Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn A CHUẨN BỊ KIẾN THỨC I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i a  a ' b  b ' z = z’   Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z  z '  (a  a ')  (b  b ')i   z  z '  (a  a ')  (b  b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a  bi = a - bi Chú ý: 10) z = z  z z gọi hai số phức liên hợp với 20) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z  z (2): z  z '  z  z ' (3): z.z '  z.z ' (4): z z = a  b (z = a + bi ) Môđun số phức Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực không âm xác định sau: 2 - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z = OM = a  b - Nếu z = a + bi, z = Phép chia số phức khác z.z = a  b Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số z-1= Thương 1 z z a b z z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z  z.z 1  z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Như  acgumen z, acgumen có dạng:  + 2k, k  Z Dạng lượng giác số phức Xét số phức z = a + bi  (a, b  R) Gọi r môđun z  acgumen z Ta có: a = rcos , b = rsin z = r(cos +isin), r > 0, gọi dạng lượng giác số phức z  z = a + bi (a, b  R) gọi dạng đại số z Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos +isin) z' = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.r[cos( +’) +isin( +’)] z' r'   cos( '  )  i sin( '  )  r > z r Công thức Moivre [z = r(cos +isin)]n = rn(cos n +isin n) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0) Khi z có hai bậc hai là:    r  cos  isin  2    - r  cos   isin   = 2      r  cos      isin      2  2   B MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Các phép tính số phức Phương pháp giải: Sử dụng công thức cộng , trừ, nhân, chia luỹ thừa số phức Chú ý cho HS: Trong tính toán số phức ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức… Ví dụ 1: Cho số phức z =  i 2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Giải: 3  i  z =  i 2 2 a) Vì z =   3  i  i=  i b) Ta có z =    i  = 4 2   2   3 (z) =   i   i  i   i   2  4 2   1 ( z )3 =( z )2 z =   2  Ta có: + z + z2 =    3 i   i   i  i  i   4  2   1 3  1  i  i  i 2 2 2  Nhận xét: Trong toán này, để tính z ta sử dụng đẳng thức số thực Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z  (1  i )(3  2i )  3i Giải: Ta có : z   i  3i 3i  5i  (3  i)(3  i) 10 Suy số phức liên hợp z là: z  53  i 10 10 Ví dụ 3: Tìm mô đun số phức z  Giải: Ta có : z  (1  i)(2  i)  2i 5i  1 i 5 26 1 Vậy, mô đun z bằng: z      5 Ví dụ 4: Tìm số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i  (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i Gia sư Thành Được 3 x  y  y    Giải hệ ta được: 5 x  x  y www.daythem.edu.vn   x    y   Ví dụ 5: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính toán này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n  N* Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N 1 i n Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n =     i  n Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Ví dụ 6: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i  1 i   1 i  Ví dụ 7: Tính số phức sau: z =      1 i   1 i  16 Giải: Ta có:  i (1  i)(1  i ) 2i   i 1 i 2 1 i   i    i  16  i Vậy      =i +(-i) = 1 i  i  i     16 Dạng 2: Các toán chứng minh Trong dạng ta gặp toán chứng minh tính chất, đẳng thức số phức Để giải toán dạng trên, ta áp dụng tính chất phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun số phức chứng minh Ví dụ 8: Cho z1, z2  C CMR: E = z1 z2  z1 z2  R Để giải toán ta sử dụng tính chất quan trọng số phức liên hợp là: zRz= z Thật vậy: Giả sử z = x + yi  z = x – yi z = z  x + yi = x – yi  y =  z = x  R Giải toán trên: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ta có E = z1 z2  z1.z2  z1 z2  z1 z2 = E  E  R Ví dụ 9: Chứng minh rằng:  1) E1 =  i   2  i  7 R  19  7i   20  5i  2) E2 =     R   i    6i  n n Giải:  1) Ta có: E1 =  i   2  i   2  i   2  i   2  i   2  i  7 7  19  7i   20  5i   19  7i  (9  i)    20  5i  (7  6i)  2) E2          82 85   i    6i      n n n 7  E1  E1R n n n  164  82i   170  85i       2  i  2  i  82   85  n n  E2  E2  E2  R Ví dụ 10: Cho z  C CMR: z   |z2 + 1| ≥ Giải:  z    Ta chứng minh phản chứng: Giả sử   z 1   Đặt z = a+bi  z2 = a2 – b2 + 2a + bi   2 2(a  b )  4a   (1  a)  b   z 1      2  2 (1  a  b )  4a 2b  (a  b )  2(a  b )   z2 1    Cộng hai bất đẳng thức ta được: (a2 + b2 )2 + (2a+1)2 <  vô lý  đpcm Dạng 3: Các toán môđun số phức biểu diễn hình học số phức Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thoả mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y  R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Ta có: OM = x2  y2 = z Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Lưu ý: - Với số thực dương R, tập hợp số phức với z = R biểu diễn mặt phẳng phức đường tròn tâm O, bán kính R - Các số phức z, z < R điểm nằm đường tròn (O;R) - Các số phức z, z >R điểm nằm đường tròn (O;R) Ví dụ 11 : Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thoả mãn điều kiện sau đây: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn z   i =2 2  z   i  z  z  z  4i  z  4i  10 1≤ z   i  Giải: 1) Xét hệ thức: z   i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y  R)  z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1)  ( x  1)  ( y  1)   (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = 2) Xét hệ thức  z  z  i (2) y (2)  z  (2)  z  i (*) Gọi A điểm biểu diễn số -2, B điểm biểu diễn số phức i (A(-2;0); B(0;1)) Đẳng thức (*) chứng tỏ M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp tất điểm M(z) đường trung trực AB Chú ý: Ta giải cách khác sau: Giả sử z = x + yi, đó: B A -2 x O -1 -1 -2 (2)  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2  4x + 2y + = tập hợp điểm M(z) đường thẳng 4x + 2y + = nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = phương trình đường trung trực đoạn AB 3) Xét:  z  z  (3) Giả sử z = x + yi, đó: (3)  |2+x+yi| > |x+yi-2|  (x+2)2 +y2 > (x-2)2 +y2  x >  Tập hợp điểm M(z) nửa mặt phẳng bên phải trục tung, tức điểm (x;y) mà x > Nhận xét: Ta giải cách khác sau: (3)  |z-(-2)| >|z-2| Gọi A, B tương ứng điểm biểu diễn số thực -2 2, tức A(-2;0), B(2;0) Vậy (3)  M(z)A > M(z)B Mà A, B đối xứng qua Oy Từ suy tập hợp điểm M(z) nửa mặt phẳng bên phải trục tung 4) Xét hệ thức: z  4i  z  4i  10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: (4)  MF1 + MF2 = 10 (M = M(z)) Ta có F1F2 =  Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F1 F2 có độ dài trục lớn 10 x2 y  1 Phương trình (E) là: 16 5) Xét hệ thức 1≤ z   i   1≤ z  ( 1  i )  Xét điểm A(-1;1) điểm biểu diễn số phức -1 + i Khi 1≤ MA ≤ Vậy tập hợp điểm M(z) hình vành khăn có tâm A(-1;1) bán kính lớn nhỏ Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cách 2: Giả sử z = x +yi (5)  ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤  ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤  kết Ví dụ 12: Xác định điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: |z + z +3|=4 |z + z + - i| = 2|z-i|=|z- z +2i| |z2 – z 2| = Giải: 1) Xét hệ thức: z + z +3|=4 (1) Đặt x = x + yi  z = x – yi, (1)  |(x+yi)+(x-yi)+3|=4  x   |2x+3|=4   x    Vậy tập hợp tất điểm M hai đường thẳng song song với trục tung x = 2) Xét hệ thức: |z + z + - i| = Đặt z = x + yi  z = x – yi Khi đó:  1 y  (2)  |1+(2y-1)i| =  + (2y-1)2 =  2y2 -2y-1 =    1 y   Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng song song với trục hoành y = 1 3) Xét hệ thức 2|z-i|=|z- z +2i| Đặt z = x + yi  z = x – yi Khi đó: (3)  |x+(y-1)i| = |(x+y)i|  x2 +(y-1)2 = (x+y)2  x2 – 4y =  y = x2 x2 Vậy tập hợp điểm M parabol y = 4)Xét hệ thức: |z2 – z 2| =  xy  Đặt z = x + yi  z = x – yi Khi đó: (4)  |4xyi| =  16x2y2 = 16    xy  1 Vậy tập hợp điểm M hai nhánh (H) xy = xy = -1    Ví dụ 13: Tìm số phức z thoả mãn hệ:    z 1 1 z i z  3i 1 z i x =  2 Gia sư Thành Được Giải: Giả sử z = x + yi, www.daythem.edu.vn z 1   |z-1| = |z-i|  |x+yi-1|=|x+yi-i| z i  (x-1)2 + y2 = x2 + (y-1)2  x=y Ta lại có: z  3i   |z-3i| = |z+i|  |x+yi-3i| = |x+yi+i|  x2 + (y – 3)2 = x2 + (y+1)2 z i  y =  x = Vậy số phức phải tìm z =1+i Ví dụ 14: Trong số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = Tìm số phức z có môđun nhỏ Giải: Giả sử z = x + yi, : |z – 2+3i| =  (x-2)2 + (y+3)2 = 3  |(x-2) +(y+3)i|= 2  Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện cho đường tròn tâm I(2;-3) bán kính 3/2 Môđun z đạt giá trị nhỏ M thuộc đường tròn gần O  M trùng với M1 giao đường thẳng OI với đường tròn Ta có: OI =   13 Kẻ M1H  Ox Theo định lý Talet ta có: M H OM   OI 13  13  13M H  13   M1H = OH Lại có:  13   2 13  78  13  26 13  OH  26  13 13 13 13  Vậy số phức cần tìm là: z  26  13 78  13  13 26 Ví dụ 15: Cho z1 = 1+i; z2 = -1-i Tìm z3  C cho điểm biểu diễn z1, z2, z3 tạo thành tam giác Giải: Để giải toán ta cần ý đến kiến thức sau: Giả sử M1(x1;y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i Giả sử M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i Khi khoảng cách hai điểm M1M2 môđun số phức z1 – z2 Vậy: M1M2 = |z1 – z2| =  x1  x2    y1  y2  2 Áp dụng vào toán: Giả sử z3 = x+yi Để điểm biểu diễn z1, z2 , z3 tạo thành tam giác Gia sư Thành Được  44    z1  z2  z1  z3     z1  z2  z2  z3  44    2y2 =  y =   x =  x  1   y  1 2  x  1   y  1 2 www.daythem.edu.vn  x  12   y  12    x  y  Vậy có hai số phức thoả mãn là: z3 = (1+i) z3 = - (1-i) VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC Dạng 1: Tìm bậc hai số phức Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w =  w có bậc hai +) Nếu w = a > (a  R)  w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a  R)  w có hai bậc hai ai - ai +) Nếu w = a + bi (b  0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w  z2 = w  (x+yi)2 = a + bi  x2  y  a 2 xy  b   Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Có nhiều cách để giải hệ này, sau hai cách thường dùng để giải Cách 1: Sử dụng phương pháp thế: Rút x theo y từ phương trình (2) vào pt (1) biến đổi thành phương trình trùng phương để giải Cách 2: Ta biến đổi hệ sau:  x  y 2  a  x2  y  a  2 x  y  a     x2  y  a  b2   xy   b  2 xy  b 2 xy  b  xy  b /    Từ hệ này, ta giải x2 y2 cách dễ dàng, sau kết hợp với điều kiện xy=b/2 để xem xét x, y dấu hay trái dấu từ chọn nghiệm thích hợp Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ 16: Tìm bậc hai số phức sau: 1) + i 2) -1-2 i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i  2 y (1)   x  y    x Khi đó: z2 = w  (x+yi)2 = + i   2 xy   x  45  (2)  x2 (2)  x4 – 4x2 – 45 =  x2 =  x = ± Gia sư Thành Được x=3y= www.daythem.edu.vn x = -3  y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i   2 y (1)   x  y     2 x Khi đó: z = w  (x+yi) = -1-2 