Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CHUN ĐỀ : PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT I Tọa độ Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi vng góc với với ba vectơ đơn vị i , j  i  j  1 u  x; y   u y  xi  y j ; M(x;y) OM  OM  OM  xi  y j Tọa độ vectơ: cho u( x; y), v( x '; y ') a u  v  x  x '; y  y ' b u  v   x  x '; y  y ' c ku  (kx; ky ) d u.v  xx ' yy ' e u  v  xx ' yy '  f u    g cos u, v  u.v M2 u j x  y , v  x2  y 2 o M u M1 i u.v Tọa độ điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB) a AB   xB  xA ; yB  yA  b AB   xB  x A    yB  y A  c G trọng tâm tam giác ABC (tứ giácABCD tương tự) ta có: 2 y  yB  yC x A  xB  xC ; yG= A 3 x  kxB y  kyB ; yM  A d M chia AB theo tỉ số k: MA  k MB  xM  A (2 véc tơ gốc M) 1 k 1 k x  xB y  yB ; yM  A Đặc biệt: M trung điểm AB: xM  A 2 GA  GB  GC  O , OG  OA  OB  OC  xG= e) Tứ giác ABCD hình bình hành  AB  DC h) Tính chất đường phân giác: Gọi AD, AE đường phân giác ngồi góc A (D  BC; E  BC), ta có: AB AB DB   DC ; EB  EC AC AC k) Diện tích  : * Công thức tính diện tích tam giác ABC với : AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2) 1 S  AB AC.cos BAC  S  S = | x1y2 – x2y1| AB AC  AB AC 2 1 abc  pr  p ( p  a )( p  b)( p  c) * Cơng thức khác: S  aha  ab sin C  2 4R (Với a, b, c ba cạnh, đường cao thuộc cạnh a, p  (a  b  c) , R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp  ABC)    g/ u phương với u '  x x' y y'  = xy’ – x’y =  x : x  y : y -A,B,C phân biệt thẳng hàng AB  k AC  x1 y1  , với AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2), k  x2 y2 Chú ý tốn hình học lớp x Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn II Phƣơng trình đƣờng thẳng Một đƣờng thẳng  đƣợc xác định biết điểm M(x0;y0) vectơ pháp tuyến n   A; B  *Phương trình tổng qt A  x  x0   B  y  y0    Ax  By  C  có vectơ phương u   a; b  ta chọn VTPT: n   A  b; B  a  *Phương trình tham số: biết điểm M(x0;y0) vectơ phương u   a; b  , n  x  x0  at ,  t  R  M  ()  M  x0  at ; y0  bt    y  y0  bt u có vectơ pháp tuyến n   A; B  ta chọn u   a  B; b   A  *Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k: y  k  x  x0   y0 * Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x A ;y A ) khác B(x B ;y B ): x  xA y  yA nhân  xB  x A y B  y A chéo Khoảng cách từ điểm M(xM;yM) đến đường thẳng : Ax  By  C  là: d  M ,   AxM  ByM  C A2  B -Hoặc dựng đường thẳng qua M vng góc cắt  H d  M ,    MH - Hoặc H  x0  at ; y0  bt    d  nên NH ud  tìm t nên tìm H -PT đường thẳng cách hai đường thẳng Ax  By  C  , A/ x  B / y  C /  Ax  By  C A2  B  A/ x  B / y  C / A/  B / (*) tập hợp điểm cách đường thẳng Nếu dường thẳng song song PT (*) có đường thẳng Nếu đường thẳng cắt thi PT trên(*) đường thẳng phân giác đường thẳng Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1  Cho hai đường thẳng  : a x  b2 y  c  Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng   ta xét số nghiệm hệ phương trình a1 x  b1 y  c1  (I)  a x  b2 y  c  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  Chú ý: Nếu a2b2c2  : 1    a1 b1  a b2  //   a1 b1 c1   a b2 c 1    a1 b1 c1   a b2 c Góc hai đƣờng thẳng   *Góc hai đường thẳng   (I) có VTPT n1 n tính theo cơng thức:    cos(1 ,  )  cos(n1 , n2 )   | n1 n2 |    | n1 || n2 | | a1 a  b1b2 | a12  a 22 b12  b22 tính theo véc tơ phương thay n u * Góc hai đường thẳng:(  ): y = k x + b (  ’): y = k x + b’ là: tan (;  ')  *Bài tốn min,Max: k2  k1  k1.k2 (Cơng thức tan) MA+MB đạt min, MA  MB đạt Max A,B cố định M thuộc đường thẳng MA  MB  MC đạt cho A,B, C cố định M thuộc đường Ví dụ: A(1;-1) B(-1;3) C(0;-5) đường thẳng (d) 3x-4y +10=0 tìm M thuộc (d) mà MA  MB  MC