Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ôn thi Đại Học Chủ đề: Tìm Giá Trị Lớn Nhất Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Nhỏ Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Các đẳng thức bất đẳng thức cần học thuộc lòng a  b  2(a  b) Dấu “=” xảy  a  b a  b  a  b Dấu “=” xảy  a  b=0 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)= a2+b2+c2+a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca (a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ca ( x  y)  ( y  z)  ( z  x)  3x  y  3z  ( x  y  z) a2+b2+c2  ab+bc+ca a  b  c  a  b  c  a(b  c)  b(a  c)  c(a  b) (1) 2 2 2 2 2 với a= x  y ; b= y  z ; c= z  x Áp dụng bất đẳng thức A  B  A  B x  y + y  z  x  y  y  z = x  z = z  x  a+b  c Tương tự a+c  b; a+c  b (1) a  b  c  a  b2  c  a.a  b.b  c.c  a  b  c  2(a  b2  c )  a  b  c  2(a  b  c ) a4+b4+c4  a2b2+b2c2+c2a2  abc(a+b+c) 10 (a+b+c)2= 12 [(a  b)  (b  c)  (c  a) ]  3(ab  bc  ca) 2  (a+b+c)2  3(ab  bc  ca)  ab + bc + ca ≤ 11 12 a  b  c 2 ( ab  bc  ca )2  a b2  b2c2  c2a  2abc( a  b  c ) Nếu a, b   ;    (  a)(   b)   ab   (a  b)    Đặt S=a+b; P=a.b  P  S     P  S   Ta có a2+b2=S2-2P  S  2( S   )  a2+b2  S  2S  2 S2 ( a  b)  P  4 S2 Ta lại có: a3+b3= S  3PS  S  S  a3+b3  S 4 Mặt khác ab  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 13 Nếu a, b, c   ;   ((a a)()(b b)()(cc))  00  ab   (a  b)   (c   )    ab   (a  b)   (   c)  2 abc   (ab  bc  ca )   (a  b  c)    (1)    abc   (ab  bc  ca )   (a  b  c)    (2) Lấy (1)+(2) ta     (ab  bc  ca)  (   )(a  b  c)      Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki   (x1y1+x2y2+x3y3+…xnyn)2  x12  x22  x32   xn2 y12  y22  y32   yn2 Dấu “=” xảy  14 15 16 17 x x1 x2 x3     n y1 y2 y3 yn a2  b2  a  b2 2  a  b2  4 a +b  2   a  b a  b   a  b  4  a +b    a2  b2   4 a  b   (a  b) a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)  (a+b)3-3 (a+b)= (a+b)3 4 Áp dụng bất đẳng thức côsi a1+a2+a3+…+an  nn a1.a2 a3 an 18 19 20 21 22 23  Với a1, a2, a3, …, an không âm a+b  ab ab ab  ab  (a  b) 1   a b ab Với a,b không âm Với a,b không âm 2ab  a  b a  b2 ab  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 24 25 26 a+b+c  3.3 abc 27 28 a3+b3+c3  3abc 29 30 ax+ay  a x a y  a x  y  2.a Với a,b,c không âm (a  b  c)3  27 abc abc  (a  b  c) 27 Với a,b,c không âm a+b+c  a(b  c)  Với a,b,c không âm a 2a  bc abc x y at  t  , t  a  Chứng minh Đặt f(t)=at-t-1 f’(t)=at.lna-1>0 t  a   hàm số đồng biến t   f(t)  f(0) at-t-1  0 at  t  1   Với a,b>0 ab  1  a  b  ab 31 32 33 34 A  B  A B x y + yz  x y yz = xz = zx P=f(x); x  a; b  Nếu f’(x)>0 hàm số f(x) đồng biến f(a)  P  f(b) Nếu f’(x)0 ab  1  a  b  ab x 1 y P=   x z x  1 1 y y z 24 A  f(S)  Gia sư Thành Được Áp dụng a= www.daythem.edu.vn z x x ; b= ; a.b=  z y y x x y  P đặt t=  x y  1 x y y t2  2t   t t2  Đặt f(t)= 2t   t với t  1;2  P HS tự làm f(t)= P  với t  1;2 Với t  1;2 34 33 34 33 34 x=4; y=1; z=2 33 14) Đại học khối B_năm 2011  Min P= Cho a b số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ  a b3   a b  biểu thức P =        a  b a  b Giải: Theo giả thiết ta có  a  b   ab   a  b  ab   Từ suy : a b 1 1          ab    b a a b Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : a 2 a  a  2 b b b (1) b 2 b  b  2 a a a (2) 2 a b 2   1  a   b  b a b a  a 2 b Cộng (1) (2) ta a   b   2    b a a   b a b Đặt t =  , ta suy : 2t +  2 t   4t2 – 4t – 15   t  b a 3 2 a b  a b  Mặt khác: P =        = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 a  b a  b Đặt f(t) = 4t – 9t – 12t + 18 f’(t) = 12t2 – 18t – 12, f’(t) =  t =  hay t = 2 25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 23 t = 23 Vậy P =  a = b = hay a = b =  Min f(t) =  15) ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 - ĐỀ Cho a, b, c ba số dương thõa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P 3 3 a  3b b  3c c  3a Ta có :  1 1 1 (*) (x  y  z)     