i     x   1 (2) 2 xy  2  x2 (2)  x4 + x2 – =  x2 =  x = ± x= 2 y=- x=- y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i Dạng 2: Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C  C, A  0) Phương pháp: Tính  = B2 – 4AC *) Nếu   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = B   B   , z2 = 2A 2A (trong  bậc hai ) *) Nếu  = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 =  B 2A Ví dụ 17: Giải phương trình bậc hai sau: 1) z2 + 2z + = 2) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = Giải: 1) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có:  = -4 = 4i2  phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i 2) Ta có:  = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i Bây ta phải tìm bậc hai 2i 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = 2i   y  x  x2  y     xy    x2    x2  x   y 1    x  1    y  1 Vậy số phức 2i có hai bậc hai là: 1+i -1 –i  Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3i    i  2i z2 = 3i    i  1  i Nhận xét: Ngoài phương pháp tìm bậc hai trên, nhiều ta phân tích  thành bình phương số phức Chẳng hạn: 2i = i2 + 2i + = (i+ 1)2 từ dễ dàng suy hai bậc hai 2i + i -1 – i Dạng 3: Phương trình quy bậc hai Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc bậc hai Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải 3.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 18: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1) 1) Chứng minh (1) nhận nghiệm ảo 2) Giải phương trình (1) Giải: a) Đặt z = yi với y  R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i =  -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng hoá hai vế ta được:  2 y  y  giải hệ ta nghiệm y =    y  y  y  10  Vậy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i b) Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i  vế trái (1) phân tích dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  R) đồng hoá hai vế ta giải a = b =  z  2i z  i    (1)  (z – 2i)(z2 = 2z + 5) =     z  1  2i  z  z    z  1  2i  Vậy phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 19: Giải phương trình: 1) z3 – 27 = 2) z3 = 18 + 26i, z = x + yi ; x,y  Z Giải: z  z   1) z – 27 =  (z – 1) (z + 3z + 9) =    z  3  3i  z  3z    2,3 Vậy phương trình cho có nghiệm 2) Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i  x3  3xy  18 Theo định nghĩa hai số phức nhau, ta được:  3x y  y  26 Từ hệ trên, rõ ràng x  y  Đặt y = tx , hệ  18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 )  18(3t-t3 ) = 26(1-3t2)  18t3 – 78t2 – 54t+26 =  ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = Vì x, y  Z  t  Q  t = 1/3  x = y =  z = + i Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ 20: 1) Tìm số thực a, b để có phân tích: z3 +3z2 +3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b) 2) Giải phương trình: z3 +3z2 +3z – 63 =0 Giải: 1) Giả thiết  z3 +3z2 +3z – 63 = z3 +(a-3)z2 +(b-3a)z – 3b a   a    b  3a    b  21 3b  63  2) Áp dụng phần 1) ta có: z3 +3z2 +3z – 63 =0  (z – 3)(z2 +6z + 21)=0 z     z  3  3i  z  3  3i  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 21: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = (1) Giải: Do tổng tất hệ số phương trình (1) nên (1) có nghiệm z = (1)  (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) =  (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = z  z  z    z    z  2i  z     z  2i Vậy phương trình cho có nghiệm 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 22: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng:  1  23i z   z  z    t  6 