MA  MB  3MC MA2  MB2  MC ; MA2  2MB2  3MC đạt Có MA  MB  MC  3MG từ G hạ đoạn vng góc xuống (d) M Có MA  2MB  3MC  MI  IA  2MI  2IB  3MI  3IC  6MI  ( IA  2IB  3IC) Tìm điểm I thoả mãn IA  IB  3IC  I điểm gọi tâm tỉ cự điểm xác định, từ I kẻ đoạn vng góc với đường thẳng (d) M điểm cần tìm ** Đường phân giác tam giác trục đối xứng cạnh bên khoảng cách từ 1 điểm P giác cách cạnh tam giác d(M/  )=d(M/   ) III Phƣơng trình đƣờng tròn r Một đường tròn xác định biết tâm I(a;b) bán kính r M I Phương trình: Dạng 1:  x  a    y  b   r 2 (C) Dạng 2: x  y  2ax  2by  c  , điều kiện a  b2  c  r  a  b  c Tâm I(a;b) * Nếu a2 + b2 – c = có điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = * Nếu a2 + b2 – c < khơng có điểm M(x ; y) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = Điều kiện để đường thẳng : Ax  By  C  (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là: d  I ,   Aa  Ba  C A2  B r Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn +Đơi ta xét b= thay xét trực tiếp sau xét b  đường thẳng (1) thành y  kx  b kx  y  b  tốn đơn giản dùng cho tiếp tuyến giao tuyến đường tròn đường thẳng *Chú ý tính chất cung góc lượng giác bán kính dây cung lớp Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn M0 Tiếp tuyến điểm M0(x0 ; y0) đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình: M  x; y    IM   x0  a; y0  b  véc tơ pháp tuyến tiếp tuyến hay sử dụng tính chất: IM M O M  ta có (x – x0) (x0 – a)+ (y – y0) (y0 – b)= x0 x  y0 y  a( x  x0 )  b( y  y0 )  c  IM ( IM  IM )   IM IM  IM 02    x0  a  x  a    y0  b  y  b   R ( CT tách đơi)  x  a 2   y  b 2  r Ngồi dùng PTHĐGĐ  có nghiệm kép tiếp tuyến có  Ax  By  C  nghiệm cắt điểm I Chú ý tính chất bán kính dây cung: IH đường trung trực AB  IV Ba đƣờng conic H B A I.Elip E  M  mp / MF1  MF2  2a  , F1 , F2 tiêu điểm x2 y Phương trình tắc:   , (a>b>0) a b Các yếu tố: c2  a  b2 , a> c>0.,a>b>0 Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b Hai tiêu điểm F1  c;0  , F2  c;0  y B1 Bốn đỉnh: đỉnh trục lớn A1  a;0  , A2  a;0  , A đỉnh trục bé B1  0; b  , B2  0; b  Tâm sai: e  F F1 B2 A x O c 1 a M c   MF1  r1  a  a x0 Bán kính qua tiêu điểm: M( x0 ; y0 )thuộc (E)   MF  r  a  c x  2 a Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: dùng điều kiện nghiệm kép ph trình hồnh độ tung độ giao điểm B BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x  y   , phân giác BN : x  y   Tìm toạ độ đỉnh B,C tính diện tích tam giác ABC A Hướng dẫn: + Do AB  CH nên AB: x  y   H N B C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2 x  y   Giải hệ:  ta có (x; y)=(-4; 3)  x  y 1  Do đó: AB  BN  B(4;3) + Lấy A’ đối xứng A qua BN A '  BC - Phương trình đường thẳng (d) qua A Vuụng gúc với BN (d): x  y   2 x  y   Gọi I  (d )  BN Giải hệ:  Suy ra: I(-1; 3)  A '(3; 4) x  2y   7 x  y  25  13 + Phương trình BC: x  y  25  Giải hệ:  Suy ra: C ( ;  ) 4  x  y 1  7.1  1(2)  25 450 + BC  (4  13 / 4)  (3  / 4)  , d ( A; BC )  3  12 1 450 45 d ( A; BC ).BC   2 4 Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đường thẳng d1 : x  y   d2 : x  y   Trung điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Hướng dẫn: Ta có: d1  d2  I Toạ độ I nghiệm hệ: x  y   x  /  3 Vậy I  ;  Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M trung điểm    2 x  y   y  / Suy ra: S ABC  2 9  3  cạnh AD  M  d1  Ox Suy M( 3; 0) Ta có: AB  2IM         2  2  S 12 Theo giả thiết: SABCD  AB.AD  12  AD  ABCD  2 AB Vì I M thuộc đường thẳng d1  d1  AD Đường thẳng AD qua M ( 3; 0) vng góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT: 1(x  3)  1(y  0)   x  y   Lại có: MA  MD   x  y   Toạ độ A, D nghiệm hệ PT:  2   x  3  y  y   x  y   