) Gi s A a; , C t ;3 2t N ; trung i m AC 2 N d2 a 5; t Gi i h a 3; t AC 8.a 0,25 0,25 +) Lo i k A, C khác phía v i d d2 ta c c p i m th a mãn A(5; 1), C (2; 1) V y t a nh c a tam giác ABC A(5; 1), B (1;1), C (2; 1) (1,0 i m) M t ph ng có vtpt n nên ( ) i qua i m O suy ( ) ch a Oy nên n (a; b; c) ó a2 + b2 + c2 : ax by cz Do ( ) ch a tr c Oy (a; b; c) vuông góc v i j (0;1;0) suy b = 9.a 0.25 0.25 a ch n a = 3; c = ta có : 3x z (1,0 i m) K: x (*) B t PT tt 10 10 Gi i ta 7.b 0.25 0.25 M t c u có tâm I(2; 0; 1), bán kính R= ( ) ti p xúc v i m t c u suy kho ng c 2a c cách t I n ( ) b ng bán kính v y ta có c a a2 c2 +) V i c = ch n a = ta có : x +) V i c = 0,25 T ó ta (1,0 i m) log3 x 10 log3 x log3 x 3 log x (t > 0) , BPT tr thành t 10 c t p nghi m c a b t ph t log3 x 10 3 0.25 0.25 ng trình ã cho S = [3; ng th ng (AB) nên B a;1 2a , T 4b;3b Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i log3 x 0.25 ct Vì B thu c ng t : C 10 ) 0.25 0.25 t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Ta có: MB Th y a 1; 2a , MC Ta có AB AC A a 2MC TH2: 3MB 2a B 3; , C 3b G b 4b a 3b b MC G 1; 0.25 0.25 10 G 1; th a mãn ; 3 V y có hai i m G 2MC ho c 3MB 11 10 ; 3 2a 2; a 4b a 2MC 0.25 2MC nên ta có: 3MB 11 17 14 18 ; ,C ; 5 5 B 8.b 4b;3b A 2; Vì B, M, C th ng hàng, 3MB TH1: 3MB ng Vi t Hùng (0985.074.831) (1,0 i m) Gi s D a, b, c +) G i n vtpt c a (ABC) n n AB; AC AB n 3;3; AC nên ch n 1; 1;1 Ph ng trình m t ph ng (ABC): x y +) Theo gi thi t ta có h ph ng trình: a a b2 c2 b c a2 a b c b a 2 c b 2 z a b 2c c 2 a 2b c a b c 3 0.5 0.25 a c b c a b c a c b c a a b ho c b c c c 1 9.b 0.25 V y có hai i m th a mãn yêu c u c a (1,0 i m) K: x ta có ph Hàm s t log ( x 2) t ng trình t f (t ) M t khác f t log 3t x D(2; 0; 2) D(0; 2; 0) 3t 4t 9t t 0.25 t (1) t ngh ch bi n nên ph ng trình (1) có t i a nghi m t nghi m nh t c a ph ng trình (1) Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t 0.25 c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 V it x K t h p v i i u ki n ta có nghi m ph Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 0.25 ng trình ã cho x 0.25 CHÚC CÁC EM H C T P T T! Tham gia tr n v n khóa LT H Luy n gi i t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! ... C 10 ) 0.25 0.25 t i Moon.vn t c k t qu cao nh t k TS H 2014! Luy n gi i môn Toán 2014 Ta có: MB Th y a 1; 2a , MC Ta có AB AC A a 2MC TH2: 3MB 2a B 3; , C 3b G b 4b a 3b b MC G 1; 0.25 0.25 10. .. PT tt 10 10 Gi i ta 7.b 0.25 0.25 M t c u có tâm I(2; 0; 1), bán kính R= ( ) ti p xúc v i m t c u suy kho ng c 2a c cách t I n ( ) b ng bán kính v y ta có c a a2 c2 +) V i c = ch n a = ta có :... Ta có A xy Ta có x3 y;P y) 4( x x2 y (1 x)(1 y) Xét hàm s Ta có f '( S ) f (S ) y ) y3 S 2P P S S P S3 3S S 0.25 S3 ( S 1)3 S3 v i1 S ( S 1)3 3(S 2) ( S 1) S 3 PS 0.25 Hàm f(S) liên t c có