1  23i   z  t2 + 4t – 12 =   t  z  z    z    z  2 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 23: Giải phương trình: (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn t  z t2 +2zt – 3z2 =  (t – z)(t+3z) =    t  3 z  z  1  5i + Với t = z  z2 + 3z +6 –z =  z2 + 2z + =    z  1  5i  z  3  + Với t = -3z  z2 + 3z +6 +3z =  z2 + 6z + =    z  3  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 24: Cho phương trình: z4 -2z3 – z2 – 2z + = (1) a) Bằng cách đặt y = z + đưa phương trình dạng: y2 – 2y – = z b) Từ giải (1) Giải: Do z = không nghiệm (1)  chia hai vế phương trình cho z2 ta được: z2 - 2z – - 1 + = z z Đặt y = z + Với y = -1  = z + Với y =  = z +  phương trình có dạng: z  y  1 y2 – 2y – =   y  1  i = -1  z = z 3 =3z= z Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 25: Giải phương trình: z4 – z3 + z2 +z+1=0 (1) Giải: Do z = nghiệm phương trình (1) nên: (1)  zz – z + 1 + + =0 z z z z  (z- )2 – (z- ) + =  3i  y   Đặt y = z-  pt có dạng: y2 – y + =  2y2 – 2y + =    z  y  3i  +) Với y =  3i 1  3i z- =  2z2 – (1+3i)z – = (2) z Ta có :  = (1+3i)2 + 16 = +6i = (3+i)2  phương trình (2) có nghiệm: z1 = 1+i Gia sư Thành Được z2 =  +) Với y = www.daythem.edu.vn 1 + i 2  3i 1  3i z- =  2z2 – (1-3i)z – = (3) z Ta có :  = (1-3i)2 + 16 = -6i = (3-i)2  phương trình (3) có nghiệm: z3 = 1-i z4 =  1 - i 2 Vậy phương trình cho có nghiệm Dạng 4: Giải hệ phương trình phức Ví dụ 26: Giải hệ phương trình ẩn z w: (1)  z  w  3(1  i )  3  z  w  9(1  i) (2) Giải: Từ (2) ta có: (z + w)3 – 3zw(z + w) = 9(-1+i) (3) Thay (1) vào (3) ta được: 27(1+i)3 – 9zw(1+i) = (-1+i)  3(1+3i+3i2+i3) – zw(1+i) = -1 + i  zw = 5  5i  5i 1 i  z  w  3(1  i)  z.w  5i Vậy ta có hệ phương trình:  Theo định lý Viet  z, w nghiệm phương trình: t2 -3(1+i) + 5i = (4) Ta có:  = -2i = (1 – i)2 t   i  Phương trình (4) có hai nghiệm  t   2i Vậy hệ cho có hai nghiệm (z;w) (2+i; 1+2i) (1+2i;2+i) Ví dụ 27: Giải hệ phương trình ẩn z w: (1)  z1  z2  z3    z1 z2  z2 z3  z3 z1  (2) z z z  (3)  Giải: Ta có z1, z2 , z3 nghiệm phương trình: (z – z1)(z – z2)(z-z3) =  z – (z1+z2+z3)z2 +(z1z2 +z2z3 + z3z1 )z - z1z2z3 =  z3 – z2 + z – =  z = z = ±i Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (là hoán vị ba số 1, i –i) VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Chuyển số phức sang dạng lượng giác Phương pháp: Dạng lượng giác có dạng: z = r(cos  + i sin  ) r > Để chuyển số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r ; + Ta có r = |z| a  cos  r +  số thực thoả mãn  sin   b  r Gia sư Thành Được Ví dụ 28: Viết số phức sau dạng lượng giác: 1) 2i 2) -1 3) 4) -3i www.daythem.edu.vn 5) z1 = 6+6i 6) z2 =  +i 4 7) z3 = – 9i Giải: 1) Ta có: r1 = 2,  =   z1 = 2(cos  +isin  ) 2) Ta có: r2 = 1,  =   z2 = cos +isin 3) Ta có: r3 = 2,  =  z3 = 2(cos0+isin0) 4) Ta có: r4 = 3,  = 3 3 3  z4 = 2(cos +isin ) 2 5) Ta có: r5 = 12  cos     Chọn  số thực thoả mãn  = z5 = 12(cos +isin ) 3 sin    2  1    6) Ta có r6 =       4    cos   2 2 2 Chọn  số thực thoả mãn  = z6 = 12(cos +isin ) 3 3 sin    7)Ta có: r7 = 18  c os       Chọn  số thực thoả mãn  =  z7 = 12(cos(  )+isin(  )) 3 sin     Nhận xét: Đây dạng tập phổ biến, cần ý cho học sinh cách chọn số  thỏa mãn hệ phương trình lượng a  cos  r giác  Trong trình dạy, thấy nhiều học sinh mắc sai lầm sau: tìm  thỏa mãn cos = a/r mà sin   b  r  cos   không để ý đến sin  = b/r Chẳng hạn với hệ  học sinh chọn  = sin     Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ 29: Viết số phức sau dạng lượng giác: 1) (1-i )(1+i) 2) 1 i 1 i 3)  2i       Giải: 1) Ta