Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton Tài liệu dành cho học sinh lóp 11 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NEWTON § Bài Nhò thức Newton học lớp với thời lượng khiêm tốn lượng kiến thức học sinh cần nắm không nhiều Tuy nhiên, ta nghiên cứu kó ứng dụng để giải nhiều loại toán khác Mặc dù yêu cầu Sách giáo khoa nhẹ ta để ý đến toán đề thi Đại học gần không nhẹ tí Vậy ta học cho đủ Thật không đơn giản phải không em? Để giúp em phần tháo gỡ khó khăn trên, viết trang tài liệu gởi đến em Rất mong em học tốt § Kiến thức cần nắm: © Cơng thức khai triển nhị thức: ( a + b) n n = ∑ Cnk a n −k b k = Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n− 2b + + Cnk a n− k b k + + Cnnb n ( * ) k =0 Tuy nhiên thực tế ta hay sử dụng dạng khai triển sau: (1 + x ) n n = ∑ Cnk x k = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n ( ** ) k =0 © Một vài tính chất đơn giản: 1/ Trong khai triển ( * ) số số hạng n + Trong số hạng tổng số mũ a b n 2/ Vì Cnk = Cnn −k nên khai triển ( * ) hệ số cách số hạng đầu cuối 3/ Trong khai triển ( * ) số hạng thứ k + Tk +1 = Cnk a n − k b k gọi số hạng tổng qt hệ số Cnk 4/ Trong ( ** ) ta cho x = ta có: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n 5/ Trong ( ** ) ta cho x = −1 ta có: Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + ( −1) Cnn = n § Các dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tìm hệ số số hạng khai triển n 1  Ví dụ 1: Trong khai triển nhị thức:  a a +  có hiệu số hệ số số hạng a   thứ ba thứ hai 44 Tìm hệ số số hạng thứ bảy Giải Giáo viên: Trần Thanh Tùng _ Long An http:// www.toanthpt.net PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton Tài liệu dành cho học sinh lóp 11 n ( n − 1) − n = 44 ⇔ n = 11 Vậy hệ số số hạng thứ bảy C116 = 462 Ta có: Cn2 − Cn1 = 44 ⇔ n 2  Ví dụ 2: Trong khai triển  x −  biết tổng ba hệ số ba số hạng đầu 37 x  Hỏi số hạng thứ 1120x ? Giải Theo đề ta có: Cn0 + Cn1 + Cn2 = 37 ⇔ + n + ( n − 1) n = 37 ⇔ n = Số hạng thứ k + là: Tk +1 = C ( x k ) 8− k ta phải có: 16 − 3k = ⇔ k = Vậy số hạng cần tìm số hạng thứ năm k k  2 k 16 − k Vì Tk +1 chứa x nên  −  = ( −2 ) C8 x  x 40 1  Ví dụ 3: Cho khai triển  x +  Tìm hệ số x 31 x   Giải k 1 Xét số hạng tổng qt Tk +1 = C x   = C40k x 40−3 k x  31 Vì Tk +1 chứa x nên ta phải có 40 − 3k = 31 ⇔ k = Vậy hệ số cần tìm C403 = 9880 k 40 40 − k Các tốn tự giải: n x −   x−21 Bài 1: Cho khai triển  +  biết Cn3 = 5Cn1 số hạng thứ tư   35 Tìm x n Bài 2: Tìm hệ số x khai triển (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) Bài 3: Khai triển (1 − x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n Tìm a5 biết a0 + a1 + a2 = 71 n Bài 4: Tìm hệ số x10 khai triển ( + x ) biết rằng: n 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − 3n−3 Cn3 + + ( −1) Cnn = 2048 n Giáo viên: Trần Thanh Tùng _ Long An http:// www.toanthpt.net PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton Tài liệu dành cho học sinh lóp 11 Dạng 2: Tính tốn Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: M = 4C101 + 42 C102 + + 49 C109 Giải Trong khai triển ( ** ) cho x = n = 10 : 510 = C100 + 4C101 + 42 C102 + + 49 C109 + 410 C1010 Suy ra: M = 510 − C100 − 410 C1010 = 8717048 Ví dụ 2: Tính N = C201 + C203 + C205 + + C2019 Giải Cách 1: Trong khai triển ( ** ) cho x = −1, n = 20 ta được: = C200 − C201 + C202 − + C2018 − C2019 + C2020 Suy ra: C200 + C202 + + C2018 + C2020 = C201 + C203 + + C2019 Ta lại có : 220 = C200 + C201 + C202 + + C2020 = N ⇒ N = 219 Cách 2: Ta có cơng thức: Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 Vận dụng vào biểu thứ N : N = C190 + C191 + C192 + C193 + + C1918 + C1919 = 219 Các tốn tự giải Bài 1: Tính K = 910 C100 + 99 C101 + + 90 C1010 Bài 2: Tính M = C44 + C54 + + C104 2007 Bài 3: Tính L = 1.C2007 + 2.C2007 + 3.C2007 + + 2007C2007 Giáo viên: Trần Thanh Tùng _ Long An http:// www.toanthpt.net PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton Dạng 3: Chứng minh Tài liệu dành cho học sinh lóp 11 Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + + ( Cnn ) = C2nn 2 Giải Ta xét khai triển: (1 + x ) 2n 2n = ∑ C2kn x k k =0 Suy hệ số x n khai triển C2nn Mặt khác: (1 + x ) = (1 + x ) ( x + 1) 2n n n = (1 + x ) ( x + 1) = ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n )( Cn0 x n + Cn1 x n −1 + Cn2 x n− + + Cnn ) n n Hệ số x n tích ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + + ( Cnn ) Vậy ta có điều phải chứng minh Bài giải cách khác, cách giải áp dụng cho việc giải nhiều tập tương tự 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Cn0 + n.Cn1 + n Cn2 + + n n Cnn ≥ 2n.n! Giải Trước hết ta dễ dàng chứng minh hai điều sau đây: n ( n + 1) § + + + + n = § + + + + n ≥ n n n! Từ ta có: n 2n.n! ≤ (1 + n ) = Cn0 + n.Cn1 + n Cn2 + + n n Cnn Các tốn tự giải Bài 1: Chứng minh rằng: ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) ≥ 2 2 n +1 4n ; n∈ N,n ≥ n +1  4n  * Bài 2: Chứng minh rằng: C C C ≤   ; ∀n ∈ N  ( n + 1)  Bài 3: Chứng minh rằng: Cn0Cmp + Cn1Cmp −1 + Cn2Cmp −2 + + CnnCm0 = Cmp+ n 2n 2n Giáo viên: Trần Thanh Tùng _ Long An 2n 2n http:// www.toanthpt.net PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com ... giải: n x −   x−21 Bài 1: Cho khai triển  +  biết Cn3 = 5Cn1 số hạng thứ tư   35 Tìm x n Bài 2: Tìm hệ số x khai triển (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) Bài 3: Khai triển (1 −... http://www.fineprint.com Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton Tài liệu dành cho học sinh lóp 11 Dạng 2: Tính tốn Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: M = 4C101 + 42 C102 + + 49 C109 Giải Trong... có cơng thức: Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 Vận dụng vào biểu thứ N : N = C190 + C191 + C192 + C193 + + C1918 + C1919 = 219 Các tốn tự giải Bài 1: Tính K = 910 C100 + 99 C101 + + 90 C1010 Bài 2: