Phòng giáo dục Thành phố Thanh Hoá Một số kinh nghiệm Khi dạy phần giá trị tuyệt đối Cho học sinh lớp Giáo viên: Nguyễn Thị Nghiêm Tổ: Toán - Tin Trờng: THCS Trần Mai Ninh Thành phố Thanh Hoá, tháng năm 2011 Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp A Đặt vấn đề: Trong toán học, khái niệm giá trị tuyệt đối khái niệm đơn giản phạm trù kiến thức hẹp Song học sinh cấp trung học sở thực vấn đề phức tạp, tơng đối trìu tợng Thế nhng đóng vai trò quan trọng trình giải toán phức tạp sau Khi gặp toán có giá trị tuyệt đối, không học sinh lúng túng phải đâu đặc biệt xoay sở Điều dễ hiểu đợc học phần lý thuyết song số tập để củng cố, để khắc sâu, để bao quát hết dạng lại không nhiều, sức thuyết phục để lôi kéo hăng say học tập học sinh Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán cấp trung học sở thân nhận thấy với đơn vị kiến thức đợc nêu sách giáo khoa, giáo viên cần mở rộng, nâng cao để học sinh giỏi phát huy khả học toán Trong giảng dạy nhận thấy phần giá trị tuyệt đối đề tài lý thú, phong phú đa dạng đại số thiếu đợc bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Trong khuôn khổ đề tài thân trình bày: '' Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyệt đối '' việc bồi dỡng học sinh giỏi lớp B Giải vấn đề: Phần giá trị tuyệt đối số nguyên học sinh đợc làm quen toán 6, đến lớp em đợc cung cấp thêm kiến thức giá trị tuyệt đối số hữu tỉ Đây kiến thức đóng vai trò quan trọng trình học toán học sinh sau nh: Biến đổi biểu thức có chứa giá trị tuyệt Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp đối, phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối, bất phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối, Bởi dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp phần giá trị tuyệt đối, giáo viên cần cung cấp cho học sinh cách có hệ thống định nghĩa, tính chất, phơng pháp giải số dạng toán giá trị tuyệt đối thờng gặp, I Điều trớc tiên học sinh phải nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt đối sách giáo khoa, số tính chất giá trị tuyệt đối Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ x, kí hiệu x, khoảng cách từ điểm x tới điểm trục số Cách xác định giá trị tuyệt đối số hữu tỉ: x = x x - x x < Tính chất: a, x 0với x b, x x (Nếu x x= x; Nếu x< x= -x) c, x= -x d, x+ y x + y Dấu xảy xy đ, x > x x - e, x (>0) - x II Nguyên tắc chung để giải toán có chứa giá trị tuyệt đối: Là cách dựa vào định nghĩa, tính chất, biến đổi toán dạng giá trị tuyệt đối Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp III Một số dạng toán giá trị tuyệt đối th ờng gặp Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Ví dụ 1.1: Tính giá trị biểu thức: A= -5x + 3y với x = ;y= Loại toán đơn giản cần học sinh nắm vững cách tính giá trị biểu thức đại số cách tính giá trị tuyệt đối số hữu tỉ giải đợc toán Giải: Với x = 1 ; y= A = -5 + = giá trị A là: -5 + 3 = + = Ví dụ 1.2: Tính giá trị biểu thức B = 4x + x +2 x= Học sinh cần phân biệt đợc giống khác ví dụ ví dụ vừa xét trên.Từ HS tự rút nhận xét để tính giá trị biểu thức B trớc hết cần tìm xem x ? Giải: Vì x= nên x { 3; -3 } - Nếu x = giá trị B + + = 41 - Nếu x =-3 giá trị B 4.(-3)2 + (-3) + = 35 Vậy với x=3 giá trị B 41; 35 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối Để giải dạng toán học sinh cần nắm vững hai vấn đề sau: - Giá trị tuyệt đối biểu thức biểu thức không âm biểu thức đối biểu thức âm - Quy tắc xét dấu nhị thức bậc a x + b: + Nếu x b a nhị thức dấu với hệ số a Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp + Nếu x< b a nhị thức khác dấu với hệ số a Ví dụ 2.1: Rút gọn biểu thức A=x+2+4 (x-1) Học sinh cần nắm đợc: x + x -2 x+2= -(x + 2) x < -2 Do đó: - Nếu x -2 A=x+2 +4(x-1) =x+2 +4x-4 =5x -2 - Nếu x < -2 A= -x-2 +4(x-1) = -x-2 +4x -4 = 3x-6 Vậy: 5x - x -2 A= 3x - x < -2 Ví dụ 2.2: Rút gọn biểu thức: B = 3x+1 -x-2 ví dụ biểu thức B có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối, để thuận tiện việc trình bày giáo viên nên hớng dẫn học sinh lập bảng xét dấu nh sau: x -1 x+ + + x-2 + Ta xét ba trờng hợp ứng với ba khoảng giá trị biến x: - Nếu x < -1 B = 3(-x -1) - (-x+2) = -3x -3 +x -2 = -2x -5 -Nếu -1 x B = 3.(x+1) -(-x + 2) = 3x+3 +x-2 =4x +1 -Nếu x > B = 3(x+1) -(x-2) = 3x +3 -x+2 = 2x+5 Vậy: Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp -2x-5 x < -1 B = 4x+1 -1 x 2x+5 x > Trên sở cách giải học sinh làm đợc nhiều toán rút gọn biểu thức có chứa nhiều giá trị tuyệt đối Ví dụ 2.3 : Rút gọn biểu thức sau: C = +3x+ +1-7x-3x-3 Giáo viên hớng dẫn học sinh giải theo bớc sau: - Lập bảng xét dấu - Ta xét bốn trờng hợp ứng với bốn khoảng giá trị biến x Dạng 3: Tìm giá trị biến đẳng thức Ví dụ 3.1: Tìm x biết: 3x + -7 = -2 3x + = -2 + 3x + 2= 3x + = 3x + = -5 x=1 x= Vậy x -1; Ví dụ 3.2: Tìm x biết x - + = Giải: x - + = x-5 = 5- x-5 = -2 Vì x -5 x; -2 < nên không tìm đợc giá trị x thoả mãn điều kiện toán dạng toán giải đến x-5 = -2 số HS không nắm vững tính chất x 0với x tiếp tục giải nh sau: Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp x = x = x = x = Do GV cần phải khắc sâu cho HS tính chất trình giải toán có ý thức kiểm tra lại lời giải,kết toán ,từ tránh đợc sai lầm không đáng có Ví dụ 3.3: Tìm x biết x+ 3+ 2x = (1) Trong ví dụ giáo viên cho học sinh thấy ẩn x vừa nằm giá trị tuyệt đối vừa nằm giá trị tuyệt đối nên giải nh ví dụ 1.3 đợc mà phải chia khoảng để xét để đa toán dạng giá trị tuyệt đối - Nếu x -3 (1) có dạng x+ + 2x = 3x + = 3x =4 x = (thuộc khoảng xét) - Nếu x < -3 (1) có dạng -x - + 2x = x = 10 (không thuộc khoảng xét) Vậy x= Ví dụ 4.3: Tìm x biết x + = 3x - Trong ví dụ học sinh vận dụng cách giải ví dụ 2.2 để giải (tức chia khoảng để xét), song giải theo cách khác ngắn gọn là: x + = 3x - x + = 3x x + = (3 x 6) x = x = Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7 Vậy x ; * Trong trình dạy toán để học sinh tránh đợc cách học máy móc, tiếp thu kiến thức cách thụ động, giúp học sinh phát huy sáng tạo trình học toán đơn vị kiến thức giáo viên nên chọn số tập có cách giải ngắn gọn, độc đáo, liên quan đến nhiều kiến thức học, ví dụ phần tìm giá trị biến đẳng thức ta cho học sinh làm tập sau: Ví dụ 3.5: Tìm số x cho < x < thoả mãn: x - 2x -2+ x - = (2) học sinh giải cách lập bảng xét dấu nhng tìm x cần xét khoảng < x (>0) x-5> x-5 > x-5 < -8 x > 13 x < -3 Vậy x > 13; x < -3 Qua hai tập giáo viên cần chốt lại để học sinh nắm vững: Với số dơng ta có: F(x) F(x) F(x) > F(x)> F(x)< Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Với loại toán đòi hỏi học sinh cần nắm vững tính chất x x tính chất bất đẳng thức Ví dụ 5.1 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =2x+7+ 2005 Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp Giải: Vì 2x+7 với x nên 2x+7+ 2005 2005 với x A 2005 với x Dấu xảy 2x + 7=0 2x + = x = Vậy Amin = 2005 x = Ví dụ 5.2: Tìm giá trị lớn biểu thức B= 2006 -x-6 Giải: Vì x-6 x nên - x-6 x 2006 -x-6 2006 x B 2006 x Dấu xảy x-6 = x = Vậy Bmax =2006 x =6 Ví dụ 5.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: 3x + + C= Để giải loại toán học sinh cần có thêm tính chất bất đẳng thức a > b > thì: a < b Giải: Vì 3x -5 x nên 3x -5 + với x 1 với x 3x + + Dấu xảy Vậy Cmax = 3x - = x = x= 5 Qua ví dụ giáo viên chốt lại: Để tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức A có dạng nh ví dụ vừa xét ta cần A (A ) với giá trị biến, tìm giá trị biến để dấu xảy 10 Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp Ví dụ 5.4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 2x -1 + - 2x Khi gặp loại toán học sinh giải theo cách sau: - Cách 1: Xét giá trị biểu thức khoảng cụ thể Ta lập bảng xét dấu: x 2x -1 1/2 - 5/2 + + + 5- 2x + - - Nếu x < Vì x < (1) - Nếu 2 D= 1- 2x + - 2x = - 4x nên -4x > -2 x 6- 4x >4 D > D = 2x - + -2x = (2) - Nếu x> Vì x> (3) D= 2x - -5 + 2x =4x -6 nên 4x >10 4x - > Từ (1); (2); (3) Dmin = D>4 x - Cách 2: áp dụng bất đẳng thức (đã nêu phần tính chất) Ta có: D= 2x -1 + 5- 2x 2x - 1+ - 2x = Dấu xảy (2x -1) (5 - 2x) x Vậy Dmin = x Ví dụ 5.