có: 1- i =2 cos     isin         3    cos  i sin  4  (1+i) = Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:            (1-i )(1+i) = 2 cos     isin     12 12  2) 1 i   7 = cos   1 i   12   7     isin      12   3)    1 2         cos     isin     = = (1  i ) = cos     isin       2i   4       4 Ví dụ 30: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1)  (1  i)10   i 2)  cos    i sin   i (1  3i ) 3 Giải: 1) Xét số phức: 10  (1  i)10 i       5 5   25  cos i sin     cos-  i sin    1 12 12         = 3 3  (cos  i sin  ) 16       29  cos  i sin  c os  i sin    2   6    Vậy: phần thực bằng:  phần ảo 16 2) Xét số phức:  5   cos  i sin  i (1  3i ) = 3      cos  i sin  i 3       7 7          7 2  cos  i sin     cos     i sin     i  cos  i sin              7  cos2  i sin 2  i  i Vậy: phần thực bằng: phần ảo 128 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ 31: Tính số phức sau: (1  i )10 z=  i  1  i   10 Giải:  2 10 z= 10           cos     i sin      cos  i sin         10 4 4   210  cos  isin  3    5 5   10   10     5   5  210  cos    i sin   i sin      cos  cos     i sin    6           =  40 40 40 40   cos  isin 210  cos  isin  3 3   = cos(-15) + isin(-15) = -1 Ví dụ 32: Viết số sau dạng lượng giác: 1) cosa – isina, a  [0;2) 2) sina +i(1+cosa), a  [0;2) 3) cosa + sina + i(sina – cosa), a  [0;2) Giải: Ta có: 1) cosa - isin a = cos(2 - a) + isin(2 -a) a  [0;2) 2) z2 = sina +i(1+cosa) = 2sin - Nếu a  [0; )  cos a a a a a a cos + 2icos2 = 2cos (sin + i cos ) 2 2 2 a a  a  a >  z2 = 2cos (cos( - ) + i sin ( - ) 2 2 2 - Nếu a  ( ;2 )  cos a a 3 a 3 a <  z2 = -2cos (cos( - ) + i sin ( - ) 2 2 2 - Nếu a  z2 = 0(cos0 + isin0) 3) z3 = cosa + sina + i(sina – cosa) =   (cos  a   + i sin 4    a   4  Dạng 2: Ứng dụng dạng lượng giác Ví dụ 33: Chứng minh rằng: sin5t = 16sin5t – 20sin3t +5sint cos5t = 16cos5t – 20cos3t +5cost Giải: Dùng công thức Moivre công thức khai triển nhị thức (cost + isint)5 Ta được: cos5t + isin5t = cos5 t + 5icos4tsint + 10i2cos3tsin2t + 10i3 cos2t.sin3t +5i4 cost.sin4t + i5sin5t  cos5t + isin5t = cos5 t -10cos3t(1-cos2t) + 5cost(1-sin2t)2 + i[5(1-sin2t)2sint – 10(1-sin2t)sin3t +sin5t] Đồng hai vế ta điều phải chứng minh Ngoài ứng dụng công thức Moivre vào lượng giác, thấy chuyển số phức dạng lượng giác tìm bậc hai cách dễ dàng nhanh chóng Sau số ứng dụng dạng lượng giác để tìm bậc hai số phức giải phương trình bậc hai Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ 34: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + = (1) Giải: Ta có: (1)  z4 (z + 1) + z2 (z + 1) + (z + 1) =  (z+ 1) (z4 + z + 1) =  z  1   z  z 1   2 2 i  cos  i sin z    1  3i 2 3 Xét phương trình: z4 + z + =  z2 =     2   2  i  cos   z      i sin    2         z  cos  i sin  2 2 3  i sin Từ z2 = cos   3  z  cos  -i sin   3       z  cos     i sin         2   2   Từ z2 = cos     i sin              z  cos    -i sin     3  3  Tóm lại phương trình cho có tất nghiệm: z = -1; z = 3 3  i; z =   i; z=  i; z=   i 2 2 2 2 Ví dụ 35: Cho z1 z2 hai số phứ xác định z1 = 1+i z2 = – i a) Xác định dạng đại số dạng lượng giác b) Từ suy giá trị xác của: cos Giải: Ta có z1 = z2  cos 7 12 7 7 sin 12 12 z1  i     = =  i   1 i z2   Ta có: z1 = 2(cos  z1 z2 (cos =   + isin ); z2 = 3     (cos    + isin    )  4  4 7 7 + isin ) 12 12 1 7  sin = 2 12 Nhận xét: Qua tập ta thấy ứng dụng quan trọng số phức, ta tính sin, cos góc công cụ số phức thông qua liên hệ dạng đại số dạng lượng giác số phức Ví dụ 36: Cho số phức z0 có môđun argument a) CMR z0 nghiệm phương trình z5 – = b) Rút