33 xyz  9    x y z xyz xyz  x y z 1 3 3 3 Áp dụng (*) ta có : P  a  3b b  3c c  3a a  3b  b  3c  c  3a a  3b   1   a  3b  2 3 b  3c   1 Ta có:   b  3c  2  b  3c1.1  3 c  3a   1  c  3a1.1    c  3a  2 3  a  3b1.1  1 a  3b  b  3c  c  3a    a  b  c  6    6  3 3  Do đó: P  3  Dấu = xảy  a  b  c   a b c  a  3b  b  3c  c  3a  Vậy GTNN a  b  c  1/ Suy 16) ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 - ĐỀ Cho ba số dương x, y, z thay đổi thỏa điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z Giải:  x  y 2 x  y   x  y 4  4  x +y    x2  y   4 x  y   4  x +y 4   z  26 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn   z P  +8z 3  z 4 +8z (đk  z  z  z  27 z  27 65 z  z  27 z  27  3  z   32 z = f’(z)=  32 z = 2 648 648 648 f’(z)=0 z=  f(z)=  P  P= x=y= ; z= 125 125 125 5 Đặt f(z)= 17) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 2 Cho x, y, z ba số dương thỏa:   (x  y)(x  z) 3x  2y  z  3x  2z  y  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  2(x  3)2  y  z2  16  2x  y  z2 Giải (x  y  x  z)2 ( 2x  y  z)  (*) 4   1 2    3x  2y  z  3x  2z  y   3(2x  y  z)  Ta có: (x  y)(x  z)   ( a  b) 1 Áp dụng bdt:   a b ab Áp dụng bdt: ab  2 2     (x  y)(x  z) Thay x  y  z  x  z  y  3(2 x  y  z )  3x  2y  z  3x  2z  y   ( x  y )( x  z )  3(2 x  y  z )  Từ (*) (**) suy ra: (**) (2x  y  z)2  3(2x  y  z)  t2   (t  2)(3t  8t  16)  3t   t   2x  y  z  Đặt 2x  y  z  t (t  0)  Mà:  (2x  y  z)2  (22  12  12 )(x  y  z2 )  x  y  z2   2 12x  36x  2x  y  z  12x  12x   1  1  1 Ta có: P  2 2 2 3x  2x  y  z x x y z x2  Xét hàm số: f (x)   36x  với x  3x  27 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  x  1 (loaïi ) 36(3x  x  2)  f '(x)  , f '(x)    2 2 x  f    10 (3x  2)  3 Bảng biến thiên: x  y' y   10 2 Vậy GTLN P = 10 khi: x  ,y  z   3 18) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016_lần Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:  P= a  ab  abc abc Giải: 1 a  4b a.4b  Ta có: ab  Dấu “=” xảy  a=4b 2 1 a  4b  16c Mặt khác: abc  a.4b.16c  Dấu “=” xảy  a=4b=16c 4 a  4b a  4b  16c   ab  abc  2  4a  16b  16c   ab  abc    4  a  b  c  ab  abc  a  4b  4c  a  ab  abc  a   a  ab  abc  (a  b  c) 3   a  ab  abc 4(a  b  c)    a  ab  abc 4(a  b  c) 2(a  b  c) 3   P 2(a  b  c) abc Đặt t=a+b+c, (t>0) 28 Gia sư Thành Được  P www.daythem.edu.vn 3  2t t 3  với t>0 2t t Học sinh tự làm f(t)=  t=1  P  16  a  21  a  b  c   Đẳng thức xảy    b  21 a  4b  16c   c  21  16 Vậy giá trị nhỏ P=  Khi a= ; b  ; c  21 21 21 Xét hàm số f(t)= 19) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016_lần 1_Nghệ An Cho số dương x,y Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x  3y 2  3x  y 2  3( x  y)3 Giải: Áp dụng bất đẳng thức: (a+b)2  2(a2+b2) a+b  2(a  b ) x2  y   1  2   2 x  y  3x  y  x  3y  1   a b ab 1    2 2 2 x  3y 3x  y x  y  3x  y x  y2 2 Ta có: x  y   12  12 ( x2  y )   x y x  y 2 1  Từ (2) (3)  2 x  3y 3x  y x  y2 (1) Áp dụng bất đẳng thức:  Từ (1)  P  x  3y 2  3x  y 2  2  ( x  y) x y 2  x  y 3( x  y )3 29 (2) (3) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn , (t>0) x y  P  2t  t 3 Đặt t= Xét hàm số: f(t)= 2t  t , (t>0) Học sinh tự giải Max f(t)= t=1  P Vậy giá trị lớn P= x=y= 20) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016_lần 1_Hà Tĩnh Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2=3 Tìm giá trị lớn biểu thức x3  y  z 3    P= x  y  z  xyz xy  yz  xz Giải: Đặt t=xy+yz+xz (t>0) Ta có: xy+yz+xz  x  y  z   t  Ta có (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=3+2t Mặt khác: x3  y  z  ( x  y  z ) x  y  z  ( xy  yz  xz )  3xyz x3  y  z  ( x  y  z )(3  t )  3xyz   x3  y  z  1      (3  t )  xyz  yz xz xy  1  1 1 Áp dụng bdt: (a  b  c)     3.3 abc  9    a b c abc abc a b c  Ta có:  1 9     yz xz xy xy  yz  xz t x3  y  z  (3  t )  xyz t x3  y  z 1   (3  t )  xyz t 1  P   2t  (3  t )  + t t 3  P   2t     t t 11  P   2t (0