x  x  x  y   x         2 2 x    y  y       x   y  x   (  x )       Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) x C  2x I  x A     3 Do I  ;  trung điểm AC suy ra:   2 y C  2y I  y A    Tương tự I trung điểm BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ đỉnh hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD hồnh độ điểm A âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật A B HƢỚNG DẪN +) d ( I , AB)   AD =  AB =  BD = I +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 +) Tọa độ A, B nghiệm hệ:  x   25  ( x  )  y    y   A( 2; 0), B (2; 2)     x  2   x  y     y  D C  C (3;0), D(1; 2) Bµi 4: Trong mỈt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diƯn tÝch b»ng vµ träng t©m thc ®-êng th¼ng  : 3x – y – = T×m täa ®é ®Ønh C H-íng dÉn: 5 Ta cã: AB = , M = ( ;  ), pt AB: x – y – = 2 3 S ABC = d(C, AB).AB =  d(C, AB)= 2 Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= t  (3t  8)  =  d(G, AB)=  t = hc t = 2  G(1; - 5) hc G(2; - 2) Mµ CM  3GM  C = (-2; 10) hc C = (1; -4) Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) đường thẳng  : 3x  y   Tìm  hai điểm A B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15 Hướng dẫn: 3a  16  3a )  B(4  a; ) Khi diện tích tam giác ABC Gọi A(a; 4 S ABC  AB.d (C  )  AB 2 a    3a  Theo giả thiết ta có AB   (4  2a)     25   a     Vậy hai điểm cần tìm A(0;1) B(4;4) Bài 6: x2 y2  hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) :  Tìm (E) điểm C có hồnh độ tung độ dương cho tam giác ABC có diện tích lớn Hướng dẫn: Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0 x2 y2  diện tích tam giác ABC Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi ta có  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 85 85 x y 85  x y  170 AB.d (C  AB)  2x  3y   3 2    13 13   13 13  x2 y      x  3 Dấu xảy  Vậy C (  ; 2) 2 x y    y   Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy Hướng dẫn: Gọi A giao điểm d1 d2 ta có A(3 ;0) Gọi B giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) Gọi C giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) Gọi BI đường phân giác góc B với I thuộc OA ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 Bài 8: Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) đường thẳng (d): x - y - = Lập phương trình đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng (d) Hướng dẫn: Giả sử phương trình cần tìm (x-a)2 + (x-b)2 = R2 Vì đường tròn qua A, B tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình (1  a)2  b2  R a    2 2 (1  a)  (2  y)  R  b  Vậy đường tròn cần tìm là: x + (y - 1) = R2  (a  b  1)  R   S ABC  Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 Hướng dẫn : Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = I Gọi H trung điểm dây cung AB  Ta có IH đường cao tam giác IAB H B A | m  4m | | 5m | IH = d ( I ,  )   m  16 m  16 (5m) AH  IA  IH  25   m  16 SIAB  12  2SIAH  12 2 20 Diện tích tam giác IAB m  16  m  3  d ( I ,  ) AH  12  25 | m | 3( m  16)   16 m    Bài 10: Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B(2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®-êng th¼ng x   , vµ träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng x  y   TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC H-íng dÉn: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1    yC y  1, yG  2 C 3 x  y   nªn   yC   , vËy Ta cã C  (4; yC ) Khi ®ã täa ®é G lµ xG  §iĨm G n»m trªn yC  , tøc lµ ®-êng th¼ng C  (4; 2) Ta cã AB  (3; 4) , AC  (3;1) , vËy AB  , AC  10 , AB AC  5 15 1 AB AC  AB AC  25.10  25 = DiƯn tÝch tam gi¸c ABC lµ S  2 Bµi 11: Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng x  y   