gọn biểu thức (z – 1)(1+z + z2 + z3 + z4) 2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn   c) Hãy suy z0 nghiệm phương trình:  z  1  1 z   + =  z   z d) Giải phương trình câu c) e) Từ suy giá trị z0 biểu thức giá trị cos 2 2 sin 5 Giải: a) Ta có: z0 = cos 2 2 + i sin 5 Áp dụng công thức Moavrơ ta có: z05 = (cos 2 2 + i sin ) = cos2  + isin2 =  z0 nghiệm phương trình z5 – 5 = b) Khai triển đẳng thức ta z5 – = c) z5 – =  (z – 1)(1+z + z2 + z3 + z4) = mà z0   z0 nghiệm phương trình 1+z + z2 + z3 + z4 =  z2 ( nghiệm phương trình 1 + + + z + z2 ) (với z  0)  z0 z z 1 + + + z + z2 = (*)  đpcm z z 1   phương trình (*) có dạng: y2 – y + =  y1,2  z d) Đặt y = z + e) Từ câu ta có: z0 nghiệm hai phương trình sau: z + *) Xét phương trình: z +  1     =    1     =   Vì cos 1 = y1  z2 – y1z + =  z2 + z+1=0 z  1  i   z1     5 5 2    -4== i  2     z  1   i   2 *) Xét phương trình: z + 1 = y1 z + = y2 z z 1 = y2  z2 – y2z + =  z2 + z+1=0 z  1  i   z1     5 5 2    -4== i  2     z  1   i   2 2 2 sin dương  phần thực phần ảo z0 dương 5  z0 = z1 = 1  2 2  1  i   cos = sin =  5 2 2 Ví dụ 37: Giải phương trình: z6 = -64 (1) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Giải: Giả sử z = x + yi = r(cos + isin) Ta có: -64 = 64(cos  + isin  ) Z = -64  r6 (cos6  + isin6  )= 64(cos  + isin  )  r6 = 64  r = Và cos6  + isin6  = cos  + isin    =  +2k  (k  Z)   =            isin     =  6   Với k =  z1 =  cos  isin  = 6          isin     = -2i  2    isin  -i   Với k =  z1 =  cos  2k +i Với k = -1  z1 =  cos  -     = 2i 2 Với k = -2  z1 =  cos  -   5   5     isin  -   = - -i      Với k = -3  z1 =  cos  -  Ví dụ 38: Tìm n số nguyên dương  n  1,10 cho số phức z   i n số thực Giải:   Ta có: + i =  cos Để z  R  2n.sin   i sin n n  n  i sin   z =  cos  3 3    n n =  sin =  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  [3;6;9] 3 C BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Các tập dạng đại số số phức Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu |z1| = |z2 | = 1, z1.z2  A = z1  z2 R  z1 z2 HD: Ta có: A = A suy A số thực Bài 2: Tìm điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) |z-2| =  z2 e) Re   =0 b) |z+i| 1 z f) R z d) z   z Đáp số: a) Đường tròn tâm (2;0), bán kính b) Hình tròn tâm (0;-1), bán kính c) Phần đường tròn tâm (1;-2) bán kính d) Giả sử z = x + yi  z   z2 1  z z  (x2 – y2 +1)2 +4x2y2 = 4(x2 + y2) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  x2  y 1  y  (x2 + y2 -1)2 = 4y2   2  x  y   2 y  Tập hợp điểm M(x;y) biểu thị số phức z hợp hai đường tròn: x2 + y2-2y – = x2 + y2 +2y – = e) Tập hợp điểm M(x;y) đường tròn: x2 + y2 – 3x + =  z  x  yi  (1  x)  yi   x  yi  (1  x) x  y   y (1  x)  xy  i   f) Giả sử z = x + yi  = x  yi x2  y x2  y z Gt  2xy + y =  y = x = -1/2 Bài : Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức : x(3+5i) + y(1-2i)3 = + 14i Phương trình bậc hai, phương trình bậc cao, hệ phương trình Bài 4: Giải phương trình sau: a) z2 = -9 b) z2 = - c) 4z – 2z + = d) z2 – 2zcos α + = e) z  (3  i)z  (4  3i)  Bài 5: Tìm số phức z biết z2+ |z| = Đáp số: z= 0; z = i; z = -i Bài 6: a) Tìm số phức a, b để có phân tích: z4 + 2z3 +3z2 + 2z + = (z2 + 1)(z2 +az + b) b) Giải phương trình: z4 + 2z3 +3z2 + 2z + = Đáp số: a) a = 2; b = b) z1,2 = ± i; z3,4 = -1 ± i Bài 7: Cho phương trình: z3 – 2(1+i)z2 + 3iz + 1-i = (1) a) Chứng minh z = nghiệm phương trình (1) b) Tìm hai số α β cho z3 – 2(1+i)z2 + 3iz + 1-i = (z – 1) (z2 + α z + β ) = c) Giải phương trình (1) Đáp số: a) α = -2i-1; β = i – b) z = 1; z = i ; z = 1+i Bài 8: Giải phương trình sau: a) z4 + 3z2 + = b) 2z4 + z3 + 3z2 + z + = Bài 9: Cho hai phương trình sau z4 – 4z3 + 14z2 – 36z + 45 = z4 + z3 + z2 + 4z + = a) Chứng minh phươn trình sau có hai nghiệm ảo b) Hãy giải phương trình (1) (2) Bài 10: Giải hệ phương trình sau:   z1 z2   z  2z   Đáp số: Gia sư Thành Được ( www.daythem.edu.vn i i i i ; ; ) ( ) 4 Dạng lượng giác số phức ứng dụng Bài 11: Viết số sau dạng lượng giác: a) z1 = + 6i b) z2 =  i 4 c) z2 =  i 2 d) z3 = – 9i e) z5 = -4i Đáp số:   z1 = 12  cos    z1 = 12 18  cos  i sin  ; 3 z2 = 1 2 2  i sin  cos 2 3  ;  z3 = cos 4 4  i sin 3 5 5  3 3    i sin  i sin  ; z2 =  cos ; 3  2   Bài 12: Viết số phức sau dạng lượng giác:   +isin ) 6   a) -2(cos b) cos 17 - isin 17   c) sin + icos 17 17 d) – cos a+ isina, a  [0;2) Đáp số: a) 2(cos 7 7 +isin ) 6        + isin     17   17  b) cos   c) cos 15 15 + isin 34 34 d) - Nếu a  (0;2 )  sin a a  a  a >  z2 = 2sin (cos( - ) + i sin ( - )) 2 2 2 - Nếu a =  không tồn số phức dạng lượng giác Bài 13: Cho số phức z = 1+ i Hãy viết dạng lượng giác số phức z5 Bài 14: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau: 1 a)   2 i 3   3  3i   2i  b) (1+i)(-2-2i)i c) -2i(-4+4 i)(3+3i) d) 3(1-i)(-5+5i)   Gia sư Thành Được Đáp số: a) 12 (cos www.daythem.edu.vn 7 7 +isin ) 4 b) 4(cos0 + isin0) c) 48 (cos d) 30(cos 5 5 +isin ) 12 12   +isin ) 2 12   i  Bài 15: Chứng minh rằng:    i  số thực   12   i  Đáp số: Sử dụng công thức Moavrơ :    i  = -64   Bài 16: Tìm môđun z argument: a) 2 z=  2i 1  i   1  i  b) z =   2  2i     i    2i  z = 1  i   1  i  10 n c) 1  i  n Đáp số: a) |z| = 213  b) |z| = 5 ; arg z = 13 ; arg z =  29 c) |z| = 2n 1 cos 5n ; arg z =   {0; } Bài 17 :Cho hai số phức z1 = + i z2 = 1+ i a) Tính môđun argument hai số phức nói b) Tính môđun argument z13 z22 c) Từ suy giá trị xác cos z13 z2   sin 12 12 Đáp số : a) Ta có |z1| = 2; 1 = b) |z13| = 8; 3 = c) cos  = 12   ; |z2| = 2; 2 = 3 2 z13  ; |z2| = 4; 4 = ; = 2; 5 = z2 12 2  sin = 12 6 Bài 18: Cho z số phức thoả mãn z2 = +i a) Tính nghiệm phương trình viết nghiệm dạng lượng giác Gia sư Thành Được b) Hãy tính xác giá trị cos www.daythem.edu.vn   sin 8 Bài 19: Tìm bậc hai số phức sau: a) z = 1+i b) z = i c) i  2 d) -2(1+i ) e) 7- 24i Đáp số:     k  k   isin a) zk =  cos 2    b) zk = cos  c) zk = cos  k  k   isin   isin  k  k    , k  {0;1}   , k  {0;1} , k  {0;1} 4 4   k  k  3  isin d) zk =  cos 2      , k  {0;1}   e) z1 = 4-3i; z2 = -4 + 3i Các toán số phức đề thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học năm học 2009_2010 Bài 20 (Câu 5a_TNPT 2009) Giải phương trình: 8z2 – 4z + = tập số phức Bài 21 (Câu 5b_TNPT 2009) Giải phương trình: 2z2 – iz + = tập số phức Bài 22 (ĐHKA_2009) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình: z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 Đáp số: A = 20 Bài 23 (ĐHKB_2009) Tìm số phức z thỏa nãm |z-(2+i)|= Đáp số: z = 3+4i z = 10 z z =25 ... TOÁN C BẢN VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ C A SỐ PH C Dạng 1: C c phép tính số ph c Phương pháp giải: Sử dụng c ng th c cộng , trừ, nhân, chia luỹ thừa số ph c Chú ý cho HS: Trong tính toán số ph c ta... GI C CỦA SỐ PH C Dạng 1: Chuyển số ph c sang dạng lượng gi c Phương pháp: Dạng lượng gi c có dạng: z = r(cos  + i sin  ) r > Để chuyển số ph c sang dạng lượng gi c ta c n tìm r ; + Ta c r... Moivre c ng th c khai triển nhị th c (cost + isint)5 Ta đư c: cos5t + isin5t = cos5 t + 5icos4tsint + 10i2cos3tsin2t + 10i3 cos2t.sin3t +5i4 cost.sin4t + i5sin5t  cos5t + isin5t = cos5 t -10cos3t(1-cos2t)