Nguyễn Anh Tuấn trường PTDTNT THPT Bình Phước Câu ĐT: 0985.767.113 SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015-2016 Nội dung    ( a + 1)2  a+5 P = + − 1÷ Với a > 0, a ≠ ÷.  a − a a − a − a + 1÷  a ÷    1) Rút gọn: ta có: P = a 2) Đặt Q = (a − a + 1).P Chứng minh Q > a − a + a − a + ( a − 1)2 = = + 1> 1,∀a > 0; a ≠ a a a (Cách khác: tách sử dụng bđt côsi xét thấy dấu không xảy suy Q > 1) Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x + m2 = (1) Tìm m để pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn Ta có: Q = (a − a + 1).P = (x1 − m)2 + x2 = m+ (2) Pt (1) có hai nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ m≥ − Khi theo vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m+ 2; x1x2 = m2 Vì x1 nghiệm pt (1) nên x12 = 2(m+ 1)x1 − m2 thay vào (2) ta 2x1 + x2 = m+  m= (thỏa mãn) Từ vi-ét giả thiết, ta có − m(3m+ 2) = m ⇔   m= −   m= thỏa mãn ycbt Vậy   m= −  2 1) Giải pt (x + 1) 2(x2 + 4) = x2 − x − (1) ĐK: x∈ R  x = −1  2(x2 + 4) − (x − 2) = ⇔  ⇔ ( x + 1)  x ≥ ⇔ x = −1 Pt (1)      x = −2 Vậy pt có cnghiệm x = −1  x − = x2 + xy − 2y2 (1)  2) Giải hpt  x y  ( x + − y)(1+ x + 3x) = (2) ( vế phải pt (1) ta thường hay gặp toán giải hệ pt ta cần ý)  x> ĐK: ⇔  y > (*)  y = x   = 0⇔  ÷ Từ pt (1) suy (y − x)  x + 2y + =0 ÷  x + 2y + y x   y x  +) Với y = x thay vào (2) ta ( x + − x)(1+ x2 + 3x) = ⇔ 1+ x2 + 3x = x + + x ⇔ ( x + − 1)( x − 1) = ( nhân hai vế pt với x + + x ) ( Ta đặt t = x + − x bình phương hai vế ) Trang 1/3 Nguyễn Anh Tuấn trường PTDTNT THPT Bình Phước ĐT: 0985.767.113  x + =  x = −2 (L ) ⇔ ⇔  x = 1⇒ y =  x =1 +) Vì x > 0; y > nên x + 2y + y x = vô nghiệm Vậy nghiệm hpt là: ( x; y) = ( 1;1) Giải pt tập số nguyên x2015 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) + (1) ĐK: y(y + 1)(y + 2)(y + 3) ≥ Pt (1) ⇔ x2015 − 1= (y2 + 3y + 1)2 − Đặt: y2 + 3y + 1= a(a∈ Z) Vì x nguyên nên x2015 − nguyên, suy a2 − 1= k2(k ∈ Z) ⇒ a2 − k2 = 1⇒ (a − k)(a + k) = 1⇒ k = y = 0⇒ x =  y = −3 ⇒ x =  y2 + 3y + 1= ( thỏa mãn) ⇒ ⇒ (y2 + 3y + 1)2 = ⇔   y + 3y + 1= −1  y = −1⇒ x =  y = −2 ⇒ x = Vậy pt có nghiệm nguyên ( x; y) : ( 1;0) , ( 1; −1) , ( 1; −2) , ( 1; −3) ( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dấu cộng số phương) 1) Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (1+ a)(1+ b) ≥ 1+ ab Ta chứng minh phép biến đổi tương đương 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + a + 2a b + 2b + (1+ a2)(1+ b2) ( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau (1+ x)(1+ y) ≥ 1+ xy 1 + ≥ phải chứng x y x+ y minh hai bđt điểm tối đa) Cách 1: P ≥ a2 + 2a + b2 + 2b + 1+ ab = (a + b)2 − 2ab + 2(a + b) + 1+ ab = a2b2 + ab +  ab ab  7ab 1 7ab 7ab = + + + + 1≥ 3.3 + + 1= + 2 16 16 ÷ 16 16 8 a b  Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab = a + b ≥ ab ⇒ ab ≥ 7.4 21 21 = Vậy giá trị nhỏ P a = b = 4 Do P ≥ + Bình luận: bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu thức dấu Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo rõ, sau dùng ppháp dồn biến) Cách 2: P= + + (1+ a2)(1+ b2) ≥ + + 1+ ab = a + 2a b + 2b a + 2a b + 2b  a a+ 2  b b +  29 = + + + + ÷+  ÷+ (a + b) +  a(a + 2) 16 32   b(b + 2) 16 32  32 1 + + a + b+ a(a + 2) b(b+ 2) Trang 2/3 Nguyễn Anh Tuấn trường PTDTNT THPT Bình Phước ≥ 3.3 ĐT: 0985.767.113 1 1 29 13 29 + 3.3 + (a + b) + = + (a + b) 16 32 16 32 32 8 32 (a + b)2 ⇒ a+ b ≥ 4 13 29 13 29 21 Do P = + (a + b) ≥ + = 32 32 21 Vậy giá trị nhỏ P a = b = Mặt khác: từ giả thiết, ta có: a + b = ab ≤ Cách 3: Ta có a + b = ab ⇒ (a − 1)(b − 1) = Đặt a − 1= x ⇒ a = x + 1; b− 1= y ⇒ b = y + 1⇒ x.y = Khi P ≥ + + 1+ ab = 1 + + a + b+ a(a + 2) b(b + 2) a + 2a b + 2b 1 = + + x + y+ (x + 1)(x + 3) (y + 1)(y + 3)  x + x + 3  y + y +  29 43 = + + + + ÷+  ÷+ (x + y) + 32   (y + 1)(y + 3) 16 32  32 16  (x + 1)(x + 3) 16 1 29 43 21 ≥ + + xy + = 8 32 16 21 Vậy giá trị nhỏ P x = y = ( Các bạn suy nghĩ cách giải khác nhé!) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: AH = 2OM 2) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng: OI OJ = R2 3) Gọi N giao điểm AH đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm O (D kác N C ) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh rằng: ·ACH = ·ADK Quá trình làm đánh máy không tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa! Tiếp tục cập nhật! Trang 3/3 ... Giải pt tập số nguyên x2015 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) + (1) ĐK: y(y + 1)(y + 2)(y + 3) ≥ Pt (1) ⇔ x2015 − 1= (y2 + 3y + 1)2 − Đặt: y2 + 3y + 1= a(a∈ Z) Vì x nguyên nên x2015 − nguyên, suy a2 −... b) +  a(a + 2) 16 32   b(b + 2) 16 32  32 1 + + a + b+ a(a + 2) b(b+ 2) Trang 2/3 Nguyễn Anh Tuấn trường PTDTNT THPT Bình Phước ≥ 3.3 ĐT: 0985.767.113 1 1 29 13 29 + 3.3 + (a + b) + = + (a...Nguyễn Anh Tuấn trường PTDTNT THPT Bình Phước ĐT: 0985.767.113  x + =  x = −2 (L ) ⇔ ⇔  x = 1⇒ y =  x =1 +)