T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 H-íng dÉn: V× G n»m trªn ®-êng th¼ng x  y   nªn G cã täa ®é G  (t;  t ) Khi ®ã   AG  (t  2;3  t ) , AB  (1;1) VËy diƯn tÝch tam gi¸c ABG lµ 2t  1 S AG AB  AG AB  (t  2)  (3  t )  = 2 NÕu diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diƯn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 2t   4,5 , suy t  hc t  3 VËy cã hai ®iĨm G : 13,5 :  4,5 VËy G1  (6;4) , G  (3;1) V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC  3xG  ( xa  xB ) vµ yC  yG  ( ya  yB )     Víi G1  (6;4) ta cã C1  (15;9) , víi G  ( 3;1) ta cã C2  ( 12;18) Bµi 12 Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é Oxy cho ®-êng trßn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = vµ ®-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh x + y + m = T×m m ®Ĩ trªn ®-êng th¼ng d cã nhÊt mét ®iĨm A mµ tõ ®ã kỴ ®-ỵc hai tiÕp tun AB, AC tíi ®-êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iĨm) cho tam gi¸c ABC vu«ng H-íng dÉn: Tõ ph-¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa ®-êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kỴ ®-ỵc tiÕp tun AB, AC tíi ®-êng trßn vµ AB  AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng  IA  m 1 m  5    m 1    m  Bài 13: Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – = hai điểm A (-1;2); B (3;4) Tìm điểm M  () cho 2MA + MB2 có giá trị nhỏ Hướng dẫn : M   M (2t  2; t ), AM  (2t  3; t  2), BM  (2t 1; t  4) AM  BM  15t  4t  43  f (t ) 2  2  26 Min f(t) = f    => M  ;    15   15 15  Bài 14: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x  y  3x   Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = tiếp xúc ngồi với (C) A Hướng dẫn: A(0;2), I(-2 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’  x  3t Pt đường thẳng IA :  , I '  IA => I’( 3t;2t  ), AI  I ' A  t   I '( 3;3)  y  2t   (C’): x     y  3  Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = đường chéo AC qua điểm M(2;1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Hướng dẫn: BD  AB  B(7;3) , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = A  AB  A(2a  1; a), C  BC  C (c;17  2c), a  3, c  ,  2a  c  a  2c  17  I = ;  trung điểm AC, BD 2   I  BD  3c  a  18   a  3c  18  A(6c  35;3c  18) c  7(loai ) M, A, C thẳng hàng  MA, MC phương => c2 – 13c +42 =0   c  c = =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) Bài 16: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình  C2  : x2  y  x  y  16   C1  : x2  y  y   Lập phương trình tiếp tuyến chung  C1   C2  Hướng dẫn:  C1  : I1  0;  , R1  3;  C2  : I  3; 4  , R2   Gọi tiếp tuyến chung  C1  ,  C2   : Ax  By  C  A2  B   tiếp tuyến chung  C1  ,  C2    2 1  d  I1;    R1  2B  C  A  B   d  I ;    R2  A  B  C  A2  B    3 A  B Từ (1) (2) suy A  B C  Trường hợp 1: A  B Chọn B   A   C  2    : x  y    Trường hợp 2: C  3 A  B Thay vào (1)  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x  y – x – y   0, (C ') : x  y  x –  qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Hướng dẫn: + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0) R  1, R '  , đường thẳng (d) qua M có phương trình a( x  1)  b( y  0)   ax  by  a  0, (a  b  0)(*) + Gọi H, H’ trung điểm AM, BM Khi ta có: MA  2MB  IA2  IH  I ' A2  I ' H '2    d ( I ;d )   4[9   d ( I ';d )  ] , IA  IH 9a b2 36a  b 2   d ( I ';d )    d ( I ;d )   35    35   35  a  36b 2 2 a b a b a b  a  6 Dễ thấy b  nên chọn b     a6 Kiểm tra điều kiện IA  IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn 2 Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2) , trung điểm cạnh AB M (3;1) Hướng dẫn: + Đường thẳng AC vng góc với HK nên nhận HK  (1; 2) làm vtpt AC qua K nên ( AC ) : x  y   Ta dễ có: ( BK ) : x  y   + Do A  AC, B  BK nên giả sử A(2a  4; a), B(b;  2b) Mặt khác M (3;1) trung điểm AB nên ta có hệ:  2a   b  2a  b  10 a     a   2b   a  2b  b  Suy ra: A(4; 4), B(2;  2) A M K C H B + Suy ra: AB  (2;  6) , suy ra: ( AB) : 3x  y   + Đường thẳng BC qua B vng góc với AH nên nhận HA  (3; 4) , suy ra: ( BC ) : 3x  y   KL: Vậy : ( AC ) : x  y   0, ( AB) : 3x  y   , ( BC ) : 3x  y   Bài 19: (đề 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x  y  d2: 3x  y  Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương Hƣớng dẫn: Ta thấy d1 , d tạo với Oy góc 300 Từ AOB  600 ; ACB  300 10 Gia sư Thành Được SABC  www.daythem.edu.vn 3 AB.BC  AB  AB   AB  OA  AB   A  ;  1   2 2 3   OC  2OA    C   ;   Đường tròn (T) đường kính AC có: 3   3 AC  I  ; , R  1  2   3  Phương trình (T):  x     y   1 3    Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y  = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; 3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Hướng dẫn: Gọi  đường thẳng qua trung điểm AC AB  664 4 Ta có d  A,    E Vì  đường trung bình ABC   d  A; BC   2d  A;    2.4  Gọi phương trình đường thẳng BC là: x  y  a  66a a    12  a  16   Từ đó:  a  28 B C Nếu a  28 phương trình BC x  y  28  , trường hợp A nằm khác phía BC  , vơ lí Vậy a  , phương trình BC là: x  y   Đường cao kẻ từ A ABC đường thẳng qua A(6;6)  BC : x  y   nên có phương trình x  y  Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC nghiệm hệ phương trình x  y   x  2    x  y    y  2 Vậy H (-2;-2) Vì BC có phương trình x  y   nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a) Lại H trung điểm BC nên C(-4-a; a) Suy ra: CE    a; 3  a  , AB  (a  6; 4  a  6) Vì CE  AB nên AB.CE    a   a  5   a  3 a  10    a  2a  12a    Vậy  a  6  B  0; 4   C  4;0  11  B  6;   C  2; 6  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 21: ( Đề 2011- khối A) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + = đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc  Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 1HD: Diện tích MAI=5 = AM  AM  MI2 = IA2 + AM2 = 25 M   M(m; -m – 2) Vậy MI  (2  m; m  3) nên ta có phương trình:  m2  4m  m2  6m   25  m2 + m – =  m = hay m = -3  M (2; -4) M (-3; 1) C BÀI TẬP TỰ RÈN Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình 5x+y9=0 x+3y5=0 Tìm tọa độ đỉnh A B ĐS: A(1;4), B(5;0) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) x  y  x  y   đường thẳng  : x  my  2m   với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để Δ cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn x2 y2   Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy, cho elip (E) có phương trình 16 Xét điểm M chuyển động tia Ox điểm N chuyển động tia Oy cho đường thẳng MN ln tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ     ĐS: M ;0 , N 0; 21 , MN  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho đường tròn (C): (x1)2+(y2)2=4 đường thẳng d: xy1=0 Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’) ĐS: A(1;0), B(3;2) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x3y – = đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC x2 y2   Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hồnh tam giác ABC tam giác Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho điểm C(2;0) elip (E): 2 3 2 3 2 3 2 3 , B ;  A ; , B ;  ĐS: A ;  7  7  7  7 7         Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng: d1: x+y +3=0, d2: xy 4=0, d3: x2y =0 Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐS: M(22;11), (2;1) 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y22x2y+1=0 đường thẳng d: xy+3=0 Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) ĐS: M1(1;4), M2(2;1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hồnh điểm B thuộc trục tung cho A B đối xứng với qua đường thẳng d: x 2y+3=0 ĐS: A(2;0), B(0;4) 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x1)2+(y+2)2=9 đường thẳng d: 3x4y+m=0 Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB ĐS: m=19, m=41 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x2y3=0 6xy4=0 Viết phương trình đường thẳng AC ĐS: AC: 3x4y+5=0 12 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x+y5=0 Viết phương trình đường thẳng AB ĐS: AB: y5=0; x4y+19=0 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(2;2) C(4;2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình đường tròn qua điểm H, M, N ĐS: x2+y2x+y2=0 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1: x+y+3=0, d2: xy4=0, d3: x2y=0 Tìm tọa độ điểm M mằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐS: M1(22;11), M2(2;1) 15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1: xy=0 d2: 2x+y1=0 tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hồnh ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;1), D(2;0) A(1;1), B(2;0), C(1;1), D(0;0)   16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) B  3;1 Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB    ĐS: H 3;1 , I  3;1 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC 3x  y   , đỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 74 62 3   1     G  ; ; 18 ĐS: G    3 3     19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): (x2)2+y2=4/5 hai đường thẳng 1: xy=0, 2: x7y=0 Xác định tọa độ tâm K bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp 2 8 4 xúc với đường thẳng 1, 2 tâm K thuộc đường tròn (C) ĐS: K  ; , R  5 5 20 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(1;1), đường phân giác 13 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn góc A có phương trình xy+2=0 đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y1=0  10  C  ;   4 ĐS: 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) đường thẳng: d1: x+y2=0, d2: x+y8=0 Tìm tọa độ điểm B C thuộc d1 d2 cho tam giác ABC vng cân A ĐS: B(1;3), C(3;5) B(3;1), C(5;3) 22 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương tròn (C): x2+y22x6y+6=0 điểm M(3;1) Gọi T1 T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 ĐS: T1T2: 2x+y3=0 23 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B ĐS: (C1): (x2)2+(y1)2=1 (x2)2+(y7)2=49 24 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) B(4;3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x2y1=0 cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB  43 27  ĐS: C1 7;3, C   ;   11 11  ^ 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, BAC  90 Biết M(1;1) 2  trung điểm cạnh BC G ;0  trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C 3  ĐS: A(0;2), B(4;0), C(2;2) 1  26.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình 2  đường thẳng AB x2y+2=0 AB=2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm ĐS: A(2;0), B(2;2), C(3;0), D(1;2)  14 ... B i xng vi qua trc honh v tam giỏc ABC l tam giỏc u Trong mt phng vi h ta ờcac vuụng gúc Oxy cho im C(2;0) v elip (E): 4 4 , B ; hoc A ; , B ; S: A ; 7 7 7 Trong mt phng vi h ta... trc honh ti im A v khong cỏch t tõm ca (C) n im B bng S: (C1): (x2)2+(y1)2=1 hoc (x2)2+(y7)2=49 24 Trong mt phng vi h to Oxy cho hai im A(1;1) v B(4;3) Tỡm im C thuc ng thng x2y1=0 cho khong... trũn (C) S: M1(1;4), M2(2;1) Trong mt phng vi h to Oxy, tỡm im A thuc trc honh v im B thuc trc tung cho A v B i xng vi qua ng thng d: x 2y+3=0 S: A(2;0), B(0;4) 10 Trong mt phng vi h to Oxy, cho