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức E= x- + x + + 2x - 11 Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp Bài toán giải theo hai cách: - Cách 1: Xét giá trị biểu thức khoảng cụ thể, sau tìm giá trị nhỏ - Cách 2: Vận dụng tính chất A+ B+ C A+B + C Dấu xảy A, B, C dấu Tuy nhiên để giải toán đợc theo cách phải tìm cách triệt tiêu ẩn x, cách dựa vào: 2x - = 9- 2x Ta có:E = x- + x + + 2x - =x-2+x+3+9 - 2xx -2 + x +3 + -2x 10 E 10 x Dấu xảy (x - 2) ; (x + 3) ; (9 -2x) dấu Lập bảng xét dấu ta có: x x-2 x+3 - 2x -3 9/2 + + - - + - + + + + Nhìn vào bảng xét dấu ta có: x Vậy Emin = 10 x + 9 Qua ví dụ 4.5 5.5 giáo viên cần hớng dẫn học sinh đến nhận xét sau: Cách giải1:áp dụng đợc cho nhng dài so với cách Cách giải 2: Ngắn gọn nhng áp dụng đợc với mà sau áp dụng bất đẳng thức ẩn bị triệt tiêu Ví dụ 5.6 12 Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x + 2x + 2x Giải Bài toán giải theo cách: Xét giá trị biểu thức khoảng cụ thể, sau tìm giá trị nhỏ Vận dụng tính chất A+ B+ C A+B + Ccho toán HS cha tìm đợc lời giải cho toán Nếu HS biết áp dụng tính chất M M, P cách hợp lí ta có lời giải ngắn gọn cho toán Ta có A = 2x + 2x + 2x 2x + + 2x = 2x Min A = 2x = x = 2x C.Kết luận * Kết quả: Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, sau nhiều năm dạy toán 7, thân nhận thấy: Khi dạy phần giá trị tuyệt đối, học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phân biệt nhận dạng đợc toán liên quan đến giá trị tuyệt đối từ giải đợc hầu hết tập phần này, xoá cảm giác khó phức tạp ban đầu quy tắc giải tổng quát Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác học sinh thấy đợc dạng toán thật phong phú không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học phần giá trị tuyệt đối vận dụng tốt kiến thức lớp Cụ thể: Với tập giáo viên đa ra, học sinh giải đợc 90% cách tự lập tự giác; học sinh dự thi học sinh giỏi cấp trờng làm tốt tập liên quan đến phần giá trị tuyệt đối * Bài học kinh nghiệm: Phần '' Giá trị tuyệt đối'' lớp nội dung quan trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức 13 Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp sau đặc biệt ứng dụng nhiều Do trớc hết cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa giá trị tuyệt đối, tính chất, phơng pháp chung giải toán có chứa giá trị tuyệt đối Một kinh nghiệm phải dạy cho học sinh nhận dạng tập sau bắt tay vào giải, sau dạng toán cần cho học sinh mắu chốt toán gì, giúp học sinh hiểu sâu, nắm vững chất vấn đề, vận dụng vào giải toán cách thành thạo Một kinh nghiệm mà thân nhận thấy thiếu đợc phải thờng xuyên rèn luyện cho học sinh cách suy luận để tìm hớng giải, cách lập luận lôgíc, chặt chẽ, ngắn gọn Động viên, khích lệ học sinh tìm thêm nhiều cách giải chọn cách giải hay Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút đợc trình giảng dạy, chắn cha phải vấn đề hoàn hảo, mong nhận đợc đóng góp ý kiến chân tình bạn đồng nghiệp bạn đọc để năm học tới dạy đợc tốt hơn, đáp ứng đợc với yêu cầu nghiệp giáo dục Xin chân thành cảm ơn ! Ngày 15 tháng năm 2011 Ngời viết Ng uyễn Thị Nghiêm 14 ... giá trị tuyệt Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp đối, phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối, bất phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối, Bởi dạy bồi dỡng học sinh. .. chứa giá trị tuyệt đối: Là cách dựa vào định nghĩa, tính chất, biến đổi toán dạng giá trị tuyệt đối Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp III Một số dạng toán giá trị. .. tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức 13 Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp sau đặc biệt ứng dụng nhiều Do trớc hết cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa giá trị